CC BY
171
DOI: 10.21122/1029-7448-2016-59-4-301-312 УДК 681.518
Адаптивная математическая модель тепловых процессов косинусного силового конденсатора
Д. И. Зализный1*, О. Г. Широков1*, Г. О. Широков1*, А. А. Капанский1*
'-Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого (Гомель, Республика Беларусь)
© Белорусский национальный технический университет, 2016 Belarusian National Technical University, 2016
Реферат. Существующие системы защиты и диагностики не способны выявлять анормальный нагрев силовых конденсаторов, обусловленный развитием их внутренних неисправностей. Предлагается методика, позволяющая на ранней стадии обнаружить такой нагрев. Данная методика состоит из алгоритмов, аппаратной части в виде микропроцессорного прибора и основана на непрерывном измерении температуры поверхности корпуса конденсатора, температуры внешней окружающей среды, напряжений и токов со стороны источника питания. На основе измеренных величин выполнен расчет потерь активной мощности в конденсаторе и температуры наиболее нагретой точки его диэлектрика. После этого осуществлен анализ среднесуточных значений расчетной температуры и при обнаружении тенденции непрерывного роста этих значений сформированы диагностические сигналы уровней опасности анормального нагрева: низкий, средний, высокий и очень высокий. Приведенные алгоритмы разработаны эвристически. Окончательное их формирование возможно только после многолетней эксплуатации предлагаемой системы диагностирования на реальных объектах. Внедрение разработанной системы снизит вероятность внезапного отказа конденсаторных установок и соответственно повысит надежность системы электроснабжения предприятия.
Ключевые слова: силовой конденсатор, диагностика, анормальный нагрев, система диагностирования
Для цитирования: Адаптивная математическая модель тепловых процессов косинусного силового конденсатора / Д. И. Зализный [и др.] // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2016. Т. 59, № 4. C. 301-312
Adaptive Mathematical Model of Thermal Processes in a Cosine Power Capacitor
D. I. Zalizny1*, O. G. Shirokov1*, G. O. Shirokov1*, A. A. Kapanskiy1*
1-P. O. Sukhoi Gomel State Technical University (Gomel, Republic of Belarus)
Abstract. The existing protection and diagnostics systems are unable to detect the power capacitor abnormal heating caused by the development of its malfunctions. A diagnosis technique is presented that provides discovering such a heating at its early manifestation. The technique
Адрес для переписки Address for correspondence
Зализный Дмитрий Иванович Zalizny Dmitry I.
Гомельский государственный технический P. O. Sukhoi Gomel State Technical
университет имени П. О. Сухого University
просп. Октября, 48, корп. 2, 48/2 October Ave.,
246746, г. Гомель, Республика Беларусь 246746, Gomel, Republic of Belarus
Тел.: +375 232 40-57-64 Tel.: +375 232 40-57-64
kaf__power@gstu.by kaf__power@gstu.by
includes algorithms and an apparatus component in a form of a digital device, and it is based on continuous measuring of a capacitor body surface temperature, ambient temperature, voltages and currents from the power source. On the basis of measured values the active power losses in the capacitor and the temperature of the hottest point of its dielectric were calculated. Thereafter, the calculated average daily values of the temperature was analyzed, and, should the tendency of permanent increase of these values is detected, the diagnosis alarms of danger levels of abnormal heating are formed, viz. a low level, an average level, a high level and a very high level. The presented algorithms have been developed heuristically. Their final formation is possible only after years of operation of the proposed diagnosis system applied to the real objects. Because of application of the diagnosis system the probability of capacitor units' failure will be lower and thus the dependability of the power supply may be higher. The implementation of the developed system will reduce the probability of sudden failure of capacitor units, and, correspondingly, will increase the reliability of the electricity supply system of an enterprise.
Keywords: power capacitor, diagnostics, abnormal heating, diagnostic system
For citation: Zalizny D. I., Shirokov O. G., Shirokov G. O., A. A. Kapanskiy (2016) Adaptive Mathematical Model of Thermal Processes in a Cosine Power Capacitor. Energetika. Proa CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc. 59 (3), 301-312 (in Russian)
Введение
В электроэнергетике силовые конденсаторы имеют различные области применения. Так называемые косинусные конденсаторы предназначены для компенсации реактивной мощности в электрических сетях. В качестве диэлектрика в них применяют конденсаторную бумагу или полипропиленовые пленки, а также различные пропитывающие жидкости.
Косинусные конденсаторы состоят из плоскопрессованных секций, соединенных последовательно или параллельно и обеспечивающих суммарную емкость в десятки и сотни микрофарад. Учитывая, что их рабочее напряжение составляет 220 В и более, а рабочие токи более 10 А, в них имеются потери активной мощности, достаточные для того, чтобы температура наиболее нагретой точки диэлектрика приблизилась к максимально допустимому значению. Если же из-за процессов старения и увлажнения диэлектрика возрастет тангенс угла диэлектрических потерь или увеличатся сопротивления контактов между секциями, значения этой температуры будут еще выше. Кроме того, дополнительный нагрев конденсатора может быть обусловлен наличием высших гармонических составляющих в протекающих через него токах. Все эти факторы свидетельствуют о том, что непрерывный контроль тепловых процессов косинусного силового конденсатора - важная и актуальная задача.
В подавляющем большинстве косинусных конденсаторов отсутствуют конструктивные элементы для установки датчиков температуры, поэтому получить значения температуры наиболее нагретой точки их диэлектрика можно только расчетным путем. Тепловой расчет силовых конденсаторов -это стандартный этап при их проектировании. Так, в [1, с. 204-233] подробно рассматривается двухмерная математическая модель стационарных тепловых процессов, для которой должны быть известны все геометрические параметры внутренних элементов конденсатора. Очевидно, что данная модель не может быть использована в реальных условиях эксплуата-
ции, когда тепловые процессы в конденсаторе являются нестационарными. Такие же соображения справедливы и по отношению к стационарным моделям, основанным на методе конечных элементов [2].
В литературе рассматриваются математические модели нестационарных тепловых процессов в электролитических конденсаторах, применяющихся в силовой электронике [3], а также в электрохимических конденсаторах [4-7]. Нестационарные модели косинусных силовых конденсаторов в публикациях практически отсутствуют или описаны очень кратко. Так, в упрощенной модели, приведенной в [1, с. 234], явно отсутствует температура окружающей среды, что не позволяет применить эту модель для расчетов в реальном времени.
В данной статье предлагается математическая модель, позволяющая рассчитывать тепловые процессы в косинусном силовом конденсаторе (далее - конденсаторе) в режиме реального времени и не требующая подробных сведений о его внутренней конструкции. Модель основана на методе малого количества тепловых однородных тел, тепловых схемах замещения [8, 9] и обладает адаптивными свойствами.
Исходная математическая модель
В большинстве конденсаторов внутренние секции плотно упакованы и состоят из равномерно распределенных диэлектрика и алюминиевой фольги [1], поэтому рассмотрим их как единое тепловое однородное тело. Поскольку существуют две основные конструкции конденсаторов [1] - цилиндр и параллелепипед, - примем их как базовые с соответствующими обозначениями размеров, как изображено на рис. 1.
а Ь
Л| 1
L <-b-J
Рис. 1. Представление конденсаторов как тепловых однородных тел: а - цилиндрической формы; b - в форме параллелепипеда
Fig. 1. Representation of thermal capacitors as homogeneous bodies: a - of cylindrical shape; b - in the form of a parallelepiped
Пунктиром на рис. 1 изображена внутренняя окружающая среда, т. е. слой окружающей среды, температура которой зависит от температуры поверхности конденсатора. Для обоих вариантов конденсаторов структурная схема тепловых процессов будет одинаковой, как показано на рис. 2.
Примем первоначальное допущение, что значения тепловых сопротивлений не зависят от температуры. Тогда систему уравнений, соответствующую схеме на рис. 2, можно записать следующим образом [8, 9]:
С
С
R
i2 = AP;
(1)
= AP,.
"1 "2
где 91 - температура наиболее нагретой точки диэлектрика конденсатора в соответствии с уровнем установки датчика температуры поверхности корпуса; 02 - температура поверхности корпуса конденсатора; Я1, С1, АР1 - соответственно тепловое сопротивление, теплоемкость и потери активной мощности конденсатора; "2, С2 - тепловое сопротивление и теплоемкость внутренней окружающей среды; АР2 - эквивалентные потери активной мощности во внутренней окружающей среде.
е1 ар1 с1
Рис. 2. Структурная схема тепловых процессов конденсатора Fig. 2. Structural scheme of thermal processes in the capacitor
Теплоемкостью C2 будем пренебрегать в силу малой плотности воздуха. Параметр AP2 необходим для работы адаптивного алгоритма, что будет показано ниже.
Тепловая схема замещения, составленная в соответствии с (1), приведена на рис. 3.
01 Ri
R2
Рис. 3. Тепловая схема замещения конденсатора Fig. 3. Thermal equivalent circuit of the capacitor
На основе тепловой схемы замещения получим выражения для расчетных температур в операторной форме:
01 (Р ) =
02 (Р) =
(R + R )AP (p) + RAP2 (Р) + 0з (Р) .
1 + p (R + R) С ' (2)
Я2APP (p) + (1 + PRC )R2AP2 (p) + (1 + pRiCi)03 (p) ( )
1 + p (R + R2) C1 .
Расчет тепловых параметров
Для конденсаторов цилиндрической формы тепловое сопротивление Я1 найдем по аналогии с тепловыми сопротивлениями силовых кабелей [9], считая, что тепловой поток идет только через боковую поверхность [1, с. 221]:
^ (3)
2щхк
где у1 - удельная теплопроводность диэлектрика конденсатора; к - высота конденсатора.
Так как тепловое сопротивление алюминия намного меньше теплового сопротивления диэлектрика и электроды конденсатора выполняются в виде тонкой фольги, их тепловым сопротивлением будем пренебрегать. Для конденсатора в форме параллелепипеда тепловое сопротивление представим как параллельное соединение четырех тепловых сопротивлений в соответствии с четырьмя направлениями теплового потока от центра конденсатора к поверхности его корпуса, как показано на рис. 4.
Ri,i
R1,4
R1,2
R1,3
Рис. 4. Направления тепловых потоков в конденсаторе Fig. 4. The direction of heat flow in the capacitor
Учитывая обозначения на рис. 4, для составляющих теплового сопротивления конденсатора можно записать:
= Ri,3 = т^г ; (4)
2y1bh
Ri,2 = Ri,4 = ~—г • (5)
2y1ah
В соответствии с (4) и (5) общее тепловое сопротивление
R =_1_= ab
Rl = _!_ + ^ + ^ + ^ = 4Tih ( a2 + b2 ) • ()
R1,1 R1,2 R1,3 R1,4
Теплоемкость C1 определим как сумму произведений удельной теплоемкости диэлектрика сд на массу диэлектрика Од, удельной теплоемкости металла электродов см на массу металла и удельной теплоемкости материала корпуса ск на массу корпуса GK. В результате для цилиндрического конденсатора получим:
П (4 - " )
С = + + ск= (1 - 5Км) сдРд ^ И +
+ 5 V, СмвмП (4 - "к)2 и+Сквк ■ ( ^ - ПЙС202'
м мГ^м 4 кГк 4 4
V
(7)
где 5¥м - доля металла электродов в объеме конденсатора; Рд - плотность диэлектрика; Рм - то же металла электродов; Рк - то же материала корпуса; - толщина корпуса.
Для конденсатора в форме параллелепипеда
(8)
С1 = едОд + Смам + СкОх = (1 - 5¥м )Сдвд (а - "к) (Ь - "к)И +
+ 5 VСмРм (а - "к ) (Ь - "к ) И + СкРк (аЬИ - (а - "к ) (Ь - "к ) И) . Тепловое сопротивление Я 2 определим по стандартной формуле
Я = (9)
ар
где а - суммарный коэффициент теплоотдачи с поверхности конденсатора; Р - площадь поверхности теплоотдачи. Для цилиндрического конденсатора
Я2 =—(10) ап41И
Для параллелепипеда
я = 2И (1 + Ь) • (11)
а2И(а+Ь)
В качестве расчетного выберем трехфазный силовой конденсатор марки TGL-200-8264 с номинальным напряжением 380 В и суммарной емкостью 220 мкФ (три конденсатора емкостью 73,4 мкФ, соединенные в треугольник), предназначенный для компенсации реактивной мощности в электрических сетях. Рассматриваемый конденсатор имеет форму параллелепипеда. Его геометрические параметры: а = 95 мм; Ь = 190 мм; И = 350 мм. Корпус конденсатора стальной с толщиной стенок = 2 мм. Примем в качестве материала диэлектрика конденсаторную бумагу, пропитанную хлордифенилом, а в качестве материала электродов - алюминий, как наиболее вероятные материалы для такого типа конденсаторов. Приблизительные геометрические размеры активной части: а1 = 80 мм; Ь1 = 150 мм; И = 270 мм.
Предположим, что различие реальных и расчетных параметров конденсатора будет скомпенсировано адаптивным алгоритмом при расчете тепловых процессов. Тепловое сопротивление Я1 найдем по формуле (6), используя значение удельной теплопроводности бумаги у1 = 0,17 Вт/(м-°С). Тепловое сопротивление Л2 определим по (11), используя приближенное значение коэффициента теплоотдачи с поверхности корпуса а = 10 Вт/(м-°С), приведенное в [1, с. 215]. Теплоемкость С1 рассчитаем по формуле (8), используя значение удельного объема металла электродов 5¥м = 0,4 в соответствии с [10, с. 91]. В результате получаем следующие значения: Я1 = 1,01 °С/Вт ; Д2 = 0,46 °С/Вт; С1 = 8395 Вт • с/°С .
Расчет потерь
Потери активной мощности в конденсаторе определим как сумму двух слагаемых [1, с. 190]
АР =АР+АР, (12)
1 дм' V /
где АРд - потери активной мощности в диэлектрике; АРм - то же в металле электродов.
Потери АРд найдем по известной формуле
АРд = 2п/СэЛ& и2, (13)
1=1
где / - частота напряжения; Сэл - электрическая емкость конденсатора;
и - действующее значение приложенного напряжения 1-й фазы; 5 - угол диэлектрических потерь.
Значение АРм для конденсаторов напряжением до 1 кВ в [1, с. 191] рекомендуется выбирать из условия
АРм * 0,14АР. (14)
Выразив АР1 из (14) и подставив его в (12), получим расчетное выражение для АРм
0 14
АРм = —АРд. (15)
м 0,86 д
Алгоритм адаптации математической модели
Для рассматриваемого конденсатора при номинальном напряжении и = 0,26 • 10-3 (бумага, пропитанная хлордифенилом) потери составят: АРд = 26 Вт; АРм = 4,2 Вт, т. е. АР1 = 30,2 Вт.
В соответствии с рис. 3 и системой (2) исходный алгоритм для расчета значений температур в рассматриваемой системе первого порядка для единичного конденсатора при нулевых начальных условиях запишется следующим образом:
= - ) е~т;
ы
= +(»2,к,,-1 - ) е"т;
э
3,к, 3
}1,3 =»1,1,3
52,} = »1,2,3
-■Кк03,3 + (Э3,к,,-1 - Кк03,,)е х;
(16)
»
2,1,3
»
3,1,3
»
2,2,3
яя
Я + я2
э
я
1 3, 3
3,2, 3
Я + я2
где к - номер температуры (1 - диэлектрик, 2 - поверхность корпуса); 3 - номер расчетного интервала; т - тепловая постоянная времени; к1к, И2к, Н3к - коэффициенты, рассчитываемые в соответствии с правилами обратного преобразования Лапласа; Э1 к 3, Э2 к 3, Э3 к 3 - соответственно составляющие к-й температуры от потерь в Др 3 и ДР2 3 и от температуры внешней охлаждающей среды 03; Д - период дискретизации.
Рассмотрим второе уравнение системы (16) для температуры 92 (к = 2). Сгруппируем параметры этого уравнения при ДР2
» = и Др
2,2,3 '«2,2Ш 2,3
( \ 1 -е 1
Э е
2,2,3 -1е
(17)
Подставим (17) в четвертое уравнение системы (16) для температуры 92 и, считая значения температуры 02 непосредственно измеряемыми, выразим ДР
© -Э
2,3 2,2,3-1
Д;
е т -
ДРи =-
я,©31
1 3,3 -э -э Я + я2 э2,3 Э3 2 3'
1 - е 1
Я1Я2 Я + Я2
(18)
где ©2 3, ©3 3 - непосредственно измеренные с помощью датчиков значения температуры поверхности корпуса конденсатора и внешней окружающей среды на 3-м интервале.
Выражение (18) представляет собой алгоритм расчета адаптирующего параметра при наличии измеренных значений температуры поверхности корпуса конденсатора, температуры воздуха и напряжения, приложенного к конденсатору. Полученные на каждом шаге расчета значения параметра ДР2
необходимо учитывать при расчете температуры 91 в соответствии с системой (16). Температура 02 ., рассчитываемая по (16), должна полностью совпадать с измеряемой температурой ©2.., так как определяется путем обратного пересчета. Если совпадение отсутствует, то алгоритм работает неверно.
Экспериментальные исследования
Для проверки адекватности математической модели авторами в лабораторных условиях проведены экспериментальные исследования тепловых процессов в конденсаторе TGL-200-8264. Фотография собранной установки показана на рис. 5.
Рис. 5. Внешний вид установки для экспериментальных исследований Fig. 5. Appearance of the unit for experimental studies
В качестве средства измерений использован прибор ПКРТ-3 (прибор контроля и расчета температур электроэнергетического оборудования), разработанный авторами в рамках задания № 1.1.22 I ПНИ в 2014-2015 гг. Установка работает следующим образом. Напряжения из трехфазной сети через автоматический выключатель и лабораторные измерительные трансформаторы тока типа И54М подаются на конденсатор. Коэффициенты трансформации этих трансформаторов выбраны равными 50/5. Цепи напряжения прибора ПКРТ-3 подключены к сети непосредственно, а цепи тока - через измерительные трансформаторы.
Для измерения температур использовались два чувствительных элемента. Первый устанавливали на верхнюю часть корпуса конденсатора, а второй - на расстоянии 25 см от корпуса на той же высоте, что и первый. Поместить датчик температуры в диэлектрик конденсатора возможности не было из-за токсичности хлордифенила и предполагаемого избыточного давления внутри корпуса. В процессе измерений необходимые величины автоматически записывались в Аа8Ь-память прибора ПКРТ-3, а затем были считаны в компьютер.
Графики измеренной и расчетной температур поверхности корпуса конденсатора приведены на рис. 6. При этом расчетная температура получена по математической модели без применения алгоритма адаптации (18), так как в противном случае измерение и расчет полностью совпали бы.
40 0, °С 35
30
25
20
0 6,5 13,0 19,55 t, ч 26,0
Рис. 6. Графики температур конденсатора: в2 - измеренная температура корпуса;
02 - расчетная температура корпуса без применения алгоритма адаптации
Fig. 6. Graphs of temperature of the capacitor: в2 - the measured case temperature;
02 - design temperature of the hull without the use of adaptation algorithm
Из рисунка 5 видно, что предлагаемая математическая модель достаточно близка по параметрам к реальным тепловым процессам в конденсаторе. Максимальная абсолютная погрешность расчета составляет ±3 °С, а коэффициент корреляции равен 0,974.
В рамках поставленного эксперимента проверить работу алгоритма адаптации (18) возможно только путем сравнения значений расчетной температуры диэлектрика, полученных без применения этого алгоритма, и значений с его применением. Соответствующие графики показаны на рис. 7.
70 0, °С 60
50
40
30
20
0 6,5 13,0 19,5 t, ч 26,0
Рис. 7. Графики температур конденсатора: в2 - измеренная температура корпуса; 0!, 0ad1 - расчетная температура диэлектрика без применения и с применением алгоритма адаптации
Fig. 7. Graphs of temperature of the capacitor: в2 - the measured temperature of the enclosure; 0j, 0ad1 - the calculated temperature
of the dielectric material without and with application of algorithm of adaptation
Коэффициент корреляции между температурами ©2 и 9j равен 0,966, а между ©2 и Qad1 он составляет 0,977. Поскольку очевидно, что между температурой корпуса и температурой диэлектрика должна быть статистическая взаимосвязь, эти значения свидетельствуют о приближении параметров модели к реальным тепловым параметрам конденсатора с помощью алгоритма адаптации.
ВЫВОД
Предложенная математическая модель может быть использована в качестве базовой при расчете тепловых процессов косинусных силовых конденсаторов в режиме реального времени, поскольку ее адекватность подтверждена экспериментальными исследованиями. Далее на ее основе необходимо разработать математическую модель тепловых процессов групп конденсаторов в установках компенсации реактивной мощности и соответствующие аппаратно-программные средства, позволяющие выявлять анормальный нагрев конденсаторов, обусловленный их неисправностями. Применение таких средств повысит эксплуатационную надежность конденсаторных установок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кучинский, Г. С. Силовые электрические конденсаторы / Г. С. Кучинский, Н. И. Назаров. М.: Энергоатомиздат, 1992. 320 с.
2. Thermal Simulation for Geometric Optimization of Metallized Polypropylene Film Capacitors / M. El-Husseini [et al.] // IEEE Transactions on Industry Applications. 2002. Vol. 38, № 3. P. 713-718.
3. Parler, S. G. Predicting Operating Temperature and Expected Lifetime of Aluminum-Electrolytic Bus Capacitors with Thermal Modeling / S. G. Parler, L. L. Macomber // Powersystems World International Conference (PCIM), November 1999.
4. Development of an Equivalent Circuit Model for Electrochemical Double Layer Capacitors with Distinct Electrolytes / J. Kang [et al.] // Electrochimica Acta. 2014. Vol. 115, No 1. P. 587-598.
5. Electrochemical Double Layer Capacitor Electro-Thermal Modeling / W. Sarwar [et al.] // Journal of Energy Storage. 2016. Vol. 5, No 1. P. 10-24.
6. Guillemet, Ph. Multi-Level Reduced-Order Thermal Modeling of Electrochemical Capacitors / Ph. Guillemet, Y. Scudeller, Th. Brousse // Journal of Power Sources. 2006. Vol. 157, No 1. P. 630-640.
7. D'Entremont, А. First-Principles Thermal Modeling of Electric Double Layer Capacitors under Constant-Current Cycling / A. D'Entremont, L. Pilon // Journal of Power Sources. 2014. Vol. 246. P. 887-898.
8. Широков, О. Г. Тепловые схемы замещения электроэнергетических устройств / О. Г. Широков, Д. И. Зализный // Наукоемкие технологии. 2008. № 2. С. 63-67.
9. Зализный, Д. И. Математическая модель тепловых процессов одножильного силового кабеля / Д. И. Зализный, С. Н. Прохоренко // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2012. № 5. С. 25-34.
10. Гулевич, А. И. Производство силовых конденсаторов: учеб. пособие для подготовки рабочих на производстве / А. И. Гулевич, А. П. Киреев. М.: Высш. шк., 1981. 284 с.
Поступила 21.12.2015 Подписана в печать 22.01.2016 Опубликована онлайн 03.08.2016
REFERENCES
1. Kuchinsky G. S., Nazarov N. I. (1992) Electric Power Capacitors. Moscow, Energoatomizdat. 320 (in Russian).
2. El-Husseini M., Venet P., Rojat G., Joubert C. (2002) Thermal Simulation for Geometric Optimization of Metallized Polypropylene Film Capacitors. IEEE Transactions on Industry Applications, 38 (3), 713-718. DOI: 10.1109/TIA.2002.1003421.
3. Parler S. G., Macomber L. L. (1999) Predicting Operating Temperature and Expected Lifetime of Aluminum-Electrolytic Bus Capacitors with Thermal Modeling. Powersystems World International Conference (PCIM), November 1999.
4. Development of an Equivalent Circuit Model for Electrochemical Double Layer Capacitors with Distinct Electrolytes / J. Kang [et al.] // Electrochimica Acta. 2014. Vol. 115, No 1. P. 587-598.
4. Kang J., Wen J., Jayaram S. H., Yu A., Wang X. (2014) Development of an Equivalent Circuit Model for Electrochemical Double Layer Capacitors with Distinct Electrolytes. Electrochimica Acta. 115 (1), 587-598. DOI: 10.1016/j.electacta.2013.11.002.
5. Sarwar W., Marinescu M., Green N., Taylor N., Offer G. (2016) Electrochemical Double Layer Capacitor Electro-Thermal Modeling. Journal of Energy Storage, 5 (1), 10-24. DOI: 10. 1016/j.est.2015.11.001.
6. Guillemet Ph., Scudeller Y., Brousse Th. (2006) Multi-Level Reduced-Order Thermal Modeling of Electrochemical Capacitors. Journal of Power Sources, 157 (1), 630-640. DOI: 10. 1016/j.jpowsour.2005.07.072.
7. D'Entremont A., Pilon L. (2014) First-Principles Thermal Modeling of Electric Double Layer Capacitors under Constant-Current Cycling. Journal of Power Sources, 246, 887-898. DOI: 10.1016/j .jpowsour.2013.08.024.
8. Shirokov O. G., Zalizny D. I. (2008) Thermal Equivalent Circuit of Power Industry Equipment. Naukoyemkiye Tehknologiyi [High Technologies], (2), 63-67 (in Russian).
9. Zalizny D. I., Prokhorenko S. N. (2012) Mathematical Model for Thermal Processes of Single-Core Power Cable. Energetika. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii i Energeticheskikh Obedinenii SNG [Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc.], (5), 25-34 (in Russian).
10. Gulevich A. I., Kireyev A. P. (1981) Production of Power Capacitors: Training Manual for Training Workers of Production. Moscow, Vysshaya Shkola. 284 (in Russian).
Received: 21.12.2015
Accepted: 22.01.2016
Published online: 03.08.2016
