CC BY
32
АБЕРРАЦИИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОБЪЕМНОГО ГОЛОГРАММНОГО ОПТИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА
Юрий Цыдыпович Батомункуев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного,10, кандидат технических наук, доцент, е-mail: opttechnic@mail.ru
Представлены выражения коэффициентов аберраций седьмого и девятого порядков объемного голограммного оптического элемента. Показана необходимость учета аберраций девятого порядка для голограммных оптических элементов с относительным отверстием больше 1 : 1. Отмечается, что изменением температуры могут быть скорректированы отдельные типы аберраций.
Ключевые слова: голограммный оптический элемент, аберрации высших порядков, деформационные аберрации.
HIGHER-ORDER ABERRATIONS OF VOLUME HOLOGRAPHIC OPTICAL ELEMENT
Yuri Ts. Batomunkuev
Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russian Federation, associate professor, е-mail: opttechnic@mail.ru
The formulas for coefficients of the seventh and ninth order aberrations for volume holographic optical element are presented. It is shown that aberrations of the ninth order for holographic optical element with relative aperture greater then 1:1 are necessary taken into account. It is noted that same types of aberrations can be corrected by change of temperature.
Key words: holographic optical element, higher-order aberrations, deformation aberrations.
Известно, что фокусное расстояние голограммного оптического элемента (ГОЭ) очень быстро уменьшается при увеличении рабочей длины волны. При этом возрастает величина относительного отверстия ГОЭ, что приводит к росту аберраций высших порядков. Также известно, что для светосильного тонкого ГОЭ возможно исправление сферических аберраций третьего, пятого и седьмого порядков [1-3]. Выражения коэффициентов аберраций высших порядков тонкого ГОЭ представлены в [4,5]. Однако при расчете аберраций объемного ГОЭ требуется учитывать его толщину и селективные свойства [6,7]. Целью работы является расчет аберраций высших порядков объемного ГОЭ с относительным отверстием 1:1 и более.
На рис. 1а представлена рабочая схема пропускающего объемного ГОЭ, где Pc(xc,yc,zc) - точка предмета, Pi(xi,yi,zi) - соответствующая ей точка изображения, M(x,y,z) - произвольная точка объемного ГОЭ. Ось Оz декартовой системы координат на рисунке 1 является оптической осью и направлена перпендикулярно поверхностям ГОЭ. Плоскость координат хОу проходит через центр ГОЭ. На рис. 1б представлена схема записи объемного пропускающего ГОЭ опорной и объектной сферическими волнами, где Pr(0,0,zr) - точечный
источник опорной (референтной) волны, Ро(0,0^о) - точечный источник объектной волны, М'(х',у',^) - точка объема ГОЭ при записи, соответствующая точке М(х,у^) при использовании. Обозначим расстояния в рабочей схеме как: РСМ = 1с, МРІ = 1і, а расстояния, указанные в схеме записи, как: РГМ' = 1г, М'Ро = 1о, где х'=х/тх, у'=у/ту, z'=z/mz (тх, ту, т2 - коэффициенты усадки или набухания объемного ГОЭ вдоль соответствующих осей декартовой системы координат).
Рис. 1. Рабочая схема (а) и схема записи (б) пропускающего объемного ГОЭ
Для объемного осевого ГОЭ характеристическая функция У(х,у,т) записывается в виде [4]
У(х,у^) = 1с - Тс ± (11 - т) - к^(х,у^)Хс/Пс, (1)
где т(х,у,т) = по(1г - тг ± (1о - то))/Хо - количество периодов пространственного распределения модуляции показателя преломления, коэффициента поглощения или толщины объемного ГОЭ; п и пс - начальное и среднее конечное значения показателя преломления; Хо - длина волны лазера, используемого при записи; Хс - рабочая длина волны; к - порядок дифракции.
В силу пространственной и угловой селективности объемных ГОЭ практический интерес представляет случай, когда поперечные размеры (диаметр) объемного ГОЭ намного меньше расстояний тс, z1 до плоскостей предмета и изображения, но больше размеров предмета и изображения. Кроме этого считаем, что при записи отклонение от оптической оси источников опорной и объектной волн меньше поперечных размеров объемного ГОЭ, а размеры ГОЭ много меньше расстояний тг, то от нее до источников опорной и объектной волн. Также считаем, что толщина ГОЭ много меньше расстояний тг, т0. Выражения для расстояний 1с могут быть разложены в ряд по величинам малости хс/гс, ус/гс, х/гс, у/гс, т/гс, а выражения для расстояния 1г - по величинам малости хг/гг, уг/гг, х/гг, у/гг, т/гг. Аналогичным образом, разлагая выражения для расстояний 11, 10 и подставляя в характеристическую функцию (1), получаем У(х,у,т) = Vlt(x,y) + УЦх,у^) + Уз1<х,у) + Узу(х,у,т) +
+ У51<Х,у) + V5у(х,у,т) + У^(х,у) + У7у(х,у,т) + У*(х,у) + У^(х,у,т) + ..., (2)
где Vlt(x,y) = х2р200/2 + у2р020/2 - хБш - уБою - члены разложения, характеризующие аберрации первого порядка тонкого осевого ГОЭ;
У1у(х,у,т) = (х2/2)(2р201 + 2^202) + ^/2)^021 + т2Б022) - хгБю1 - х^Б^ -утБ011 - ут Б012 - члены разложения, характеризующие объемные аберрации первого порядка;
У3,(х,у) = - (x4/8)S4оо - (х2у2/4^220 - (y4/8)S040 + (Х3/2)С300 + (х2у/2)С210 +
+ (у2х/2)С120 + (у3/2)С030 - (х2/2)А200 - хуАш - (у2/2)Л02„ -
- (х2/4)(Е200 - (у2/4)Е020 - (x/2)D100 - (у/2)Д)10 (3)
- члены разложения, характеризующие аберрации третьего порядка тонкого осевого ГОЭ;
Уз,(х,у,т) = - (x4/8)(3zS401 + 6т^402) - (x2y2/4)(3zS221 + 6т%22) -
- (y4/8)(3zSо4l + 6z2Sо42) + (х3/2)(3тСз01 + 6т2Сз02) + (х2у/2)(3тС211 + 6т2С212) +
+ (ху2/2)(3тС121 + 6т2С122) + (у3/2)(3тС031 + 6т2С(т) -
- (х2/2)(3тА201 + 6т2 А202) - ху(3тАш + 6т2Аш) - (у2/2)(3тА<ш + 6т2 А022) -
- (Х2/4)(3тЕ201 + 62^202) - (у2/4)(3тЕ021 + 672Еш) +
+ (х/2Х3г^01 + 6z2DЮ2) + (y/2)(3zDоll + 6т2БШ2) (4)
У5,(х,у), У7,(х,у), У9,(х,у) - члены разложения, характеризующие аберрации пятого, седьмого и девятого порядков тонкого осевого ГОЭ;
У5у(х,у,т), У7у(х,у,т), У9у(х,у,т) - члены разложения, характеризующие объемные аберрации пятого, седьмого и девятого порядков.
В отличие от [3] в выражении (2) характеристическая функция У(х,у,т) представлена в виде суммы членов разложения, соответствующих разным порядкам аберраций, причем в явном виде выделены типы объемных аберраций. По сравнению с характеристической функцией тонкого ГОЭ, в (2) учтены толщина, изменения толщины (усадка), изменение размеров и изменение показателя преломления объемного ГОЭ. По аналогии с известными аберрационными коэффициентами тонкого ГОЭ аберрационные коэффициенты в У3,(х,у), У3у(х,у,т) соответствуют следующим типам аберраций третьего порядка [3]: - сферической аберрации, С^ - коме, А^ - астигматизму, Еук -
кривизне поверхности изображения, Dijk - дисторсии, где индексы 1,],к совпадают с соответствующими индексами аберрационных коэффициентов. Индексы ij,k также совпадают соответственно с показателями степени переменных х, у, т в У3,(х,у), У3у(х,у,т). Аналитические выражения членов разложения У5,(х,у), У5у(х,у,т), У7,(х,у), У7у(х,у,т), У«и(х,у), У9у(х,у,т) и их коэффициентов аберраций приведены в приложении. Выражения для коэффициентов при индексе к = 0 совпадают с известными выражениями коэффициентов аберраций высших порядков тонкого ГОЭ [3-5].
На рис. 2 представлены расчетные значения первых сферических аберраций седьмого (пунктирная линия) и девятого (сплошная линия) порядков объемного ГОЭ с относительным отверстием примерно 1:1 на рабочей длине волны 532 нм. Радиус сферической аберрации девятого порядка превышает аберрацию седьмого порядка. Таким образом, при расчете объемных ГОЭ с относительным отверстием 1:1 и более требуется учитывать аберрации девятого порядка.
В выражениях коэффициентов аберраций в явном виде можно выделить составляющие
монохроматической и хроматической аберраций и аберраций, возникающих из-за изменения среднего показателя преломления и размеров объемного ГОЭ, в том числе
фотоиндуцированных и
термоиндуцированных аберраций. Так, средний показатель преломления nc объемного ГОЭ может быть представлен в виде [8]
nc = По + Anf + Ant + Ana, где По - начальное значение показателя преломления, Anf и Ant -фотоиндуцированное и термоиндуцированное изменения показателя преломления, Ana - изменение показателя преломления из-за деформации объемного ГОЭ.
Изменение размеров голограммного элемента вдоль каждой из осей системы координат может быть представлено в виде коэффициента [8] m = 1 + Amf + Amt + Amd,
где Amf, Amt - относительные фотоиндуцированное и термоиндуцированное изменения размеров, Amd - относительное изменение размеров из-за деформации объемного ГОЭ.
Известно, что в отличие от тонкого ГОЭ при расчете аберраций объемного ГОЭ необходимо учитывать его селективность [3]. В первом приближении координаты (х,у) крайних от оптической оси точек падения лучей, для которых выполняется условие локальной селективности, в зависимости от величины коэффициентов объемных монохроматических аберраций и толщины голографической среды определяются в непараксиальной области для объемного осевого ГОЭ из формул
х = (SAA3nzS40i/8 + 3nz2S402/4))1'4, у = (§yU(3nzS04i/8 + 3nz2S042/4))1/4. (5)
При оценочных расчетах локальные величины ^х и ^у можно принять равными приблизительно п.
Из характеристической функции V(x,y,z) объемного ГОЭ могут быть определены геометрические аберрации Aх, Ay точек изображения по известным формулам
Aх ~ Zi(dV(x,y,z)/dx),
Ay ~ Z^^V^y^/Sy).
Величины аберраций Aх, Ay рассчитываются с учетом (5). При этом получаем, что дисторсия не зависит от поперечных размеров и селективности объемного ГОЭ. Отметим что, селективность объемного ГОЭ приводит к уменьшению всех аберраций по сравнению с соответствующими аберрациями тонкого ГОЭ из-за уменьшения объема ГОЭ, в котором еще выполняется
Рис. 2. Сферическая аберрация седьмого и девятого порядков
Лу,
0,3 + мм
Дх, мм
условие дифракции Брэгга. Аналогичным образом могут быть получены выражения для геометрических аберраций пятого порядка и более высших порядков.
Выражения, описывающие геометрические хроматические аберрации, то есть отклонение координат лучей в плоскости изображения на величины Дх^, от параксиальной точки изображения могут быть получены вычислением частных производных по длине волны Хс из выражений для Дх и Дт
Дхх = (Э(Дх)/ЭХс)ДХс,
Дтх = (Э(Дт)/ЭХс)ДХс, (6)
где ДХс - изменение рабочей длины волны объемного осевого ГОЭ от заданного значения. Отметим, что при рассмотрении аберраций первого и третьего порядков объемного осевого ГОЭ от рабочей длины волны Хс в явном виде зависят только коэффициенты Fj■k и S j■k. Из (6), следует, что хроматические аберрации объемного ГОЭ складываются из хроматических аберраций тонкого ГОЭ и объемной хроматической аберрации, зависящей от толщины ГОЭ. Объемная хроматическая аберрация зависит от толщины ГОЭ в первом приближении обратно пропорционально.
Выражения, описывающие геометрические деформационные аберрации Дх^ Дуd объемного осевого ГОЭ, могут быть получены из Дх и Ду вычислением частных производных по напряжению а Дх^ = (Э(Дх)/Эа)Да,
Дуd = (д(Ду)/да)Да, (7)
где Да - изменение механического напряжения в объеме ГОЭ.
Из (7) получаем следующие выражения для определения изменения координат Дх^ Ду^ Дzd луча в плоскости изображения из-за изменения на Да механического напряжения объемного осевого ГОЭ:
1) при деформационной аберрации положения
Л Л
Дzd = (Эт1/Эа)Да = (кц/тх )(1/т ± 1/то)(2Дтх^тх + Дпа/п0)т1,
Л 5 Л
Дzd = (Эт1/Эа)Да = (кц/ту )(1/т ± 1/то)(2Дту^/ту + Дщ/п^,
2) при деформационной аберрации увеличения Дxd = (Б100 + гБш + z2Бl02)Дzd,
Дуd = (Б010 + тБ011 + Z2Боl2)ДZd,
3) при деформационной дефокусировке
Дхd = (0Б2оо/да + т^о^Эа + т20Б2о2/да)хт1Да + ^200 + тБ201 + z2F202)хДzd,
Дyd = (^2о/да + т^^Эа + т2^022/да)ут1Да + ^200 + zFо2l + т^2)уДт^
где дР200/Эа = к^(1/т ± 1/zо)(2Дmx,d + Дщ/п^/Да;
дР201/Эа = к^(1/тг2 ± 1/zо2)(2дmx,d + Дт2^ + Дщ/п^/Да;
дР202/Эа = к^(1/тг 3 ± 1/zо3)(2Дmx,d + 2Дт2^ + Дщ/п^/Да;
дР020/Эа = к^(1/тг ± 1/то)(2Дту4 + Дщ/п^/Да;
дР021/Эа = к^(1/тг2 ± 1/то2)(2Дту^ + Дт2^ + Дпd/пo)/Да;
дР022/Эа = к^(1/тг 3 ± 1/то3)(2Дту4 + 2Дт2^ + Дп/По)/Да;
4) при деформационной сферической аберрации третьего порядка Дхd = (Э84оо/0а + 3т^401/Эа + 6z2ЭS402/Эа)x3z1Да/2 +
+ (S400 + 3zS40l + 622S402)x3Д2d/2 +
+ (^220/Эа + 3т^221/Эа + 622ЭS222/Эа)xу221Да/2 + ^220 + 32S221 +
+ 6z2S222)xу2ДZd/2,
Дyd = (^040/Эа + 3т^041/Эа + 622ЭS042/Эа)y321Да/2 +
+ ^400 + 32Sо41 + 6z2Sо42)y3ДZd/2 +
+ (^22о/да + 3т^221/3а + 6т2^222/За)ух2т1Да/2 + (S22о + 3zS22l +
+ 622S222)yX2Д2d/2,
-5 -5
где ^400/Эа = к^(1/тг ± 1/то )(4Дmx,d + Дщ/п,)/Да;
^401/Эа = к^(1/тг4 ± Ут^^Дт^ + Дm2,d + Дпd/пo)/Да;
^402/Эа = к^(1/тг5 ± Ут^ХЧДт^ + 2Дтт^ + Дщ/п^/Да;
^040/Эа = к^(1/тг3 ± 1/то3)(4Дту^ + ДпУп,)/Да;
^041/Эа = к^(1/тг4 ± 1/то4)(4Дту^ + Дm2,d + Дщ/п^/Да;
^042/Эа = к^(1/тг5 ± 1/то5)(4Дту^ + 2Дтт^ + Дп/По)/Да;
5) при деформационной коме третьего порядка
Дхd = 3(С300 + 3тС301 + 6^С302) x2д2d/2 + (С210 + 3тС211 + 622C212)xУД2d +
+ (С120 + 3тС121 + 622Cl22)y2Д2d/2,
ДУd = (С210 + 3тС211 + 6z2C2l2)x2ДZd/2 + (С120 + 3тСШ + 622Cl22)хyД2d +
+ 3(Со3о + 3тСо31 + 6т2Со32)у2 Дzd/2;
6) при деформационном астигматизме третьего порядка
л л
Дхd = (А200 + 3тА201 + 6т Л202)xД2d + (Аш + 32Лш + 6т Аш)у^,
л л
Дуd = (Ацо + 32Лш + 6т Лш)xД2d + (Ао20 + 3тАо21 + 6т Ло22)yД2d;
7) при деформационной кривизне поверхности изображения третьего порядка
ДXd = (Е200 + 3тЕ201 + 6z2E202)xДzd/2,
Дуd = (Е200 + 3тЕ201 + 622E202)уД2d/2;
8) при деформационной дисторсии третьего порядка
Дхd = (D100 + 32D101 + 6т2О102)Д^/2,
ДУd = (D100 + + 622D102)Д2d/2.
Отметим, что величина дисторсии не зависит от размеров объемного осевого ГОЭ и определяется величиной деформационной аберрации положения
Д2d.
Важность получения аналитических выражений деформационной аберрации объемного ГОЭ заключается в том, что они позволяют получить количественные величины этих аберраций, сравнить их с заданными допустимыми погрешностями. Аналитические выражения для расчета термоиндуцированных и фотоиндуцированных аберраций могут быть получены из выражений для деформационных аберраций заменой в них деформационных изменений показателя преломления и коэффициента усадки на соответствующие фотоиндуцированные и термоиндуцированные изменения.
Полученные в явном виде выражения коэффициентов аберрации позволяют выявить новые возможности компенсации фотоиндуцированных, термоиндуцированных и деформационных аберраций и установить более оптимальные условия использования объемных ГОЭ. Так, например, фотоиндуцированная, термоиндуцированная и деформационная сферические аберрации взаимно компенсируются при изменении температуры на величину
АТ = [±(1/2c1+J+k-1 - 1/т1 ^^/(АЛо + Л^ЛоХ^г1^-1 - 1/2о1+J+k-1) + 1 -
1(Ат^ + Аmx,d) - J(Аmy,f +Аmy,d) - к(Атт/ + Атгд) - Апс/п -
-Ллсупо]/^ах + + jay + kaz + Эпс/п^Т + Эп^/п^Т), (8)
где ах, ay, az - коэффициенты температурного расширения вдоль осей Ox, Oy, Oz; 0псд/по0Т - фотоиндуцированный термооптический коэффициент объемного осевого ГОЭ; Эпс,а/по0Т - деформационный термооптический коэффициент объемного осевого ГОЭ; Лmx,f, Лmx,d Лmy,f, Лmy,d, Лmz,f, Лmz,d -фотоиндуцированное и деформационное изменения коэффициента усадки относительно осей Ох, Оу, Oz; Лп^, Лп^ - фотоиндуцированное и деформационное изменения показателя преломления.
Формула (8) может быть использована и локально при неоднородном изменении показателя преломления и усадки ГОЭ. В этом случае требуется формирование соответствующего пространственного поля температур ЛТ(х,у^) в объеме ГОЭ.
Таким образом, в работе получены выражения коэффициентов объемных аберраций седьмого и девятого порядков объемного голограммного оптического элемента. Показана необходимость учета аберраций девятого порядка для голограммных оптических элементов с относительным отверстием больше 1:1. В явном виде выделены деформационные аберрации объемного голограммного оптического элемента. Получено, выражение, для вычисления температуры, при которой могут быть скорректированы отдельные типы аберраций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Meier R.W. Magnification and third-order aberration in holography // JOSA.1965.V. 55. P. 987-992.
2. Latta J.N. Fifth-Order Hologram Aberrations // Appl. Optics. - 1971. - V. 10, N 3. - P. 666-667.
3. Ган М.А. Теория и методы расчета голограммных и киноформных оптических элементов. Л., ГОИ. 1984. 140 с.
4. Mehta P.S., Rao K., Syam Sunder, Hradaynath R. Higher order aberrations in
holographic lenses / Appl. Opt.1982.V. 21, № 24. P. 4553-4558.
5. Rebordao J.M. General form for aberration coefficients in holography // J. Opt. Soc. Am. A. 1984. V.1. N. 7. P. 788-790.
6. Forshaw M.R.B. The imaging properties and aberrations of thick transmission holograms // Opt. Acta.1973.V. 20, № 9. P. 669-686.
7. Батомункуев Ю.Ц., Сандер Е.А., Шойдин С.А. Аберрации объемных голограмм // Тезисы Всесоюзного семинара ’’Автоматизация проектирования оптических систем“(26 - 28 октября 1988 г. Москва).- М., 1989.-C.101-112.
8. Батомункуев Ю.Ц. Особенности аберраций рентгеновского голограммного элемента / Сб. трудов VI Международной конференции «ГОЛОГРАФИЯ ЭКСПО-2009». -Киев, 2009. - С.151-154.
Приложение
Члены разложения пятого порядка характеристической функции объемного ГОЭ V5t(x,y) = (S600X6 + 3S420X4y2 + 3S240X2y4 + So60y6)/16 + 3(S400X4 + 2 S220X2y2 + So40y4)/16 -
- 3(С500Х5 + 2С320Х3 y2 + С140ХУ4 + С410Х4у + 2С230Х2 y3 + С050У5)/8 -
- 3(Сэ00Х3 + С210Х2у + СшХу2 + C030y3)/4 + 3(А200Х2 + 2АшХу + А020у2)/4 +
+ 3(Е200Х2 + E020y2)/16 - 3(Бю0Х + D010y)/8 +
+ 3(P 400Х4 + P220Х2у2 + 2Pзl0X3y + 2Plзoxy3 + P040y4)/4 -
(2300Х3 + 32210Х2у + 32120ХУ2 + Z030y3)/2,
V5v (x,y,z) = 5z(S60ix6+ 3S42ix4y2 + 3S24ix2y4 + So6iy6)/16 +
+ 15z(S40ix4 + 2S22ix2y2 + So4iy4)/16 -
- i5z(C50iX5 + 2C32iX3 y2 + Ci4ixy4 + C4iix4y + 2C23iX2 y3 + Co5iy5)/8 -
- i5z(C30ix3 + C2iix2y + Ci2ixy2 + Co3iy3)/4 +
+ i5z(A20ix2 + 2Aiiixy + A02iy2)/4 + i5z(E20ix2 + E20iy2)/i6 -
- i5z(Di0ix + D0iiy)/8 +
+ i5z(P40ix4 + P22ix2y2 + 2P3iix3y + 2Pi3ixy3 + P04iy4)/4 +
5z(Z30ix3 + 3Z2iix2y) + 3Zi2ixy2 + Z03iy3)/2,
где коэффициенты аберраций пятого порядка объемного осевого ГОЭ:
Sjk = 1/z/+k ± 1/zi5+k - (k^/mximyjmzk)(i/zr5+k ± 1/zo5+k ) (ijk = 600; 60i; 060; 061; 420; 42i, 240, 24i),
Sjk = (xc2 + yc2)/zc5+k ± (x2 + yi2)/zi5+k (ijk = 400; 401; 040; 041; 220; 221),
Cjk = xc(xc2 + yc2)(5 j2/zc5+k ± xi(xi2 + yi2)(5 j2/zi5+k (ijk = 500; 501; 320; 321; 140; 141; 300;
301; 210; 211),
Cjk = yc(xc2 + yc2)(5 j2/zc5+k ± yi(xi2 + yi2)(5-l-j)/2/zi5+k (ijk = 050; 051; 230; 231; 410; 411; 030;
031; 120; 121),
Ajk = xciycj(xc2 + yc2)/zc5+k ± Xiiyj(xi2 + yi2)/zi5+k (ijk = 200; 201; 020; 021; 110; 111),
Ejk = (xc2 + yc2)2/zc5+k ± (x 2 + yi2)2/zi5+k (ijk = 200; 201; 020; 021),
Djk = xciycj(xc2 + yc2)2/zc5+k ± Xiiy/(xi2 + yi2)2/zi5+k (ijk = 100; 101; 010; 011),
Pjk = xci/2ycj/2/zc5+k ± Xii/2y//2/zi5+k (ijk = 400; 401; 040; 041),
Pjk = xcyc/zc5+k ± xm/zi5+k (ijk = 310; 311; 130; 131),
Pjk = (xc2 + yc2)/zc +k ± (xi2 + yi2)/zi5+k (ijk = 220; 221),
Zjk = xciycj(xc2 + yc2)4"i"j/zc5+k ± Xiiyij(xi2 + yi2)4-i-j/zi5+k (ijk = 300; 301; 210; 211; 120; 121; 030;
031).
Члены разложения седьмого порядка характеристической функции объемного ГОЭ V7t(x,y) = - 5(S800 x8+ 4S620x6y2 + 6S440x4y4 + 4S260x2y6 + S080y8)/128 -
- 5(S600x6 + 3S420x4y2 + 3S240x2y4 + S060y6)/32 - 15(S400x4 + 2 S220x2y2 + S040y4)/64 -
+ 5(C700x7 + 3C520x5y2 + 3C340x3y4 + Ci60xy6 + C610x6y + 3C430x4y3 + 3C250x2y5 + C070y7)/16 +
+ 15(C500x5 + C410x4y + 2C320x3y2 + 2C230x2y3 + Ci40xy4 + C050y5)/16 +
+ 15(C300x3 + C210x2y + Ci20xy2 + C030y3)/16 -
- 15(A200x2 + 2Aii0xy + A020y2)/16 - 5(E200x2 + E020y2)/32 + 5(Di00x + D0i0y)/16 -
- 15(P600x6 + 2P5i0x5y + P420x4y2 + 2P 420x4y2 + 4P330x3y3 + 2P240x2y4 + P240x2y4 + 2Pi50xy5 +
+ P060y6) /16 + 5(P500x5 + 3P4i0x4 y + P320x y2 + P230x2y3 + 3Pi40xy4 + P050y5)/4 -
- 15(P400x4 + 2P3i0x3y + P220x2y2 + 2Pi30xy3 + P040y4)/8 -
- 5(Z400x4 + 4Z3i0x3 y + 6Z220x y2 + 4Zi30xy3 + Z040y4)/8 +
+ 5(Z300x3 + 3Z210x2 y + 3Zi20xy2 + Z030y3)/4,
V7v(x,y,z) = - 35z(S801 x8 + 4S62ix6y2 + 6S44ix4y4 + 4S26ix2y6 + S08iy8)/128 -
- 35z(S60ix6 + 3S42ix4y2 + 3S24ix2y4 + S06iy6)/32 - 105z(S40ix4 + 2S22ix2y2 + S04iy4)/64 -
+ 35z(C70ix7 + 3C52ix5y2 + 3C34ix3y4 + Ci6ixy6 + C61ix6y + 3C43ix4y3 + 3C25ix2y5 + C07iy7)/16 +
+ 105z(C50ix5 + C4iix4y + 2C32ix3y2 + 2C23ix2y3 + Ci4ixy4 + C05iy5)/16 +
+ 105z(C30ix3 + C2iix2y + Ci2ixy2 + C03iy3)/16 -
- 105z(A20ix2 + 2Aiiixy + A02iy2)/16 - 35z(E20ix2 + E02iy2)/32 + 35z(Dmx + D0iiy)/16 -
- 105z(P60ix6 + 2P5iix5y + P 42ix4y2 + 2P 42ix4y2 + 4P33ix3y3 + 2P 24ix2y4 + P 24ix2y4 + 2Pi5ixy5 +
+ P06iy6) /16 + 35z(P50ix5 + 3P4iix4 y + P32ix y2 + P23ix2y3 + 3Pi4ixy4 + P05iy5)/4 -
- 105z(P40ix4 + 2P3iix3y + P 22ix2y2 + 2Pi3ixy3 + P04iy4)/8 -
- 35z(Z40ix4 + 4Z3iix3 y + 6Z22ix y2 + 4Zi3ixy3 + Z04iy4)/8 +
+ 35z(Z30ix3 + 3Z2iix2 y + 3Zi2ixy2 + Z03iy3)/4,
где коэффициенты аберраций седьмого порядка объемного осевого ГОЭ:
8ук = ШС+к ± 1^7+к - (кц/тхгту7т/)(1/2г7+к ± 1^7+к ) (/к = 800; 801; 080; 081; 620; 621, 260, 261, 440, 441),
с / 2 I 2\ / 7+к I / 2 I 2\ / 7+к
8/к = (Хс + Ус )/^о ± (Xi + Уi )/Zi
241),
2 2 2 7+к 2 2 2 7+к
$ук = (Хс + Ус ) ^С ± (Xi + у ) 1ъ{
Сук = Хс(хс2 + yc2)(7-г-у)/2/zc7+k ± х^х2 + у/2)(7-//%7+к
161; 500; 501; 320; 321; 140; 141; 300; 301; 120; 121),
Сук = Ус(Хс2 + Ус2)(7У2^с7+к ± ^(Х2 + у^7-^/^
611; 050; 051; 230; 231; 410; 411; 030; 031; 210; 211),
л / У/ 2 I 2\2 / 7+к I / у / 2 I 2\2 / 7+к
Лук = Хс Ус (Хс + Ус ) /Zc ± Xi у/(х/ + yi )
2 2 3 7+к 2 2 3 7+к
Еук = (Хс + Ус ) ^с ± (Xi + у/ ) /Zi
-рч / и 2 I 2\3 / 7+к I / У/ 2 I 2\3/ 7+к
Д7к = Хс Ус (Хс + Ус ) /Zc ± Xi у/Х/ + yi ) /Zi
^ / У/ 2 | 2\4-/-// 7+к , / // 2 , 2\4-/-// 7+к
2ук = Хс Ус (Хс + Ус ) ^с ± Xi у/(х/ + Уi ) ^
130;131; 040; 041; 300; 301; 210; 211; 120; 121; 030; 031),
тл /-4 У 7+к | /-4 У 7+к
Рук = Хс Уc//Zc ± Xi У//^
т« / 1-4/ 7+к , / 1-41 7+к
Р/к = ХсУсУ /Zc ± XiУi/
т> / 7+к , , 7+к
Рук = ХсУс^с ± ^У^
2 2 7+к 2 2 7+к
Рук = (2Хс + Ус )^с ± (2х/ + у/
2 2 7+к 2 2 7+к
Рук = (Хс + 2ус )/Zc ± (Х/ + 3у/ )/Zi
тл /-3 / / 7+к | /-3 у 7+к
Р/к = Хс Ус/Zc ± X/ у/^
тл / /-3 / 7+к | / /-3 / 7+к
Рук = Хс Ус /Zc ± X/ у/Т /Zi
Рук = (3Хсус2 + Xc3)/Zc7+k ± (3Xiyi2 + Xi3)/Zi7+k Рук = (3Хс ус + yc3)/zc7+k ± (3xi у/ + yi3)/zi7+k
тл /-2 /V 2 ■ 2\ / 7+к , /-2 /V 2 ■ 2\ / 7+к
Р/ук = Хс Ус/(Хс + Ус )^с ± X/ у/(х/ + у/ )/Zi
тл / /-2/ 2 ■ 2\ / 7+к \ / /-2/ 2 ■ 2\ / 7+к
Ру-к = Хс Ус (Хс + Ус)^с ± X/у/ (X/ + У/ )^
2 2 2 7+к 2 2 2 7+к
Рук = (Хс + Ус ) ^с ± (X/ + у/ ) /Zi
Члены разложения девятого порядка характеристической функции объемного ГОЭ У*(х,у) = + 7(Б1000Х10+ 5Б820Х8у + 10 8640Х6у4 + 108460Х4у6 + 58280Х2у8 + 80100у10)/256 + 35(8800
X8 + 4Б620Х6у2 + 6Б440Х4у4 + 4Б260Х2у6 + Б080у8)/256 +
+ 35(Б600Х6 + 3Б420Х4у2 + 38240Х2у4 + Б060у6)/128 + 35(8400 X4 + 28220 Х2у2 +
+ Б040у4)/128 - 35(С900Х9 + 4С720Х7у2 + 6С540Х5у4 + 4С360Х3у6 + С180ху8 + С810Х8у +
+ 4С630Х6у3 + 6С450Х4у5 + 4С270Х2у7 + С090у9)/128 - 35(С700Х7 + С610Х у + 3С520Х5у2 + 3С430Х4у3 +
+3Сэ40Х3у4 + 3С250Х2у5 + С160Ху6 + С070у7)/32 - 105(С500Х5 + С410Х4у +
+ 2С320Х у2 + 2С230Х у3 + С140ХУ4 + С050У )/64 - 35(С300Х3 + С210Х2у + С120ХУ2 +
+ С030у3)/32 + 35(Л200Х2 + 2Лшху + Л020у2)/32 + 35(Е200Х2 + Е020у2)/256 -
- 35(рю0Х + Б0юу)/128 + 35(Р800Х8 + 2Р7Шх7у + Р620Х6у2 + 6Р530Х у3 + 3Р440Х4у4 +
+ 6Р 350Х3у5 + Р260Х2у6 + 2Р170ХУ7 + Р080у8)/32 + 105(Р600Х6 + 2Р510Х5у + Р420Х4у2 +
+ 4Р330Х3у3 + Р240Х2у4 + 2Р150ХУ5 + Р060у6)/32 + 35(0600Х6 + 40510Х5у + 0420Х4у2 +
+ 4QззoX3y3 + 0240Х2у4 + 4Ql50Xy5 + 0060у6)/16 + 105(Р400Х4 + 2Р310Х3у + Р220Х2у2 +
+ 2Р130ХУ + Р040у4)/32 - 35(Р700Х7 + 3Р610Х6у + Р520Х у2 + Р430Х4у3 + Р340Х3у4 +
+ Р250Х2у5 + 3Р160Ху6 + Р070у7)/16 - 35(Р500Х5 + 3Р410Х4у + Р320Х3у2 + Р230Х2у3 +
+ 3Р 140Ху4 + Р050у5)/8 - 7(2500Х5 + 5Ь410Х4 у + 102320 Х3у2 + 102230Х2у3 + 52шху4 +
+ 2050у5)/8 + 35(2400Х4 + 423юх3у + 62220Х2у2 + 42шху3 + 2040у4)/16 - 35(2300Х3 +
+ 32210Х2у + 32шху2 + 2030у3)/16,
У9v(x,y,z) = 63(Б1001Х10+ 5Б821Х8у2 + 10Б641Х6у4 + 10Б461Х4у6 + 5Б281Х2у8 +
+ 80101у10^/256 + 35(8801 х8 + 48621Х6у2 + 68441Х4у4 + 48261Х2у6 + 8081у8^/256 +
+ 35(Б601Х6 + 3Б421Х4у2 + 3Б241Х2у4 + 8061у6^/128 + 35(8401 х + 28221 х2у2 +
+ 8o4ly4)z/128 - 35(С901Х9 + 4С721Х7у2 + 6С541Х5у4 + 4С361Х3у6 + С181ху8 + С811Х8у +
+ 4С631Х6у3 + 6С451Х4у5 + 4С271Х2у7 + С091у9^/128 - 35(С701Х7 + С611Х6у +3С521Х5у2 +
+ 3С431Х4у3 + 3С341Х3у4 + 3С251Х2у5 + С161ХУ6 + С071у7>/32 - 105(С501Х5 + С411Х4у +
(/к = 600; 601);
(/к = 060; 061);
(/к = 510; 511; 330; 331; 150; 151); (/к = 420; 421);
(/к = 240; 241);
(/к = 500; 501; 410; 411);
(/к = 050; 051; 140; 141);
(/к = 320; 321);
(/к = 230; 231);
(/к = 400; 401; 310; 311);
(/к = 040; 041; 130; 131);
(/к = 420; 421; 240; 241).
(/к = 600; 601; 060; 061; 420; 421, 240,
(/к = 400; 401; 040; 041; 220; 221),
(/к = 700; 701; 520; 521; 340; 341; 160;
(/к = 070; 071; 250; 251; 430; 431; 610;
(/к = 200; 201; 020; 021; 110; 111),
(/к = 200; 201; 020; 021),
(/к = 100; 101; 010; 011),
(/к = 400; 401; 310; 311; 220; 221;
+ 2C32ix3y2 + 2C23ix2y3 + Ci4ixy4 + C05iy5)z/64 - 35(C30ix3 + C21ix2y + Ci2ixy2 +
+ C03iy3)z/32 + 35(A20ix2 + 2Aiiixy + A02iy2)z/32 + 35(E20ix2 + E02iy2)z/256 -
- 35(Di0ix + D0iiy)z/128 + 35(P80ix8 + 2P7Ux7y + P62ix6y2 + 6P53ix5y3 + 3P44ix4y4 + + 6P 35ix3y5 + P 26ix2y6 + 2P i7ixy7 + P08iy8)z/32 + 105(P60ix6 + 2P5iix5y + P 42ix4y2 + + 4P33ix3y3 + P 24ix2y4 + 2Pi5ixy5 + P06iy6)z/32 + 35(Q60ix6 + 4Q5Ux5y + Q42ix4y2 +
+
4Q33ix3y3 + Q24ix2y4 + 4Qi5ixy5 + Q06iy6)z/16 + 105(P40ix4 + 2P3iix3y + P22ix2y + 2Pi3ixy + P04iy4)z/32 - 35(P70ix7 + 3P6iix6y + P52ix y2 + P43ix4y3 + P34ix3y4 +
+ P 25ix2y5 + 3Pi6ixy6 + P07iy7)z/16 - 35(P50ix5 + 3P4iix4y + P32ix3y2 + P23ix2y3 +
+ 3P141xy4 + P051y5)z/8 - 7(Z501x5 + 5L411x4 y + 10Z321 x3y2 + 10Z231x2y3 + 5Z141xy4 + + Z05iy5)z/8 + 35(Z40ix4 + 4Z3iix3y + 6Z22ix2y2 + 4Zi3ixy3 + Z04iy4)z/16 - 35(Z30ix3 + + 3Z2iix2y + 3Zi2ixy2 + Z03iy3)z/16,
24
22
+
где коэффициенты аберраций девятого порядка объемного осевого ГОЭ:
Sijk = 1/zc9+k ± 1/zi9+k - (k^/mximyjmzk)(1/zr ± 1/zo9+k ) (ijk = 1000; 1001; 0100; 0101; 820; 821,
280, 281, 640, 641, 460, 461),
Sijk = (xc2 + yc2)(10"i"j)/2/zc9+k ± (xi2 + yi2)(10j2/zi9+k (ijk = 800; 801; 080; 081; 620; 621, 260,
261, 440, 441),
Cjk = xc(xc2 + yc2f-H)/2/zc9+k ± Xi(xi2 + yl2)(9-i-)/2/zl9+k (ijk = 900; 901; 720; 721; 540; 541; 360;
361; 180; 181; 700; 701; 520; 521; 340; 341; 160; 161; 500; 501; 320; 321; 140; 141; 300; 301; 120; 12i),
Pi-6 j / 9+k I i-6 j / '
ijk = xc ycj/zc ± Xi y//zi
tj i i-6 / 9+k i i i-6 / 9+k
Pijk = xciycj-6/zc9+k ± xiiyij-6/zi9+k
Pijk = xcyc/zc9+k ± xiyi/zi9+k
i7i);
2 2 9+k 2 2 9+k
Pijk = (3xc + yc )/zc ± (3xi + yi J/zi
2 2 9+k 2 2 9+k
Pijk = (xc + 3yc )/zc ± (xi + 3yi )/zi
2 2 9+k 2 2 9+k
Pijk = (xc + yc )/zc ± (Xi + yi )/zi
tj i-4 j / 9+k , i-4 j / 9+k
Pijk = xc yc/zc ± Xi y//zi
i j-4 9+k i j-4 9+k
Pijk = xcyc /zc ± Xiy/ /zi
Pijk = (3xcyc2 + 2xc3)/zc9+k ± (3xiyi2 + 2xi3)/zi9+k Pijk = (3xc2yc + 2yc3)/zc9+k ± (3xi2yi + 2yi3)/zi9+k Pijk = (6xc2yc + yc3)/zc9+k ± (6Xi2yi + yi3)/zi9+k Pijk = (6xcyc2 + xc3)/zc9+k ± (6Xiyi2 + xi3)/zi9+k Pijk = xci"4ycj(xc2 + yc2)/zc9+k ± xii-4yij(xi2 + yi2)/zi' Pijk = xciycj-4(xc2 + yc2)/zc9+k ± xiiy/-4(xi2 + yi2)/zi'
9+k
9+k
Cjk = yc(xc2 + yc2)(9-i-j)/2/zc9+k ± yi(xi2 + y2)(9-i-j)/2/z9+k (ijk = 090; 091; 270; 271; 450; 451; 630;
631; 810;811; 070; 071; 250; 251; 430; 431; 610; 611; 050; 051; 230; 231; 410; 411; 030; 031; 210; 21i),
Aijk = xciycj(xc2 + yc2)3/zc9+k ± Xiiy/(xi2 + yi2)3/zi9+k (ijk = 200; 201; 020; 021; 110; 111),
E jk = (xc2 + yc2)3/zc9+k ± (x 2 + y2)3/z9+k (ijk = 200; 201; 020; 021),
Djk = xciycj (xc2 + yc2)4/zc9+k ± xiiy/(xi2 + yi2)4/zi9+k (ijk = 100; 101; 010; 011),
Zjk = xciycj(xc2 + yc2)5-i-j/zc9+k ± xiiyij(xi2 + yi2)5-i-j/zi9+k (ijk = 500; 501; 410; 411; 320; 321; 230;
231; 140; 141; 050; 051; 400; 401; 310; 311; 220; 221; 130; 131; 040; 041; 300; 301; 210; 211; 120; 121; 030; 03i),
(ijk = 800; 801);
(ijk = 080; 08i);
(ijk = 710; 711; 530; 531; 350; 351; 170;
(ijk = 620; 621);
(ijk = 260; 26i);
(ijk = 440; 441);
(ijk = 700; 701; 610; 611);
(ijk = 070; 071; 160; 161);
(ijk = 520; 521);
(ijk = 250; 251);
(ijk = 430; 431);
(ijk = 340; 341);
(ijk = 600; 601; 510; 511);
(ijk = 060; 061; 150; 151);
(ijk = 420; 421);
(ijk = 240; 241);
9+k
9+k
c yc (xc + yc )/zc
Pijk = (2xc2 + yc2)(xc2 + yc2)/zc9+k ± (2x2 + yi2)(xi2 + yi2)/zi9+k P j = (xc2 + 2yc2)(xc2 + yc2)/zc9+k ± (xi2 + 2y2)(x2 + yi2)/z9+k Pijk = Q ijk = xcyc(xc2 + yc2)/zc9+k ± xiyi(xi2 + yi2)/zi9+k (ijk = 330; 331);
Qijk = xci"2ycj/zc9+k ± xii-2yij/zi9+k (ijk = 600; 601; 510; 511);
Qijk = xciycj-2/zc9+k ± xiiy/-2/zi9+k (ijk = 060; 061; 150; 15i);
Qijk = (6xc2yc2 + xc4)/zc9+k ± (6xi2yi2 + x4)/z9+k (ijk = 420; 421);
Qijk = (6xc2yc2 + yc4)/zc9+k ± (6xi2yi 2+ yi4)/zi9+k (ijk = 240; 241);
Pijk = xci'2ycj(xc2 + yc2)/zc9+k і Xii-2yij(Xi2 + yi2)/zi9+k (ijk = 500; 501; 410; 411; 400; 401; 310;
311);
Pijk = xciycj-2(xc2 + yc2)/zc9+k і Xiiyij-2(Xi2 + yi2)/zi9+k (ijk = 050; 051; 140; 141;040; 041; 130;
131);
Pijk = (Xc3 + 3xcyc2)(xc2 + yc2)/zc9+k і (xi3 + 3xiyi2)(xi2 + yi2)/zi9+k (ijk = 320; 321);
Pijk = (Xc3 + 3xc2yc)(xc2 + yc2)/zc9+k і (xi3 + 3xi2yi)(xi2 + yi2)/zi9+k (ijk = 230; 231);
Pijk = (xc2 + yc2) /zc +k і (xi2 + yi2)3/zi9+k (ijk = 220; 22l).
© Ю.Ц. Батомункуев, 2012
