Адаптивное управление в задаче гашения упругих колебаний трехмассовых исполнительных механизмов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. I. Статика и кинематика. М. : Наука, 1982. 352 с.

2. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики. В 2 т. Т 2 Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. М. : Наука. 1983. 640 с.

3. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М. : Наука. 1986. 516 с.

4. Лурье А.И. Операционное исчисление и применение в технических приложениях. М. : Наука. 1959. 368 с.

5. Сельвинский В.В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : Изд-во Амур. гос. ун-та, 2009. 164 с.

6. Вибрация в технике. В 6 т. : справочник. Т. 3 Колебания машин, конструкций и их элементов / под ред. Ф.М. Диментберга, К.С. Колесникова. М. : Машиностроение, 1980. 544 с.

7. Вибрации в технике. В 6 т. : справочник. Т. 4 Вибрационные процессы и машины / под ред.

Э. Э. Лавенделла. М. : Машиностроение, 1981. 504 с.

8. Машиностроение. Т. 1-3. В 2-х кн. Кн.1 Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин : энцикл. / К.С. Колесников, Д.А. Александров, В.К. Асташев и д.р. М. : Машиностроение, 1994. 534 с., ил.

9. Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Движение материальной частицы с подбрасыванием на примере модельной задачи с неудерживающими связями // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2012. №3. С. 53-59.

10.Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Характеристики взаимодействия материальной частицы и поверхности колебания в зависимости от постоянной силы с учетом неудерживающей связи // Техника и технологии новые перспективы развития : материалы VII Междунар. науч.-практ. конф. (26.11.2012). М., 2012. 248 с.

УДК 621.01:534; 681.51 Круглое Сергей Петрович,

д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 8-950-111-83-69

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХМАССОВЫХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ

S. P. Kruglov

ADAPTIVE CONTROL IN VIBRATION DAMPING PROBLEM OF THREE-MASS ACTUATORS

Аннотация. На основе описания упругих исполнительных механизмов мехатронных систем в виде трехмас-совой схемы синтезируется адаптивное управление, направленное на гашение упругих колебаний с сохранением целевого движения системы. В контуре замкнутой системы управления используется алгоритм идентификации, доставляющий в текущем времени искомые оценки неизвестных параметров математической модели объекта, а также неявная эталонная модель. В качестве первого из них используется рекуррентный метод наименьших квадратов с фактором забывания. Заданная эталонная модель отражает требуемые характеристики замкнутой системы управления.

Закон управления строится на основе упрощенных условий адаптируемости, разработанных автором статьи ранее. Для рассматриваемой задачи они заключаются в том, что исходный объект аппроксимируется математической моделью колебательного звена на скользящем интервале с априорно неизвестными параметрами, подлежащими оцениванию. Для решения поставленной задачи управления снимается необходимость в получении точных оценок параметров. Определено, что их значения могут находиться в достаточно большом диапазоне. Данное свойство основано на том, что алгоритм текущей идентификации обладает свойством сходимости невязки идентификации и что для решения задачи нужно корректировать лишь относительный коэффициент демпфирования системы.

Приводятся результаты экспериментальных исследований, проведенные на основе компьютерной модели. Они показывают достаточно высокую эффективность гашения упругих колебаний в замкнутой системе управления при различных конфигурациях исходного объекта и в условиях реальных факторов - действия неконтролируемых внешних воздействий и помех датчиков. Сформулированы пути улучшения качества синтезируемого управления.

Ключевые слова: мехатронные системы, упругие колебания, гашение, исполнительные механизмы, адаптивное управление.

Abstract. On the basis of description of elastic actuators of mechatroniс systems as the three-mass scheme, the adaptive control directed on damping of elastic oscillations with preservation of target movement of system is synthesized. In a contour of the closed control system the algorithm of identification delivering in current time required estimations

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

unknown parameters of mathematical model of object, and also implicit reference model is used. As the first one, the recurrent method of the least squares with the forget factor is used. The assumed reference model reflects required characteristics of the closed control system.

The control law is based on the simplified conditions of adaptability developed by the author earlier. For a considering problem, they consist in the fact that the initial object is approximated by mathematical model of an oscillatory element on a sliding interval with a priori unknown parameters subjected to estimation. For the decision of a control problem, the necessity for reception of exact estimations ofparameters is removed. It is determined that their values may vary within rather big range. The given attribute is based that the algorithm of the current identification has feature of convergence of a mistake of identification and that for the decision of a problem it is necessary to correct only the relative damping factor of system.

The results of the experimental researches received on the basis of computer model are represented. They show rather high efficiency of damping of elastic oscillations in the closed control system at various configurations of initial object and in conditions of real factors - actions of uncontrollable external influences and inaccuracy of sensors. Ways of improvement of quality of synthesized control are formulated.

Keywords: mechatronic systems, elastic vibrations, damping, actuators, adaptive control.

Введение

Одним из неблагоприятных явлений большого класса мехатронных систем является наличие упругих колебаний их исполнительных механизмов. Такие колебания отрицательно влияют на качество управления в переходных режимах, при реализации заданной траектории, в задачах позиционирования и др. В связи с этим существует достаточно актуальная задача построения активных систем гашения упругости, цель которых - парирование упругих свойств исполнительного механизма с сохранением заданного, целевого его движения на всех режимах работы мехатронной системы [1, 2].

Ряд работ [3, 4] посвящен решению этой задачи в детерминированной постановке, т. е. при условии полной априорной информации о регулируемом объекте и на основе интегральных показателей качества управления.

Работа посвящена попытке решения данной задачи с помощью построения адаптивной системы управления с прямыми показателями качества замкнутой системы управления. Использование адаптации в данной задаче, по мнению автора, обосновано следующими причинами. Именно такая система позволит в текущем времени учесть свойства исследуемого достаточно сложного объекта, сочетающего медленные инерционные движения с быстрыми упругими перемещениями. Даже при полностью априорной постановке достаточно трудно определить текущие параметры исполнительного механизма в составе сложной ме-хатронной системы, например в многозвенном манипуляторе. Кроме того, часть характеристик системы, как правило, априорно неизвестна. Это неконтролируемые возмущения, действующие на систему со стороны внешней среды; изменяющиеся со временем характеристики самой системы; неопределенность некоторых параметров, например массы груза и т. п. Часть параметров системы требует ограничения для сохранения свойств

устойчивости системы, а их зависимости не всегда можно определить, и др.

В качестве метода построения адаптивной системы управления будет использована схема с идентификатором и неявной эталонной моделью с опорой на использование упрощенных условий адаптируемости. Содержание этих условий описано в ряде работ, например [5].

Постановка задачи

В качестве объекта управления будем использовать трехмассовую упругую систему, представленную на рис. 1.

Рис. 1. Объект управления в виде трехмассовой упругой схемы

На рисунке приняты следующие обозначения: т, т, т2 - соответственно приведенные массы привода, механической передачи движения и исполнительного механизма; х0, х1, х2 - перемещение указанных масс относительно своего исходного положения; ех, с2 - приведенные коэффициенты жесткости соответствующих упругих элементов; , , - коэффициенты вязкого трения; К - управляющая сила привода; - сила

полезной нагрузки привода, а также внешнее возмущение. Схема содержит два упругих элемента, показанные на рисунке, с собственными частотами: =-ис1/т1 и ш2 = д/с2/т

/m . В этой схеме

будем рассматривать переменную х = х2 - х0, характеризующую упругие свойства системы. Также

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

примем, что = + ЛF, где Fзад - управляющее воздействие, направленное на реализацию заданного движения системы, ЛF - поправка управления, предназначенная для ликвидации ненужных упругих колебаний.

Данная схема с достаточной степенью точности моделирует динамику быстродействующих мехатронных систем с одной степенью подвижности, а также отдельные степени подвижности сложных мехатронных систем [3, 4]. Представленная схема моделирует систему с поступательными перемещениями, но выводы, получаемые далее, легко распространяются и на систему с вращательными движениями.

Указанная схема, что несложно установить, описывается следующими дифференциальными уравнениями:

целевое, программное движение системы, а вторая - ненужные упругие колебания, которые необходимо устранить.

т0 Х0 + ^0 Х0 + Х0 Х1) + С1(Х0 Х1) = , тх + (X -Х0) + с(х -х0) + (X ~*2) + + С2(Х Х2 ) = 0;

т2 Х2 + ¿2(Х2 "Х1) + С2(Х2 "Х1) = "Рн •

(1)

Рассмотрим совокупность параметров исследуемого объекта, когда первый упругий элемент по быстродействию не уступает второму, т. е. ш1>ш2: т0 = 1 кг ; т = 0,5 кг; т2 = 4 кг ;

= 0,3 нсм- ; d1 = d2 = 0 ; с1 = 4437 нм_1;

с2 = 10096 нм 1. Эти параметры соответствуют принятым в статье [4] параметрам: двум коэффициентам отношения масс п = т/(т0 + т2) = 0,2; у = т0/щ = 2; относительному коэффициенту демпфирования ^ = ^/т0 = 0,3 с1; и = 94,2с1 = 15Гц; где (-а1) = 2^ш; (-а0) = ш2; Ь = кш2; отно-

Рис. 2. Реакция объекта управления по переменной х на входной ступенчатый сигнал

Ставится задача: синтезировать такой закон управления ЛF, который бы максимально подавил высокочастотные упругие колебания системы и сохранил ее целевое движение. При этом считается, что параметры системы и полезная нагрузка априорно неизвестны. Имеется возможность измерять управляющее воздействие и сигналы х, х , х .

Адаптивное управление и его свойства

В соответствии с принятым подходом по формированию адаптивного управления выберем упрощенную структуру объекта управления, аппроксимирующую движение системы по переменной х . Из рис. 2 несложно видеть, что эта переменная может быть достаточно хорошо описана колебательным звеном:

Х-ахХ-^х = Ь^, х(£0 ) = х0, Х(/0 ) = Х0, (2)

ш2 = 50,24 с-1 = 8 Гц.

На рис. 2 представлено поведение системы (1) с указанными параметрами по переменной х при ^ = 1(0 н, F = 0, / - текущее время (моделирование в среде Matlab).

Движение этой переменной разделим на две составляющие: первая из них - это х - низкочастотная составляющая (приблизительно посередине колебательного процесса, смоделирована путем назначения ^ = ^ = 200 нсм 1), соответствующая медленному процессу сжатия пружины при разгоне масс под действием управляющей силы, со временем она приближается к нулю; вторая - (х-хн) - высокочастотный колебательный процесс, обусловленный упругостью. Первая составляющая, по принятой схеме, представляет собой

сительный коэффициент затухания звена; ш -собственная частота звена; к - коэффициент усиления звена; все указанные параметры медленно изменяются во времени; Fz = Fзад + Fн + ЛF - общее воздействие на объект.

Потребуем, чтобы замкнутая система управления была тождественна назначенной асимптотически устойчивой неявной эталонной модели:

хм — ам1 хм — ам0 хм = Ьм С^зад + ^ ), хм (¿0 ) = х0, хм = х0 ,

где (-«м1) = мтм; (-амо) = шм2; Ьм = кмтм2;

- относительный коэффициент затухания эталонной модели; шм - собственная частота эталона; к - коэффициент усиления эталона.

(3)

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Очевидно, что по условиям задачи требуется, чтобы эталон отличался от исходного объекта только по относительному коэффициенту затухания. Остальные параметры для сохранения целевого движения целесообразно сохранить: км = к ;

®м = ®; (-«м1) = м с; «мо = а; К = ь .

Для объекта (2) и эталона (3) точный закон управления (закон при точно известных параметрах) будет иметь вид

(«м! ~а1)х + (аы0-а0)х +

АР * = Ь~

(4)

= ь~1(аш\ -а^х.

Действительно, если это управление подставить в уравнение (2), то получим

Х - «м1Х - «м0 Х = Ьм (Кзад + ), х({0 ) = Х0 , Х({0 ) = Х0 •

Вычтя из этого равенства уравнение (3), найдем

е - ам1ё - ам0е = 0, е(^) = 0, £?С^0) = 0, где е = х - хм - разница в поведении объекта и эталона. Так как по условию эталонная модель асимптотически устойчива, то последние соотношения указывают, что е = 0, или х = хм .

Так как по условию коэффициенты (2) неизвестны, то их будем определять с помощью алгоритма текущей идентификации вида:

0 г =0 м + Ру 8 г, (5)

где , = 1,2,3,... - дискретные моменты времени; «крышка» над элементом означает его оценку;

0 = [а, а0, Ь]т -

вектор искомых параметров;

верхний индекс «т» соответствует транспонированию; у = [х, х, Р )]т _ вектор регрессоров, соответствующих искомым оценкам (по условию неизмерима и ее приравниваем нулю); 8, = х, - 0 т-1 у, - невязка идентификации; р -матричный (I х I) коэффициент усиления алгоритма, метод назначения которого соответствует различным типам алгоритмов текущей идентификации; I - размер вектора 0 .

Для адаптивных систем управления с изменяющимися во времени искомыми параметрами наиболее эффективным является рекуррентный метод наименьших квадратов с фактором забывания. Для этого алгоритма р вычисляется по известной процедуре [6]:

Р = Р-1 - р-уу] Р-1 [1 + ут Р-1 у,- ]-1 }/Рзаб, Р = УЕ ,(6)

где 0 << Даб < 1 - назначаемый фактор забывания прошлых измерений; у - большое положительное число; Е1 - единичная (I х I) матрица.

Одним из требований к сходимости оценок для этого алгоритма является линейная независимость регрессоров на скользящем интервале памяти алгоритма. Также известно, что этот алгоритм всегда обеспечивает с первых шагов своей работы 8 = 0 [5].

Следовательно, вместо (4) реальный закон управления, построенный на текущих оценках, доставляемых алгоритмом идентификации, будет иметь вид

АР = Ь-1 (аМ1 - а,)Х, аМ1 = -2^Щ. (7)

Определим свойства закона управления (7) и требования к точности оценок.

Во-первых, необходимо учесть, что собственная частота колебательного процесса достаточно высокая. В этих условиях для практики обычно требуется, чтобы упругие колебания затухали за несколько своих периодов. Примем, чтобы время затухания состовляло не более 2 периодов упругих колебаний. Тогда из теории автоматического управления легко определить, что результирующий относительный коэффициент затухания может находиться в пределах [0,3; 2,1].

Отсюда следует, что если принять = 1,2 , то допустимые значения неточности получаемых оценок позволяют вариацию результирующего относительного коэффициента затухания величиной ± 0,9.

Во-вторых, поскольку алгоритм идентификации обеспечивает 8 = 0 , то аналогичным свойством обладает и низкочастотная часть невязки идентификации, соответствующая хн (Хн = 0, хн = 0), т. е.

«0 Хн + ад ) н = «0 Хн + ад )н = 0 , (8)

где (К )н - низкочастотная часть общего воздействия на объект. Отсюда следует, что при (К )н ^ 0 из первой и второй части равенства (8) следует

Ь ы2

Хн

(Р ) н х„

= к

А:со

(Р ) н - а0 о

со

= к = к.

Значит у оценок а)0, стоянное свойство:

Ь при (К )н ^ 0 имеется по-

Ь/(-<Оо) = к ; Ь = ксс2 = кх2ш2 =х2Ь ;

~ 2 _ 2 (О0 = <° = X ао =

(9)

где х _ коэффициент неточности определения собственной частоты объекта, удовлетворяющий равенству со = X® .

2

В-третьих, на основании уравнения (7), с учетом (4) и комментариев к (3), можно записать

bЛF = ЪЪ

(ам1 - а:) х + (а! х-

-(ам1 -а м1 ) х

- ЪЪ -1 [bЛF *- (ам1 -а м1) х].

Это следует из того, что исходный объект соответствует слабо задемпфированному колебательному звену (; < 0,1). Поэтому если принять, что оценка а сравнима со своим истинным значением а, то |ам1 -а^ >> |а1 - а^. Полученное соотношение также можно выразить в виде

2шЛ;х - ЬЬ-1 [2шЛ^требX - 2(ш£, м - ш; м)х],

где Л^треб - требуемое, а Л; - реальное изменение относительного коэффициента затухания за счет использования управления (7). Сократив общие члены, а также учитывая, что Л; ^ - , можно полученное соотношение переписать в виде

л;-х-2[л;^ (1-х)]-х.

На основании найденных возможных вариаций результирующего относительного коэффициента затухания: Л; - ± 0,9 = 1,2 ± 0,9, из полученного соотношения несложно определить приблизительный диапазон допустимых значений коэффициента неточности оценки собственной частоты: х е [0,57; 4]. Или, на основании соотношений (9), окончательно найти ориентировочные допустимые диапазоны оценок <30, Ъ :

Ь е[0,32;1б] Ь; а0 е[0,32;1б]<

а

0 •

(10)

Причем, в силу соотношений (9), за точностью оценок можно следить либо по Ъ , либо по ао. Наиболее предпочтительно это делать по Ъ , т. к. за этой оценкой нужно следить и с точки зрения соблюдения устойчивости [5]: для устойчивости замкнутой системы управления с законом управления (7) и алгоритмом текущей идентификации (5), (6) требуется в дополнение к (10), чтобы

>

0,51 Ь

(11)

Если закон управления (7) перед подачей на объект пропускать через низкочастотный фильтр, то указанное ограничение может быть ослаблено -коэффициент в (11), оставаясь положительным, может быть меньше 0,5.

Указанные ограничения (10), (11) дают достаточно большой диапазон возможных оценок Ъ для объекта (2). Это, в свою очередь, порождает следующие замечательные свойства.

Во-первых, действие неконтролируемой силы ^, если она не более чем на порядок больше

^, приведет лишь к увеличению по модулю

оценки Ъ относительно ее истинного значения, и последняя будет удовлетворять условиям (10) и (11). Значит, ее можно не учитывать, что и было сделано.

Во-вторых, поскольку исследуемый объект исходно имеет очень низкое собственное демпфирование, его параметр а1 близок к нулю. Поэтому, в силу указанного диапазона оценок, его в точном законе (4) можно не учитывать, принять а = 0 и в алгоритме идентификации его не оценивать. Следовательно, можно исследуемый объект аппроксимировать зависимостью вместо (2)

х-а0х + ЪFу, х(^0) = х0, х^0) = х0, (12)

с необходимостью поиска лишь двух оценок - <30

и Ъ . Как показывает опыт исследований, в колебательном процессе указанные оценки достаточно точно определяются, если выполняются ограничения (10) и (11). Это объясняется тем, что в этом случае используемые регрессоры линейно независимы, в процессе участвует одна гармоника, при которой хорошо определяются 2 параметра.

Правда, при затухании колебаний процесс вырождается (регрессоры становятся линейно зависимыми), и указанные оценки могут достаточно далеко «уходить» от истинных значений (большое

значение |1 - %|). Для этого необходимо предусмотреть выключение алгоритма идентификации с «замораживанием» оценок, когда упругих колебаний нет, т. е. когда задача решена либо ее не надо решать.

И, в-третьих, ограничения (10), (11) значительно снижают требование к точности работы алгоритма текущей идентификации в плане точности получаемых оценок с оговоркой на вырожденное движение, что в целом повышает функциональную надежность системы управления.

Результаты модельных исследований при исходных параметрах объекта

На рис. 3 представлены результаты исследования системы управления для объекта (1) с параметрами, указанными выше, с законом управления (7) с а = 0, алгоритмом текущей идентификации (5), (6), где упрощенная структура объекта имеет вид (12) и вектор искомых параметров

9 = [а0, Ь]т. Измерения х, х и х зашумлены

в виде аддитивных составляющих в виде случайного центрированного гауссовского процесса со среднеквадратическим отклонением соответственно 10 2 м/с2, 10-3 м/с, 10 4 м, что соответствует датчикам среднего класса точности. Параметр эталона = 1,2, фактор забывания алгоритма иден-

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

тификации Рзаб = 0,995. Шаг дискретности алгоритма идентификации 0,01 с. Для вычисления закона управления (7) оценка Ь искусственно ограничивалась «снизу» (запрет значений около нуля) величиной 0,1, а также управление фильтровалось на апериодическом звене с постоянной времени 0,01 с. Для усложнения испытания в момент времени 0,5 с на объект подавалась сила внешней нагрузки в виде ступенчатого сигнала

Рн = ^ - 0,5) .

На рис. 3, а представлена форма заданного управления. На рис. 3, б - реакция регулируемой переменной: тонкой линией обозначено поведение исходного объекта, толстой - замкнутой системы управления. На рис. 3, в - синтезированное управление АК, на рис. 3, г и 3, д - текущие оценки параметров объекта ¡а0 и Ь .

Необходимо отметить, что по результатам предварительных исследований исходного объекта (1) путем идентификации с аппроксимирующей моделью (2) при условии Рзад = ), Рн = 0 получены оценки, которые можно считать истинными значениями параметров (2): а * 3,6 ; а0 * -3800 ; Ь * -0,97 (на начальном временном отрезке после действия ступенчатого сигнала, единицы измерения соответствующие), что дает:

ю* 61,6с-1 = 9,8 Гц; 0; к = 2,6-104 н-1м.

Из рисунка можно видеть, что на первом ступенчатом воздействии (отрезок времени t * 0)

на начальном временном отрезке оценка Ь удовлетворяет условиям (10), (11) и, как результат, управление обеспечивает быстрое гашение колебаний. На втором и третьем ступенчатом воздействии (после t * 1 с и t * 2 с) это ограничение нарушается (неточность оценивания объясняется вырожденностью движения), поэтому время затухания упругих колебаний несколько затянуто. Влияние силы внешней нагрузки практически не сказывается на гашении упругих колебаний, изменяется лишь траектория целевого движения. Предполагается, что слежение за этим низкочастотным движением будет выполнять внешний контур управления, построенный, например, на ПИД-регуляторе либо на дополнительной системе адаптивного управления.

Ликвидацию ухода оценок от истинных значений на вырожденном движении можно построить путем указанного выше выключения алгоритма идентификации.

а).

б).

в).

г).

-1500

л -1

а,, с

Г. с

д).

-о.з

\ /\ 2 1 Ь.н'мс

I с

Рис. 3. Исследование замкнутой системы управления

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Также можно предложить другое решение, исходя из ограничений (10), (11), - зафиксировать

оценку Ъ в рамках этих ограничений (по априорной информации, или на основе предварительной идентификации), а оценивать только ао. Численные исследование при таком решении показывают, что упругие колебания всегда затухают за 2 периода исходных колебаний. Для примера на рис. 4, 5 представлено поведение замкнутой системы управления в тех же самых условиях при практически предельных допустимых значениях назван-

ной оценки по (10): Ь = -0,4 и Ь = -15 .

Рис. 4. Замкнутая система управления при фиксированной оценке Ь = -0,4

екта: т = 0,1 кг,

т = 1,5 кг

(остальные пара-

метры те же самые), - что соответствует:

п = 0,024;

V = 0,067;

ц = 3с1;

Ш = 54,4 с-1 = 8,7 Гц; ш2 = 50,2 с-1 = 8 Гц.

С этими параметрами при входном ступенчатом сигнале на объект из-за значительного влияния движений элементов упругости переменная х исходного объекта значительно отличается от гармонического процесса (рис. 6). Однако использование того же самого закона управления и при тех же условиях дает хорошее качество подавления упругих колебаний (в сравнении с исходным объектом) - рис. 7.

х ю

0 0.5 1 1.5 I С

Рис. 6. Реакция объекта на ступенчатый входной сигнал при втором варианте параметров

Рис. 5. Замкнутая система управления при фиксированной оценке Ъ = -15

Исследования при втором варианте параметров объекта

При исходных параметрах объекта (1) переменная х представляет собой почти гармонический сигнал. Такое поведение объекта не всегда имеет место. Например, изменим 2 параметра объ-

Рис. 7. Замкнутая система управления при втором варианте параметров

Подобное поведение было получено и при других вариантах параметров рассматриваемой системы при ш > ш2 с тем же законом управления. Данный эффект объясняется достаточно хорошей аппроксимацией исходного процесса х в среднем моделью (12) с переменными по времени параметрами. Это также позволяет строить достаточно качественный закон управления.

Случай ш < ш 2. Исследования для этого случая при тех же условиях показали, что синтезируемое управление (7) неустойчиво (амплитуда его колебаний нарастает со временем). Причина

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

в том, что здесь пытаемся управлять более высокочастотным элементом через медленный упругий элемент, что, в соответствии с теорией автоматического управления, приводит к значительным фазовым задержкам при передаче управляющего воздействия на второй упругий элемент. Устранить этот недостаток здесь можно, например, путем фазовой коррекции сигнала АР, что в условиях априорной неопределенности налагает дополнительные трудности.

Более простым и эффективным решением для этого случая является построение управления через второй более быстродействующий упругий элемент: сигнал А^ переместить между массами т и т2. При этом система уравнений (1) будет незначительно изменена - AF перейдет из первого уравнения в правые части второго (со знаком минус) и третьего (плюс) уравнений этой системы. Исследования при таком решении показали также высокое качество гашения упругих колебаний, близкое рассмотренному выше.

Заключение

Представленные результаты показали достаточно высокую эффективность активной системы гашения упругих колебаний в трехмассовом упругом исполнительном механизме, построенной на основе адаптивного управления с указанным принципом функционирования.

Необходимо отметить, что качество управления можно повысить путем использования априорной информации об объекте, применения более точных датчиков, уменьшения временного шага алгоритма идентификации и др. Также в ка-

честве вывода можно рекомендовать строить активную систему гашения упругих колебаний с подачей управляющего воздействия через более быстродействующий упругий элемент.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С.В. и др. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. 523 с.

2. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.

3. Кузнецов Н. К., Перелыгина А.Ю. Динамическое гашение колебаний упругой трехмассовой системы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. №3. С. 1419.

4. Кузнецов Н.К. Активное гашение упругих колебаний исполнительных механизмов мехатрон-ных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. Спецвып. С.101-110.

5. Круглов С.П. Условия адаптируемости систем управления с идентификатором и эталоном // LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbucken, Deutschland, 2012. 125 c.

6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя : пер. с англ. / под ред. Я.З. Цып-кина. М. : Наука, 1991. 432 с.

УДК 62-501.12 Огородников Юрий Иннокентьевич,

к. т. н, ИДСТУ СО РАН, тел. 89834011463, e-mail: ogor23@yandex.ru

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Yu. I. Ogorodnikov

SOLUTION OF EQUATION IN THE SECOND ORDER VARIATIONS FOR NON-LINEAR CONTROLLABLE SYSTEMS

Аннотация. Для исходных уравнений движения управляемого объекта в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши получены уравнение в вариациях второго порядка и решение этого уравнения. Уравнение в вариациях определяет связь между вариацией вектора состояния управляемой системы и вариацией вектора управления, когда малое возмущение управления в управляемой системе приводит к соответствующему малому возмущению фазовой траектории. Широко известны уравнение в вариациях первого порядка, представляющее собой систему линейных дифференциальных уравнений, и аналитическое решение этого уравнения. Уравнение в вариациях второго порядка записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых неизвестно. При выводе уравнения в вариациях второго порядка для упрощения записи используется скалярное произведение векторов. В статье используется подход, при котором решение нелинейного уравнения в вариациях второго порядка осуществляется методом итераций. Вариации вектора состояния и вектора управления являются малыми величинами. Это обстоятельство позволяет найти решение нелинейного уравнения в вариациях второго порядка в две итерации: решение линейного уравнения