CC BY
0The scientific heritage No 16 (16),2017 предприятию. Если доказательства Do истины, то участок z2 принадлежит гражданину Украины cgu2,
если доказательства Do ложно, то участок z2 при-
2
надлежит предприятию с i.
Вывод
Таким образом, учитывая все разнообразие возможных ситуаций в связи с земельными отношениями, исчисление предикатов представляет возможность представить некоторые элементы земельных отношений, а в частности, элементов Земляного кодекса Украины в математическом виде, сформировать аксиомы и представить решение той или иной задачи в формальном виде.
Список лггератури
1. Земельний кодекс Украши: [Текст]: офщ.текст: вщ 06.12.2016: станом на 01.03.2017 [Електрон. ресурс]. - Режим доступу:
http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/2768-i4. -5.06.2017 р.
2. Конститущя Украши: [Текст]: офщ.текст: [прийнята на п'ятш сеси Верховно! Ради Украши 28 червня 1996 si змшами, внесеними Законом Украши вщ 15.03.2016: станом на 01.03.2017]. - М.: Мш-во юстици Украши 2017 [Електрон. ресурс]. - Режим доступу:
http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/254%D0% BA/ 96-% D0% B2% Di% 80.
3. Манько Д. Г. Технологи формашзаци права [Текст] / Д. Г. Манько // Науковий вюник Мiжнародного гумаштарного ушверси-тету. Сер.: Юриспруденцiя, 2013. - № 5. - С. 18-21.
_77
4. Метешкин К.А. Кибернетическая педагогика: теоретические основы управления образованием на базе интегрированного интеллекта [текст]: монография / К.А. Метешкин. -Харьков: Международный Славянский университет, 2004. - 400 с.
5. Метешкин К.А. Основы теории систем: инновационная авторская технология обучения «Партнерство» [текст] учеб. пособие / К.
A. Метешкин, Д. А. Конь, Р. Х. Ахмедова -Харьков: ХНУГХ им. А. Н. Бекетова, 2016. -236 с.
6. Про Землеустрш: [Текст]: офщ.текст: вщ 08.12.2015 /: станом на 01.03.2017 [Електрон. ресурс]. - Режим доступу: http://zakon2.rada.gov.ua /laws/show/858-15. -5.06.2017 р.
7. Радейко Р. I. Формалiзацiя як метод до-слщження правових явищ [Текст] / Р. I. Радейко // Лвiв: 1нститут права та психологи Нащонального ушверситету «Львiвська полггехшка», 2014. - С. 86-93.
8. Радейко Р. I. Теоретико-правовi ас-пекти виршення проблеми формалiзацil права [Текст] / Р. I. Радейко // Лвiв: Право i сустль-ство, 2013. - № 6-2. - С. 42-46.
9. Широков, В.А. Ыформацшна теорiя лексикографiчних систем [Текст] / В.А. Широков. - К.: Довiра, 1998. - 331 с.
10. Широков В.А. Феноменолопя лекси-кографiчних систем [Текст]: монография /
B.А. Широков. - Ки1в, Наукова думка, 2004. -327 с.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Латухин А.Ю.
кандидат технических наук, доцент кафедры «Энергетика, экономика, прикладная математика»
Нижегородский государственный технический университет Дзержинский политехнический институт (филиал)
Латухина Ю.А.
магистр, старший преподаватель кафедры «Энергетика, экономика, прикладная математика» FREE OSCILLATIONS OF THIN-WALLED STRUCTURES
Latukhin A. Y.
PhD in Engineering, Associate Professor, Department «Energy, Economics, Applied Mathematics» Nizhny Novgorod Technical University Dzerzhinsk Polytechnic Institute (branch)
Latukhina J.A.
Magister, Senior Teacher, Department «Energy, Economics, Applied Mathematics»
Аннотация
В статье рассматривается задача о свободных колебаниях тонкостенных конструкций, представляющих собой произвольную композицию оболочек вращения и круговых пластин в условиях осесимметрич-ной деформации. Отдельные оболочки вращения (подконструкции) могут быть выполнены из различных
изотропных линейно-упругих материалов с переменными вдоль образующей геометрическими характеристиками.
Abstract
The problem of the presence of oscillations of thin-walled structures representing an arbitrary composition of shells of revolution and circular plates under conditions of axisymmetric deformation is considered in the article. Separate shells of rotation (substructures) can be made of various isotropic linearly elastic materials with variables along the generators of geometric characteristics.
Ключевые слова: свободные колебания, осесимметричные деформации, тонкостенная конструкция.
Keywords: free oscillations, axisymmetric deformation, thin-walled structures.
Исходные уравнения, описывающие свободные колебания тонкостенной конструкции, можно сформулировать на основе принципа виртуальной работы совместно с принципом Даламбера [2-4]:
Я = |сг„ • ЗеМУ +1 /ж • 8иф 7 = 0 ,(1)
V V
где V - объем тела; и - тензор напряжений; е - тензор деформаций; р - плотность матери-
ала; Щ - поле перемещений, удовлетворяющее заданным кинематическим граничным условиям; //г
- поле ускорений; 6 - символ, обозначающий кинематически возможные вариации соответствующей величины.
В качестве типовой подконструкции системы рассмотрим оболочку вращения, срединная поверхность которой образована вращением некоторой плоской кривой 1<(х) вокруг оси ОХ.
Рисунок 1 - Образующая срединной поверхности оболочки
Положение точки на поверхности вращения определяется криволинейными ортогональными координатами < и <х2, отсчитываемыми соответственно вдоль меридиана и параллели. В этом случае коэффициенты ЛамеЛ\ и Л2 и главные радиусы
кривизны Я\ и Я2 не зависят от координаты < . Координату г, определяющую расстояние от некоторой точки оболочки до срединной поверхности, определим таким образом, чтобы система координат (< ,а2, г) образовывала правую ортогональную систему координат.
Так как оболочка вращения находится в условиях осесиммметричной деформации, то все параметры напряженно-деформированного состояния не зависят от координаты < .
Предполагается, что для оболочки вращения справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява [7].
Тогда компоненты тангенциальной £1, е2 и изгибной , 12 деформаций срединной поверхности оболочки вращения, находящейся в условиях осесимметричной деформации, можно записать в следующем виде [7]:
1 du
Ъ =■
w
Н--, Ъ = ■
R
1
dÄ2
■ u +
А < А■ А
где и, V - перемещения срединной поверхности в направлении < иг соответственно; 0 -угол поворота нормали к срединной поверхности вокруг направления <2.
w _ 1 d©
R ' 1 A dax © = -
% 2 = 1 ôw
1
ôw u + -Г, (2)
A ■ A d^ R
+ u
(3)
А ■ К-1
Компоненты перемещения и деформации произвольной точки оболочки, отстоящей на расстоянии г от срединной поверхности, определяются по формулам:
и = и + ©■ г, еи =е1 + хх ■ г, щ = ы, е22 = ег + хг ■ г . Физические соотношения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, записываются в виде [7]:
^11 =7^ ■ (е11 + У ■ е22) , ^22 = 7^7 ■ (е22 + V ■ О :
(4)
1 - vz
1 - vz
(5)
где E - Модуль Юнга; V - к°:эффициент Пуас- N , N и изгибающие моменты М1, М2. Внут-
соня
ренние усилия и моменты приводятся к срединной Введем усилия и моменты, действующие в осе- поверхности оболочки и определяются по форму-вом и окружном направлениях: нормальные усилия дам.
к/2 к/2
N = (1 + г / Я2 )№г, Мх = (1 + г / Д2)гйг,
-к/2 -к/2
к/2
N 2 = |^22 ■ (1 + z / Rl)dz .
-к/2
(6)
к/2
M 2 = \°22 ■ (1 + z / Ri) zdz .
к/2
где h - толщина оболочки. Используя соотношения (4) и (5), выполняя в формулах (6) интегрирование по толщине оболочки
и пренебрегая членами порядка к / Д , получаем:
N1 = + , М1 = 333^1 + 3з4^2 ,
N2 = 3 21^1 + 322^2 ' М2 = 343^1 + 344^2 .
(7)
Коэффициенты жесткости 3 ^ (/, = 1,4) оболочки, определяются из выражений:
т - т - Ек т _ т _ т
311 = 3 22 = 2 ' 312 = 321 = 311 ■ V '(8) 1 - V
333 = 344 =
Ек
. 334 343 333 ■ V.
12(1 - V2)
313 = 314 = 323 = 324 = 331 = 332 = 341 = 342 = 0 .
С учетом приведенных геометрических и физических соотношений преобразуем вклад п-й под-конструкции в исходное вариационное уравнение (1).
Вариация внутренней энергии отдельной оболочки вращения, находящейся в условиях осесим-метричной деформации, может быть записана в следующем виде:
f z z
J (^11 S e11 +&22 S e22) ■ (1 +—) ■ (1 + —) ■ A1 ■ A2 ■ d&1 ■ d&2 ■ dz .
Vn
(9)
Используя геометрические соотношения (4),
Таким образом, вариация работы инерцион-
выполняя интегрирование по толщине в выражении ных сил, действующих на отдельную симметрично
нагруженную оболочку вращения может быть записана следующим образом:
| {5и}т ■ [/?] • {й} ■ А1 ■ А1 • ёа ■ ёа2 ,(11)
где {и}т = {и ы 0} - вектор обобщенных
перемещений
•¡т
срединнои
поверхности;
(9) с учетом (6) и (7), получаем
| {5е}т ■ [3 ] ■ {8е} ■ А1 ■ А2 ■ ■ ёа2 ,(10) у
^П
где ¿}т = {^1 ¿>2 Х1 Х2} - вектор деформаций срединной поверхности; Ц] - квадратная
матрица размерности 4 х 4 с компонентами ./. . т ..
] {и\ = {и м> 0} - вектор обобщенных ускоре-
вьфажения которых даны соотношениями (8).
В соответствии с характером деформирования ний; [р] - Диягоняльняя квядрятняя матрица раз-оболочки, определяемыми гипотезами Кирхгофа-Лява, инерционные силы путем интегрирования по толщине могут быть приведены к системе распределенных по срединной поверхности инерционных
обобщенных сил:
(рА3/12).©.
мером 3 х 3 с компонентами рп = р22 = рп ■ кп,
А3 =Рп ■ К 3/12.
Объединяя (10) и (11) получим вклад п-й под-Р„к„и конструкции в исходное уравнение
Пп = | {ös}T ■ [J] • {£•} ■А1-А2- daY ■ da22 + J {öu}T ■ [p] • {ü} ■ A1 ■ A, • da ■ da2
у
^п
После этого исходное вариационное уравнение можно записать:
N
п = т Пп = о.
/ j п
(12)
п
П=1
где N - количество подконструкций, входящих в состав тонкостенной конструкции.
Дискретизация исходного вариационного уравнения (1) по пространственной переменной осуществляется на основе метода конечных элементов. Тонкостенная осесимметричная конструкция условно расчленяется на N подконструкций, которые, в свою очередь, набираются из отдельных конечных элементов.
Согласно принятой численной схеме исходное вариационное уравнение (1) может быть записано в виде:
N 5
П = ТТПП, = 0, (14)
п=1 5=1
где
п_. -
вклад одного конечного элемента с
индексом 5 подконструкции n:
Пт=^ш J {Ö£}T[J]-{£}-A1-A2-da1-da2+j{Su}T-[p]-{ii}-A1-A2-da-da2. (15)
В качестве конечного элемента выбран эле- нейным и кубическим законами распределения тан-мент тонкой усеченной конической оболочки с ли- генциальных и и нормальных V перемещений срединной поверхности соответственно.
Рисунок 2 - КЭ тонкой усеченной конической оболочки
Этот конечный элемент имеет шесть граничных степеней свободы, удовлетворяет условиям совместности и учитывает смещения тела как жест-
кого целого.
"1 х О
где [ х] = О О х
О О О
В соответствии с конечно-элементной техникой дискретизации выразим вектор обобщенных перемещений срединной поверхности конечного
элемента через его узловые перемещения {щ } :
{и} = [ х] ■ [ Xj ]-1 • {Uj} = • {и\,
О
X -1
О
х2 - 2 х
О
х3
- 3х2
[ х7 ] =
{щ }Т = {щ Щ 0 Щ Щ 0 }, I - длина образующей конечного элемента.
(16)
1 О О О О О
О О 1 О О О
О О О -1 О О
1 l О О О О
О О 1 l l2 l3
О О О -1 - 21 -
2
Аналогичным образом выражаются векторы обобщенных скоростей и ускорений срединной поверхности конечного элемента:
{г/} = [<//]• {¿г,}. {¿/} = [<//]•{",}•
Геометрические соотношения для элемента конической оболочки получаются из зависимостей
(2), если положить < = X, А1 = 1, ^ = да,
а2=а, А = г, ^ = г/БШ^.
Тогда с учетом (16) имеем:
где
[ X] =
z
{*} = [ X] ■ [ x, ]-1 ■ {u,} = [ B] ■ {u,},
1
0
0
0
0
sin n sin jj 2 sin n 3 cosj cosn sinn--X--X -- ■ X
— ■ x - z z
0 0
z
z
0 0
0
- 2
z
- 6 X
cosn 2cosn 3cosn 2
-- --■ X --■ X
(18)
Физические соотношения, устанавливающие связь внутренних усилий и моментов с деформациями срединной поверхности конечного элемента, записываются согласно (7) и (16):
{Щ = [3] ■{е} = [3] ■ [5] ■{и}. (19)
С учетом введенных конечно-элементных аппроксимаций вклад отдельного конечного элемента (1.15) в исходное вариационное уравнение (1) может быть представлен в виде:
Пт = {5ы] }т ■ ([т] ■ {и;} + [к ] ■ {и;}),
где [т], [к ] - матрица массы и жесткости конечного элемента:
i
[М] = 2xf [щ]т ■ [р] ■ [щ] ■ z ■ dX
(20)
I
[к] = 2ж\[В]т ■ [3 ] ■ [В] ■ г ■ ск. (21)
0
При этом предполагается, что компоненты матриц [р], [Ц] и координата г изменяются вдоль образующей конечного элемента по линейному закону:
[р] = Р] {1 - X] + [Р]2 ■ X ,
[3 ] = [31 -(1 - X] + [3]2 ■ X,
(л X Л X
г = г, ■ I 1--+ г2 ■ — ,
1 I /) 2 I
где нижний индекс у величин означает принадлежность соответствующему узлу конечного элемента.
Вычисление интегралов (20) и (21) осуществляется численно с помощью квадратурной формулы Гаусса [3,8]:
Г I п
| f(х)№х = - ■ у А1- /(X ) , где
i=1
i i
X = —I---/ ; А - весовые коэффициенты квад-
2 2
ратурной формулы; ^ - нули многочлена Ле-жандра.
Следует заметить, что квадратурная формула Гаусса при использовании п узлов интегрирования
позволяет точно интегрировать многочлены степени 2п-1.
Выражения (20) и (21) для матрицы массы и жесткости получены для отдельных конечных элементов, не связанных какими-либо условиями с соседними элементами. Объединение их на уровне подконструкции требует выполнения условий совместности ускорений и перемещений по границам смежных элементов. Для этого необходимо произвести переход от местной системы координат (0хг) к глобальной (0X7). Это преобразование осуществляется с помощью соотношений:
{£//}=[£■{«/}. = (22)
где
Я] =
sinj - cosj 0 0
cosj sinn 0 0
00 1 0
0 0
0
0
0 sin j - cosj 0 0 0 0 cosj sinj 0
0 0 0 0 0 1 _
После подобного преобразования вклад отдельного конечного элемента в исходное вариационное уравнение (1) запишется в виде:
nm = {SUJ}r • ([m]■ {Üj} + [*]■{иJ}) (23)
где [m], [k] - матрицы массы и жесткости конечного элемента в глобальной системе координат:
[М] = [Я ■ [М] ■ [Я,
(24)
[к] = [Д]т ■ [к]■ [Д].
Последовательное объединение вкладов отдельных конечных элементов, входящих в состав п-й подконструкции, с учетом общих перемещений в узлах соседних элементов, а затем вкладов подкон-струкций с учетом общих перемещений по их границам приводит к дискретным уравнениям, описывающим свободные колебания оболочечных конструкций:
[М ] ■ {#} + [К ] ■ {и} = 0, (25)
где [М], |/\| - матрицы массы и жесткости конструкции; {£/}, {11} - векторы обобщенных узловых ускорений и перемещений конструкции.
0
z
Z
Z
0
0
0
0
Математически (25) представляют собой систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение системы (25) может быть записано в виде:
{U} = {?} ■ sin(<1 - Го),
(26)
где {р} - вектор формы свободных колебаний конструкции; О - угловая частота свободных колебаний; / - время; Г 0 - начальная фаза.
Подставляя (26) в (25), получаем обобщенную проблему на собственные значения:
([К ] -О2[М ])>} = 0. (27)
Решение задачи нахождения частот и форм свободных колебаний в заданном диапазоне частот осуществляется численно с помощью методов, основанных на делении спектра матрицы и решении характеристического уравнения, в сочетании с методом обратных итераций со сдвигом [3,9-12].
Численное решение обобщенной проблемы на собственные значения (27) осуществляется по следующей схеме:
1. на первом этапе определяется число собственных частот, расположенных в заданном диапазоне частот; реализация этого этапа опирается на теорему [1,4], которая утверждает:
Если матрица [А] = [К] — /л0 [М] допускает
разложение [А] = [Ь] [Ц] [Ь]Т , где [Ь] - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, [Ц] - диагональная матрица, то количество собственных значений, меньших /Л0, равно числу отрицательных элементов матрицы [Ц];
2. на втором этапе производится локализация частот свободных колебаний, т.е. находятся левая и правая границы интервалов, внутри каждого из которых лежит единственная частота;
3. на третьем этапе осуществляется уточнение каждой частоты свободных колебаний О в рассматриваемом диапазоне частот и соответствующей ей формы колебаний {р} с помощью метода обратных итераций со сдвигом:
[К шк+1 = [М ]{<р}к,
И =
V /к+1
М<- .1 =
ML [K М .1
w .11m м м
к .1
к.1
(ml [m т„ .1 f
, к = 0,1,2,...
где [К] = [К] — р[М] - сдвиг на величину р; к - номер итерации.
Уточнение частоты О и соответствующей ей формы {р} свободных колебаний на основе метода обратных итераций со сдвигом производится по следующему алгоритму:
р = О0 (О0 - начальное приближение собственной частоты); [К] = [К] — р[М] (сдвиг на величину р); {р}0 = [М]{х}0 ({х}0 - единичный вектор).
Начало итерационного процесса
[К ]{х} = {р}0 (решение системы линейных алгебраических уравнений)
{Р}1 =[М ]{х}1, к = {х}Т {р}о, к2 = {х }Т {р}1,
К к2
Проверка на окончание итерационного про-
h = yfa,
<х>1 = < + —.
цесса
< - <
<s:
если условие не выполнятся, то
{Р},
{?}0 =■
h
< = <
переход на начало итерационного процесса если условие выполнятся, то
{х}1
{Н =■
h
После окончания итерационного процесса О1 и {р} - есть искомые частота и соответствующая
ей форма свободных колебаний оболочечной конструкции.
Список литературы
1 Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 448 с., ил.
2 Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1951. - 344с.
3 Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Физматгиз, 1963. -660 с., ил.
4 Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 320 с.
5 Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. - Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002. - 216 с., ил.
6 Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999. - 548 с., ил.
7 Джордж .А, Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 333 с., ил.
8 Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 100 с.
9 Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. -Изд. второе стереотип. - М.: Мир, 2001. - 575 с., ил.
10 Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. - Киев: Наук. думка, 1989. - 272 с.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОССЕЛЬНОГО СПОСОБА РЕГУЛИРОВАНИЯ ПОДАЧИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАГНЕТАТЕЛЕЙ
11 Писсанецки С. Технология разреженных матриц: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 410 с., ил.
12 Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 264 с., ил.
Левин А.Б.
Московский государственный технический университет,
Мытищинский филиал доцент, кандидат технических наук, Афанасьев Г.Н.
Московский государственный технический университет,
Мытищинский филиал доцент, кандидат технических наук
GRAPHIC MEANS OF STUDYING THROTTLING METHOD OF REGULATION OF CAPASITY OF
CENTRIFUGAL PUMPS AND BLOWERS
Levin A.B.
Bauman Moscow State Technical University
Mytischi Branch PhD, associate Professor Afanasyev G.N. Bauman Moscow State Technical University
Mytischi Branch PhD, associate Professor
Аннотация
Предложен графический метод определения знака изменения мощности центробежного нагнетателя при изменении подачи дросселированием. Получена формула определения точки на напорной характеристике, в которой увеличение мощности сменяется уменьшением. В этой точке мощность потребляемая нагнетателем максимальна. Показано, что при общедоступности современных средств вычислений графическое представление характеристик обязательно должно сопровождаться и аналитическим.
Abstract
A graphical means is proposed for determining the sign of the change of power for centrifugal pumps and blowers when the capacity is changed by throttling. The formula for determining the point on operating performance is obtained, in which the power increase is replaced by a decrease. At this point, the power consumed by the pump or blower is maximal. It is shown that with the general availability of modern means of calculation, the graphical representation of characteristics must necessarily be accompanied by analytical ones.
Ключевые слова: центробежные нагнетатели, регулирование подачи
Keywords: centrifugal pumps and blowers, capacity regulation
Проблемы, возникающие при изучении естественнонаучных дисциплин, часто снимаются при замене аналитических выражений графическими образами. У большинства людей математическое воображение развито существенно меньше, чем зрительное. Поэтому ученые и преподаватели, излагая результаты своих и чужих исследований, пользуются заменой математических зависимостей их геометрическими метафорами. Например, предложенный Клапейроном способ представлять термодинамические процессы линиями в координатах p,v упростил изложение и, главное, понимание термодинамики. Так, чтобы сравнить величины термических КПД двух прямых циклов, которые в T,s координатах представляют собой окружности одинакового радиуса с центрами, расположенными на различных изотермах, нужно записать уравнения
окружностей, найти интегралы J Тйъ по верхним и
нижним половинам окружностей и затем их алгебраическую сумму разделить на значение интеграла по верхней половине окружности. Если же использовать графическое представление, предложенное Рудольфом Клаузисом, то достаточно одного взгляда, чтобы определить, что КПД выше у цикла, центр которого расположен на изотерме с более низкой температурой, так как при одинаковой полезной работе, равной площади кругов одинакового радиуса, в этом цикле подводится меньше теплоты. Другим примером очень удачного применения графической интерпретации сложного явления может служить предложенный И. Ф. Верещагиным способ определения деформаций напряженных элементов конструкций.
