CC BY
19
образом неэмпирическая методология может быть информативной) исследуется легче. В этом случае сторонник натурализма наталкивается на стену. Но ее можно преодолеть, поскольку фрегевское определение числа в «Основаниях арифметики» основано на поддержке критерия тожества для чисел, т.е. числа должны удовлетворять особому условию, чтобы быть признанными. Предложенный Фреге критерий тождества формулируется как принцип: число Fs есть то же, что число Gs, если, и только если, существует одно-однозначное соответствие между Fs и Gs.
В контексте второпорядковой логики теория, включающая именно этот принцип, имеет в качестве расширения аксиомы Деде-кинда - Пеано. Являются ли эти результаты подтверждениенм фре-гевского логицизма, вопрос спорный. Но то, что они представляют философский интерес, отрицать сложно. Он говорит о том, что базисные законы арифметики могут быть выведены из принципа, который артикулирует общие условия, контролирующие наше использование чисел. Контекстуальный принцип играет центральную роль в этом результате. «Таким образом, реконструкция "Оснований арифметики" предстает в качестве примера, каким образом неэмпирическая, реконструктивная методология может быть объяснительной» (с. 205).
Л.А. Боброва
2015.01.009. ЛЕЙВЕРС Г. ФРЕГЕ, КАРНАП И ОБЪЯСНЕНИЕ: «НАША ЗАДАЧА ЗДЕСЬ - ДОСТИЧЬ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА, ПОДХОДЯЩЕГО ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В ЦЕЛЯХ НАУКИ». LAVERS G. Frege, Carnap and explication: «Ourconcernhereistoarrive atconceptofnumberusableforpurposeofscience» // History and philosophy of logic. L., 2013. - Vol. 34, N 3. - P. 225-241.
Ключевые слова: Г. Фреге; Р. Карнап; объяснение; толерантность.
Г. Лейверс исследует отношение Р. Карнапа и Г. Фреге к вопросу об основаниях математики. Известно, что Фреге защищал реалистическую позицию относительно объективного существования математических объектов. Эта реалистическая позиция часто называется платонизмом, т.е. является метафизической позицией, которая может утверждаться в философии математики. Карнап, что
также хорошо известно, отрицал метафизику. По-видимому, отсюда следует, что Карнап мог бы отрицать фрегевскую точку зрения на основания математики. Эта точка зрения вполне убедительно выражена Т. Бурге: «Я не могу принять всерьез трактовку Фреге как карнаповца... Я думаю, что Фреге пытался обеспечить рациональные основания математики, которые Карнап должен был бы рассматривать как вводящие в заблуждение. Фреге рассматривал основания, а не практические рекомендации, как дать нам логические объекты. Не существует ничего похожего карнаповскому принципу толерантности ни во Фреге, ни в его темпераменте» (цит. по: с. 225).
Кажется очевидным, что Карнап мог бы отбросить проект Фреге (или, по крайней мере, его метод) оснований математики как слишком метафизический. Однако автор отмечает, что ему не известно ни одного пассажа в работах Карнапа, где бы он ясно выразил такое отношение к Фреге. Напротив, Фреге - один из тех, кто цитируется Карнапом наиболее часто. Конечно, многие ссылки Карнапа на Фреге являются техническими или не относящимися к данной теме. Но существует ряд ссылок на Фреге, которые точно очерчивают, как Карнап понимал проект Фреге. Позиция Карнапа далека от критики Фреге как пытающегося защитить запутанную метафизическую позицию. «Карнап интерпретирует Фреге как решающего задачу обеспечения экспликации логической и арифметической истины» (с. 229). И Карнап постоянно дает наивысшую хвалу его работе в этой области.
В подтверждение своей позиции Лейверс приводит несколько цитат из работ Р. Карнапа, начиная с рассмотрения пассажа, который, по-видимому, может поддержать точку зрения, что Карнап видел Фреге как запутавшегося в метафизической путанице. В работе «Эмпиризм, семантика и онтология» Карнап пишет: «Райл говорит, что принцип "Фидо" - есть "гротескная теория"». Райл не прав, называя это теорией. Это, скорее, практическое решение принять определенные рамки. Может быть, Райл исторически прав в отношении тех, кого он упоминает как предыдущих представителей этого принципа, а именно Дж.Ст. Милля, Г. Фреге и Б. Рассела. Если эти философы рассматривали принятие системы сущностей как теорию, то принимается утверждение, что они были жертвами той же старой, метафизической путаницы. Но, конечно, не верно
рассматривать мой семантический метод как включающий веру в реальность абстрактных сущностей, так как я отрицаю тезис этого вида как метафизическое псевдоутверждение» (цит. по: с. 229).
Конечно, Карнап не говорит здесь, что Райл прав в его критике Фреге, Рассела и Милля. Очевидно, Карнап исключает вопрос: применим ли критицизм Райла к ранее упомянутым философам? Его главная задача - показать, что критика Райла не применима к его собственной точке зрения. Пассаж может тем не менее показывать, что Карнап действительно думал, что все трое были метафизически запутанными. Однако когда мы входим в более детальное рассмотрение карнаповских замечаний о Фреге, мы видим, что Карнап не рассматривал Фреге как метафизически запутанного.
Г. Лейверс утверждает, что Карнап видел Фреге как решающего задачу экспликации терминов в том же смысле, что и он.
Другая цитата приводится из работы Карнапа «Значение и необходимость»: «Кажется, что Фреге, вводя различие между денотатом и смыслом, имел намерение сделать более точными некоторые термины, которые имели место в традиционной логике. Таким образом, его задача была именно задачей экспликации» (цит. по: с. 229).
Связь между задачей Фреге и описанием экспликации Кар-напа не может быть сделана более точно. Здесь видно, что Карнап не считал фрегевское введение понятия смысла метафизикой, как думают многие современные философы. Однако главный интерес здесь связан не с понятием смысла у Фреге, а с фрегевским отношением к основаниям математики и математическим объектам, в частности. К счастью, Карнап в этом случае не менее точен. Работы «Значение и необходимость» и «Логические основания вероятности» содержали наиболее детальное обсуждение экспликации, но первое обсуждение этого понятия появляется в работе Карнапа «Два понятия вероятности» (1945). Там понятие экспликации введено очень кратко и затем дан один пример экспликации, прежде чем Карнап обращается к обсуждению вероятности-1 и вероятно-сти-2. Примером служит фреге-расселовское определение кардинального числа 3: «Таким образом, например, определение кардинального числа три как класса всех троек (triples) означало экспликацию; экспликандумом было обычное значение слова "три"
как оно появляется в повседневной жизни и в науке» (цит. по: с. 229-230).
Очевидно, что Карнап интерпретирует Фреге как дающего экспликацию понятия числа.
Следующая цитата приводится из работы «Введение в символическую логику и ее применения»: «В ходе построения наших систем символических языков случается, что вводятся новые хорошо определенные понятия на место понятий, которые известны, но недостаточно определены. Тогда новое понятие называется экс-пликатум (ехрПсаШш), а его введение - экспликацией. Понятие, которое требуется уточнить, называют иногда экспликандумом (ех-рИсапёиш). Например, ЫгиШ [...] есть экспликатум понятия логической или необходимой истины, которые были определены недостаточно, несмотря на их вхождение в философию и традиционную логику. Еще пример. Понятие индуктивных кардинальных чисел есть экспликатум для понятия конечного числа, которое широко использовалось в математике, логике и философии, но до Фреге не было точно определено» (цит. по: с. 230).
Здесь опять видно, что Карнап описывает фрегевское определение финитного кардинального числа как его экспликацию.
Третья цитата - реплика на Стросона: «. Фрегевскую экспликацию числовых слов я рассматриваю как одно из величайших философских достижений последнего столетия. Следовательно, мы должны сказать, что в области практического использования людьми вообще, и даже математиками до Фреге, не было полной ясности о смысле числовых слов» (цит. по: с. 230).
Лейверс полагает, что теперь нет сомнений в том, что Карнап понимал фрегевское определение числа как экспликацию понятия числа.
Карнап, возможно, более известен своей позицией, которую он защищал в работе «Эмпиризм, семантика и онтология». С точки зрения Карнапа, осмысленные вопросы, касающиеся объектов, могут быть поставлены только вне рамки, т.е. быть внешними по отношению к некоторому принятому языку. Если мы хотим ввести некоторые объекты, мы должны сначала определить соответствующую рамку. После того, как это сделано, мы можем показать, что объекты этого вида существуют относительно рамки, которую мы определили. Многие интерпретируют Карнапа здесь как защи-
щающего точку зрения, что мы можем определить объекты как существующие. Фреге, с другой стороны, утверждал, как хорошо известно, что мы не можем создавать объекты с помощью определений. Следовательно, здесь можно было бы увидеть конфликт между Фреге и Карнапом по этому вопросу. Автор утверждает, что если провести различие между определениями и базисными законами, то этот появившийся конфликт исчезает.
Таким образом, существует различие между Фреге и Карна-пом в вопросе о плюрализме. Фреге дал прагматическое обоснование для базисных принципов своей системы. Несмотря на это, он не был плюралистом. Поскольку он полагал, что всякий, кто попытался бы осуществить тот же самый проект, - а именно дать систематическое описание арифметики, - по существу, сделал бы тот же самый прагматический выбор. Автор будет утверждать, что «именно отрицание этой предпосылки Фреге конституирует главную точку несогласия между Фреге и Карнапом по основаниям математики» (с. 238).
Начнем с рассмотрения утверждения Фреге, что мы не можем создавать объекты с помощью определения: «Допустим, что кто-то определяет, например, число ноль, сказав: это есть нечто, что допускает один, когда добавили один. Поступая так, некто определил понятие посредством определения (спецификации), каким свойством должен обладать объект для того, чтобы подпасть под конкретное определение. Но это свойство не является свойством определяемого понятия. Человек, по-видимому, воображает, что посредством определения нечто создало то, что допускает один, когда добавили к одному. Большое заблуждение. Определяемое понятие не обладает этим свойством и не является определением любой гарантии, что понятие реализуемо, это есть вопрос, требующий отдельного исследования. Только когда мы доказали, что существует по крайней мере самое большее один объект с требуемым свойством, мы в состоянии исследовать этот объект с собственным именем "ноль". Создать ноль, следовательно, невозможно» (цит. по: с. 238)
В этом пассаже Фреге ставит простую логическую точку. Эта логическая точка совместима, конечно, с фрегевским реализмом, но не с выражением этой реалистической установки. Эта логическая точка состоит именно в том, что понятие «нечто, которое дает
единицу, когда добавляется единица» само не вводит объект. Это обстоятельство имеет место только тогда, когда можно доказать, что существует один, и только один, объект, который подпадает под это понятие, и можно ввести собственное имя, которое ставится для объекта. Фреге здесь не говорит о базисных законах и утверждает, что явно нельзя установить базисные законы, которые вводят объекты. Фреге действительно полагает, что только неявно можно принять базисные законы, которые вводят объекты. Тогда не существует ничего в этом вопросе, что влечет несогласие между Карнапом и Фреге. Предположительно Карнап мог бы полностью принять логическую позицию, занятую здесь Фреге.
Когда Карнап говорит, что после того, как приняты рамки арифметики, тривиально продемонстрировать существование числа, он не делает ошибки, которую Фреге критиковал выше. Принципы, которые определяют некоторую рамку, являются базисными истинами. Если мы хотим сравнить позиции Карнапа и Фреге по этому вопросу, мы должны рассмотреть не фрегевские замечания по определению, а его обсуждение базисных законов. Конечно, Фреге утверждает, что базисные законы не могут быть достаточно обоснованы. Мы можем обосновать небазисный закон путем редукции его к более базисному, но, строго говоря, не существует ничего, что может служить в качестве обоснования базисного логического закона. Фреге, однако, часто дает прагматические аргументы в пользу его базисных законов. Это не более очевидно, чем когда он защищает аспекты своей системы с помощью онтологических импликаций. Например, так он говорит о введении истинностных значений как объектов: «Насколько проще и точнее становится все при введении истинностных значений, можно показать детально в этой книге. Только эти преимущества вносят большой вес в баланс в пользу моей собственной концепции, которая действительно может казаться странной на первый взгляд» (цит. по: с. 238).
Речь о конвенциях бесполезна. Фактически он прямо отрицает, что предложение, такое как «Все черные доги являются черными», является истинным по конвенции. «Раз значения индивидных слов в предложении этой формы даны, то. истинность данного предложения определяется логическими отношениями между данными значениями» (цит. по: с. 240).
Фреге интересовался тем, что, по существу, является карна-повской экспликацией числа. Кроме того, Фреге явно руководствовался прагматическими рассмотрениями, когда вводил такие вещи, как истинностные значения. Почему тогда у него нет нечто похожего на карнаповский принцип толерантности? Ответ состоит в том, что Фреге полагал, что каждый, кто попытается решить некоторую задачу - например, дать научное описание арифметики, -должен сделать тот же самый прагматический выбор. И каждый, кто пытается дать систематическое описание числа, должен был видеть необходимость введения истинностных значений как объектов. Но даже рассматривая истину всей системы как целого, Фреге руководствовался прагматическими соображениями. «Прежде всего, невероятно, что таким образом структура могла бы отреагировать на базис, который не определен или дефективен. Всякий, кто утверждает другие концепции, должен только попытаться отреагировать подобной структурой на них, и я думаю, что он почувствует, что это не работает или, по крайней мере, работает не так хорошо. Как опровержение этого я могу признать только то, что чья-то актуальная демонстрация либо лучше и более долговременное здание может быть возведено на других базовых убеждениях, либо что мои принципы ведут к появлению ложных следствий» (цит. по: с. 240).
Таким образом, Фреге говорит, что он признает свою систему как ложную, только если она ведет к ложным заключениям или может быть продемонстрировано явное превосходство над ней. Фреге выражал некоторую сдержанность относительно своего Базисного закона V, но он тем не менее полагал (до письма от Рассела), что ни одна из этих возможностей не реализуется. Фреге считал, возможно догматически, что любая попытка достичь истинного систематического описания арифметики должна включать все ее существенные черты. Карнап со своей перспективы более поздних лет мог видеть возможность описания арифметики как с помощью, так и без помощи рассмотрения, например, истинностных значений в качестве объектов. Карнап мог быть не согласен с точкой зрения Фреге, что все истинные систематические утверждения арифметики будут включать ее существенные свойства.
Карнап мог рассматривать введение чисел в качестве объектов как один из возможных способов дать систематическое описа-
ние арифметики. Но он также мог рассматривать введение аксиомы бесконечности и затем ассоциирование числа со второпорядковыми свойствами в качестве другого способа решить ту же самую задачу. Решение о выборе между этими возможностями Карнап трактовал как произвольное. Но в случае принятия решения пропозиции внутри выбранной системы не становились субъективными, зависящими от нас, или просто лингвистическими. Фреге и Карнап принимали объективность арифметики. Их разделяла вера Фреге в то, что каждый, кто ставит ту же задачу - обеспечить систематическое описание арифметики, - должен был сделать тот же самый прагматический выбор, который сделал он. По-видимому, с точки зрения Карнапа, Фреге придерживался этого взгляда ввиду отсутствия в то время какой-либо иной альтернативной и эквивалентной системы трактовки понятия числа. Таким образом, Карнап считал, что ошибка Фреге возникла из-за того, что он далеко опередил свое время, а не в результате каких-либо метафизических причин.
Л.А. Боброва
