CC BY
44
ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ
2016.02.008-014. КВАДРАТ ОППОЗИЦИЙ. (Сводный реферат).
2016.02.008. BEZIAU J.-Y., READ S. Square of opposition: A diagram and a theory in historical perspective // History and philosophy of logic. -L., 2014. - Vol. 35, N 4. - P. 315-316.
2016.02.009. GALLAGHER R.L. Antiphasis as homonym in Aristotle // History and philosophy of logic. - L., 2014. - Vol. 35, N 4. - P. 317331.
2016.02.010. CHATTI S. Avicenna on possibility and necessity // History and philosophy of logic. - L., 2014. - Vol. 35, N 4. -P. 332-353.
2016.02.011. BENITEZ J.M.C. The medieval octagon of opposition for sentences with quantified predicates // History and philosophy of logic. -L., 2014. - Vol. 35, N 4. - P. 354-368.
2016.02.012. JOHNS Ch. Leibniz and the square: A deontic logic for the vir bonus // History and philosophy of logic. - L., 2014. - Vol. 35, N 4. - P. 369-376.
2016.02.013. MION G. The square of opposition: From Russell's logic to Kant's cosmology // History and philosophy of logic. - L., 2014. -Vol. 35, N 4. - P. 377-382.
2016.02.014. MORETTI A. Was Lewis Carroll an amazing oppositional geometer? // History and philosophy of logic. - L., 2014. - Vol. 35, N 4. -P. 383-409.
Ключевые слова: Аристотель; Авиценна; Лейбниц; Кант; Л. Кэрролл; логика; логический квадрат; шестиугольник противоположностей; шестигранник противоположностей; квадрат оппозиций; деонтическая логика; антифазис.
Четвертый номер журнала «История и философия логики» за 2014 год посвящен вопросам теории и истории так называемого «квадрата противоположностей» («square of opposition»). В редак-
ционной статье (Дж.-Ю Бециу и С. Рид) отмечаются (008) богатые возможности применения этой теории к различным видам высказываний, а также к объектам и концептам. Кроме того она может быть обобщена различными способами (в частности путем конструирования различных геометрических объектов). «Квадрат противоположностей является теорией, продуктивно соединяющей логику, философию, лингвистику и математику, что обеспечивает многочисленные применения от алгебры до теологии, включая музыку, экономику и семиотику» (008, с. 316).
Квадрат противоположностей представляет собой диаграмму и теорию оппозиций, относящихся к ней. Причем теория появилась раньше диаграммы, и ее возникновение связано с аристотелевским делением оппозиций на противоречие (контрадикторность) и противоположность (контрарность). «Теория оппозиций выросла из этого разделения и была впервые представлена в виде диаграммы Апулеем (который оформил квадрат, добавив третье понятие оппозиций, позже названное субконтрарностью), а затем Боэцием» (008, с. 315). Схема Боэция (она также называется «логическим квадратом»):
Отношения между высказываниями (A, E, I, O) определяются следующим образом: два высказывания находятся в отношении контрадикторности (contradictory), если и только если они не могут быть вместе истинными и вместе ложными (Е, I) и (А, О); они находятся в отношении контрарности (contrary), если и только если они могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными (А, Е); они находятся в отношении субконтрарности (subcontrary), если и только если они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными (1,О). Одно высказывание
находится в отношении подчинения (is subalterned) к другому, если оно выводится из первого, но не эквивалентно ему (А, I) и (Е, О).
«Сила этой теории состоит в том, что она очень проста, но достаточно богата» (008, с. 316). В подборке статей журнала рассматривается применение этой теории у Аристотеля, Авиценны, в средневековой философии, у Лейбница, Канта и Л. Кэрролла.
Р.Л. Галлахер (009) рассматривает противоречие (antiphasis) как вид сущностно зависимого омонима (core-dependent homo-nymy) у Аристотеля. В аристотелевской теории омонимов значения слов относятся именно к сущностям. Таким образом, вопросы омонимии должны рассматриваться в онтологии, а не в семантике.
Ссылаясь на цитату из работы Аристотеля «Категории»), автор приводит свой пример омонимов: слепые глаза, каменные глаза и нарисованные глаза являются глазами только как омонимы, поскольку «глаз есть материя зрения; если зрение отсутствует, то это не есть глаз» (цит. по: 009, с. 317). Четыре типа глаз (слепой, каменный, нарисованный и функциональный) являются омонимами. Существует много случаев различных омонимов, которые не связаны друг с другом (например, нарисованные и функциональные глаза). Но наибольший интерес представляет омонимия противоречия.
В философии Аристотеля автор различает три значения противоречия:
(A) пропозициональное противоречие как оппозиция между высказываниями; в этом виде противоречия не может быть промежуточного (среднего члена);
(B) онтологическое противоречие как оппозиция между «субъектом» и «не-субъектом» в процессах становления и гибели;
(C) онтологическое противоречие как оппозиция между обладанием и лишенностью чего-либо. В некоторых случаях здесь может быть нечто промежуточное.
Анализ случая (В) автор начинает с рассмотрения аристотелевской теории, как она представлена в работе «Физика». Аристотель утверждал, что «то, что изменяется, должно изменяться одним из четырех путей: от предмета (hupokeimenon) к предмету, от предмета к не-предмету, от не-предмета - к предмету, и от непредмета - к не-предмету» (цит по: 009, с. 321). Второй и третий случаи включают противоречия. Аристотель подчеркивал, что случай (В) согласуется с законом непротиворечия.
Аристотель рассматривал примеры лишенности нечто в некоторой степени (которые подпадают под случай (С)) при обсуждении цвета в «Метафизике». Так, белое и черное являются противоположными родами цвета, «черное есть лишенность белого, именно как темнота есть лишенность света» (цит. по: 009, с. 322). Самое большое различие между цветами есть различие между белым и черным. Все остальные цвета (например, пурпурный или серый) являются промежуточными, содержащими белое и черное в различной степени. Аристотель использовал пример со «справедливостью» и «несправедливостью». Несправедливость принадлежит человеку в разной степени: человек может быть справедлив в большей или меньшей степени (не хорош и не плох). Учитывая эти рассуждения, автор приводит три следствия. (II) Если противоположности имеют нечто промежуточное, то они не являются дихотомиями. (III) Так как (С) допускает нечто промежуточное, то существуют промежуточные состояния между некоторыми противоречивыми состояниями. (IV) Оператор «принадлежать» не является бинарным во всех обстоятельствах, так как существуют промежуточные состояния между нечто, принадлежащим чему-то и не принадлежащим ему, между что-то имеющим нечто и не имеющим его.
Автор показывает, что три значения антифазиса по формальным причинам попарно (А и В, В и С, А и С) являются гомоморфными. Несмотря на то что Шилдс (Shields) предупреждает, что трудно найти непротиворечивые примеры сущностных и выведенных омонимов, связанных формальными причинами, можно доказать, что антифазис есть такой пример (009, с. 326).
Среди трех видов антифазиса именно онтологическое противоречие (В), согласно Аристотелю, имеет приоритет перед двумя другими (А) и (С).
С. Чати (010) рассматривает трактовку алетических модальностей и их отношений в теории Авиценны.
Авиценна - один из наиболее оригинальных арабо-мусуль-манских логиков. Несмотря на то что он находился под влиянием Аристотеля, в его текстах содержится много новых понятий. Например, его определение ассерторического суждения отличается как от определения Аристотеля, так и Аль-Фараби. Кроме того, принятые понятия он рассматривает более детально. Прежде всего
это касается определений таких модальностей, как возможность, необходимость и невозможность.
Согласно Авиценне существуют различные определения возможности. В повседневной жизни используется общая возможность, которая означает «не невозможно». Это значение соответствует однонаправленной или односторонней возможности. Второе значение является философским: «не необходимо». Это значение более сложное, чем может показаться на первый взгляд, так как оно анализируется как то, что «не необходимо и не невозможно». Возможное есть «не перманентно существующее» и оно есть «не перманентно несуществующее». Тогда оно будет двунаправленной или двусторонней возможностью. У. Ходжес (W. Hodges) называет этот вид «узкой возможностью». Авиценна рассматривает его как собственный смысл возможности. В отличие от Аристотеля и Аль-Фараби Авиценна включает этот вид возможности в таблицу наравне с однонаправленной возможностью. Третье значение возможности является еще более узким, чем второе, так как оно определяется как «то, что не существует, и, если предполагается, что существует, то невозможно, что не существует». Возможно, что это значение эквивалентно следующему: «ни существовать не необходимо, и ни невозможно». У. Ходжес называет это «самой узкой возможностью» (010, с. 335).
Эти значения по-разному соотносятся с актуальностью и необходимостью. Общее значение совместимо с актуальностью и необходимостью, второе - совместимо с актуальностью, но не необходимостью, а третье - адекватно только для будущего.
Необходимость определяется через перманентность: то, что необходимо, всегда перманентно (постоянно). Однако перманентность может пониматься по-разному. В некоторых случаях она есть то же самое, что вечность (как если бы кто-то сказал «Бог существует необходимо», что означает, что Его существование никогда не может быть остановлено). Это называется «абсолютной необходимостью» (010, с. 336). Но в большинстве случаев перманентность должна быть условной. Например, когда некто говорит: «Люди необходимо являются животными», он имеет в виду, что они «являются животными, пока живут». Существуют и другие виды условной необходимости.
Невозможность определяется как вид необходимости применительно к не-существованию («невозможное» существование есть то же самое, что «необходимо не быть»). Поскольку необходимость влечет актуальность, то невозможность влечет не-актуальность. А также поскольку «необходимость» влечет «возможность» в однонаправленном смысле, то «невозможность влечет «возможно не» в однонаправленном, но негативном смысле (010, с. 337).
Авиценна эксплицирует также реальное отрицание двунаправленной возможности, а затем рассматривает все отношения между этим видом возможности и необходимостью, с одной стороны, и невозможностью, с другой стороны. Автор показывает, что для теории Авиценны лучше всего подошел бы шестиугольник противоположностей (сам Авиценна не использовал геометрические фигуры).
Кроме того, Авиценна определил все кванторные высказывания с «узкой возможностью», а также их отрицания. Установил все отношения противоположности и некоторые другие для средневекового восьмиугольника. В этом плане автор оценивает логическую теорию Авиценны как выдающуюся. В то же время он показывает ее неполноту. В теории Авиценны не выражено явно довольно большое число отношений, которые могли бы быть выведены из его же посылок, а также отношений, которые он просто не заметил. «Таким образом, его теория даже богаче, чем она кажется, несмотря на то что она является неформальной, поскольку использует лингвистические определения и основана, главным образом, на интуиции» (010, с. 352).
Дж.М.К. Бенитез (011) рассматривает средневековый восьмиугольник для предложений с квантифицированными предикатами.
Если взять обычные предложения квадрата противоположностей («Все S есть P», «Ни одно S не есть P», «Некоторые S есть P» и «Некоторые S не есть P») и квантифицировать их предикаты, то получим предложения нестандартной формы («Все S есть все P», «Все S есть некоторые P», «Некоторые S есть все P», «Некоторые S есть некоторые P» и то же для отрицательных предложений). Таким образом, мы получим средневековый восьмиугольник противоположностей и новые отношения, не встречающиеся в логическом квадрате. Так средневековые логики ввели термин «несопоставимые» (disparate) для пар предложений типа «Каждое S есть некото-
рое Р» и «Некоторое S есть каждое P». В. Редмонд (W. Redmond) ввел формальный язык для точного выражения логической формы этих предложений, используя который автор показывает, как логические квадраты (стандартный и нестандартный) формируют сложную сеть отношений.
Хр. Джонс (012) обращается к мало известным работам Лейбница по деонтической логике. Он видит свою главную задачу (помимо задачи показать, как Лейбниц строит свою деонтическую логику, основываясь на аристотелевском квадрате) в том, «чтобы показать, как Лейбниц обосновывает центральное деонтическое понятие, а именно обязанность, на способности человека быть свободным» (012, с. 369).
Как известно, квадрат противоположностей показывает отношения непосредственного вывода для четырех типов утверждений силлогизма. Этим утверждениям соответствуют четыре алети-ческих предиката, а также четыре деонтических вида.
Типы: Алетические виды Деонтические виды А: общеутвердительное необходимо обязательно Е: общеотрицательное невозможно запрещено I: частно утвердительное возможно разрешено О: частно отрицательное возможно не omissible.
Лейбниц обнаружил, что деонтические термины имеют те же самые отношения, что и алетические, т.е. отношения выводимости, противоположности и противоречия. «Лейбниц понял, что деонтическая логика может быть отражена в алетическую таким образом, что деонтические отношения сохраняли те же самые значения, что и алетические» (012, с. 371). Однако они имеют и важное отличие: в алетических видах модальности истина является функцией отношения между высказываниями и состояниями дел; а в деонтических - истина есть функция отношения между деонтическими высказываниями и нормативными состояниями дел.
С точки зрения Лейбница, правовая наука должна строиться на деонтической логике. В ранней работе 1666 г. он построил науку права (юриспруденцию), в которой наиболее важным множеством определений были определения, включающие мораль. Моральность действия определялась тем, что Лейбниц называл моральными качествами (moral qualities). Их точно два: право, которое он называл «способностью к действию» (the power to act) и обязан-
ность, которую он называл «необходимостью к действию» (necessity to act). «Право и обязанность являются моральными качествами рациональных субстанций, т.е. каждого человеческого существа... "хорошей персоны" или "vir bonus"» (012, с. 373).
Так как право означает способность делать то, что законно (или разрешено), то должно быть запрещено делать то, что морально невозможно; и так как обязанность делать то, что морально необходимо, то omissible то, что не необходимо. Отсюда видно, что эти термины могут быть отражены на квадрате противоположностей, что моральные виды имеют логические отношения, аналогичные алетическим видам.
В заключение автор показывает как деонтическая логика Лейбница связана с «фактом» человеческой свободы. Если я не могу поступать иначе, как диктуют мне физические законы, то я могу не иметь каких-либо обязательств. Однако Лейбниц утверждает, что рациональные субстанции обладают способностью применять разум для определения моральности права и лучшего способа действия, и, поступая так, они являются действующими свободно, несмотря на физические причины. «Для Лейбница свобода состоит в действии в соответствии с рациональными принципами, т.е. в соответствии с принципами права и обязанности» (012, с. 374). Основной принцип деонтической логики: «Должен влечет можешь» (Ought implies Can).
На квадрате противоположностей можно видеть, что все действия являются возможными, однако только некоторые из них являются нравственно возможными. Это означает, что нравственные обязанности основаны на «приоритете возможного» скорее, чем на том, что нравственно запрещено. Для Лейбница существенно, что нравственные обязанности не зависят ни от вознаграждения, наказания, требований социальной жизни, эгоистической рассудительности, запрещающих действий или произвола тирана. «Истинным маркером обязанности является наше право, т.е. наша свобода» (012, с. 375).
Г. Мийон рассмотривает кантовские антиномии с помощью средств классической логики. «И хотя такое рассмотрение влечет некоторую переинтерпретацию, в конечном счете она реально поможет раскрыть некоторые мысли Канта» (013, с. 377).
Согласно теории логического квадрата два общих суждения А и Е не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными; а два частных суждения I и О не могут быть оба ложными, но могут быть оба истинными (см. 008). Однако в случае, если речь в суждениях идет о несуществующих предметах и они интерпретируются по стандартам классической логики, то суждения А и Е могут быть оба истинными, а суждения I и О могут быть оба ложными. Такое распределение истинностных значений может показаться парадоксальным. Однако именно на эти случаи опирается автор при рассмотрении космологических антиномий И. Канта.
Первая антиномия («Мир конечен» и «Мир бесконечен») с использованием языка первопорядковой логики и теории определенной дескрипции Рассела формулируется следующим образом:
Тезис Антитезис
I: Существует единственный х, такой, что х есть мир и х - конечен. О: Существует единственный х, такой, что х есть мир и х - бесконечен.
Тезис и антитезис оба ложные, поскольку мир как тотальность не существует. Напротив, следующие суждения являются оба истинными:
(I) Не существует единственный х такой, что х есть мир и х -бесконечен.
(II) Не существует единственный х такой, что х есть мир и х -конечен.
Таким образом, подобно Канту, можно утверждать, что, так как мир не существует, то он и не бесконечен и не конечен. Кант мог только принять (deliver) (II), поскольку он не мог провести различие между всеми четырьмя суждениями:
(I) Мир не является бесконечным
(II) Мир не является конечным
(III) Мир является конечным
(Iv) Мир является бесконечным.
«Так, без ресурса первопорядкового языка он не мог увидеть различие между (I) и (III), а также признать, что (IV) находится в отношении противоречия с (I)» (013, с. 380).
Используя расселовскую теорию определенной дескрипции, вторая антиномия записывается следующим образом:
Тезис Антитезис
(I): Существует единственный х, такой, что х есть мир и х конституируется индивидуальными атомами (О): Существует единственный х, такой, что х есть мир и х не конституируется индивидуальными атомами
Тезис и антитезис оба являются ложными, поскольку мир как тотальность не существует.
Для Канта динамические антиномии имеют практическое значение: тезис и антитезис могут быть оба истинными. Практическая необходимость Бога и души предполагают предварительную теоретическую возможность, в том смысле, что их существование может быть совместимо с натурализмом и детерминизмом. Соответственно, даже, если существование Бога или души не может быть доказано, их возможность должна быть гарантирована теоретическими основаниями. В частности, в третьей антиномии Кант ставит цель примирить детерминизм со свободой воли, и, следовательно, с возможностью ноуменального предмета (души). А в четвертой антиномии - натурализм (из-за отсутствия лучшего мира) с Богом (013, с. 380).
Третья антиномия
Тезис Антитезис
(А): Для всех х, если х принадлежит миру, то х детерминирован Для всех х, если х принадлежит миру, то х не является детерминированным
Интерпретированные как общие условные оба суждения - тезис (А) и антитезис (Е) - являются истинными, поскольку они условные суждения с ложным антецедентом. Но это не то, что Кант реально защищал. Для него тезис и антитезис могут быть оба истинными, если их правильно интерпретировать. С точки зрения автора, «Кант ошибочно, но корректно утверждал, что истинностные значения рассматриваемых суждений зависят от интерпретации кванторов, или, другими словами, от соответствующих областей рассуждения» (013, с. 381). Так, если тезис интерпретировать как суждение о пространственно-временных явлениях, то оно будет истинным, поскольку такие явления каузально детерминированы. Если же антитезис интерпретировать как суждение, касающееся только ноуменальных предметов, то он также истинен, так как
ноуменальный предмет не принадлежит миру, антецедент ложен и, следовательно, условное суждение истинно.
Четвертая антиномия
Тезис Антитезис
Для всех х, х случаен Для всех х, х не является случайным или не существует х такого, что х является случайным
В этом случае также истинностные значения рассматриваемых суждений зависят от области рассуждения, тезис и антитезис будут истинными. Фактически, если в антецеденте на место х поставить «Бог», то получим суждение «Бог не является случайным». Это означает, что Бог либо невозможен, либо необходим. А так как для Канта понятие Бога играет регулятивную роль, то можно считать, что суждение «Бог необходим» истинно; «отсюда потребность в критике рациональной теологии, чтобы блокировать вывод от «Бог необходим» к «Бог существует» (013, с. 381).
А. Моретти (014) говорит о том, что «очень высок соблазн рассматривать автора «Приключений Алисы в Зазеркалье» как предшественника оппозициональной геометрии (oppositional geometry)» (014, с. 383).
Л. Кэрролл (1832-1898) известен достижениями по крайнем мере в трех областях: его прекрасными новеллами и поэмами, прежде всего «Приключениями Алисы») пионерскими художественными фотографиями и его работами как математика, переосмысливающего логику после ее буллевского взрыва. И меньше известен его вклад в создание «логических диаграмм». В статье ставится вопрос о возможных отношениях диаграмм Кэрролла к логическому квадрату. Автор утверждает, что загадочные логические диаграммы Кэрролла, возможно, имели значение для обобщения «логического квадрата». Но его работы по этой теме оставались неопубликованными до самой смерти Кэрролла (1898), хотя есть данные, что он планировал опубликовать и объяснить диаграммы, «по-видимому рассматривая их как важную часть своего глобального и амбициозного проекта реформирования логики, сделав ее более понятной и доступной для детей благодаря игровым, но в то же время информативным и строгим логическим диаграммам» (014, с. 387).
У. Бартлей (W.W. Bartley) выделил у Кэрролла два вида диаграмм. Один вид имеет дело (говоря современным языком) с субъ-ектно-предикатными суждениями формы «Все х являются у», «Некоторые х являются у» и т.д. Другой вид диаграмм касается логического исчисления (силлогистики). В данной статье автор ограничивается рассмотрением первого вида диаграмм (треугольная логическая схема) и показывает, что эта схема содержит по крайней мере один логический квадрат (014, с. 392).
В 1986 г. М.Р. Ричардс (M.R. Richards) продемонстрировал, каким образом логический треугольник Кэрролла может быть преобразован в логический тетраэдр. Но оставался вопрос: как он может быть использован? Помощь пришла от современной математики. И одновременно «исследование упомянутого старого квадрата противоположностей в последние десятилетия привело к новым элементам математического знания» (014, с. 395).
В 1950-е годы сразу тремя учеными независимо друг от друга (Р. Jacoby, A. Sesmat, R. Blanche) было установлено, что логический квадрат есть только неполный фрагмент логического шестиугольника. Шестиугольник намного превосходит (т.е. математически более естественен, систематичен и сильнее) квадрат, поскольку позволяет систематизированно выражать «средние случаи» (типа «не... не...») между парами противоположных терминов по квадрату (например, «молодой - старый»), в то время как квадрат не обладает этой возможностью.
Обобщение логического шестиугольника стало поводом к появлению новой дисциплины, получившей название «геометрия противоположностей» («oppositional geometry»). Она также известна под именем «логическая геометрия» или «n-оппозициональная теория». Сегодня эта новая дисциплина уже изучает много различных логико-геометрических («оппозициональных») объектов, но главными остаются четыре: квадрат противоположностей, шестиугольник, куб и шестигранник противоположностей.
Автор установил эквивалентность между тетраэдром Кэрролла - Ричардсона (усовершенствованный вариант квадрата Кэрролла) и шестигранником геометрии противоположностей. Этот результат позволяет ему выразить все возможные отношения противоположности между любыми парами элементов логики Кэрролла. А это означает возможность решения главной задачи.
В пользу тезиса о существовании глубокой связи между первым видом логической диаграммы Кэрролла и шестигранником современной оппозициональной геометрии свидетельствует замечание, что затруднения Кэрролла (он сам не нашел шестигранник) не являются странными или загадочными. Существуют два других случая интересного, но неудачного геометрического выбора выражения противоположных конфигураций. Так, Д. Дюбуа (D. Dubois) и Х. Праде (H. Prade) не заметили факт простого шестигранника, вложенного внутри сложного четырехгранника. Их «ошибка» похожа на ситуацию Кэрролла.
Н.А. Васильев был очень близок к открытию шестиугольника противоположностей уже в 1910 г., впервые обнаружив так называемую Y-вершину шестиугольника противоположностей (т.е. конъюнкцию I и О). Но Васильев не заметил так называемую U-вершину (т.е. исключающую дизъюнкцию А и Е), и тем самым потерпел неудачу. П. Якоби сделал следующий шаг, отметив, что две новые вершины неявно содержатся в логике квадрата противоположностей, и мог бы добавить к нему их графически. Однако в качестве синтеза он предложил сложный «треугольник противоположностей», а не простой «шестиугольник противоположностей». Это стало одной из причин, почему он не признается его первооткрывателем.
Что касается Кэрролла, то на уровне его собственных треугольников или на более развитом уровне сложного четырехугольника Кэрролла - Ричарда, его предложения принадлежат к той же самой несчастливой конфигурации, что и для Дюбуа, Праде и Яко-би: «Короче, его модели исследования "явлений противоположностей" являются геометрически квазиоптимальными» (014, с. 405).
«Если Кэрролл получил конструктивные результаты, касающиеся симметрии и пространственного расположения между оппозициями (предикатов), хотя и не дал явного определения геометрически интересного и плодотворного решения проблемы, к нему следует подходить как к первооткрывателю» (014, с. 405-406).
Л.А. Боброва
