CC BY
23УДК 621.391.26
В. А. Богданович
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
"ЛЭТИ" А. Г. Вострецов
Новосибирский государственный технический университет
Адаптивное обнаружение и оценивание широкополосных сигналов на фоне шума
и мешающих сигналов с неизвестными
1
характеристиками1
На основе принципов инвариантности и асимптотической оптимальности разработан адаптивный асимптотически робастный инвариантный алгоритм обнаружения и оценивания сигналов, обладающий устойчивыми характеристиками обнаружения в условиях значительной априорной неопределенности аддитивных флуктуационных помех и мешающих сигналов. Приведены характеристики алгоритма. Показано, что в условиях априорной определенности он несущественно уступает по эффективности алгоритмам, оптимальным для этих условий.
Адаптивное обнаружение, адаптивное оценивание, помехи, шумы, широкополосный сигнал, априорная неопределенность
В современных радиотехнических системах помеховая обстановка определяется в основном внешними помехами - отражениями от подстилающей поверхности в локационных системах, внутрисистемными помехами в системах связи, мешающими отражениями от местных предметов, умышленными помехами, помехами промышленного происхождения, общими и селективными замираниями сигналов в многолучевых каналах передачи.
По форме представления и, соответственно, по методам борьбы аддитивные внешние помехи разделены на две группы: флуктуационные помехи (шумы) и мешающие сигналы. Шумы представлены случайными процессами с априорно неопределенными вероятностными характеристиками. Для мешающих сигналов принято представление в форме квазидетерминированных сигналов с априорно неопределенными параметрами, причем без задания для этих параметров каких-либо распределений вероятностей.
Известные методы борьбы с внешними помехами ориентированы на радиотехнические системы, в которых применяются широкополосные сигналы (ШПС) с большой базой N. При разработке соответствующих алгоритмов использована теория асимптотически робастных инвариантных (АРИ) алгоритмов совместного обнаружения и оценивания сигналов [1], [2].
Целью настоящей статьи является описание построения адаптивных АРИ-алгорит-мов совместного обнаружения и оценивания сигналов с устойчивыми показателями качества в условиях априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки.
1 Исследования выполнены при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00361-а) и фонда "Научный потенциал". © Богданович В. А., Вострецов А. Г., 2006 15
Модели сигнально-помеховой обстановки. В качестве наблюдаемых данных принята выборка х = (х1, ..., хм) из отсчетов комплексной огибающей процесса на выходе линейного тракта приемника. При построении алгоритмов на основе асимптотического подхода считается, что размер N наблюдаемой выборки, равный базе сигнала, неограниченно возрастает.
Наблюдаемая выборка представлена вектором х = (х/у/2N) 8 (0) + ц + \, где (хЦш) 8 (0 ) - полезный сигнал с априорно неопределенным энергетическим параметром Хе (0,да) и подлежащим измерению векторным параметром 0 е0 (0 - множество ожидаемых значений измеряемого параметра сигнала); п - выборка из шума; £ - выборка из мешающего сигнала.
Модель полезного сигнала. Достаточно общей моделью сигнального вектора 8 (0)
^ ( ) ( )
является взвешенная сумма фиксированных векторов: 8(0) = ^ ©т8 т , где 8 - за-
т=1
данный базис представления сигнального вектора (т = 1,Ь8); 0 = (01, ..., 0^ ); 0т - скалярные сигнальные параметры. Приведенная модель применяется для представления сигналов на выходе многолучевых каналов передачи с общими и с селективными замираниями, а также сигналов в многоканальных системах.
Имея в виду применение к векторам 8(т) в случае необходимости процедуры орто-гонализации Грамма-Шмидта, базис 8(т), т = 1, Ь8 , считаем ортонормированным с нормами ) 8( тЧ = 1 Ут = 1, Ь8 , где ||-| - норма комплексного вектора. Полагаем также норму ||б|| = 1 V© е0 .
2
При данных предположениях энергия полезного сигнала ( X/ ^/2N ) 8 (0 ) = X конечна независимо от размера наблюдаемой выборки, что исключает сингулярность при обнаружении сигнала.
Модель шума. Выборка из шума представлена стационарной (в пределах интервала наблюдения) случайной последовательностью п = (П1, •••, ^). Компоненты данной последовательности считаем статистически независимыми. Квадратурные составляющие Яе пп и 1т пп этих компонентов также полагаем независимыми между собой в совпадающие моменты времени и имеющими одинаковые плотности распределения вероятностей (ПРВ) при всех п = 1, N.
В отношении внешнего шума отсутствуют веские основания для точного определения его распределения вероятностей. В связи с этим принята концепция априорной неопределенности распределения шума. Согласно данной концепции ПРВ квадратурных составляющих шума может принимать произвольное априорно неизвестное значение в пределах некоторого широкого множества распределений.
Для выражения априорной неопределенности распределений шума предложены различные модели [1], [2]. Из этих моделей наибольший интерес для построения адаптивных АРИ-алгоритмов представляет модель приближенно финитных распределений (в литературе применяют также другое название: ^-точечная модель). Такая модель характеризуется множеством одномерных ПРВ вида
Рц = р (0 = (1/а) и (1/а); и е ; ае (0,«), (1)
- класс ПРВ с нуле-
1
где а - произвольный параметр масштаба; Wq =
и: | и ) & = q -1
вым средним, единичным параметром масштаба и конечной информацией Фишера о сдвиге I (и); q е (0,1) - параметр модели.
да
В случае I (и) справедливо выражение I (и) = | ^)и (^)—, где ^) =
—да
= -—[1п и (I)] - логарифмическая производная ПРВ [1]. Ж
Выбор модели (1) обусловлен следующими соображениями.
• Данной модели принадлежит практически любая плотность р 0) с параметром а,
1
удовлетворяющим уравнению | ар (аt) = q, и плотностью и 0) = ар (а1) .
-1
• В классе Wq известна ПРВ с минимальной информацией Фишера, логарифмическая
производная которой играет ключевую роль при построении АРИ-алгоритмов (эта производная выполняет функцию безынерционного преобразования наблюдаемых данных).
• Параметр q может быть использован для адаптации АРИ-алгоритма под фактическое распределение шума.
Минимальную информацию Фишера в классе Wq имеет ПРВ
w0
№
cos2 (At/2), |t| < 1; cos2 (A/2) ' (2)
C exp [-B (It|) -1], tl > 1. Логарифмическая производная плотности (2) выражается в форме
vw (t|q)4 Atg (12)f[-y]; (3)
о ^ ^
В (2) и (3) параметры A, B и С зависят от величины q и вычисляются из уравнений
1
J w0 (t|q) dt = q, A tg (A/2) = B и C = cos2 (A/2)/[1 + (2/B)] . -1
Модель мешающих сигналов. Достаточно общей моделью мешающих сигналов, например отражений от местных предметов и узкополосных помех с различными частотами,
является взвешенная сумма линейно независимых сигналов. Выборка из комплексной
Lp
огибающей такого сигнала имеет вид ^ = ^ а к8р(к^, где 8р(к^ - известные линейно не-
'P
к=1
зависимые векторы; а к - весовые коэффициенты с априорно неопределенными значе-
(к)
ниями. Применив к базису 8р , к = 1, Ьр , процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта,
запишем вектор £ в более удобной для последующих вычислений форме:
Ьр Р (к)
I ( V ) = X Vk " , (4)
к=1
где v = (vi, ..., vlp ) - априорно неопределенный векторный параметр мешающего сиг-
i к)
нала; е , к = 1, Lp . представляет собой ортонормированный базис с нормами
(il^lN) e
(к)
= 1 Ук = 1, LP .
АРИ-Алгоритм обнаружения и оценивания сигналов при фиксированном параметре q. Выбор АРИ-алгоритмов, соответствующих модели (1), обусловлен тем, что данные алгоритмы:
• обеспечивают режекцию мешающих сигналов с высокой степенью подавления;
• имеют устойчивые характеристики обнаружения сигналов в условиях априорной неопределенности распределения шума;
• допускают оптимизацию модели (1) по параметру q.
АРИ-Алгоритмы предназначены для применения в условиях как параметрической, так и непараметрической априорных неопределенностей. В рассматриваемом случае параметрическая неопределенность проявляется в неопределенности значений параметра а модели (1) и параметров Ук модели (4), а непараметрическая неопределенность - в неизвестности формы распределения шума в пределах класса Wq модели (1). Параметры Ук
называются далее параметрами сдвига в связи с тем, что мешающие сигналы сдвигают распределение наблюдаемой выборки.
В теории АРИ-алгоритмов для преодоления параметрической априорной неопределенности применяется принцип инвариантности, а для преодоления непараметрической априорной неопределенности - принцип минимакса (гарантированного результата) [2].
Принцип инвариантности предполагает наличие некоторой группы преобразований наблюдаемой выборки, с помощью которой может быть представлено изменение неопределенных параметров задачи обнаружения. В рассматриваемой задаче таковой является группа преобразований масштаба и сдвига:
G = jg: х ^ g х = цо + ]Г ^ке(к); Цо е (0, да); |цк| е (0, ; arg Цк е (п]; к =1, lp\ .
Согласно принципу инвариантности выделяется класс F инвариантных алгоритмов ф, удовлетворяющих тождеству ф (g x) = ф (x) V g е G . Благодаря этому обеспечивается устойчивость показателей качества алгоритмов к изменению априорно неопределенных параметров.
Качество алгоритмов оценивается условными потерями от пропуска сигнала и ошибочного оценивания его параметра при фиксированном уровне вероятности ложной тревоги. Условные потери вычисляются усреднением по распределению наблюдаемой выборки суммарных потерь п (0) и п 2 (0, 0) от пропуска сигнала с параметром 0 и от неверной оценки 0 этого параметра соответственно.
Оптимальность алгоритма установлена в [2] при функциях потерь вида я^ (0) = п (0);
^2 (0,0) = п (0)[l - р (| 0 - о||)], где ж(•) - любая ограниченная положительная функция; р (•) - произвольная неотрицательная и монотонно убывающая на интервале [0, А ] функция, удовлетворяющая условиям р (0) = 1; р (t) = 0 Vt > А (А - граница, выше которой неверное оценивание параметра 0 приравнивается к пропуску сигнала).
В соответствии с асимптотическим подходом и принципом минимакса в классе F отыскивается асимптотически оптимальный по минимаксному критерию алгоритм - АРИ-ал-горитм, у которого максимальные на множестве Wq условные асимптотические потери минимальны при любых значениях параметров X и 0 среди всех алгоритмов данного класса. Тем самым достигается наиболее высокое гарантированное качество обнаружения и оценивания сигналов в условиях непараметрической априорной неопределенности шума.
В случае неопределенных параметров масштаба и сдвига инвариантность АРИ-ал-горитма обеспечивается за счет применения проекционных оценок параметров сдвига и квантильной оценки параметра масштаба.
Проекционные оценки параметров сдвига имеют вид
vk (x) = (1/2N)( x, e(k)); k = YJP, (5)
где (•, •) - скалярное произведение комплексных векторов; e(k^ - базисные векторы модели (4). Квантильная оценка параметра масштаба выражается в форме
а(x|q) = 0.5{oi(r) [Z(x)] + r) [Z(x)]}, (6)
Lp - (k)
где Z(x) = x - ^ -vк(x) e - векторная статистика; Gi(r) [Z (x)] - r-я порядковая стати-
k=1
стика вектора ReZi(x)|, ..., |ReZn (x)|); <^2(r) [Z(x)] - r-я порядковая статистика вектора (|lmZi(x)|, ..., |lmZn (x)|). Порядок r зависит от параметра модели (1) и определяется
равенством r = int (qN) +1 (где int (•) - целая часть числа).
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что оценки (5) и (6) удовлетворяют соотношениям Vk (g x) = ^0vk(x) + Цk; k = 1, N; a (g x) = ^0*(x) при любом преобразовании g e G, т. е. являются эквивариантными относительно приведенной выше группы G.
АРИ-Алгоритм совместного обнаружения и оценивания сигналов включает в себя алгоритм оценивания сигнального параметра 0е0 и алгоритм принятия решения о наличии сигнала в наблюдаемой выборке.
Асимптотический алгоритм оценивания сигнального параметра представляет собой бесконечную последовательность оценок
' ' ^ (7)
0ы ( х ^ ) = а^ тах Гн ( 0, х I q), 4 7 ее©
где статистика
Ты (в,х|q) = | 8(т),Гq [ж(х)])}.
(8)
В формуле (8) ¥q (ж) = 1 (ж ^), ..., ¥ы (ж ^)^ - векторная статистика, имеющая
(9)
комплексные компоненты:
^п(ж^) = Ую0 ()+'Vю0 (1тгп^); п =1ы; ' = >/-1 (Ую ('^) - логарифмическая производная (3)); ж = (¿1, ..., ¿ы) - вектор;
х - X ^ к ( х) е
ж ( х ) =
(к)
а (х ^ )
(10)
- статистика.
Асимптотический алгоритм принятия решения о наличии сигнала выражается в форме бесконечной последовательности ф = фы; N ^ да алгоритмов вида
Фы (х1 q) =
1, тахТы [0, х^]> С (^в )/>/2ы ^ [ж (х)]
Эе©
0, тахТы [0, х|q] < С(^в)Д/2ы ^ [ж (х)]
Эе©
(11)
где С () - фиксированный множитель, с помощью которого устанавливается заданный уровень Ев асимптотической вероятности ложной тревоги.
Оценка (7) зависит, в частности от множества 0 . В тех случаях, когда множество 0 = {0 : ||б|| = 1}, компоненты оценки (7) принимают форму
У т} , Рq [ж ( х)])
(х1 q) =
г; т = 1,ЬБ .
£ ^(), *q [ж (х)])
]=1
Инвариантность алгоритмов (7) и (11) относительно группы G следует из инвариантности относительно этой группы статистики (10), которая, в свою очередь, следует из эквивариантности оценок (5) и (6) также относительно группы G. В этом нетрудно убе-
1Р Р /1 )
диться, заменив выборку х на преобразованную выборку g х = р,0х + X Цке и выполнив
к=1
в (10) очевидные преобразования.
Для асимптотической оптимальности АРИ-алгоритма по минимаксному критерию требуется -состоятельность совместных оценок параметров масштаба и сдвига (оценка у параметра у является таковой, если величина |у - у|| ограничена по вероятности). Совместные оценки (5) и (6) удовлетворяют этому требованию из [2].
Асимптотическая оптимальность приведенного АРИ-алгоритма обеспечивается в классе алгоритмов с произвольной функцией безынерционного преобразования наблюдаемых данных [2]. Алгоритмы этого класса выражаются в форме алгоритмов (7) и (11), но при замене в выражении (9) логарифмической производной у^ на произвольную
функцию f, удовлетворяющую типовым требованиям регулярности.
По методу построения рассмотренный АРИ-алгоритм обладает следующими важными свойствами.
1. Имеет равномерно минимальную относительно параметров X и 0 верхнюю границу для условных асимптотических потерь при любой ПРВ шума. Тем самым верхняя граница для средних асимптотических потерь минимальна при любом априорном распределении параметров X и 0.
2. Условные асимптотические потери инвариантны относительно параметров сдвига. Функционально они зависят от плотности w и), сигнального параметра 0 и отношения ю = Х/а, где плотность w (t) = op (at); X - энергетический параметр сигнала; а - параметр масштаба, при котором плотность w (t) принадлежит классу Wq модели (1); p (t) -
фактическая ПРВ шума.
3. Асимптотическая вероятность ложной тревоги имеет заданный уровень ^ независимо от формы ПРВ шума и значений априорно неопределенных параметров масштаба и сдвига.
Согласно свойствам 2 и 3 обеспечивается режекция мешающих сигналов, представленных моделью (4). Если модель (4) точно представляет эти сигналы, то достигается полное их подавление. В противном случае имеет место частичное подавление. Однако степень подавления может быть достаточно высока (порядка 80...100 дБ) при соответствующем выборе базисных векторов модели (4).
Верхняя граница для средних асимптотических потерь достигается при известной плотности распределения с минимальной информацией Фишера. Поэтому она является функцией единственного параметра ю = Х/а и может быть вычислена заранее на этапе разработки алгоритма.
В соответствии с принципом гарантированного качества обнаружения параметр ю является своего рода отношением "сигнал/шум" в условиях непараметрической априорной неопределенности шума. Пороговое значение этого отношения вычисляется по верхней границе для средних асимптотических потерь и может быть использовано в качестве показателя эффективности алгоритма.
Построение адаптивного АРИ-алгоритма обнаружения и оценивания сигналов. Рассмотрим сначала вопрос об оптимизации АРИ-алгоритма по параметру q модели (1)
при произвольной, но известной плотности p (t) распределения шума.
Согласно выражениям (8) и (11) асимптотические потери определяются предельным по размеру выборки распределением векторной статистики У(х)= 71 (х), ..., (х^ с компонентами
( ) ^т), Фд [* (х)]} _ (х); т=1, ^ (12)
С применением центральной предельной теоремы и закона больших чисел можно установить, что в пределе величины (12) не коррелированны между собой и имеют -мерное распределение Гаусса с единичной дисперсией и средними значениями
ат (д) = {Ха (дУ[ст (д)у (д)]} вт; т = 1 Ь8 ,
где а (д) = Е (*|д) };а(д) - параметр масштаба, при котором плотность
и>д (г) = а(д)р[а(д)г] принадлежит множеству Жд модели (1); у(д) = ^Е{у^ (*|д)| Е
} - оператор усреднения по распределению с плотностью ; у^ (*|д) - логарифмическая производная (3); (*|д) - производная по аргументу г от данной логарифмической производной.
В соответствии с предельным распределением величин (12) асимптотические потери убывают с ростом отношения:
й(д) = {а (д)/а(д)у (д)}. (13)
Поэтому для заданной ПРВ шума оптимальное значение параметра д может быть найдено максимизацией отношения (13) по этому параметру:
дср1 = агБтах ё (д) . (14)
д
Пользу от применения алгоритма оптимизации (14) оценим выигрышем В = 201о§ й (д0р1 (д0) , где д0 - некоторое фиксированное значение параметра д.
Выигрыш В вычислим для часто применяемых в случае негауссовских шумов обобщенных распределений Гаусса [3]:
.1 пР"
а (Р) = 2К (р)г (V в) еХР ^
; Ре (0.5;да), (15)
_К (в)_
где в - параметр, определяющий форму распределения (15): при в = 2 оно совпадает с классическим распределением Гаусса, при в = 1 - с двухсторонним распределением Лапласа, при Р^-да стремится к равномерному распределению; К(р) = Г(1/Р)/Г(3/р); Г(•) - гамма-функция. При уменьшении в возрастает тяжесть хвостов распределения. Дисперсия распределений (15) равна 1 при всех значениях в . Информация Фишера конечна в случае Р > 0.5.
Вычисленные при до = 0.9 значения выигрыша В приведены в табл. 1. Выбранное значение д0 оптимально для гауссовского шума. Согласно табл. 1 выигрыш В возрастает 22
Таблица 1
ß B, дБ ß B, дБ ß B, дБ
0.6 5.9 1.0 2.08 1.6 0.06
0.7 4.6 1.1 1.52 2.0 0
0.8 3.6 1.2 1.03 - —
0.9 2.78 1.4 0.35 — —
Таблица 2
ß D, дБ ß D, дБ ß D, дБ
0.6 7.74 1.0 2.57 1.6 0.06
0.7 5.92 1.1 1.86 2.0 —0.13
0.8 4.54 1.2 1.27 — —
0.9 3.47 1.4 0.45 — —
в области в < 2 при уменьшении параметра в, причем для значений в < 2 он имеет заметную величину. Аналогичные расчеты в области в > 2 также свидетельствуют об увеличении выигрыша, но уже с ростом параметра в, однако выигрыш не столь значителен: при в = 10 он достигает 1.5 дБ.
Приведенные результаты, а также аналогичные результаты, полученные при других распределениях шума, подтверждают положительный эффект от подстройки АРИ-алго-ритма по параметру q.
Для окончательного обоснования целесообразности разработки соответствующего адаптивного алгоритма сравним оптимизированный по параметру q АРИ-алгоритм с традиционно применяемым на практике алгоритмом, оптимальным для гауссовского шума. Для этого вычислим энергетический выигрыш Б = 20^ ^ (q0pt ^ ^ при замене последнего алгоритма на оптимизированный АРИ-алгоритм.
У оптимального для гауссовского шума алгоритма функция преобразования наблюдаемых данных f 0) = t. С учетом этого можно установить, что отношение типа (13) для
такого алгоритма имеет вид d1 = l/V52 , где 5 2 - дисперсия шума. Отсюда, принимая во внимание (13), получим для выигрыша D выражение в форме
D = 20 log {5а (q0pt)/[a (q0pt) у (q0pt)]}. (16)
Рассчитанные по формуле (16) значения выигрыша D для распределений (15) приведены в табл. 2.
Из табл. 2 следует, что оптимизированный АРИ-алгоритм заметно превосходит по эффективности оптимальный для гауссовского шума алгоритм в случае распределений с тяжелыми хвостами (при ß < 1.2) и практически не уступает ему при гауссовском шуме. Тем самым имеет смысл построение на основе модели (1) адаптивного по параметру q АРИ-алгоритма.
При построении адаптивного АРИ-алгоритма будем использовать как специально образованную обучающую выборку q, так и выборку x, по которой производятся обнаружение и оценивание сигнала. Оптимальное значение параметра q0pt вычислим с помощью целевой функции Z (q |y ) по алгоритму q0pt (y ) = arg max Z (q |y ) .
q
Максимальный эффект от адаптации достигается, когда в качестве целевой функции используется состоятельная оценка величины (13), так как при максимизации данной величины минимизируются потери от пропуска и неверного оценивания сигнала. Однако для этого требуются большие вычислительные затраты, связанные с необходимостью в оценке величин а (q) и у (q). Вот почему предлагается минимизировать не сами потери, а их
верхнюю границу. Эта граница определяется отношением ^I (д)/а (д), где I (д) - минимальная информация Фишера в классе Жд . Основанием для такого предложения служит то, что при многих распределениях фактические потери мало отличаются от верхней границы.
Отношению ф (д)/а (д) соответствует целевая функция
^ (д | у) = (д | у). (17)
Обучающую выборку у = х(к^; к = 1, Ь образуем из последовательности выборок, сформированных на ¿ соседних интервалах наблюдения. Для параметра масштаба применим сглаженную оценку
Ь
6 (д| у)=-Ь £ 6 Ь к=1
д
х( к >
(18)
где а
д
х( к >
д! (У)
- квантильные оценки (6).
В процедуру адаптации алгоритма включим формирование оценок (18) на заданном дискретном множестве Q = дj; у е J значений параметра модели (1), вычисление параметра ду(у) е Q, при котором целевая функция (17) достигает максимального значения на множестве Q, а также представление логарифмической производной (3) в виде
V (г |у) = У >
Адаптивный АРИ-алгоритм определяется выражениями (7)-(11), в которых в роли функции безынерционного преобразования наблюдаемых данных выступает найденная
логарифмическая производная у (г |у), а в роли наблюдаемых данных - компоненты выборки х = х( Ь Ь.
Построенный адаптивный алгоритм был исследован в отсутствие мешающих сигналов моделированием на ЭВМ при следующих условиях: база сигнала N = 128, энергетический параметр X = 5, число интервалов наблюдения Ь = 10, ПРВ шума р (г) = (1 -е ) wG (г, р1) +
+ (в/5)wG(г/5,Р2)с параметрами р1 = 2; Р2 = 1; 5 = 10; е = 0; 0.1...0.5, где wG - плотность распределения (15). ПРВ такого типа часто используют для представления суммы гауссовского шума и хаотически импульсной помехи (ХИП) с двухсторонним распределением Лапласа. Параметр в определяет вероятность появления импульсов ХИП в компонентах наблюдаемой выборки.
В процессе моделирования алгоритма вычислялись оптимальные значения парамет-
ра д на множестве Q = ду = 0.25 + 0.05у; у = 0,13 и оценивалась вероятность Р$ пропуска
сигнала с неизвестной начальной фазой по 104 независимым испытаниям при вероятности ложной тревоги ^ = 0.01. Результаты моделирования приведены в табл. 3. Там же даны значения вероятности Р$, вычисленные для алгоритма с фиксированным значением
Таблица 3
Алгоритм Параметр 8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Адаптивный PS , % 0.47 3.6 9.4 19.5 33 49
Неадаптивный PS , % 0.45 5.5 38 79 90 93
Оптимизированный по параметру q PS , % 0.44 2.8 8.2 17.5 30 45
qopt 0.90 0.7 0.55 0.4 0.35 0.25
параметра q = 0.9, и для оптимизированного по параметру q алгоритма, а также приведены оптимальные значения этого параметра.
Для сравнения в табл. 4 даны оценки вероятности Ps у алгоритма, оптимального
при гауссовском шуме. Приведенные в табл. 3 и 4 результаты свидетельствуют о целесообразности применения адаптивного АРИ-алгоритма.
Моделированием получена также зависимость вероятности пропуска от базы N обнаруживаемого сигнала. Результаты этого исследования, выполненные при значениях в = 0.2; 5 = 10; Х = 5 и L = 10, даны в табл. 5. Согласно этим данным асимптотические характеристики адаптивного АРИ-алгоритма практически достигаются при базе сигнала N = 100...150.
Таблица 5 Таблица 6
Таблица 4
£ PS , % £ PS , % £ Ps , %
0 0.4 0.05 46 0.2 86
0.02 21 0.1 71 - -
N PS , % N PS , % N PS , %
16 40 128 9.4 224 9.0
32 19 160 9.2 256 8.9
64 12 192 9.1 - -
L PS , % L PS , % L PS , %
1 10.5 4 9.8 8 9.6
2 10.0 6 9.7 10 9.4
Результаты исследования эффективности адаптивного алгоритма от размера обучающей выборки приведены в табл. 6 (исследование выполнено при N = 128; s = 0,2; 5 = 10; X = 5). Из нее следует, что для адаптации алгоритма можно ограничиться небольшим размером обучающей выборки - порядка 200...300. Боле того, ценой незначительного снижения эффективности обнаружения адаптировать алгоритм можно по той же выборке, по которой производится обнаружение сигнала (этому случаю соответствует значение L = 1).
Отметим, что при большой базе N мощность сигнала меньше мощности шума. Поэтому наличие сигнала практически не отражается ни на точности оценки параметра масштаба, ни на эффективности адаптации алгоритма. При необходимости сигнал можно от-режектировать при вычислении оценки параметра масштаба и целевой функции (17), включив его в состав мешающих сигналов.
Результаты проведенного исследования показывают, что разработанный адаптивный АРИ-алгоритм обладает устойчивыми характеристиками обнаружения в условиях значительной априорной неопределенности аддитивных помех - флуктуационных помех и мешающих сигналов. В условиях априорной определенности этих помех он несущественно уступает по эффективности оптимальным для этих условий алгоритмам.
Библиографический список
1. Хьюбер Дж. Робастность в статистике / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 304 с.
2. Богданович В. А., Вострецов А. Г. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 320 с.
3. Kassam S. A. Signal detection in non-Gaussian noise. New York: Springer-Verlag, 1988. 226 с.
V. A. Bogdanovich
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" A. G. Vostretsov
Novosibirsk state technical university
Adaptive detection and estimation of wide-band signals against a background of noise and interference with unknown characteristics
Adaptive asymptotically robust algorithm of detection and estimation of signals based on statistical principles of invariance and asymptotic optimum was developed. This algorithm has stable detection characteristics in conditions of a prior uncertainty of additive fluctuation noise and interference. It is shown that it is highly competitive with optimal algorithms synthesized for known signal, nose and interference parameters in condition of their prior uncertainty.
Adaptive detection, adaptive estimation, interference, noise, wide-band signals, a prior uncertainty
Статья поступила в редакцию 2 июня 2006 г.
УДК 621.391.15
В. Е. Гантмахер, В. А. Едемский
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и с двухуровневой взаимной корреляцией
Найдены необходимые и достаточные условия, при которых пара двоичных последовательностей простого периода, сформированная на основе классов вычетов по модулю р = dR + 1 для d = 3,4,6, имеет одноуровневую или двухуровневую взаимную корреляцию. Для двоичных последовательностей с указанными видами взаимной корреляции определена автокорреляция.
Двоичные последовательности, взаимная корреляция, циклотомические числа
Периодическая взаимно корреляционная функция (ПВКФ) является одной из важных характеристик семейства двоичных последовательностей (ДП). В [1] найдены теоретические оценки ПВКФ для ряда последовательностей, а в [2] предложены правила построения ансамблей ДП с малой взаимной корреляцией.
Цель настоящей работы заключается в поиске необходимых и достаточных условий, при которых пара ДП простого периода, сформированная на основе классов вычетов по модулю р , имеет одноуровневую или двухуровневую ПВКФ, а также в определении пе-
26
© Гантмахер В. Е., Едемский В. А., 2006
