CC BY
17
ISSN 1992-6502 (Print)_
2015. Т. 19, № 3 (69). С. 190-196
Ъюьшм QjrAQllQj
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
УДК 004.65
Абстрагирование раскройного плана до плоского графа для эффективного
решения задачи вырезания деталей
1 2 т. а. Макаровских , е. а. Савицкий
1 kwark@mail.ru, 2 egor88@inbox.ru 1,2 ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (ЮУрГУ)
Поступила в редакцию 16 сентября 2015 г.
Аннотация. Новые технологии позволяют осуществлять вырезание по произвольной траектории с достаточной для практики точностью. Снятие требования резки только сквозными прямолинейными ре-зами позволяет существенно снизить отходы материала. К ресурсосберегающим технологиям раскроя листового материала относятся технологии 1СР и ЕСР, допускающие совмещение фрагментов контуров вырезаемых деталей. Проблемы уменьшения отходов материала и максимального совмещения фрагментов контуров вырезаемых деталей решается на этапе составления раскройного плана. В статье рассмотрен способ представления данных о раскройном плане, которые используются при построении эффективных алгоритмов поиска маршрутов, удовлетворяющих определенным технологическим ограничениям.
Ключевые слова: плоский граф; задача раскроя; структуры данных; маршрутизация.
ВВЕДЕНИЕ
В 1949 г. за рубежом появились первые публикации по линейному программированию. В 1951 г. вышло первое издание монографии [1], в которой впервые рассмотрены вопросы применения линейного программирования для оптимального гильотинного раскроя (т.е. построения раскройного плана с определением последовательности сквозных резов на гильотине). Развитие автоматизации производства привело к появлению технологического оборудования с числовым программным управлением (ЧПУ), используемого для резки листовых материалов: машин газовой (кислородной), плазменной, лазерной и электроэрозионной резки материала. Новые технологии позволяют осуществлять вырезание по произвольной траектории с достаточной для практики точностью.
Снятие требования резки только сквозными прямолинейными резами позволяет существенно снизить отходы материала, в связи с этим появилось множество публикаций, посвященных вопросам негильотинного раскроя и его оптимизации в различных производствах и на разных уровнях автоматизации. Подробный обзор задач раскроя, алгоритмов и методов их решения специалистами уфимской научной
школы приведен в работе А. С. Филипповой [2]. Задачам геометрического проектирования и управления посвящены также работы Ю. Г. Стояна [3]. Точным методам негильотинного прямоугольного раскроя посвящены и работы В. М. Картака [4], А. А. Петунина [5], коллектива Р. Девила [6]. Интерес к этим задачам привел к тому, что в настоящее время по всему миру существуют сообщества, объединяющие исследователей, заинтересованных в данной задаче, например, ESICUP (Европейская группа по интересам в области раскроя-упаковки) [7].
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ МАРШРУТИЗАЦИИ ДЛЯ МАШИН ЛИСТОВОЙ РЕЗКИ
В отличие от гильотинного раскроя, негильотинный раскройный план не дает программу вырезания деталей. Построение программы управления раскройным автоматом для реализации заданного раскройного плана является самостоятельной задачей. В работе [8] Дж. Хо-эфт и У. С. Палекар предлагают следующую классификацию задач маршрутизации инструмента машин листовой резки (рис. 1).
1. Обобщенная задача коммивояжера (GTSP) Generalized Travelling Salesman Problem: режущий инструмент последовательно прохо-
дит по контуру каждой детали. Точка врезки в контур задана. Данная технология не допускает совмещения фрагментов контуров вырезаемых деталей. Оптимальным маршрутом является решение обобщенной задачи коммивояжера на множестве точек врезки с ограничениями предшествования, учитывающими вложенность одних контуров во внутренность других (рис. 2).
Рис. 1. Классификация задач вырезания деталей
Рис. 2. GTSP-технология
2. Задача последовательной резки (CCP) (Continuous Cutting Problem): детали вырезаются последовательно. Точка врезки может находиться в любой части контура, переход к другому контуру осуществляется только после окончания вырезания текущего. Данная технология, как и GTSP, не допускает совмещения фрагментов контуров вырезаемых деталей. Оптимальным маршрутом является решение обобщенной задачи коммивояжера на множестве точек врезки с ограничениями предшествования, учитывающими вложенность одних контуров во внутренность других (рис. 3). Технологии GTSP и CCP различаются размерами и значениями элементов матриц стоимостей для задачи коммивояжера. Размер CPP задачи коммивояжера в общем случае не меньше размера GTSP задачи коммивояжера. Фактически технология CCP
в сравнении с технологией ОТ8Р позволяет сократить только время на холостые проходы между точками врезки. Алгоритмы для задачи маршрутизации по технологии ССР приведены в работах [5, 9].
Рис. 3. CPP-технология
3. Задача с фиксированными точками врезки (ECP) (Endpoint Cutting Problem): инструмент осуществляет врезку и переходит к другому фрагменту раскройного плана в заданных точках на границе. Допускается совмещение контуров вырезаемых деталей, что приводит к вырезанию контура отдельных деталей по частям (рис. 4).
Рис. 4. ЕСР-технология
Для реализации данной технологии необходимо представление раскройного плана в виде плоского графа, в котором каждая компонента связности является полуэйлеровым графом с вершинами нечетной степени инцидентными ее внешней грани. В этом случае построение маршрута для вырезания каждой компоненты связности сводится к построению ОЕ-цепи [5, 10]. Порядок обхода компонент связности определяется решением обобщенной задачи коммивояжера на орграфе возможных переходов между компонентами связности с ограничениями
предшествования, учитывающими вложенность одних компонент связности во внутренность контуров других компонент связности. Поскольку, благодаря совмещению фрагментов контуров деталей, количество компонент связности меньше количества деталей, то размер ECP задачи коммивояжера в общем случае не больше размера GTSP задачи коммивояжера.
4. Задача прерывистого раскроя (ICP) (Intermittent Cutting Problem): общий случай задачи раскроя, когда допускается совмещение контуров вырезаемых деталей, и нет ограничений на выбор точек врезки (рис. 5).
Рис. 5. 1СР-технология
Для реализации данной технологии необходимо представление раскройного плана в виде плоского графа, в котором, в отличие от технологии ЕСР, отсутствует требование эйлеровости компонент связности. Построение маршрута для вырезания каждой компоненты связности сводится к построению упорядоченного эйлерового покрытия данной компоненты связности ОЕ-цепями [11, 12]. Порядок обхода компонент связности определяется решением обобщенной задачи коммивояжера на орграфе возможных переходов между компонентами связности с ограничениями предшествования, учитывающими вложенность одних компонент связности во внутренность контуров других компонент связности. Снятие ограничения эйлеровости компонент связности позволяет увеличить их размер за счет совмещения фрагментов контуров деталей, тем самым уменьшить количество компонент связности. Следовательно, размер 1СР задачи коммивояжера не больше размера ЕСР задачи коммивояжера.
Таким образом, технологии ЕСР и 1СР за счет возможности совмещения границ вырезаемых деталей позволяют сократить расход материала, длину горячей резки и длину холостых проходов. Проблемы уменьшения отходов ма-
териала и максимального совмещения фрагментов контуров вырезаемых деталей решаются на этапе составления раскройного плана. Целью данной работы является изложение способа представления информации о раскройном плане для ее дальнейшего использования при построении алгоритмов нахождения маршрутов, удовлетворяющих технологическим ограничениям.
2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ПРОЦЕССОВ РАСКРОЯ
Применение технологий ЕСР и 1СР в системе технологической подготовки процессов раскроя плоских деталей предполагает следующие этапы.
1. Составление раскройного плана, заключающееся в нахождении такого варианта размещения вырезаемых деталей на прямоугольном листе или ленте, при котором минимизируются отходы и максимизируется длина совмещенных элементов контуров вырезаемых деталей. Решению данной задачи посвящено множество публикаций [1, 2, 4, 9].
2. Абстрагирование раскройного плана до плоского графа. Для определения последовательности резки фрагментов раскройного плана не используется информация о форме детали, поэтому все кривые без самопересечений и соприкосновений на плоскости, представляющие форму деталей, интерпретируются в виде ребер графа, а все точки пересечений и соприкосновений представляются в виде вершин графа. Для анализа выполнения технологических ограничений необходимо введение дополнительных функций на множестве вершин, граней и ребер полученного графа.
3. Решение задачи построения оптимальных маршрутов с ограничениями, наложенными на порядок обхода ребер. Данные ограничения непосредственно вытекают из технологических ограничений, наложенных на порядок вырезания деталей: отрезанная от листа часть не должна требовать дополнительных разрезаний
[13], должны отсутствовать пересечения резов
[14], необходимо оптимизировать длину холостых переходов [13], минимизировать количество точек врезки [15] и т.д.
4. Составление программы управления процессом раскроя на основе маршрута, найденного с помощью алгоритма решения абстрагированной задачи маршрутизации. Здесь выполняется обратная замена абстрактных ребер плоского графа системой команд раскройному автомату, обеспечивающей движение по кри-
вым на плоскости, соответствующим форме вырезаемой детали.
Этапы построения раскройного плана и интерпретации найденного маршрута в терминах команд раскройному автомату являются общими для всех технологий и достаточно известны. В статье рассмотрены особенности реализации второго этапа для технологий ЕСР и 1СР.
3. АБСТРАГИРОВАНИЕ РАСКРОЙНОГО ПЛАНА ДО ПЛОСКОГО ГРАФА
Моделью раскройного листа будем считать плоскость моделью раскройного плана - плоский граф О с внешней гранью /0 на плоскости
Множество вершин компонент связности графа О негомеоморфных окружности будем считать точки соприкосновения трех и более фрагментов раскройного плана, а соответствующие фрагменты - ребрами, инцидентными данной вершине. Компоненту связности гомео-морфную окружности будем считать петлей. На рис. 6-7 представлены плоские графы, являющиеся гомеоморфными образами ЕСР и 1СР раскройных планов (см. рис. 2-5).
fs
Рис. 6. ECP-граф
S>—Е!—
-i е? г
с»>
А - е< -
Г
©
Iе* -tvL
Рис. 7.1СР-граф
Для любой части графа J с G обозначим через Int (J) теоретико-множественное объединение его внутренних граней (объединение всех связных компонент S Г J, не содержащих
внешней грани). Если считать, что режущий инструмент прошел по всем фрагментам графа J, то Int (J) можно интерпретировать как отрезанную от листа часть. Множества вершин, ребер и граней графа J будем обозначать через V(J), E(J) и F(J) соответственно, а через | M | - число элементов множества M.
Для представления образа раскройного плана в виде плоского графа G = (V, F, E) определим для каждого ребра e е E(G) следующие функции [18]:
• v1(e), v2(e) - вершины, инцидентные ребру e;
• fk (e) - грань, находящаяся справа при движении по ребру e от вершины vk (e) к вершине v3_k (e), k = 1,2 ;
• lk (e) - ребро, инцидентное грани f3_k (e) и Vk (e), k = 1,2;
• rk (e) - ребро, инцидентное грани fk (e) и vk (e), k = 1,2.
Иллюстрация введенных функций дана на рис. 8.
f2(e)
fi(e)
Рис. 8. Функции для представления плоского графа
Их построение не составляет проблем. Фактически они определяются и используются еще на этапе проектирования графа в по раскройному плану. Пространственная сложность такого представления равна О ||Е|'1о§2 ) .
Поскольку функции Ук (е) , /к (е) , ¡к (е) , к = 1,2, построенные на ребрах графа О = (V, Г, Е), для каждого ребра определяют инцидентные вершины, инцидентные грани и смежные ребра, то справедливо следующее предложение.
Утверждение 1. Функции Ук (е), /к (е), ¡к (е), к = 1,2, построенные на ребрах графа О = (V, Г, Е), определяют плоский граф О = (V, Г, Е) с точностью до гомеоморфизма.
Таким образом, используя известные координаты прообразов вершин графа О = (V, Г, Е)
и размещения фрагментов раскройного плана, являющихся прообразами ребер графа G = (V, F, E), любой маршрут в графе G = (V, F, E) можно интерпретировать как траекторию режущего инструмента.
Для формализации технологических ограничений на порядок резки введем определение ранга для элементов плоского графа G = (V, F, E), представленного функциями
vk(e), fk(e), 4(e), к = 1,2.
Определение 1. Рангом ребра e е E(G) будем называть значение функции rank : E(G) ^ N, определяемую рекурсивно:
• пусть E1 (G) = {e еE(G):e с f0} - множество ребер, ограничивающих внешнюю грань f0 графа G = (V, F, E), тогда
(Ve е E1(G) )(rank(e) = 1);
• пусть Ek (G) = je е E \ jjjE/ jj - множе-
ство ребер ранга 1 графа Gk V, E \ I ^ El
,1=0
то-
гда (Ve е Ek (G))(rank(e) = к) .
Определение 2. Рангом грани f е F(G)
будем называть значение функции rank: F (G) ^ Z"0:
f0, пРи f = fo,
rank( f) = <
min eeE (f) rank(e), в противном случае,
где E (f) - множество ребер инцидентных грани f е F.
Определение 3. Рангом вершины v е V(G) будем называть значение функции rank : V(G) ^ N : rank(v) = mineeE(v) rank(e), где
E (v) - множество ребер инцидентных вершине v eV.
Ранг ребра определяет его удаленность от внешней грани и показывает, какое минимальное число граней необходимо пересечь, чтобы добраться от внешней грани f0 до этого ребра. Это позволяет для определения ранга использовать граф G'(V, F, E), топологически двойственный исходному графу G = (V, F, E): множеством вершин графа G' является множество F граней графа G, а ребрам графа G' соответствует наличие между двумя гранями границы ненулевой длины, т.е. ребра e е E(G). Изображение графов, двойственных представленным на рис. 6-7, приведено на рис. 9-10.
Для всех / е Е(О) расстояние в графе О' между / и внешней гранью / можно определить, построив в графе О' дерево Т£? кратчайших путей до вершины / е Е. Наличие в представлении графа О функций 1к : Е(О) ^ Е(О), к = 1,2 позволяет найти функции ранга за время, не превосходящее величины 0(| Е | log21 V |) [10].
^' 12'■ ; : : : '■ : ' - @
; ; "-и
е,- \е,г. е
sks
Рис. 9. Двойственный ЕСР-граф
:еиг ;е9\ \е,\ \е2\ \ёу[
Рис. 10. Двойственный 1СР-граф
Поскольку вырезаемые по раскройному плану фрагменты являются прообразами граней, то требования к последовательности обхода граней, гарантирующие отсутствия необходимости резки отрезанных фрагментов, легко формализовать в терминах графа О'. Пусть ( -отношение частичного порядка на Е(О), индуцируемое деревом ТО/ кратчайших путей до вершины /0 е Е:
((■ (/ принадлежит цепи в Т^ между/ и/0 ).
Утверждение 2. Порядок обхода граней является допустимым в том и только том случае, если он является расширением частичного порядка (.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные структуры данных для представления информации о раскройном плане используются при построении эффективных алгоритмов поиска маршрутов, удовлетворяющих определенным технологическим ограничениям. Пространственная сложность рассмотренного представления равна O||-log2|V|).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Канторович Л. В., Залгаллер В. А. Рациональный раскрой промышленных материалов. СПб.: Невский Диалект, 2012. 304 с. [L. V. Kantorovich, V. A. Zalgaller Rational Cutting of Industrial Materials (in Russian). St. Peterburg: Nevskiy Dialect, 2012.]
2. Филиппова А. С. Обзор методов решения задач раскроя-упаковки уфимской научной школы Э. А. Мухаче-вой // Статистика. Моделирование. Оптимизация. Сборник трудов Всероссийской конференции (Челябинск, 28 ноября - 3 декабря 2011 г.). Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. С. 73-85. [A. S. Filippova "The Review of Solution Methods for Cutting-and-Packing Problems by Ufa Scientific School of Elita Mukhacheva" (in Russian) in Proc. of All-Russia Conference on Statistics, Modelling, and Optimization, 2011, pp.73-85.]
3. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Киев. Наукова думка. 1986. 268 с. [Yu. G. Stoyan, S. V. Yakovlev Mathematical Models and Optimization Methods of Geometric Projecting (in Russian). Kiev: Naukova Dumka. 1986.]
4. Картак В. М. Задача упаковки прямоугольников: точный алгоритм на базе матричного представления // Вестник УГАТУ, сер. «Управление, вычислительная техника и информатика». 2007. Т. 9. №. 4(22). C. 104-110. [V. M. Kartak The Problem of Rectangular Packing: the Exact Algorithm on the Base of Matrix Representation (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 9, no. 4 (22), pp. 104-110, 2007.]
5. Петунин А. А., Ченцов А. Г., Ченцов П. А. К вопросу о маршрутизации движения инструмента в машинах листовой резки с числовым программным управлением // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. «Информатика. Телекоммуникации. Управление». 2013. №. 169. C. 103-111. [A. A. Petunin, A. G. Chentsov, P. A. Chentsov On the Question of Routing of Instrument Moving for NPC-Machines of a Sheet Cutting (in Russian). In Nauchno-Technicheskiye Vedomosti Sankt-Peterburgskogo politechnicheskogo universiteta. 2013. №. 169. pp. 103-111.]
6. Dewil, R., Vansteenwegen, P., Cattrysse, D., Laguna, M., Vossen, T. An improvement heuristic framework for the laser cutting tool path problem // International Journal of Production Research, 2015. Volume 53, Issue 6, Pages 17611776.
7. EURO Special Interest Group on Cutting and Packing
[Электронный ресурс]. http://www.fe.up.pt/esicup (дата обращения 11.09.2015)
8. Hoeft J., Palekar U.S. Heuristics for the plate-cutting travelling salesman problem // IIE Transactions. 1997. №.29(9). P. 719-731.
9. Верхотуров М. А., Тарасенко П. Ю. Математическое обеспечение задачи оптимизации пути режущего инструмента при плоском фигурном раскрое на основе цепной резки// Вестник УГАТУ, «Управление, вычислительная техника и информатика». 2008. Т. 10, №. 2(27). С. 123-130. [M. A. Verhoturov, P. Yu. Tarasenko Mathematical Support for Optimization Problem of a Cutter Path for Plane Figure Cutting on the Base of Circuit Cut (in Russian). In Vestnik UGATU, vol. 10, no. 2 (27), pp. 123-130, 2008.]
10. Panyukov A. V. Panioukova T. A. The Algorithm for Tracing of Flat Euler Cycles with Ordered Enclosing // Proceedings of Chelyabinsk Scientific Center, 2000. № 4(9). P. 18-22. http://elibrary.ru/item.asp?id=1614035 (дата обращения 11.09.2015).
11. Panyukova T. Eulerian Cover with Ordered Enclosing for Flat Graphs // Electronic Notes in Discrete Mathematics. 2007. Vol. 28. P. 17-24.
12. Panyukova T. Chain sequences with ordered enclosing// Journal of Computer and System Sciences International, 2007, Vol. 46, №. 1(10). P. 83-92.
13. Панюкова Т. А. Оптимизация использования ресурсов при технологической подготовке процесса раскроя// Прикладная информатика. - № 3(39), 2012. С. 2032. [T. A. Panyukova Optimization of Usage of Resources for Technological Support of Cutting Process (in Russian). In Prikladnaya Informatika, №3(39), 2012. Pp.20-32.]
14. Фляйшнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. М.: Мир, 2002. 335 с. [H. Fleischner Eulerian Graphs and Related Topics (in Russian). M: Mir, 2002.]
15. Панюкова Т. А. Цепи с упорядоченным охватыва-нием в плоских графах// Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск: 2. 2006. Т.13. № 2. С. 31-43. [T. A. Panyukova Trails with Ordered Enclosing in Plane Graphs (in Russian). In Diskretny Analys and Issledovaniye Operaciy. Part 2. 2006. Vol.13. No.2. Pp.31-43.]
ОБ АВТОРАХ
МАКАРОВСКИХ Татьяна Анатольевна, доц. каф. экономико-математических методов и статистики ЮУрГУ. Дипл. инженер-математик (ЮУрГУ, 2003). Канд. физ.-мат.наук по тео. осн. информатики (ВЦ РАН, 2006). Иссл. в обл. теории графов.
САВИЦКИЙ Егор Александрович, аспирант каф. экономико-математических методов и статистики. Дипл. экономист-математик (ЮУрГУ, 2013). Готовит дисс. о технике программной реализации алгоритмов управления процессом раскроя.
METADATA
Title: Abstracting of a Cutting Plan to a Plane Graph for Effective Solution of Details Cut-off Problem. Authors: Т. А. Makarovskikh1, E. A. Savitsky2. Affiliation:
1,2 South Ural State University (SUSU), Russia. Email: 1 kwark@mail.ru, 2 egor88@inbox.ru. Language: Russian.
Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 19, no. 3 (69), pp. 190-196, 2015. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print).
Abstract: New technologies allow realizing cutting along an arbitrary path with sufficient for practical purposes accuracy. Withdrawal of the requirement to cut only by straight through-cuts can significantly reduce material waste. Technologies ICP and ECP belong to resource-saving ones. These technologies allow combine the fragments of contours of cut-off details. Problems of reducing the material waste and maximizing combination of fragments contours of cut out parts is achieved at the stage of cutting plan design. The aim of this paper is to introduce the data representation of a cutting plan used for projecting the effective routing algorithms for the given technological restrictions.
Key words: Plane graph, cutting problem, data structures, routing
About authors:
MAKAROVSKIKH, Tatiana Anatolievna, Ass.prof., Dept. of Mathematical Methods in Economics and Statistics. Dipl. Engineer-Mathematician (South Ural State Univ., 2003). Cand. of Phys. and Math. Sci. (CC RAS, 2006).
SAVITSKY, Egor Aleksandrovich, Postgrad. (PhD) Student, Dept. of Mathematical Methods in Economics and Statistics (SUSU, 2013).
