Адаптивный регулятор с многоточечным рекуррентным алгоритмом идентификации и ортогонализацией измерений в контуре регулирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-503.57

А.Е. Карелин, А.А. Светлаков

Адаптивный регулятор с многоточечным рекуррентным алгоритмом идентификации и ортогонализацией измерений в контуре регулирования

Приводятся результаты численного моделирования адаптивного регулятора, использующего многоточечный рекуррентный алгоритм идентификации управляемого объекта с ортогонализацией измерений его переменных.

Ключевые слова: адаптивный регулятор, ортогонализация, линейные модели, идентификация.

Введение

Как известно [1, 2], наряду со скоростью сходимости и помехоустойчивостью важнейшим свойством рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных и нелинейных моделей объектов управления является их трудоемкость, характеризующаяся количеством арифметических операций над вещественными числами, необходимых для реализации одной итерации уточнения оценок параметров идентифицируемых моделей.

В данной статье рассматриваются некоторые результаты моделирования адаптивного регулятора, использующего многоточечный рекуррентный алгоритм идентификации управляемого объекта с ортогонализацией измерений его переменных. Значительного сокращения объемов вычислений здесь удается добиться за счет ортогонализации измерений переменных объекта с применением хорошо известной процедуры Грамма-Шмидта ортогонализации векторов [3, 4].

Постановка задачи рекуррентной подстройки оценок параметров математических моделей линейных динамических объектов

Пусть имеется линейный динамический объект, количественные связи между значениями входа u и скалярного выхода y которого описываются линейным разностным

уравнением вида

n m+n

yt = YJ^iVt~i + Z aiut-i > (1)

i=1 i=n+1

где t - дискретные моменты времени; u^i и yt-i - соответственно значение входа u и

i

выхода y в моменты времени t -i, i = 1,2,3,...; а = (ai,a2,...,an+m) - (n + m) - мерный

вектор неизвестных параметров, а T - символ операции транспонирования векторов и матриц; n и m - некоторые ограниченные натуральные числа. И пусть в каждый момент времени t имеются измерения вида

i T i t i i

а) ut =(ut-1 ut-2 •■■ ut-m) и б) yt =(yt yt-1 •■■ yt-n+1) = yt + et, (2)

i i где yt - вектор неизвестных нам истинных значений выхода объекта, а et - вектор ошибок измерения данных значений.

Используя измерения (2), составим систему линейных алгебраических уравнений

ii Xt at = zt,

i

T

где at = (at1,at2,...,atn,...,atn+m) - (n + m)-мерный вектор оценок вектора ii

а = (a1,a2,...,an+m); Xt и zt - соответственно (lх (n + m)) - матрица и l -мерный вектор, формируемые в соответствии с равенствами Гyt-1 yt-2.. .yt-n ut-1 ut-2 ut-m yt-2 yt-3.. .yt-n-1 ut-2 ut-3 ut-m-1

y y ... y u u u yt

а) Xt =

Vyt-l yt-l-1...yt-n-l ut-l ut-l-1 ut-m-l

i

б) z =

yt-1 yt-l+1.

(3)

Здесь l - глубина памяти алгоритма - некоторое натуральное ограниченное число, которое может быть как больше, так и меньше размерности (п + m) вектора а^

Задача рекуррентной подстройки вектора уже имеющихся оценок я£-1 при каждом t заключается в том, чтобы заменить его таким новым вектором я£, который был бы ближе к оцениваемому вектору . При этом в качестве количественной меры близости

между векторами at и а^^ используется евклидова норма их разности, определяемая равенством

4 4 Я -

4 4 4 4 1 ( п+Ш = (at- а - )2 =

Л

Е (а^ -ai)

i=1

Формирование управляющих воздействий щ в момент времени t осуществляется в соответствии со следующим равенством:

щ = (узад - Еatiyt+1-i - Е аиЩ+п+1^)/at,n+1,

i=1 i=n+2

(4)

где узад - так называемая уставка регулятора, некоторое заданное значение выхода объекта.

Алгоритм рекуррентной идентификации параметров математической модели (1) и его свойства

Для решения сформулированной выше задачи идентификации параметров объекта, описываемого моделью (1), будем использовать многоточечный рекуррентный алгоритм, описанный в работе [4] и имеющий следующий вид:

L

% = + Е(Х ^-1

i=1

wt = vt / Гц

^ =

yt -Е(х

i=1

4 4

аt = а^1 + ^

1

( 4 ^

0t - ^ ,Я1-1

, t = 1,2.

(5)

(6) (7)

(8)

V /_

Здесь верхний предел суммирования L определяется соотношением

L =

г -1, г = 1,2.....I -1,

I -1, t = 1,1+1,... ,

где ^Ц - евклидова норма вектора Vt, вычисляемая в соответствии с равенством 1

(

=

Л

V/=1

2

Из соотношений (5)-(8) видно, что на первых I -1 тактах оценивания параметров а осуществляется накопление измерений (3) и их ортонормирование, а на каждом из последующих тактов - сдвиг I ранее поступивших измерений с вычеркиванием самого «старого», т.е. (ь -1) -го измерения и ортонормирование самого «нового» t -го измерения

по отношению к остальным t -1 +1 имеющимся измерениям. Поскольку сдвиг измерений и вычеркивание одного из них из ортонормированной совокупности не нарушают орто-нормированности остающихся в ней измерений, то в обоих случаях необходимо ортонор-мировать только одно вновь поступающее измерение х1 =(у1-1 Уг-2---Уг-п ^-1 ^-2 Щ-ш) .

Непосредственная коррекция оценок я£-1 в этом случае также существенно упрощается.

£

Общий объем вычислений, выполняемых на одном такте в установившемся режиме оценивания (при t > I), в данном случае характеризуется следующими соотношениями:

Nc =(21 +1)п, Nу = (3п +1)I, N9 = 1,

где Ис , Ny , N9 - количество операций сложения, умножения и деления соответственно. Как показано в работе [4], применение процедуры ортогонализации измерений переменных позволяет существенно, т.е. в разы, сократить объем вычислений.

Алгоритм (5)-(8) обладает следующими свойствами: его глубина памяти I не может быть больше п; сходимость алгоритма обеспечивается при произвольных начальных I

оценках ао и любом значении I, удовлетворяющем отмеченным выше ограничениям, а

также монотонность сходимости по евклидовой норме оценок at к а при t ^ ад при условии, что измерения (3) не содержат ошибок.

Некоторые результаты моделирования регулятора (4)—(7)

Рассмотрим некоторые результаты применения алгоритма (5)-(8) в адаптивном регуляторе с идентификатором в контуре регулирования. Модель адаптивного регулятора, использовавшаяся при проведении экспериментов, построена с использованием возможностей среды моделирования Simulink. Изложенный выше рекуррентный многоточечный алгоритм (5)-(8) был реализован в виде ^-функции. В этой же функции осуществлялось и формирование управляющих воздействий щ , вычисляемых по соотношению (4). При

этом исследование данного регулятора осуществлялось в следующих двух режимах: в режиме «идентификация» и в режиме «идентификация и управление».

В первом из этих режимов функционирования регулятора осуществляется только оценивание параметров объекта управления на основе результатов измерений его входа и и выхода у . При этом управляющие воздействия щ формировались по известным параметрам объекта управления, полученным каким-либо образом ранее. Иначе говоря, в реальных условиях формирование управляющих воздействий щ осуществляется либо

вручную, либо с помощью какого-либо устройства управления.

В режиме идентификации и управления одновременно с подстройкой параметров модели осуществлялось и формирование управляющих воздействий щ, вычисляемых в соответствии с выражением (4). При этом каждый такт управления начинается с подстрой-

I II

ки имеющихся оценок at-1, а затем полученные новые оценки at параметров а

используются для вычисления управляющих воздействий щ .

При проведении исследований рассматриваемой системы управления в качестве объектов управления использовались динамические объекты, описываемые передаточными функциями первого и второго порядка.

На рис. 1 представлены результаты экспериментов, полученные при отсутствии ограничений на управляющие воздействия щ , формируемые по соотношению (4). Модель регулятора функционирует в режиме «идентификация и управление», глубина памяти I алгоритма оценивания (5)-(8) равна числу оцениваемых параметров объекта управления.

3000 2000 1000 0

-1000 -2000

-30000 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t, с

200 150 100

50

0

/

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t, с

Рис. 1. Управляющие воздействия щ и реакции Уt (объект второго порядка, узад = 100, Дt = 0,01 с)

Из рис. 1 видно, что при отсутствии ограничений на щ используемый алгоритм

функционирования регулятора обеспечивает перевод объекта управления в заданный режим функционирования, в котором значение его выхода оказывается равным заданному значению узад, и сохраняет данное значения на последующих тактах управления.

При этом на первых тактах управления наблюдается значительное перерегулирование. Наложение ограничений на управляющие щ по диапазону их допустимых значений

приводит к уменьшению перерегулирования и увеличению времени регулирования, что наглядно иллюстрируют результаты, представленные на рис. 2, 3.

2 1 0 -1

-2

0

1

2

3

4

Рис. 2. Управляющие воздействия щ (объект второго порядка)

150 1004

5

г, с

50-

4

№ эксперимента

2 0

4

г, с

Рис. 3. Результаты экспериментов при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения (объект второго порядка)

6

Из рис. 2 также видно, что при наличии ограничений на управляющие воздействия щ по диапазону их допустимых значений [итах, ит^п] в интервалах [1, -1] и

[0,75, - 0,75] наблюдается нестабильность формируемых управляющих воздействий щ . Объясняется это неустойчивостью алгоритма (5)-(8) на некоторых тактах оценивания,

когда оценки aг оказываются более удалены от а , чем оценки aг-1 . Неустойчивость алгоритма оценивания (5)-(8) вызвана ошибками округления, появляющимися при выполнении арифметических операций, и легко устраняется с помощью его регуляризации,

осуществляемой заменой множителя в формулах (6) и (7) множителем А

где у - параметр регуляризации, что в вычислительном отношении практически никак

не усложняет весь алгоритм [4]. Подтверждением этому выводу служат приведенные на рис. 4 результаты одного из экспериментов, полученные при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения [1,-1] и значении параметра регуляризации у = 0,00001.

1

0,5 0

-0,5 -1

0

1

2

3

4 г, с

120 100 80 60 40 20 0

0

1

2

3

г, с

Рис. 4. Результаты экспериментов при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения ([щтах, щт^п ] = [1, -1]) с применением параметра регуляризации у

(объект второго порядка)

4

На основании рис. 5 можно сделать вывод, что наличие ограничений на управляющие воздействия по скорости и диапазону изменения приводит к увеличению времени регулирования.

1

0 -1

-2

1

2

3

4

t, c

0

1

2

3

4

t, c

а - управляющие воздействия б - реакция объекта

Рис. 5. Результаты экспериментов при ограничениях управляющих воздействий по диапазону их изменения и скорости изменения их значений (иизм = 100 , Лt = 0,01 с, узад = 100 ) (объект второго порядка)

2

0

Резюмируя совокупность полученных результатов в целом, можно сделать следующие выводы:

1. Многоточечный рекуррентный алгоритм с ортогонализацией измерений позволяет подстраивать параметры разностных уравнений, описывающих связи между выходными переменными управляемых объектов и управляющими воздействиями, как вне контура управления, так и при включении его в данный контур. При этом его скорость сходимости и помехоустойчивость как в том, так и в другом случаях существенно зависят от его глубины памяти и значения параметра регуляризации.

2. Наличие ограничений на управляющие воздействия по интервалу их изменения приводит к уменьшению перерегулирования, а по скорости изменения - к увеличению времени регулирования.

3. Использованный алгоритм формирования управляющих воздействий обеспечивает перевод управляемого объекта в такой режим его дальнейшего функционирования, в котором значение его выхода оказывается равным заданному значению, и сохранение данного значения на последующих тактах управления. Отмеченное свойство алгоритма имеет место не только при достаточно точных оценках параметров разностных уравнений, но и в тех случаях, когда данные оценки заметно отличаются от истинных значений оцениваемых параметров. Данное обстоятельство избавляет от необходимости проведения предварительной достаточно точной идентификации данных параметров и позволяет начинать управление объектом с их приближенными оценками, которые будут подстраиваться в процессе функционирования системы управления.

4. Требует решения задача выбора значения параметра регуляризации.

5. Полученный алгоритм функционирования адаптивного регулятора вполне пригоден для практической реализации.

Литература

1. Райбман Н.С. Основы управления технологическими процессами / Н.С. Райбман, С.А. Анисимов, В.Н. Дынькин, А.Д. Касавин и др.; под ред. Н.С. Райбмана. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. - 440 с.

2. Светлаков А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации и управления процессами. - Томск: Изд-во НТЛ, 2003. - 338 с.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980. - 400 с.

4. Карелин, А.Е. Использование ортогонализации Грамма-Шмидта для повышения экономичности многоточечных алгоритмов рекуррентного оценивания параметров моделей объектов управления / А.Е. Карелин, А.А. Светлаков // Известия Том. политех. ун-та. -Томск: Изд. ТПУ, 2006. - Т. 309, № 8. - С. 15-19.

Карелин Алексей Евгеньевич

Канд. техн. наук, доцент каф. электронных систем автоматизации и управления Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники Тел.: (382-2) 41-48-35 Эл. почта: kae@iit.tusur.ru

Светлаков Анатолий Антонович

Д-р техн. наук, профессор каф. электронных систем автоматизации и управления Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники Тел.: (382-2) 41-48-35 Эл. почта: aas@iit.tusur.ru

A.E. Karelin, A.A. Svetlakov

Adaptive regulator with multidot recurrece algorithm of identification and orthogonalization of measurements in the control loop

In the article there are the results of numerical modeling of the adaptive regulator using multidot recurrence algorithm of operated object identification with orthogonalization of measurements of its variables.

Keywords: an adaptive regulator, orthogonalization, linear models, identification.