ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИЛЫ ОТТАЛКИВАНИЯ ОДНОИМЕННО ЗАРЯЖЕННЫХ СФЕР ПРИ БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ МЕЖДУ СФЕРАМИ В СИЛУ ПРИТЯЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

Тарунин Е.Л.

Пермский государственный научно исследовательский университет

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИЛЫ ОТТАЛКИВАНИЯ ОДНОИМЕННО ЗАРЯЖЕННЫХ СФЕР ПРИ БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ МЕЖДУ СФЕРАМИ В СИЛУ ПРИТЯЖЕНИЯ

REPLACEMENT OF A REPULSIVE FORCE OF TWO ELECTRIC SPHERICAL CHARGES OF THE SAME NAME ON SMALL DISTANCES TO AN ATTRACT FORCE

Tarunin E.L., Perm state national research university АННОТАЦИЯ

Многочисленные исследования показывают, что сила взаимодействия заряженных тел существенно отличается от силы взаимодействия, вычисленной по закону Кулона, сформулированного для точечных зарядов. В обзоре исследован особый случай, при котором сила отталкивания одноименно заряженных проводящих шаров (сфер) при малых расстояниях

между сферами L ^ L* преобразуется в силу притяжения. Многочисленные расчеты соответствующих задач электростатики позволили для критического расстояния между сферами L* найти зависимость от отношения радиусов

шаров R2 / Rj и от отношения зарядов Q / Q^ на них. ABSTRACT

Many former investigations display a big deviation of a force of interaction of two bodies from the force predicted by the Culon s law, formulated for two point charges. Here we review the special situation when the repulsive force of two charged balls

(spheres) of the same name change to the attract force on the small distances between balls L < L . Many numerical solutions

of the correspondent electrostatic problems permitted to find the function L* from two values - relation of the radios of the balls

R2 / Rj and relation of charges Qj / Q2 on them.

Ключевые слова: Электростатика, закон Кулона, уравнение Лапласа, проводники с электрическими зарядами, метод Робена, численные методы

Keywords: Electrostatic, Culon's law, Laplas's equation, conducted bodies with electric charges, Roben's method, numerical methods

1. Введение

Сила взаимодействия заряженных проводников на близких расстояниях существенно отличается от закона Кулона, сформулированного для взаимодействия точечных зарядов. В теории электростатики хорошо известны примеры, в которых по закону Кулона просто невозможно вычислить силу взаимодействия. Это случаи взаимодействия точечного заряда с незаряженной проводящей плоскостью и сферой [1]. В настоящее время существует большое число исследований [2-10], в которых различными методами (экспериментально и численно) показано, что сила взаимодействия двух заряженных проводников на близких расстояниях существенно отличается от силы, вычисленной по закону Кулона. Знание реальных сил, действующих между заряженными проводниками, позволяет точнее решать задачи о движении этих тел.

В данном обзоре, в основном, обсуждены результаты численного решения задач электростатики о взаимодействии заряженных проводящих сфер [8-10]. Упомянутые работы объединены тем, что в них используется единый подход, основанный на нахождении потенциала электростати-

ческого поля из решения соответствующей задачи Дирихле. В них использованы основные положения электростатики для проводников: свободные заряды располагаются только на поверхности проводников, поверхностная плотность зарядов пропорциональна нормальной составляющей электрического поля, диэлектрическая постоянная среды полагается равной 1. . Заряды предполагаются изолированными. Для нахождения потенциалов на проводниках с различными зарядами используется метод Робена [11] , а для решения соответствующих задач Дирихле для потенциала поля применяется итерационный метод.

Особое внимание в обзоре уделено случаю, в котором сила отталкивания одноименно заряженных сфер разного радиуса меняется на силу притяжения [9,10]. Симметрия, использованная в рассмотренных задачах, позволяла решать для потенциала поля двумерные задачи. Если отказаться от симметрии, задачи станут трехмерными (более трудоемкими для решения), но зато появится возможность вычислять моменты сил. Рассмотрение взаимодействия проводников также упрощало решение задач. Однако ясно, что часть рассмотренных эффектов проявится и для плохо проводящих

тел и для изоляторов. Следует ожидать новых эффектов при рассмотрении взаимодействия не двух заряженных тел, а нескольких.

Возникает вопрос о возможности рассмотренных эффектов инверсии силы отталкивания для элементарных частиц. В ядрах атомов протоны расположены на близких расстояниях. Если при этом сила отталкивания уменьшается, то вопрос о удивительной устойчивости ядер может быть пересмотрен. Для рассмотрения соответствующих задач пока не хватает данных. Известно лишь, что элементарные частицы

состоят из кварков с дробными зарядами, а из некоторых экспериментов вытекает, что плотность заряда в заряженных частицах распределена по экспоненциальному закону. Неизвестные свойства среды элементарных частиц пока не позволяют ставить соответствующие задачи.

2. Постановка задачи

Геометрия расчетной области в цилиндрической системе координат изображена на рис.1. Расчеты выполнялись с учетом осевой симметрии. Поэтому на рисунке изображено сечение лишь половины области.

В

D

RN

хс

х2

Рис. 1 Геометрия расчетной области

Параметрами задачи являются - расстояние между центрами сфер L=x2 - х1, радиусы сфер R1, R2 и заряды на сферах Q1, Q2. Расчеты выполнялись в безразмерных переменных, в качестве единицы расстояния был выбран радиус первого шара R1 =1 (полагалось, что R2 > R1). Предполагается, что взаимодействующие заряды изолированы.

1. Положение внешней границы, на которой задавалось нулевое значение потенциала, определялось двумя параметрами метода д >10 и R2:

х1= А01= д +R2, С= х2+х1, АB=CD= х1 (1.2)

2. Уравнение Лапласа для потенциала в цилиндрических координатах х,г с учетом симметрии имело вид

1 д дф д ф

---(г—) + —Y = 0

г дг дг дх

(2.2)

В стандартных узлах уравнение аппроксимировалось на

квадратной сетке

ДГ=дX h

концентрацией напряженности поля на углах плоской области. Именно поэтому в дальнейшем были выполнены расчеты для сфер, которые не имеют подобных концентраторов напряжения. И все же расчеты для тел в форме цилиндров дали полезную информацию об особенностях взаимодействия тел, имеющих два геометрических параметра - радиус R и толщину d.

. В этом разделе обсуждаются результаты взаимодействие заряженных проводящих шаров (сфер) равных радиусов [7,8]. Случай инверсии силы отталкивания одноименно заряженных сфер [9,10] , характерный для сфер с разными радиусами, обсуждается в следующем разделе.

Для отношения сил отталкивания к[ = F0 / F , в котором числитель вычислялся по формуле Кулона, была получена формула

с порядком погрешности

O(h2) О б

аппроксимации 4 7 . Особая аппроксимация уравнения (2.2) использовалась на оси и в узлах с нестандартными шаблонами вблизи шаров. Соответствующая система уравнений решалась итерационным методом последовательной верхней релаксации [13]. При программировании использовалась версия языка "Паскаль ABC", позволяющая использовать массивы большой размерности.

3. Взаимодействие заряженных шаров равного радиуса

Расчетам взаимодействия заряженных сфер предшествовали расчеты взаимодействия проводящих цилиндров [5,6]. Геометрия плоской области с сечением цилиндров в виде прямоугольников привлекательна с позиции численного метода, так как позволяла вне цилиндров использовать для аппроксимации уравнения Лапласа единообразную прямоугольную пространственную сетку. Однако рассматриваемая геометрия дает усложнение, связанное с неизбежной

k2(dL) ® 1 + 0.64627 • exp(-1.3239 • dL)

dL

(1.3)

Формула построена по 10 значениям ^^ в интервале от 0 до 10 методом наименьших квадратов. Сумма квадратов отклонения (1.3) от полученных результатов ^ = °.°0553 , относительная ошибка не превышала 0.4 %. Из формулы, в частности, следует, что при расстоянии между ближай-

СТ ~ 1/5

шими поверхностями сфер сила отталкива-

ния примерно в 1.5 раза меньше, чем при использовании формулы Кулона. Наибольшее отличие от 1, равное 1.646 соответствует случаю соприкосновения шаров, при котором

СЬ = 0 . При Ь < 4 (СЬ < 2) относительное ослабление силы отталкивания более 7.1 %.

Выполненные расчеты согласуются с результатами работ [1-3], в численных расчетов которых использовался метод подсчета емкостных коэффициентов с помощью бесконечных рядов [14]. Сравнение аппроксимирующей формулы (1.3) с полученными результатами представлено на рис. 2.

1.8

1.6 —

1 .4 —

1 .2

1

□ 0.5 1 1.5 2

Рис. 2 Зависимость отношения сил от расстояния между сферами с одноименными равными зарядами

Подробный перебор параметра метода RN, определяющего число интервалов на радиусе первого шара, позволил выяснить важный методический результат. Показано, что не всегда более высокие значения RN обеспечивают более точный результат, - при RN ^ 20 значения kf испытывают отклонения с относительной амплитудой около 0.02 %.

Анализ результатов, полученных при различных значениях параметров метода, позволил выяснить, что малая погрешность решения ( по величине коэффициента kf) со-

RN, J > 30. П

ответствует параметрам метода При этих

значениях параметров время счета одного варианта на PC TOSHIBA K43E более суток.

Формула (1.3) описывает ослабление силы отталкивания (по сравнению с законом Кулона) для одноименно заряженных шаров. В [9] исследовано взаимодействие зарядов раз-

1

0.8

ного знака на сферах с равными радиусами. В этом случае

(а ■ q2 ^ 0)

ч 11 1 / / расчет показывает, что распределение зарядов при сближении сфер ослабляет силу взаимодействия и, таким образом, уменьшает отношение сил:

^(СЬ)«1 - ехр(-3.3252 ■ dL/(1 + 0.7718 ■ СЬ)) (2 3)

Формула получена методом наименьших квадратов по результатам вычислений при 12 расстояниях (сумма квадратов отклонений от полученных результатов

^ _ °.°0909 При расстоянии между поверхностями

сфер СЬ ~ °.25 в частности, отношение сил около 0.5.

При Ь < 4 (СЬ < 2 ■ К) относительное уменьшение силы притяжения по сравнению с формулой Кулона более 7.3 %. Сравнение расчетных данных с аппроксимирующей формулой (2.3) дано на рис. 3.

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Рис. 3 Зависимость отношения сил И" от расстояния между сферами в случае зарядов разного знака

Асимптотическое значение коэффициентов формул (1.3),

(2.3) при СЬ ^ ^ , естественно, одинаково и равно 1, но приближаются к 1 эти коэффициенты по-разному - один

сверху, а другой снизу.

4. Замена силы отталкивания одноименно заряженных сфер на силу притяжения

Перейдем к рассмотрению наиболее резкого отличия

вычисленной силы от силы, рассчитанной по формуле для закона Кулона [9,10]. Речь идет о смене направления силы - смене силы отталкивания на силу притяжения. Обсуждаемый эффект смены направления силы отчетливо проявляется для сфер с различными радиусами Я2 > 1.5 • Ях

Укажем особенности решения. Окончательное распределение потенциала находилось при решении задачи Дирихле с заданными потенциалами на сферах Vs1 и Vs2 соответственно. Это решение находилось на третьем этапе метода Робена. На первом этапе метода решалась задача Дирихле с потенциалами Vs1=1, Vs2=0. На втором этапе решалась задача Дирихле со значениями Vs1=0, Vs2=1.. При расстоянии между центрами шаров L=5, радиусе второго шара

R = 2 R

2

RN = j 20

. и параметрах метода время

счета около 2.5 часов; а полное число внешних итераций около 138 тысяч. Более всего итераций (35.5 %) требовалось на втором этапе метода. Меньше всего итераций (30.4 %) требовал третий этап метода Робена.

Замену силы отталкивания на силу притяжения можно проследить по картинам изолиний для решений при

L У L* и L ^ L* . Для

выяснения характера перестрои-

ки потенциала поля при сближении сфер проще проанализировать поведение потенциала между сферами на оси г=0. При значительном расстоянии между сферами потенциалы убывают при удалении от сфер. Иллюстрацией к этому случаю относится рис. 4, на котором изображена зависимость потенциала на оси V[0j]. Индекс горизонтального узла j при этом отсчитывается от правого края первой сферы, а максимальное значение этого индекса соответствует левому краю второй сферы. В соответствии с граничными условиями максимальное значение потенциала равно потенциалу на первой сфере Vs1. Как видно, потенциал убывает при удалении от обеих сфер и достигает минимума на расстоянии

хт ~ 3.1 от правого края первой сферы (напомним, что расстояние между краями сфер для рассматриваемого слу-

СЬ = Ь - R7 - Л = 8 -2 -1 =5

чая 2 1 ). Минималь-

ное значение потенциала составляет 65.1 % от Vs2. При уменьшении расстояния между сферами минимальное значение потенциала увеличивается и достигает значения Vs2. Дальнейшее уменьшение расстояния между сферами приводит к линейной зависимости потенциала от Vs2 до Vs1 (уже при L=4 отличие от линейной зависимости незначительно,

.критическое значение для этих параметров Ь = 3.295).

Фиг. 4 Потенциал между сферами на оси (г=0) при Ь 8 R2 2

Примерызависимостейотношениясил (Ь) Fl / F' от расстояния между центрами сфер L для трех отношений

радиусов представлены на рис.5. Видно, что при Ь ^ ^ отношение сил, как и положено, стремится к -1. Кроме того,

yi( L)

видно, что зависимость

Ь < Ь*

при и справа от корня при . Вид этих

зависимостей может быть использован для автоматического

различна слева от корня

L > L

поиска корня функции

yi( L)

. Значение корня, обычно,

находилось по линейной функции (Ь) , построенной по двум найденным значениям расстояния, для которых

Уь * У к < 0

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

-0.2-0 -0.4 -0.6 -0.8 -1

y=1/kf

Фиг. 5 Завиисимости

yi( L)

R2=5

для трех значении радиуса

R = 2, 3, 5

Для получения итоговой зависимости

L* ( R2 )

L* ( R2 )

были тельные результаты о зависимости 4 , были полу-Ь чены в [9]. Уточнение этой зависимости выполнено в [10]. выполнены расчеты, в которых определялось значение * Уточненные результаты расчетов представлены в таблице 1. при различных значениях радиуса второй сферы Предвари-

Табл. 1

У1( Ь) я

Значения корня функции

при различных значениях

2

r2 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 12 15

dL* 0.205 0.295 0.902 1.544 2.186 2.813 4.37 5.21 6.42 9.078

я

Уточнение результатов расчета для 10 значений 2 (1.5

< Я2 < 15)

2 7 позволило с помощью метода наименьших квадратов получить аппроксимирующую формулу с тремя

с, в, R0

подгоночными параметрами г :

сЬ.^) — f2(Л2) @*(1 ехр( в*(Л2 Л0))) (14)

Уточнение расчетов уменьшило сумму квадратов невязок примерно в 18 раз. При среднем значении суммы квадратов невязок Sm/N=0.0817 (эту величину следует сравнивать

dL — 3.3)

со средним значением 7 параметры формулы

(1.4) таковы: С=33.2, р=0.0220, R0=1.71. Наибольшее отклонение от этой формулы характерно для краев интервала

по

R (R2 ^ 2.5, R2 > 12)

(

Из представленных результатов, в частности, сле-

Я2 ^ да

дует, что при 2 критическое расстояние

dL* = L* -(1 +R2) ^C

. Величина С дает оценку

расстояния между заряженным шаром и заряженной поверхностью, при котором сила отталкивания меняется на силу притяжения. Проверка этого утверждения может быть выполнена с помощи ВЭ для соответствующей геометрии. Однако сравнение результатов расчета с предельными случаями, выполненное ниже, показывает, что решение поставленной задачи дает разумные значения и для предельных случаев взаимодействия точечного заряда, как с бесконечной поверхностью, так и с проводящей сферой.

Д я2 <3.5)

Для малых радиусов второго шара 2 ) вместо

(1.4) удовлетворительна более простая аппроксимация

fo(Лг) - 0.103 • (1 + Л,) • (Л2 -1)(2 4)

Результаты, представленные выше, относились к случаю одинаковых зарядов на сферах q1=q2. Перейдем к описанию результатов ВЭ, выполненных при различных отно-

Е =

шениях зарядов ' q1/q2. Соответствующие значения

dL*( Л2) — Ь- (Л2+ 1)

4 27 42 7 для двух отношений зарядов

q1/q2=1/2, q1/q2= 2 представлены в таблице 2:

Табл.2

ЛЬ* (R2) q1 ф q2

Значения 4 27 при 11 12

r2 3 4 5 6 8 9 10

* =0.5 5.36 5.773 6.052 6.262 6.404 5.544 6.569

f =2 0.351 0.773 1.212 1.655 2.564 3.526 4.51

Отчетливо видно, что критическое расстояние ЛЬ*()

уменьшается при относительном уменьшении заряда на

р =

сфере с большим радиусом, когда ' q1/q2 ^ 1. Обратим внимание, на то, что в таблице не представлены результаты

при радиусе 2 . Это не случайно. ВЭ не позволили

обнаружить значение ЛЬ* при р =2 (напомним, что при

р =1 dL* уже было малым ( dL* =0.295).

Данные, представленные в таблице 2, относятся к слу-

Р

чаю существенного отклонения отношения зарядов ^ от 1.

Р

от 1

При малых отклонениях отношения зарядов ведлива линейная зависимость вида:

dL*(Р) * ЛЬ*(1)*(1 + к *(р-1))

спра-

(3.4)

R2 = 10, L=13, f=qjq2 > 106

Fqi дается формулой

Л= F / F10

L

(5.4)

Величина А в этой формуле для не точечного заряда определена не точно. В качестве минимального значения можно выбрать наименьшее расстояние между сферами

А = (ЛЬ - L Ш, 1)

1 4 2 7, в качестве среднего значения

можно выбрать расстояние от центра первой сферы до по-

верхности второй сферы

A = dL = Rn

,а в качестве

А3 = А2 1.

максимального значения можно выбрать 3 2

Коэффициент к в этой формуле к * °.194 при

Р> 1, а при р<1 к * 0.236 .

Выполненные расчеты взаимодействия заряженных проводящих сфер позволяют сделать количественное сравнения с хорошо известными в электростатике результатами для двух случаев взаимодействия точечного заряда с плоскостью и с проводящей сферой. Для сравнения выберем результаты расчета, полученные для параметров:

\б

(4.4)

Сделаем критические замечания относительно параметров задачи, отличающихся от предельных случаев. Вместо взаимодействия точечного заряда рассмотрен вариант взаи-

Я= Л./13

модействия с зарядом на шаре с радиусом 1 2 (

Л ф 0) в й

1 . Вместо взаимодействия заряда с плоскостью рассмотрен вариант взаимодействия со сферой конечного ра-

(Л2 Ф да).

диуса 42 7 Вместо варианта взаимодействия с нулевым зарядом на поверхности и сфере рассмотрен вариант взаимодействия с малым значением отношения зарядов (

q2 0). Несмотря на эти справедливые крити-

ческие замечания сравнение результатов не дает противоречивых значений с предельными случаями.

Известно [1], что сила притяжения точечного заряда, находящегося на расстоянии А над плоскостью,

F01 = q /4п(2 А)2. _

равна 01 1 у 7 Для параметров за-

дачи (4.4) расчет дал значение для отношения сил

Для параметров расчета (4.4) Для среднего значения А отношение сил

A1 = 2, A2 3, A= 4.

Л1 - 0.929

Л

а интервал возможных значений отношения сил 1 простирается от 0.413 до 1.651. При значении А=3.113, немного превышающем среднее значение, отношение сил равно 1.

Выполним сравнение результатов расчета с параметрами (4.4) со случаем взаимодействия точечного заряда со сферой [1]. Этот случай подробно рассмотрен в параграфе шестой главы [1] с названием - "Точечный заряд у проводящей сферы". Согласно Фейнману электростатическая индукция наводит в сфере два заряда с модулем равным

^ = q (R / Ь) У

1 1 4 7 . Условие постоянства потенциала на проводящей сфере приводит к требованию размещения одного

Л/ = /?2 / Т

наведенного заряда на расстоянии от центра

сферы, а другого в центре сферы. Далее Фейнман предполагает, что силу взаимодействия можно оценить как разность двух сил - силы притяжения разноименных точечных заря-

(Ь -Л/)

дов, расположенных на расстоянии и силы от-

талкивания одноименных зарядов, расположенных на расстоянии L. В итоге сила притяжения оказывается равной

f=^ (

1

F

- ^).

4п (L -М)2 L

(6.4)

у = F / Fo 4.36 =106 (^ = q1* q1/(4пL1)).

Поэтому отношение вычисленной силы притяжения к силе

Отношение вычисленной силы по данным (4.4) к силе

Рр Л = 10, Ь=13

Фейнмана р для данных ' равно

Ц2 1.134. Уменьшение расстояния L на 2.3% дает

ц2 * 0.995

значение отношений сил немного ниже 1 ( 2 ).

Малое отклонение отношения сил от 1 позволяет считать, что результаты расчетов согласуются с предельными результатами. При этом следует учесть как критические замечания

Я.Ф 0, q2 Ф 0

относительно параметров расчета ( 1 12 ), так

и сомнительное предположение Фейнмана о возможности описания силы взаимодействия точечного заряда со сферой как результат взаимодействия трех точечных зарядов.

Напомним, что расчеты с параметрами (4.4) соответ-

ствовали не нулевому заряду \6

Ч2

а заряду, уменьшенно-

£ —106 а — а /£ му в ' раз ("2 ' ). Вычислительный экспе-

римент с отрицательным значением заряда а2 ~—1 / ^ (остальные параметры расчета были сохранены) дал увеличение силы притяжения лишь на 0.11%. Этот результат практически позволяет не принимать во внимание критиче-

а2 Ф 0.

ское замечание о том, что в расчетах 12 Выводы

1. Найдены формулы, описывающие существенное отклонение силы взаимодействия заряженных проводников шаров от силы, вычисленной по формуле Кулона для соответствующих точечных зарядов.

2. Найдена функция, описывающая критическое расстояние Ь*, при котором происходит инверсия, как функ-

(я2/ я1)

ция отношения радиусов 42 17 .

3. Выяснено влияние отношения зарядов на критиче-

Ь*

ское расстояние , при котором сила отталкивания меняется на силу притяжения.

4. Показано, что результаты расчета взаимодействия сфер согласуются с известными результатами взаимодействия точечного заряда с незаряженными плоскостью и сферой.

Список литературы

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, (5. Электричество и магнетизм) // М: Мир, 1966. 296 с.

2. В.А. Саранин О взаимодействии двух электриче-

ски заряженных шаров // УФН, 1999, т. 169, с. 453-458

3. В.А. Саранин , В.В. Мейер Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заряженных шаров // УФН, 2010. т.180, №10, С. 10091117

4. V.A. Saranin Energy, force and field strength in a system of two charged conducting balls // Journal of Electrostatics , 71 (2013), p. 746-753

5. Е.Л. Тарунин Взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях // Вестник Пермского ун-та, серия "Физика", 2012, Вып. 3(21), с. 92-100

6. Е.Л. Тарунин Электростатическое взаимодействие заряженных проводников на близких расстояниях // Вестник Пермского ун-та, серия "Физика", 2013, Вып. 2(24), С. 49-56

7. Е.Л. Тарунин Задача электростатики о взаимодействии заряженных шаров на близких расстояниях // Вестник Пермского ун-та, серия Математика Механика Информатика, 2014, Вып. 3(26). С 16-27

8. Е.Л. Тарунин Особенности электростатического взаимодействия заряженных сфер на близких расстояниях // Вестник Пермского ун-та, серия Физика, 2015. Вып. 1(29). С. 52-59

9. Е.Л. Тарунин Инверсия силы Кулоновского отталкивания одноименно заряженных шаров на близких расстояниях // Сб. Пермск. ун-та, Проблемы механики и управления, 2015. - Вып. 47 , с.120-144

10. Е.Л. Тарунин Коррекция силы Кулоновского отталкивания заряженных шаров на близких расстояниях // Сб. Пермск. ун-та, Проблемы механики и управления, 2016. Вып. (в печати)

11. Ильин В.Л. Численные методы решения задач электростатики // М:ФМ,1989.336 с.

12. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики // М: Высшая школа, 2001,718 с.

13. А.А. Самарский Теория разностных схем // М: Наука, 1977, 656 с.

14. Smythe W.R. Static and Dynamics Electricity // McCraw - Hill, New York, 1950.