CC BY
32
УДК 531/534: [57+61]
АДАПТАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОСТИ ПОСЛЕ ОСТЕОСИНТЕЗА ШЕЙКИ БЕДРА УПРУГИМИ РЕЗЬБОВЫМИ ФИКСАТОРАМИ
Ю.В. Акулич*, А.Ю. Акулич**, А.С. Денисов**, Р.М. Подгаец*
* Кафедра теоретической механики Пермского государственного технического университета, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: [email protected]
** Кафедра ортопедии, травматологии и военно-полевой хирургии Пермской государственной медицинской академии имени академика Е.А. Вагнера, Россия, 614990, Пермь, ул. Куйбышева, 39
Аннотация. Представлены математическая модель и расчётная схема решения начально-краевой задачи адаптивной пороупругости в её одномерной постановке для области шейки бедра, подвергнутой осевому сжатию упругими резьбовыми имплантатами в результате хирургической операции остеосинтеза по поводу перелома. В качестве определяющего соотношения среды принимается феноменологическое уравнение, полученное в работе (Акулич и др., Российский журнал биомеханики, 2005, №2). Губчатая костная ткань рассматриваемой области бедра считается неоднородной и изотропной, а структурная модель включает сплошной матрикс и пустые сферические поры в нём. Связь скорости изменения радиуса пор с деформационным стимулом адаптации устанавливается с помощью кинетического уравнения мезоуровня (Сотин и др., Российский журнал биомеханики, 2001, №5). Процессы в межфрагментарном пространстве не рассматриваются, а в качестве необходимых условий сращения принимается наличие сжимающего усилия, обеспечивающего постоянный контакт поверхностей перелома и обычную (не патологическую) пористость костной ткани фрагментов. Исследуется влияние жёсткости и удлинения установки пружин упругих фиксаторов на послеоперационные временные изменения параметров структуры и механических свойств костной ткани.
Ключевые слова: шейка бедра, остеосинтез, упругие резьбовые фиксаторы, математическое моделирование, адаптация, структурные и механические свойства кости.
Введение
В структуре переломов у лиц пожилого и старческого возраста повреждения шейки бедра составляют около 10%. Общепринятый способ лечения переломов (остеосинтез) заключается в близком сопоставлении отломков (репозиция) и их надёжной фиксации жесткими резьбовыми фиксаторами (рис. 1а).
Однако результаты остеосинтеза переломов шейки бедра с использованием жестких резьбовых фиксаторов нельзя признать удовлетворительными.
Несращения зафиксированы у 15% пациентов с переломами шейки бедра, подвергшихся остеосинтезу жёсткими резьбовыми фиксаторами. Причиной неудачных исходов, вероятнее всего, является ослабление фиксации отломков шейки бедра до их
© Акулич Ю.В., Акулич А.Ю., Денисов А.С., Подгаец Р.М., 2007
/7Я^ЯПрЩ7ТПрТ1/ШТ|ТШ|ТТ17|ТПТ[ПТТ|ШТ|ШТ|1]1ф 11Т|ТТТТ]П1Т|1Ш[ПП|ШТ|ШТ|Т
б
гШяшшшгоюшадто1[1тг^=^щ^^
Рис. 1. Жёсткий (а) и упругий (б) резьбовые фиксаторы
сращения, поскольку в этот период пациент передвигается на костылях без опоры возникают микроперемещения, препятствующие сращению на оперированную конечность и при ослабленной фиксации между отломками.
Так как фиксация жёсткими фиксаторами осуществляется благодаря упругому деформированию костной ткани под витками резьбы фиксаторов и деформации при этом малы (по нашим расчётам не превышают 3%), то в случае возникновения резорбции в этой области кости уровень упругих свойств костной ткани быстро снижается (модуль упругости уменьшается от 0,61 ГПа до 0,15 ГПа за 35 дней), что ведёт к существенному ослаблению фиксации.
Применение упругого имплантата (рис. 1б) позволяет распределить потенциальную энергию деформирования системы «костная ткань-фиксаторы» между костной тканью и пружинами фиксаторов. Предполагается, что рост деформации сжатия костной ткани под витками резьбы, вызванный её резорбцией, приводит к существенно более малому уменьшению потенциальной энергии пружины и, следовательно, к более медленному уменьшению величины силы сжатия отломков, то есть к более стабильной фиксации. Для обоснования этого предположения необходимо установление характера и количественных оценок послеоперационных изменений механических свойств и структурных параметров костной ткани системы «костная ткань-упругие фиксаторы».
В данной статье с помощью одномерной математической модели решается начально-краевая задача адаптивной пороупругости для проксимального отдела бедра, подвергнутого остеосинтезу тремя упругими фиксаторами (рис. 2). При этом делаются следующие допущения:
• процессы в межфрагментарном пространстве не рассматриваются;
• поверхность перелома резорбируется с постоянной скоростью;
Рис. 2. Проксимальный отдел бедра с упругими фиксаторами. 1 - ось шейки, 2 - головка, 3 - предполагаемая линия перелома, 4 - ось фиксатора, 5 - головка фиксатора
• активация мышц тазобедренной группы при ходьбе на костылях за время сращения равномерно уменьшается на 30%;
• влияние тонкого слоя кортикальной костной ткани проксимального отдела бедра на его напряженно-деформированное состояние не учитывается;
• губчатая костная ткань изотропна.
Структура губчатой костной ткани цилиндра моделируется сферическими пустыми порами, равномерно распределёнными в сплошном матриксе. Параметрами структуры являются радиус г и плотность пор п, имеющие различные значения в разных участках цилиндра. Изотропия губчатой костной ткани в шейке в радиальном направлении от её оси подтверждается круговой формой проекции тензора структуры на плоскость, перпендикулярную оси шейки бедра [15].
Математическая модель
Моделируются этап установки фиксаторов и процесс адаптационных изменений, в течение которого происходит сращение перелома без нагрузки на конечность (около четырёх месяцев ходьбы на костылях). Исследуются временные изменения механических свойств (модуль упругости, деформация, усилие сжатия фрагментов) и параметров структуры (радиус и плотность пор и пористость) при различных значениях жёсткости и удлинения установки пружин фиксаторов.
При моделировании используются следующие допущения:
1) до начала установки фиксаторов деформации и напряжения в костной ткани отломков равны нулю;
2) давление резьбы на кость однородно по длине резьбовой части фиксатора;
3) напряженно-деформированное состояние области остеосинтеза принимается одномерным (вдоль оси шейки).
Одномерное представление области остеосинтеза
Последнее допущение позволяет представить рассматриваемую область составным круговым цилиндром, вычленяемым из проксимального отдела бедра (рис. 3). Диаметр цилиндра равен наименьшему диаметру шейки, а длина распространяется от подвертельной области до купола головки, не выходя за его пределы. Анализ экспериментальных данных о распределении радиуса пор [11] позволяет выделить в цилиндре пять характерных однородных участков по его длине, показанных на рис. 3. Шестой участок включает костную ткань трёх спиралевидных лент, расположенных под витками резьбы трёх фиксаторов, и условно представляется цилиндром высотой, равной толщине ленты. Структура и механические свойства костной ткани этого участка до начала адаптации такие же, как у костной ткани пятого участка, в котором расположена резьба фиксатора. Таким образом, вычленяемый цилиндр условно достраивается дополнительным цилиндрическим участком 6. Участки считаются не связанными между собой, то есть представляют отдельные тела, контактирующие без трения.
Для определения начальных для процесса адаптации значений напряжений и деформаций ниже рассматривается равновесие системы «участки костной ткани-фиксаторы» в момент окончания затяжки фиксаторов.
Рис. 3. Аппроксимация области шейки круговым цилиндром, состоящим из шести однородных участков: 1 - треугольник Варда и подвертельная область, 2 - срединная часть шейки, 3 - область сращения, 4 - субкапитальная часть головки, 5 - центральная область головки, 6 - контактный слой
костной ткани с фиксатором
Установка фиксаторов
Уравнения равновесия для каждого участка без учёта объёмных сил имеют вид
Следовательно, присутствует однородность напряжений и деформаций по длине участков.
Напряжения в первых пяти участках равны, отличаются от напряжения под резьбой фиксатора и определяются соотношением
где яь^п - площади спиралевидной ленты и поперечного сечения цилиндра, соответственно, Ях0 - проекция реакции тазовой кости на ось шейки в начале послеоперационного периода ( Ях0 = 90 Н [12]), ,Р0 - сила сжатия шейки одним фиксатором, определяемая законом Г ука
где А/0 - удлинение пружины при установке фиксатора.
Деформации участков определяются в соответствии с определяющим соотношением адаптивной пороупругости для напряжения [2]
(1)
(3 + Кх 0 ) / 8п , к = 1,5>
Р 0 / ^ + Кх 0 / , к = 6,
(2)
^0 = с А/о,
(3)
(4)
где £ к о, Ек о - объёмное содержание костного вещества (матрикса) и модуль упругости костной ткани к-го участка, соответственно. Для сферических пор и принятой выше структуры костной ткани объёмное содержание матрикса выражается через параметры структуры (радиус пор г и объёмная плотность пор п) по формуле [10]
£ к = 1 - 4 7 3ппкгк ,к = 1,6 • (5)
Аппроксимация экспериментальных данных с применением блочной модели структуры губчатой костной ткани [4] показала, что модуль упругости костной ткани аппроксимируется кубической параболой вида
Ек0 = £ к0Ет , (6)
где Ет - модуль упругости матрикса.
Формулы (1)-(6) используются также и для определения значений параметров структуры и механических характеристик костной ткани в равновесном состоянии при ,Р=0, то есть в состоянии до травмы при физиологической нагрузке. При весе тела равном 720 Н Ях =1220 Н [7]. В табл. 1 приведены значения параметров структуры, деформации и модуля упругости в каждом участке цилиндра для равновесного состояния, рассчитанные по заданному распределению величины радиуса пор вдоль оси шейки.
Таблица 1
Значения параметров структуры, деформации и модуля упругости участков в равновесном
состоянии
Величина Номер участка
1 2 3 4 5 6
Радиус пор, мм 0,287 0,303 0,297 0,307 0,286 0,286
1 3 Плотность кости , г/см 1,36 1,27 1,3 1,32 1,34 1,34
3 Плотность пор, 1/мм 6,8 6,2 6,3 6,5 6,6 6,6
Объёмное содержание матрикса 0,364 0,271 0,293 0,319 0,334 0,334
Деформация сжатия 8 ед 0,0042 0,0135 0,01 0,007 0,0058 0,0058
Модуль упругости , ГПа 0,79 0,33 0,42 0,54 0,61 0,61
Данные таблицы показывают, что у конкретного пациента наибольшей плотностью и жесткостью обладает губчатая костная ткань подвертельной области (участок 1), затем - головки (участки 5 и 6), а шейка (участки 2 и 3) имеет наименьшую плотность и жёсткость, и, очевидно, наименьшую прочность.
Исследуется установка четырёх типов упругих фиксаторов, различаемых величиной жёсткости пружины: 30, 35, 45 и 58 кН/м, при двух значениях удлинения
1 Плотность сырой костной ткани вычисляется по формуле р(г)= 2,395 - 3,71г, полученной по экспериментальным данным [3].
2 Вычисляется при значении Ет=18,2 ГПа [6], полученном в опытах на продольное растяжение индивидуальных трабекул.
пружины А/0 =1,5 и 2,0 мм. Выбор вариантов обусловлен требуемой прочностью пружины фиксатора.
В табл. 2 приводятся деформации сжатия участков цилиндра 8^о ,к = 1,6 для рассматриваемых вариантов установки фиксаторов. Данные таблицы показывают, что во всех вариантах установки фиксаторов наибольшему сжатию подвергается костная ткань под их резьбой (участок 6), поскольку площадь опирания резьбы на кость меньше площади поперечного сечения шейки в семь раз, тогда как усилие меньше только в три раза. С ростом жёсткости и удлинения пружины деформация сжатия во всех областях шейки возрастает.
Важным этапом характеристики режима установки фиксаторов является сопоставление величин деформаций от сжатия фиксаторами (табл. 2) с уровнем деформаций равновесного состояния 8ед (табл. 1). Из диаграммы, изображенной на
рис. 4, следует, что при установке всех четырёх типов фиксаторов с удлинением пружины на 1,5 мм, деформация сжатия костной ткани только в шестом участке близка к равновесной, а в остальных участках она значительно ниже этого уровня, то есть костная ткань недогружена.
При удлинении пружины на 2,0 мм (рис. 5) деформация костной ткани в шестом участке превышает равновесную (перегрузка), если применяются фиксаторы с жёсткостью пружины 58 кН/м. В остальных участках наблюдается недогрузка при установке фиксаторов всех типов.
Адаптивное изменение механических свойств
Предполагается, что после остеосинтеза в костной ткани одновременно осуществляются три главных процесса: адаптационной перестройки, предварительной резорбции поверхностей перелома и сращения отломков. С позиции биомеханики важно отметить, что если процесс адаптации охватывает все участки костной ткани, нагруженные фиксаторами, то процессы предварительной резорбции и сращения являются локальными и распространяются в пределах малой области (участок 3 имеет небольшую длину вдоль оси шейки, равную 4 мм).
Таблица 2
Распределение деформации сжатия вдоль оси шейки после установки фиксаторов
с, кН/м Д/0-10 , м Номер участка
1 2 3 4 5 6
30 1,5 0,0008 0,0025 0,0026 0,0013 0,0011 0,0046
2,0 0,0009 0,0030 0,0031 0,0016 0,0013 0,0051
35 1,5 0,0008 0,0027 0,0028 0,0014 0,0012 0,0049
2,0 0,0010 0,0033 0,0035 0,0017 0,0014 0,0055
45 1,5 0,0010 0,0032 0,0034 0,0017 0,0014 0,0054
2,0 0,0012 0,0040 0,0042 0,0021 0,0017 0,0062
58 1,5 0,0012 0,0039 0,0040 0,0020 0,0017 0,0061
2,0 0,0015 0,0048 0,0051 0,0025 0,0021 0,0071
□ Жёсткость пружины 30 кН/м N 35 кН/м
П 45 кН/м
□ 58 кН/м
■ Равновесная деформация
Рис. 4. Деформации участков костной ткани от сжатия фиксаторами различной жёсткости (табл. 2) с уровнем деформаций равновесного состояния 8ед (табл. 1) при удлинении пружины на 1,5 мм
□ Жёсткость пружины 30 кН/м
Н 35 кН/м
Н 45 кН/м
ЕЗ 58 кН/м
■ Равновесная деформация
Рис. 5. Деформации участков костной ткани от сжатия фиксаторами различной жёсткости (табл. 2) с уровнем деформаций равновесного состояния 8ец (табл. 1) при удлинении пружины на 2,0 мм
На основании выше было принято допущение о пренебрежимо малом влиянии сращения на адаптацию (однако при исследовании процесса сращения необходимо учитывать адаптацию). В то же время необходимо принять во внимание процесс предварительной резорбции, поскольку он вызывает укорочение шейки и, следовательно, влияет на величину силы сжатия отломков, то есть действует на область остеосинтеза. Учёт этого процесса осуществляется путём укорочения длины третьего участка в течение 7-10 дней [13] с постоянной скоростью резорбции 1 мкм/день.
Длительность т процесса адаптации принимается равной суммарному времени процессов предварительной резорбции и сращения, то есть 125 дням. В этот период пациент передвигается на костылях, не опираясь на больную конечность, поэтому мышцы тазобедренной группы активируются только весом конечности (120 Н) и величина силы Ях существенно уменьшается по сравнению с её равновесным физиологическим значением, составляя в начале послеоперационного периода 90 Н [12] с уменьшением из-за недогрузки к его окончанию. Функция Ях = Ях(/)
гипотетически предполагается линейной со скоростью убывания 0,25 Н/день, определённой из расчёта 30%-го уменьшения к концу четырех месяцев ходьбы на костылях.
0,0160,0140,0120
0,008-
0,006-
0,004-
0,002-
3 4
Участки
1
2
5
6
0,016 0,014 0,012 0
0,008-
0,006
0,004
0,002
4
Участки
1
2
3
5
6
В текущий момент времени процесса адаптации напряжения в участках определяются с помощью соотношений, имеющих форму (2), поэтому скорости изменения напряжений имеют вид
(7)
Для каждого участка определяющие соотношения имеют вид [10]
6 £ = -Г8 к - 8 к4 )Як 8 £ + £ кЕк 8 к’к = 1>6> (8)
где чувствительность Як костной ткани к стимулу адаптации 8к - 8кв<1 определяется
соотношением, полученным с учётом зависимости Е = £3 Ет [4],
Як = 16папкгкЕк , (9)
где а - коэффициент, характеризующий активность и плотность костных клеток на
поверхности пор [8], равный 0,055 мм/(с-ЕОД) (ЕОД - единиц относительной деформации).
Адаптивное изменение параметров структуры
Определяющее уравнение структурной перестройки имеет вид [10]
гк =-а (8к -8кеч), к = 1,6‘ (10)
Предполагается, что функция Гк = Гк (8 к) (10) является кусочно-линейной (рис. 6) и имеет три характерных точки: 8сг - критическое значение деформации сжатия костной ткани, соответствующее предельному напряжению сжатия а сг = 7 МПа [14], превышение которого вызывает резорбцию; - 81 , 8Щ + 82 - нижняя и верхняя
границы зоны нечувствительности к изменению деформации [1], соответственно.
Параметры структуры (радиус пор и плотность пор) не являются независимыми,
поскольку в любой момент времени процесса они связаны какой-либо физической
величиной, например, плотностью сырой костной ткани р ск . В этом случае, как показано в работе [11], плотность пор определяется соотношением
п(г ) = |\ -Рск (г )-рж (11)
V р- -Рж ; 4^г
где р ж, р м - плотности внутритканевой жидкости и матрикса, соответственно, а
рск(г) = 2,395 - 3,71г, г е [0,23-0,35 мм]. (12)
График зависимости (11) (рис. 7) показывает, что в указанном интервале изменения радиуса пор плотность пор уменьшается примерно в два раза. Следует заметить, что при этом плотность сырой костной ткани находится на уровне, установленном экспериментально [11].
Изменение плотности пор при изменении их радиуса говорит о возможности описания соотношениями (10) и (11) пересечения пор в случае резорбции, то есть образование более крупных пор, что наблюдается в гистологических исследованиях, например, при остеопорозе [5].
Рис. 6. Вид функции г = г (в). При 8 < 8ед+82 наблюдается резорбция костной ткани, в интервале
6е<? — 81 < 8 < 8ед+82 адаптация отсутствует (деформации 81, 82, определяющие зону нечувствительности, принимаются равными 0,005), в интервале 8СГ < 8 < 8е<?—81 осуществляется адаптация с производством матрикса, при 8 < 8СГ - резорбция, а = а.
Радиус пор, мм
Рис. 7. Изменение плотности пор с ростом (или убыванием) их радиуса в процессе адаптации в
соответствии с зависимостями (11) и (12)
Геометрическая связь
Одномерную модель системы «костная ткань-фиксаторы» удобно представить в виде совокупности упругих и жёстких элементов (рис. 8). Участки костной ткани обозначены последовательно соединёнными упругими элементами жёсткостью
Ск,к = 1,6 . Фиксаторы изображены в виде двух недеформируемых стержней, соединённых пружиной жёсткости 3с. Вертикальные плиты жёстко соединены со стержнями и внешними торцами первого и шестого участков и могут свободно скользить в горизонтальных направляющих, объединяя все упругие элементы в систему. Механическая модель показывает, что фиксаторы являются упругой связью
У///////////Л С1
Плита Костная ткань
Фиксаторы
Рис. 8. Механическая модель системы «костная ткань-упругие фиксаторы»:
Ск - жёсткости участков костной ткани, где к=1..б; Кх - проекция реакции тазовой кости на ось шейки
для костной ткани и, следовательно, необходимо установить её аналитическое
выражение. В каждый момент времени процесса адаптации рассматривается упругое
равновесие между костной тканью и фиксаторами, поэтому связь является геометрической и имеет вид (см. рис. 9)
Ч, = (4, )с + 4 -А/' (13)
где А/ш, А/ - абсолютные деформации костной ткани и пружин в текущий момент
времени процесса адаптации, соответственно, (А/ш )0, А/0 - значения этих величин в
начале процесса адаптации, то есть после установки фиксаторов. Производная по времени от соотношения (13) равна
СА/ш /Л = - СА//С. (14)
Поскольку
б б / \ А/ш = ЕА/к = Е 8к 'Ук )о > к=1 к=1
(15)
где А/к - абсолютная деформация к-го участка костной ткани в текущий момент времени процесса адаптации, (/к )о - длина к-го участка костной ткани до установки фиксаторов, и выполняется закон Гука для пружины фиксатора
^ = с -А/, (16)
то из равенства (14) следует соотношение дифференциальной интегрируемой связи
Е 8 к ’(/к )0 = - Р1С .
(17)
к=1
С1 С2 Сз С4 С5 Т ІЛ.Л/М\ЛЛА /V 3сб (А/ш)0 0 г
kл/wv1Wlvv!lvv І 3с | А/ ■ АА/ А/о V V X *
А/ш
III !
Рис. 9. К установлению геометрической связи (левая плита механической модели зафиксирована): 1-костная ткань до установки фиксаторов, 11-равновесие после установки фиксаторов,
III- равновесие в текущий момент времени адаптации
Алгоритм решения начально-краевой задачи
В уравнениях (7), (8) и (17) имеется 13 неизвестных функций: Ё, 8к, 8к, к = 1,6, которые вычисляются с помощью пошаговой по времени процедуры. В качестве начальных значений деформаций принимаются величины, определяемые
соотношением (4). На каждом временном шаге функции Ё, 8к, к = 1,6 считаются постоянными, и формируется система пяти линейных алгебраических уравнений относительно 8к, к = 1,5 , решаемая методом Гаусса.
Результаты моделирования
Для тех же значений жёсткости и начального удлинения пружины фиксатора, с которыми осуществлялся остеосинтез (см. раздел 2.2), рассчитывалось изменение параметров структуры и механические свойства костной ткани в послеоперационном периоде. Жёсткость варьировалась на четырёх уровнях (30, 35, 45 и 58 кН/м), а начальное удлинение пружины фиксатора на двух (2,0 и 1,5 мм), то есть исследовались последствия восьми вариантов остеосинтеза. Наименьшее усилие сжатия достигается в варианте остеосинтеза при с=58 кН/м и А/0 = 2,0 мм, а наименьшее - при с=30 кН/м и
А/0 = 1,5 мм.
На рис. 10 представлены процессы изменения пористости при наименьшем (А) и наибольшем (Б) усилиях сжатия отломков при остеосинтезе. Значение пористости 0,8 принимается в данной работе предельным (пористость нормальной, без патологии, губчатой костной ткани лежит в интервале 0,5-0,75 [3]) и обозначается на рис. 10. пунктирной линией. Сравнение кривых показывают, что в обоих случаях установки фиксаторов в участках 1 -5 осуществляется резорбция кости в виду её недогрузки, что вызывает рост пористости. Различие этих процессов заключается в их интенсивности.
А Время, день Б Время, день
Рис. 10. Изменение пористости участков шейки при установке фиксаторов с различной жёсткостью с и начальным удлинением А/0 пружины: А - с = 30 кН/м, А/0 =1,5 мм; Б - с = 58 кН/м, А/0=2,0 мм. Цифры у кривых обозначают номер участка костной ткани, пунктирная линия - верхнее предельное
значение пористости в норме
При остеосинтезе с наименьшим усилием сжатия (рис. 10А) интенсивность резорбции выше ввиду большей недогрузки. Поэтому при данном варианте остеосинтеза предельный уровень пористости достигается на втором участке (срединная часть шейки) уже через 35 дней, на третьем (область сращения) - через 2,5 месяца. Предельная пористость костной ткани в области перелома, очевидно, не способствует процессу сращения, поэтому данный вариант остеосинтеза считается неуспешным. С увеличением усилия сжатия костной ткани при остеосинтезе интенсивность резорбции уменьшается и при наибольшем значении усилия сжатия предельный уровень пористости достигается только на втором участке, что позволяет считать этот вариант остеосинтеза более предпочтительным.
В вариантах остеосинтеза с промежуточными величинами усилий сжатия характер изменения пористости остаётся таким же, как на рис. 10А, с уменьшением наклона кривых по мере роста усилия сжатия отломков при установке фиксаторов.
В слое костной ткани под резьбой фиксаторов (участок 6) во всех вариантах остеосинтеза, кроме варианта с наибольшим усилием, пористость не изменяется, так как деформация сжатия этого участка остаётся в области нечувствительности 8щ - 81 < 8 < 8щ + 82 , где адаптация не стимулируется (см. рис. 6). В варианте
остеосинтеза с наибольшим усилием сжатия деформация этого участка значительно превосходит уровень равновесной деформации (рис. 5), выходит из области нечувствительности и попадает в интервал 8^ < 8 < 8^ - 81 (см. рис. 6), где
осуществляется адаптация с производством матрикса. Поэтому пористость костной ткани этого участка уменьшается (рис. 10Б).
Процесс изменения модуля упругости показан на рис. 11. Характер изменения приведенных кривых противоположен соответствующим кривым изменения пористости (рис. 10). Этот факт объясняется тем, что поскольку пористость p и объёмное содержание матрикса £ m костной ткани с пустыми порами связаны соотношением [11]
а
1-4
в
н
о
о
и
Ъ
Л
И
А
К
£
о
а
1-4
Н
О
о
и
а
а
-а
Ч
А
Время, день
Время, день
Б
Рис. 11. Изменение модуля упругости костной ткани после остеосинтеза с наименьшим (А) и наибольшим (Б) усилиями сжатия отломков
Р = 1 - £т , (18)
то производные р и £ т имеют разные знаки и в силу соотношения (6) росту
пористости соответствует уменьшение модуля упругости. Сравнение кривых 1-5, изображённых на рис. 11А и на рис. 11Б, показывает, что с увеличением усилия сжатия костной ткани при остеосинтезе замедляется процесс снижения упругих свойств костной ткани участков 1-5. Из сравнения кривых 6 следует, что при остеосинтезе с наибольшим усилием сжатия (рис. 11Б) жёсткость костной ткани под резьбой фиксатора (участок 6) даже возрастает.
На рис. 12 представлены кривые послеоперационного изменения силы осевого сжатия шейки при установке фиксаторов с различной жёсткостью с и начальным удлинением А/0 пружины. Кривые показывают, что при всех вариантах остеосинтеза происходит
уменьшение сжимающей силы в послеоперационный период. Скорость и величина её уменьшения к концу периода сращения практически одинаковы и составляют в среднем 0,4 Н/день и 22%, соответственно.
Заключение
Полученные результаты моделирования послеоперационного изменения биомеханического состояния костной ткани шейки бедра, подвергнутой остеосинтезу тремя упругими резьбовыми фиксаторами, показывают, что представленная модель качественно правильно описывает как этап установки фиксаторов, так и последующий процесс адаптационных изменений структуры и механических свойств костной ткани.
Применение упругих резьбовых фиксаторов в исследованном интервале изменения их жёсткости и величины удлинения при закручивании обеспечивает осевое сжатие шейки силой не более 440 Н при установке фиксаторов и не менее 360 Н к окончанию периода сращения. Поскольку на протяжении всего периода сращения уменьшение силы сжатия происходит монотонно и достаточно медленно, то достигнутую с помощью упругих фиксаторов фиксацию можно считать стабильной.
Время, день
Рис. 12. Изменение силы осевого сжатия шейки в зависимости от жёсткости пружины фиксатора с и величины её удлинения при установке А/0. Сплошной линией обозначены процессы при А/0=2,0 мм,
пунктиром - при А/0=1,5 мм
Однако для выбора необходимой жёсткости пружины фиксатора и предельной величины её удлинения при закручивании имплантата требуется оценка наименьшего допустимого уровня усилия сжатия отломков кости, удовлетворяющего условиям сращения губчатой костной ткани при одноопорной ходьбе пациента на костылях.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект М 07-01-00787.
Список литературы
1. Frost, H.M. The laws of Bone Structure / H.M. Frost. - Charles C. Thomas Publisher. - Springfield, 1964.
2. Hegedus, D.H. Bone remodeling II: small strain adaptive elasticity / D.H. Hegedus, S.C. Cowin // Journal of Elasticity.-1976 - Vol. 6, No. 4. - P. 337-352.
3. Martin, R.B. Skeletal tissue mechanics / R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey.- New York: Springer, 1998.
4. McElhaney, J.H. Mechanical properties of cancellous bone / J.H. McElhaney, V.L. Roberts // AIAA Paper-1971. - No. 8. - P. 71-111.
5. Parfitt, A.M. Bone remodeling in the pathogenesis of osteoporosis / A.M Parfitt // Med. Times.-1981.-Vol. 109. - P. 80-92.
6. Rho, J. Y. Elastic properties of microstructural components of human bone tissue as measured by indentation / J.Y. Rho, M.E. Roy, T.Y. Tsui, G.M. Pharr // Biomed Mater Res. - 1999. - P. 45-48.
7. Sotin, A.V. The calculation of loads acting on the femur during normal human walking / A.V. Sotin, Yu.V. Akulich, R.M. Podgaets // Russian Journal Biomechanics.- 2000.- Vol. 4, No. 1. - P. 49-61.
8. Sotin, A.V. The model of cortical bone tissue adaptive remodeling / A.V. Sotin, Yu.V. Akulich, R.M. Podgaets // Russian Journal of Biomechanics.- 2001. - Vol. 4, No. 5. - P. 24-31.
9. Акулич, А.Ю. Устройство для остеосинтеза. Патент на изобретение № 2231990 (Россия) / А.Ю. Акулич, Ю.В. Акулич, А.С. Денисов // Бюллетень ФИПС № 19 от 10. 07. 2004.
10. Акулич, Ю.В. Математическая модель процесса внутренней адаптационной перестройки спонгиозной и кортикальной костных тканей человека / Ю.В Акулич // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Т. 9, №2. - C. 157-168.
11. Акулич, Ю.В. Экспериментальное определение индивидуальных параметров структуры губчатой кости проксимальной части бедра человека / Ю.В. Акулич, А.Ю. Акулич, А.С. Денисов // Российский журнал биомеханики. - 2006. - T. 10, № 4. - C. 9-17.
12. Акулич, Ю.В. Осевое усилие сжатия шейки бедра при ходьбе на костылях / Ю.В. Акулич, А.А. Мальцева, А.Ю. Акулич // Тезисы докладов международной школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Ростов-на-Дону, 2005. - C. 24.
13. Демпстер, Д.В. Ремоделирование кости / Д.В. Демпстер, Б.Л. Риггз, Л. Дж. Мелтон. Остеопороз: пер. с англ. - М.; СПб.: Изд-во БИНОМ, Невский диалект, 2000.
14. Джанг, Д.Й. Численное прогнозирование перемещения вертлужной чаши под действием высоких сжимающих напряжений на основе моделирования резорбции костной ткани / Д.Й. Джанг, С. Цуцуми, Й.Б. Канг, Р. Секель // Российский журнал биомеханики. -2005.- T. 9, № 3. - C. 32-45.
15. Тверье, В.М. Биомеханическое описание структуры костных тканей зубочелюстной системы человека / В.М. Тверье, Е.Ю. Симановская, А.Н. Еловикова, Ю.И. Няшин, А.А. Киченко // Российский журнал биомеханики. -2007.- Т. 11, №1. - C. 3-9.
ADAPTATION PROCESSES IN THE BONE TISSUE OF THE FEMORAL NECK AFTER ITS OSTEOSYNTHESIS BY ELASTIC FIXING SCREWS
Yu.V. Akulich, A.Yu. Akulich, A.S. Denisov, R.M. Podgaets (Perm, Russia)
The axial compression of the femur neck by elastic threaded implants resulting from the surgical operation of its osteosynthesis after the bone fracture has been the focus of attention of the present paper. The mathematical model and the solution algorithm of the corresponding uniaxial initial boundary value problem of adaptive poroelasticity have been presented. The sponge bone tissue of the considered femur region is considered to be nonuniform and isotropic, with the phenomenological equation derived in our previous paper (Akulich et al., Russian journal of Biomechanics, 2005, No. 2). The structural model of the sponge bone tissue incorporates solid matrix and the identical hollow spherical pores. The rate of the pores radius change has been connected with the strain stimulus of adaptation by the kinetic equation derived in paper (Sotin et al., Russian journal of Biomechanics, 2001, No. 5). Processes in the interfragmental space have not been considered. As a necessary condition for bone consolidation has been assumed the following: the compressive effort has to be large enough to provide a permanent contact between fracture surfaces, and the bone tissue porosity in bone fragments has to be normal (not pathologic). The subject of investigation in the present paper is the effect of stiffness and mounting elongation of springs of the fixing rods on the post-surgical time variations in structural parameters and mechanical characteristics of the bone tissue.
Key words: femoral neck, osteosynthesis, elastic threaded fixing rods, mathematical simulation, adaptation, structural and mechanical characteristics of bone.
Получено 11 сентября 2007
