CC BY
18
УДК 514.7
2-ПОВЕРХНОСТЬ В Е6
И.В. Артеменко
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматривается геометрия 2-поверхности в Е6, построено инвариантное касательное оснащение 2-поверхности в Е6. Для оснащения рассмотрено построение 2-й квадратичной формы, найдены кривизна линии на 2-поверхности, соприкасающаяся плоскость, бинормаль 2-поверхности, кривизна сечения поверхности по данной нормали, главные и средние кривизны поверхности по данной нормали, индикатрисы кривизны. В связи с рассмотрением указанных элементов доказаны теоремы. Библиогр. 1 назв.
Ключевые слова: 2-поверхность в Е6; оснащение; квадратичные формы; кривизны.
В.И. Машанов
2-SURFACE IN E,;,
I.V. Artemenko, V.I. Mashanov
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The article deals with the geometry of the 2-surface in E6. The authors construct an invariant tangent clothing of the 2-surface in E6. For the clothing they consider the construction of the second quadratic form. They find the curvature of a line on the 2-surface, the osculating plane, the binormal of the 2-surface, the curvature of the surface cross section on the normal, principal and mean curvatures of the surface on this normal, curvature indicatrices. In connection with the examination of these elements the theorems are proved. 1 source.
Key words: 2-surface in E6; clothing; quadric quantic (quadratic forms); curvatures.
Пусть в E6 задана поверхность достаточное число раз дифференцируемой вектор-функцией
г = г (и1 ,и2 ).
Деривационные формулы ортонормального репера имеют вид:
dp = СОгег;
de j = Се
] ] г
с уравнениями структуры
БС = СЛсоС ;
ВС = сокЛС .
] и к
Совместив вершину репера с точкой М(г) поверхности, а грань {М,е1,еа} - с касательной плоскостью, получаем дифференциальные уравнения:
С = 0 ; п = 3, 6 . (1)
Условия их полной интегрируемости имеют вид а"Люп = 0; а = 1,2. 1 2
Считая со , со базисными формами кольца дифференциалов главных параметров и1 , и 2 , по
лемме Картана получаем:
< = Ъ1С, а, в = 1,2. (2)
В построенном репере первого порядка первая квадратичная форма
1 = =(С ) +С2 ) .
Так как в данной точке М поверхности имеется 4-мерное нормальное векторное подпространство
УЫ = а(е3, е4, е5, е6 ) (здесь а - символ линейной
оболочки данной совокупности векторов), то единственной второй квадратичной формы пока не имеется, однако мы можем найти такие формы по векторам произвольного ортонормального базиса нормали
N = {М, е3, е4, е5, е6}:
ю= ъаСаСв, (3)
геометрический смысл которых будет дан п. 5. Завершает построение репера первого порядка нахождение условий полной интегрируемости
Ц^-ъх-ъаур + (4)
уравнений (2) и их следствий
5ъв= ъпур-
(5)
являющихся дифференциальными уравнениями движений репера в зависимости от вторичных параметров (вращений в касательной плоскости Ш нормали N M). Здесь 8 - символ дифференцирования по указанным вторичным параметрам, а п - формы дифференциалов этих параметров (вторичные формы) [1, гл. 3, § 2].
1. Кривизна линии на 2-поверхности
Пусть на поверхности задана линия
иа = иа(),
или
r = r(U ((), и2 (())
1Артеменко Ирина Владимировна, доцент кафедры математики, тел.: 89148816908.
Artemenko Irina, Associate Professor of the chair of Mathematics, tel.: 89148816908.
dr ua r Находим — = — ea ds ds
и вектор кривизны
d2r
ds2
2 f du2
=z
a=1
ds
ea+a
2 a
i=1
Разбив i = 1,6 на в = 1,2 и n = 3,6 и заменив во втором слагаемом в о a, получаем:
d2r ^ da2 + ювюаа 6
ds2
= Z
а,в=1
ds2
+Z z
П=3 a=1
2 a n
2 a coa
ds
2n
Вектор кривизны разбивается на касательную составляющую
dC
К =
a I ,, в,, a
+ a a в
ds2
(6)
называемую вектором геодезическом кривизны линии на поверхности, и нормальную составляющую
VN =
®V
ds
2 П '
a = 1,2; n = 3,6 ,
(7)
называемую вектором нормальной кривизны. Используя обозначения (3), записываем его в виде
— IIn Vn = IJ^e
ds
2 П '
Величина
kg =
Vg
Z(dC
+ аваар t
ds2
(8)
(9)
называется геодезической кривизной линии на поверхности, а
kN =
Vn
(10)
- нормальной её кривизной. В силу ортогональности V и Уы кривизна К линии на поверхности определяется формулой
K = Л lkg2 + kN2
Если рассмотреть сечение поверхности гиперплоскостью {м, ёг, е3, е4, е5, е6 }, то имеется вектор
кривизны только с составляющей Уы, поэтому соотношения (7) или (8), (10) определяют кривизну нормального сечения.
2. Соприкасающаяся плоскость 2-поверхности
Плоскость, определяемую точкой М и векторами
ёг , ё2г , вычисляемыми для любого направления со1 : со2 в данной точке поверхности, назовём соприкасающейся плоскостью и обозначим Т2М . Направляющее подпространство соприкасающейся плоскости
УТ2М определится векторами
еа, ЪПуеп, в<у, а,р,у = 1,2 . Размерность
&шТ2М = гап^еа, ЬПуел\= 5 в силу отсутствия
каких-либо условий на Ь^г . Ортогональное дополнение назовём бинормальным направлением. Оно определяется системой
ха = 0;
Z xn ьп= 0
(11)
n=3
и является одномерным. Прямую {м, X}, где X -
бинормальное направление, назовём бинормалью. 3. Линии кривизны двумерной поверхности
Направления в точке поверхности, определяющие экстремальные значения кривизны нормальных сечений, а также эти кривизны, называются главными. Огибающие главных направлений называются линиями кривизны.
Запишем соотношения (10) в виде
V
Z (lln)2 - K (cC2 + a2 )= 0 .
n=3
Дифференцируя по aa , получаем систему:
(12)
- Щ/г)2 кс = 0
4. Кривизна сечения поверхности по данной нормали
Прямая М, ш} направления
ш = шпеп; п = 3,6; |ш| = 1 называется частной нормалью. Величина
кш =(^,ш )=
= kNcosp, (13)
где р- угол между вектором нормальной кривизны и данной частной нормалью, называется кривизной по этой нормали. Итак, имеем
Z mnIIn
k =n=l
Km -
и назовём
ds2
(14)
(15)
Иш = £ шп1Р
п=3
второй квадратичной формой поверхности по частной нормали т .
Теорема. Кривизна линии по бинормали тождественно равна нулю.
Доказательство вытекает из того, что для решения
системы (11) IIш = 0.
5. Главные и средние кривизны поверхности по данной нормали
Соотношения (14), опустив индекс "ш", запишем в виде:
Z mnb
k Za
= 0.
n=3 a=1
„ a
Дифференцируя по a , получаем линейную сис-
тему:
6
а
ЕИ Естественные науки
2тпъпаУ-кта= 0. 1=3 Так как квадратичная форма (16) IIм симметрична, r2j2 = 2 2 хпъ12 >1 2 ЬЬ 2 х* ъь = 1, п, Ь = 3,6.
- определенная форма, то характеристическое уравнение
2 тпЪ1р-5арк
1=3
= 0, а,в = 1,2
(17)
(5ар - кронекеров символ). Получаем уравнение
к2-2+
1=3 +
6 тп(ъП + ЪП )К
+
+
2 тпЪ?1 2 т'ЪЪ
I] I]
2 тпЦ2 2 т'Ъ^
= 0
ч ч
Величины
Jl = к1 + к2 =2 т'Ъи + Ъ]2 ),
^ 2 к1 ' к 2
ЧКП 12
2 тпЪпп 2 тпЪ
I] I]
2 т'Ъ'13 2 тпЪ
чу1 22
(18)
(19)
п п
называются средней и полной кривизнами поверхности по частной нормали т . Корни к1г к2 называются главными кривизнами по частной нормали. 6. Индикатрисы кривизн
Средняя кривизна J1 является линейной функцией координат частной нормали т = тпеп, поэтому и
график этих кривизн будет линейным.
Введём радиус средней кривизны по нормали т :
р = 1: Jl ; хп = ртп; п = 3,6. Так как |м| = 1, то |Х| = р . Из формулы (18) получаем уравнение плоскости в ММ:
2 хп(Ъ1и + ЪЪ )= 1, (20)
ч
называемой индикатрисой средних кривизн по частным нормалям.
Плоскость (20) имеет вектор нормали
Р = 2ъ1 ~
ааеп ; п = 3, 6,
а=1
который называется средней нормалью поверхности в данной точке М. Величина
р = |р = ^2(( + ЪП )2
называется средней кривизной поверхности. Введём
Я2 = и2; хп = тпЯ,
тогда
Поверхность
2 хпх^Ъ1М2 - МЛ)= 1
(21)
п*
называется индикатрисой полных кривизн по нормалям М е ЫМ.
Теорема. Индикатриса средних кривизн параллельна бинормали.
Теорема. Индикатриса полных кривизн есть цилиндр второго порядка с образующими, параллельными бинормалям.
Доказательства вытекают из свойств системы (11), определяющей бинормаль. Действительно, например, во втором случае бинормаль (11) является линией центров индикатрисы (21).
7. Нормальное оснащение поверхности
Фиксация Ъ6ар = 0; а,в = 1,2 совмещает плоскость {М, е2, е3, е4, е5} репера с соприкасающейся плоскостью, а прямую {М, е6 } с бинормалью
в данной точке М.
Из соотношений (5) при
Ъи Ъ4п Ъ5п
и 3 и 4 и5
означающим,
что
Ъ2 * о Ъ1
ШтГ2М = 5,
(22)
получаем:
пр = 0; р = 3,4,5.
Пересечение индикатрисы полных кривизн с соприкасающейся плоскостью Т2М даёт в последней невырожденную в общем случае квадрику
2 (22 - Ц2Ц2 ) = 1. (23)
ПЬ=3
Фиксация
Ъ1Ъ22 - Ъ112Ц2 = 0, п * *
при Ъ1Ъ22 -{у2)2 *Ъ1Ъ22 -()2
'11 Г22 УК 12) г "11^22 У12) направляет векторы е3,е4,е5 по главным направлениям квадрики (23).
8. Инвариантное касательное оснащение
Любой из фиксирова нных в предыдущем параграфе векторов е3 , е4 , е5 нормального оснащения
может быть выбран за частную нормаль, порождающую инвариантное касательное оснащение 2-
поверхности в Е6.
Возьмём за частную нормаль е3 и получим в условиях (22) кривизну нормального сечения по этой нормали
II3
К =
ds
2 '
или
з „12 , 2b3 „1 „2 , b3 —22 k(— 12
bn— + 2bJ12——2 + bJ22—2 -k—
+ —2 = 0.
j
2
Дифференцируя по — ,— , получаем линейную систему:
b3, — + b3—2 -k— = 0;
.2 7,2
'12ь
3
b321— + b322—2 -k—2 = 0,
определяющую уравнение
b3i - k
21
K2 - k
= 0
главных кривизн по нормали e 3 и уравнение
b— - b3i——2 - b— = 0
линий кривизны. Фиксация
Ь]2 = 0, Ьи- Ь322 )* 0
совмещает направления е1,е2 с касательными к линиям кривизны по нормали е при условии, что точка
М не является омбилической по этой нормали. Построение инвариантного оснащения 2-поверхности в
Е3 закончено.
Библиографический список
Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск: Изд-во ТГУ, 1973.
з
b
12
з
УДК 504.455.064.36:574(282.256.341)
ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В СФЕРЕ ВОДОПОЛЬЗОВАНИЯ БАЙКАЛЬСКОГО РЕГИОНА
1 2 Е.В. Верхозина , В.А. Верхозина ,
1Институт Земной коры СО РАН,
664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 128.
2Институт геохимии им. А.П. Виноградова СО РАН,
664033,г. Иркутск, ул. Фаворского, 1 А.
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Антропогенное вмешательство в геоэкосистемы крупнейших поверхностных водоемов связано с возможностью необратимых последствий для ныне живущих и будущих поколений, что находится в противоречии с устойчивым экономическим развитием. На сегодняшний день качество водных объектов катастрофически ухудшается. Стоимость пресной питьевой воды со временем будет все возрастать. Современные проблемы в сфере рационального природопользования рассматриваемых озер состоят в пополнении информации о механизме и функционировании их геоэкосистем. Выявленные факторы должны влиять на формирование эффективной политики управления ресурсами озера Байкал. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: антропогенное влияние; геоэкосистемы; проблемы рационального природопользования; эффективная политика управления ресурсами; проблемы пресной воды; экономический рост.
ENVIRONMENTAL PROBLEMS IN THE FIELD OF WATER MANAGEMENT IN BAIKAL REGION E.V. Verhozina, V.A. Verhozina, L.E. Protasova
Institute of Earth Crust SB RAS, 128, Lermontov St., Irkutsk, 664033.
Institute of Geochemistry named after A.P. Vinogradov SB RAS, 1a, Favorsky St., Irkutsk, 664033. National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
Anthropogenic interference into the geoecosystems of the largest surface water reservoirs is connected with the possibility of irreversible effects for the living and future generations. The last is in conflict with sustainable economic develop-
1 Верхозина Елена Владимировна, кандидат биологических наук, научный сотрудник лаборатории литогенеза и стратиграфии, тел.: (3952) 427000, (3952) 426102, 89148805774, e-mail: verhel@crust.irk.ru
Verhozina Elena, Candidate of Biology, Research Worker of the Laboratory of Lithogenesis and Stratigraphy, tel.: (3952) 427000, (3952) 426102, 89148805774, e-mail: verhel@crust.irk.ru
Верхозина Валентина Александровна, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории физико-химического моделирования, тел.: (3952) 510854, 89149047775, e-mail: verhval@igc.irk.ru
Verhozina Valentina, Doctor of technical sciences, Professor, Leading Researcher of the Laboratory of Physicochemical Modeling, tel.: (3952) 510854, 89149047775, e-mail: verhval@igc.irk.ru
Л.Е. Протасова
