CC BY
37
УДК 62-506
А. Н. Клименко, А. М. Цыкунов Астраханский государственный технический университет
АДАПТИВНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫ1ХОДУ НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ
Введение
В современной теории автоматического управления важным классом задач являются задачи синтеза адаптивных систем с управлением по скалярному выходу. Теоретические сложности, связанные с синтезом таких систем для некоторых частных случаев, были преодолены с помощью нескольких различных методов: метода шунтирования, метода расширенной ошибки, алгоритмов адаптации высоких порядков. Систематическое изложение основ этих методов можно найти, например, в [1].
В данной статье предлагается использовать динамический регулятор, алгоритмы настройки параметров которого не содержат производных входной и выходной переменной. Применение динамического регулятора позволяет получить строго минимально-фазовый обобщенный настраиваемый объект сравнительно небольшого динамического порядка. При этом возможно использование в алгоритме настройки всего одного настраиваемого параметра, что является несомненным достоинством данного метода. Применение динамического регулятора для нелинейных объектов со скалярными входными и выходными переменными рассмотрено в [2]. В данной статье предлагается рассмотреть задачу применения динамического регулятора для нелинейных объектов с запаздыванием по состоянию.
Постановка задачи
Рассмотрим стационарную нелинейную систему с запаздыванием по состоянию, динамические процессы в которой описываются следующими матричными уравнениями:
х(1) = Ах(0 + Вх(1 - т) + В(Н(у(1))и (V) + цт у( у(У))), (1)
уЦ) = ).
Здесь х(0 — «-мерный вектор состояния системы; т — постоянное неизвестное время запаздывания; у(0 — доступная измерению скалярная выходная переменная; и(0 — скалярное управляющее воздействие; И(у) — известная функция; у(у) — неизвестная ^-мерная функция; А, В, В, ^ — числовые матрицы соответствующих размерностей, элементы данных матриц неизвестны, однако известны границы возможных значений данных элементов, Ь = [1, 0, ... , 0]. Будем считать, что элементы матриц А, В, В, ^ зависят от неизвестного постоянного вектора X, при этом множество значений этого вектора X определено.
Будем решать задачу стабилизации данной системы, т. е. обеспечивать выполнение целевого условия
ііш x(t) = 0
(2)
Предположения:
1. Пара (А, B) — управляема при всех возможных значениях коэффициентов матриц A, B.
2. ^у) Ф 0 .
3. Уг(у) <5г|у|, і = 1,2, ... , k.
Адаптивная система стабилизации
Структуру управляющего устройства зададим в следующем виде:
Z(t) = Fz(t) + bcтyp ^),
u(t) =
dт z(t)
К y(t))
(3)
где z(t) — вектор состояния регулятора (для определенности его размерность взята равной п); F — произвольная гурвицева числовая матрица
в форме Фробениуса; Ьт = [0, 0, ... , 1]; с(^) — вектор настраиваемых параметров; у]1 (V)т = [у, ^ ]; d — вектор, элементы которого необходимо определить.
Введем расширенный вектор состояния системы управления: хтр (V) = [хт (V), 2Т (V)]. Тогда уравнения (1), (3) можно переписать в виде следующих матричных уравнений:
Xр (0 = АрХр ^) + ВрХр ^ - т) + ВрСТ ^)Ур ^) + ВіЦту(у(:)):
Ур (*) = ЬрХр ^).
(4)
Здесь
Ар =
(А ВйтЛ
ч0 * ,
; Яр =
(Я 0Л
V0 0у
; вр =
(0 Л (в Л
; Ві =
V Ь У
V 0 У
; Ь р
(Ь 0 Л
0 I
1п — единичная матрица порядка п. Если к правой части первого из матричных уравнений (4) прибавить и отнять Врс0у (V), где вектор с0 обеспечивает гурвицевость матрицы А0 = Ар + В]с'^Ь] , то придем к следующей системе матричных уравнений:
Xр ) = А()Хр ) + ВрХр - т) + Вр (с^) - с() )т Ур (t) + В^У(y(t)),
Ур ^) = ьрхр ^).
(5)
Утверждение. Если выполнены предположения 1-3, а векторы d и ? выбрать так, чтобы квазиполином ?ТЬр (II2п — Ар — Врв~'кх)*Вр
(здесь и далее звездочка означает переход к транспонированной матрице алгебраических дополнений) был гурвицев степени 2« - 1 при любых значениях элементов матриц А, В, В, ^ из заданного диапазона изменения значений этих матриц, то любой из следующих алгоритмов:
С(V) = —£ gTУ]PlурЗ$ + С(0),
(6)
С V) = — ^Т у р р2 у р —1,0 ^Т у р Р1 у р Ж + С (0)
обеспечивает выполнение условия Нш хр (V) = 0, где Р1, Р2 — положительно-определенные симметрические матрицы. Возможно применение других алгоритмов настройки, как, например, в [3]. Отметим лишь, что существуют алгоритмы настройки с одним настраиваемым параметром.
Например, можно заменить ст у в правой части первого из уравнений (3)
т
на X? ур и применять следующие алгоритмы настройки параметра х:
Х = — *1 £ (?т¥р }2 ds + х(0),
X = —*2 (?тУр) — *1 £(?тУр)2ds + х(0).
Для обеспечения гурвицевости квазиполинома представим его в виде
?тЬр (II2« — Ар — Вр)*Вр = Р(1) + . (7)
Для гурвицевости квазиполинома (7) достаточно выполнение сле-
дующих двух условий:
1. Р(1) - гурвицев для любых Xе X .
2. т£IР( j^w)\ > БирIQ( j^w)\.
Доказательство утверждения. Рассмотрим функционал
Ляпунова - Красовского вида
V II 1|2
V = хТ]НХ] + (с(0 — С0 + р?)т Р—11 (ф) — С0 + р?) + У £ ||хр (5)1 ds . (8)
?—Х
Производная функционала V на траекториях системы (5), при условии использования первого из алгоритмов настройки (6), запишется следующим образом:
V = хтр (НА0 + Ат0 Н)Хр + 2хтрНВ]Хр (V — т) + 2хтрНВр (о(1) — ^)т ур +
+ 2хТрНВ1цту(у) — 2(с(*) — С0 + р?)т ?турур + У|Хр||2 — у||Хр(V — т)||2.
Выберем достаточно малое значение а и определим симметрическую положительно-определенную матрицу Н как решение следующих уравнений:
НА0 + АТН + аНВрВТрН < — Q — (У! + у)12«,
НВр = Ьт? .
Воспользуемся оценками:
2хтрНВрхр(V — т) < ахтрНВРВтрНхр + —1|хр(V — т)|| ,
2хТрИВіЦту(у) < 2у|х^в!)у|, V = шах|лг| • Ё6* ,
і т I2
ХМ
ХpQХp > —------ ---= аХрНВА ,
р р BpHQ _1НВ1 1 р 4
— 2Р(?Тур)2 <—2Р?12у2 + 4|?^|||хр||2,
где ?1 — первая компонента вектора ?; ? 2 — вектор ? без первой компоненты. Тогда производная функционала V на траекториях системы (5) может быть оценена так:
12
1&<—хТ (й + У112п )хр + (- — У)хр ({ — т) — 2Р(?Тур )2 +
а 11
+ 2 х'РНВ1цт у( у) <— хТр (у 1 — 4| ? 2||) хр +(а — у)| хр^— т)|2 — р?1 у2 —
— (Р?12у2 — 2у|хтНВ1|у| + а|хТрНВ11 ).
Если выбрать р, у1 так, чтобы выполнялись неравенства у1 > 4|?1||?2||, ра > V , то для V будет справедлива следующая оценка:
V <—р|| Хр| |2 — р?12 у2,
где Р = У1 — 4 ?1|| ? 2||, откуда, в силу второй теоремы Ляпунова -Красовского, следует справедливость утверждения.
Пример
Рассмотрим объект, динамические процессы в котором описываются уравнением
(р3 + а1 р2 + а2 р + а3) у(^) + (Ь1 р2 + Ь2 р + Ь3) у(^ — т) = к1И( у)и^) +
+ к 2 уД у) + *3^ 2( у). (9)
Коэффициенты уравнения меняются в следующих пределах:
-1 < ai < 1, 1 < Ь{ < 2 , 1 < < 2, / = 1, 2, 3. Матрица ^ имеет характеристи-
ческий полином (1 + 3)3.
Т Т
Если выбрать ё = [14, 12, 10], g = [50, 100, 10, 0,5], то квазиполином (7) для системы (9) будет гурвицев степени 2п - 1 для любых значений коэффициентов уравнения, удовлетворяющих заданным неравенствам.
Результаты моделирования получены при следующих условиях:
а1 = -1; а2 = -1; а3 = 0; Ь1 = 1; Ь2 = 2; Ь3 = 1; к1 = 1,5; к2 = 2; к3 = 2; т = 1;
У1(У) = |у|;у2(у) = ^У2; х(^) = 1,если -т < 11 <0, / = 1, 2, з, н(у)° 1.
Для настройки параметров использован первый из алгоритмов (6) с / = 14; с(0) = 0 . Результаты моделирования представлены на рисунке.
ч \
1~
Переходный процесс в системе
Заключение
В данной статье решалась задача построения адаптивной системы управления для нелинейного объекта с запаздыванием по состоянию, при условии доступности для измерения только скалярных входа и выхода системы. Применен динамический регулятор, что позволило при простой структуре управляющего устройства и малом количестве настраиваемых параметров решить задачу стабилизации.
Все теоретические результаты статьи подтверждены результатами моделирования, что показано на примере.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - С.-Пб.: Наука, 2000. - 549 с.
2. Цыкунов А. М. Применение адаптивного динамического регулятора для управления объектом по выходу // Идентификация систем и задачи управления: Тр. IV Междунар. конф. - М.: Наука, 2005. - С. 1349-1358.
3. Цыкунов А. М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем. - Фрунзе: Илим, 1990. - 156 с.
Получено 19.09.05
ADAPTIVE DYNAMIC REGULATOR FOR GOVERNING YIELDING NON-LINEAR OBJECT WITH LAGGING ON STATE
A. N. Klimenko, A. M. Tsykunov
The problem of stabilization for non-linear object with lagging in state in conditions of prior uncertainty for coefficients of pattern object has been solved being available only for measuring scalar initial and yielding variables. To solve this problem, dynamic regulator was used, that helped to receive strict minimal-phase object without using extra filters of condition. Theoretical results are proved by modeling, which is demonstrated with samples correspondingly.
