CC BY
1УДК 533.6.011.72
НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЙ ДЛЯ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР, ОБРАЗУЮЩИХСЯ В ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ПОТОКАХ ГАЗА С МАЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ АДИАБАТЫ
М. В. Чернышов, К. Э. Савелова
Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. Рассматриваются разветвленные ударно-волновые структуры (тройные конфигурации скачков уплотнения), возникающие в сверхзвуковых потоках совершенного газа, преимущественно при больших числах Маха течения и пониженных значениях показателя адиабаты. Аналитически и численно исследуется возможность неоднозначности решения для тройных конфигураций скачков уплотнения, формирующихся при маховском отражении, в том числе для конфигураций с отрицательным углом наклона отраженного скачка. Выведены и графически продемонстрированы условия сосуществования тройных конфигураций маховского отражения с другими ударно-волновыми структурами.
Ключевые слова: сверхзвуковое течение, маховское отражение, тройная точка, неоднозначность решения
Для цитирования: Чернышов М. В., Савелова К. Э. Неоднозначность решений для ударно-волновых структур, образующихся в высокоскоростных потоках газа с малым показателем адиабаты // Аэрокосмическая техника и технологии. 2024. Т. 2, № 1. С. 40-62. DOI 10.52467/2949-401X^024-2-1-40-62. ЕРЫ ZGHITC
AMBIGUITY OF SOLUTIONS FOR SHOCK WAVE STRUCTURES FORMED IN HIGH-SPEED GAS FLOWS WITH A LOW ADIABATIC INDEX
M. V. Chernyshov, K. E. Savelova
Baltic State Technical University "VOENMEH", Saint Petersburg, Russia
Abstract. We considered branched shock-wave structures (triple configurations of shock waves) which forms in supersonic flows of perfect gas, mainly at high flow Mach numbers and low values of the adiabatic index. Ambiguity of the solution for triple configurations of steady shock waves formed at Mach reflection, including for configurations with a negative slope angle of the reflected shock, was studied analytically and numerically. The conditions for the coexistence of triple configurations which correspond to Mach reflection with other shock-wave structures are derived and graphically demonstrated.
Keywords: supersonic flow, Mach reflection, triple point, solution ambiguity
For citation: Chernyshov M. V., Savelova K. E. Ambiguity of solutions for shock wave structures formed in high-speed gas flows with a low adiabatic index Aerospace Engineering and Technology. 2024. Vol. 2, no. 1, pp. 40-62. DOI 10.52467/2949-401X-2024-2-1-40-62. EDN ZGHITC (In Russian)
© Чернышов М. В., Савелова К.Э., 2024
Введение
Многочисленные аналитические модели течений с нерегулярным (ма-ховским) отражением, разработанные за последние годы [1-8], позволяют с высокой точностью оценить размер образующегося главного скачка (высоту тройной точки), другие параметры ударно-волновой структуры и поля течения в целом. Как показывают многочисленные экспериментальные и численно полученные данные [9-19], эти параметры (включая размер главного скачка) являются единственными реализуемыми, если маховское отражение действительно возникает.
В то же время решение с маховским отражением падающего скачка уплотнения заданной интенсивности является не единственным при заданных граничных условиях. Например, в обширной области параметров задачи (dual solution domain) сосуществуют решения для стационарного регулярного и маховского отражения косого скачка [17, 20-22]. По современным представлениям о гистерезисе, маховское отражение сохраняется внутри этой области, например, при струйном истечении перерасширенной струи из сверхзвукового сопла взлетающей ракеты или при входе в сверхзвуковой воздухозаборник ускоряющегося летательного аппарата, но не в процессах обратной направленности.
С решением для маховского отражения скачка уплотнения заданной интенсивности могут сосуществовать решения для поля течения с отошедшим («выбитым») скачком или для тройной конфигурации догоняющих скачков уплотнения (например, [23]).
Вопросы устойчивости и неоднозначности решений для маховского отражения скачков уплотнения особенно актуальны в связи с развитием аэрокосмической техники, совершающей полеты с большими сверхзвуковыми скоростями. При этом образуются сильные скачки уплотнения, более адекватно описываемые математическими моделями течений газа со сниженным (по сравнению с двухатомным газом) «эффективным» показателем адиабаты. Именно для таких высокоскоростных течений газа с уменьшенным соотношением удельных теплоемкостей найдены [24] и теоретически исследованы [25-30] тройные конфигурации маховского отражения с отрицательным (по отношению к набегающему потоку) углом наклона отраженного скачка. Возможность реализации «отрицательных» тройных конфигураций (ОТК), их устойчивость и однозначность соответствующих решений традиционно представляются сомнительными. Решения, соответствующие формированию «отрицательных» конфигураций, обычно неоднозначны [25, 28], и необходимо подтверждать их реализуемость (как и устойчивость возникающих ударно-волновых структур) в каждом отдельном практически важном случае.
Таким образом, для теории взаимодействия газодинамических разрывов и ее практических приложений важно определить области неоднозначности реше-
ния для ударно-волновых структур, которые могут возникнуть при одних и тех же параметрах сверхзвукового стационарного течения и ветвящегося скачка уплотнения. Именно эта задача решается в представленной работе. Во всех приведенных примерах расчета рассматриваются течения газа с показателем адиабаты у = 1,2, если не указано иное.
Математический аппарат исследования тройных конфигураций скачков уплотнения. Тройные конфигурации скачков уплотнения представляют собой ударно-волновые системы, состоящие из трех скачков и тангенциального разрыва, исходящего из их общей (тройной) точки (Т на рис. 1). Такие конфигурации возникают во многих сверхзвуковых течениях: в сопловых аппаратах, струях и воздухозаборниках, при сверхзвуковом обтекании аэродинамических поверхностей, при взаимодействии сверхзвуковых струй с преградами, в струйных технологиях и других приложениях сверхзвуковой аэрогазодинамики.
а
б
д
Рис. 1. Классификация тройных ударных конфигураций: а -ТК-1; б - СМК; в - ТК-2; г - переходные ТКП-2-3; д - ТК-3; е - ОТК
в
г
е
Скачки (г = 1..3, рис. 1), составляющие тройную конфигурацию, могут быть прямыми и косыми; в последнем случае они осуществляют поворот сверхзвукового потока перед ними на ненулевой угол Д. В зависимости от взаимного соотношения углов поворота потока на скачках, различают конфигурации первого (ТК-1, ДД2 > 0, ДД3 < 0, рис. 1, а), второго (ТК-2, ДД2 < 0, ДД3 > 0, рис. 1, в) и третьего типа (ТК-3, ДД2 > 0, ДД3 > 0, рис. 1, д). Стационарная ма-ховская конфигурация (СМК) с прямым главным («маховским») скачком ]3 (Д3 = 0, рис. 1, б) является переходной между структурами первого и второго типа и соответствует также известному критерию «механического равновесия» фон Неймана [20, 31] смены вида отражения скачка }1 от плоскости симметрии или твердой поверхности. Конфигурация ТКП-2-3 с прямым скачком ]2 (Д2 = 0, рис. 1, г) занимает промежуточное положение между ТК-2 и ТК-3.
Принято считать, что конфигурации второго типа образуются при нерегулярном (маховском) отражении скачков уплотнения, а ТК-1 и ТК-3 - в частных случаях регулярного взаимодействия встречных и догоняющих скачков. Виды маховского отражения скачков уплотнения с образованием ТК-1 и ТК-3, названные именами Гудерлея, фон Неймана, Васильева [32], крайне редко реализуются в установившихся течениях с большими сверхзвуковыми скоростями [17]. Однако при нерегулярном взаимодействии догоняющих и встречных скачков возможно образование разветвленных ударно-волновых структур с несколькими тройными конфигурациями всех трех типов [21, 22].
Условия совместности на исходящем тангенциальном разрыве т позволяют связать интенсивности Ji скачков (отношения статических давлений за скачками и перед ними) и углы Д поворота потока соотношениями вида:
Д + Д =в, Jl J2 = Л, (1)
или
в + Д =в, Л! + Л2 =Л3, (2)
где Л г = 1п Ji (г = 1..3), а углы Д поворота потока и числа Маха М за скачками связаны с их интенсивностями Ji и числами Маха М^ перед ними:
Д'1
(1 + е)М- - -8 (1 -е)( - 1) . (3)
м
V Jг +8 (1 + 8)м-(1 -8)( Jг -1)
Мг-1 = М для скачков ]1 и у3.
Для расчета тройной конфигурации должны быть заданы параметры невозмущенного потока (его число Маха М и показатель адиабаты у) и какой-либо параметр ветвящегося скачка }1 (например, его интенсивность). Получаемое решение наглядно представляется на плоскости ударных поляр (Д; Л) (рис. 2).
л А
Рис. 2. Графическое решение тройных конфигураций на плоскости ударных поляр: а - основное решение; б - «основное» решение и «альтернативное»; в - «основное» решение и два «альтернативных»; г - отсутствие решения; д - дуализм регулярного/маховского отражения при М = М^2; е - дуализм регулярного/маховского отражения при М = Мы
Сердцевидная кривая (поляра) I представляет множество скачков уплотнения, способных образоваться в потоке с числом Маха М, поляра II - в потоке с числом Маха М1, предварительно повернутом на угол Д на поверхности скачка }1 (рис. 2). Точка а на поляре I соответствует заданным параметрам первого скачка, точка Ь пересечения поляр определяет параметры других скачков. Возможное наличие нескольких точек пересечения ударных поляр (точки Ь, Ь', Ь" на рис. 2, б, в) указывает на неоднозначность решения системы (1), (3), (4) или системы (2)-(4) при заданных значениях М, J1 и у. Среди множества точек на ударных полярах, соответствующих особым свойствам скачков уплотнения и потоков за ними, в данном случае наиболее существенны: точка т, соответствующая образованию прямого скачка ]г с нулевым углом поворота (Д = 0) и интенсивностью Jm = (1 + е) М2-1 - е; точка I, соответствующая косому скачку с углом поворота Д (Мг-1, у), максимальным для одиночного скачка (суммарный угол поворота на нескольких скачках уплотнения, согласно [33], может быть существенно больше). Интенсивность Jl (Мг-1, у) такого скачка определяется соотношением:
«Критическую» интенсивность J* (Мг-1, у) косого скачка определяет зависимость:
где * соответствует косому скачку с критической скоростью течения за ним
Условия существования и неоднозначность решений для тройных конфигураций общего вида. Необходимость реализации сверхзвукового течения за скачком ]1 ограничивает сверху диапазон углов поворота потока Д1 областью под кривой 1 (рис. 3), соответствующей условию Д1 = Д* (Мг-1, у). При больших
числах Маха (М ^ да) угол поворота на скачке уплотнения с критической скоростью за ним стремится к конечному пределу:
(М- = 1).
(5)
Рис. 3. Области неоднозначности решения на плоскости «число Маха невозмущенного течения - угол поворота потока на падающем скачке уплотнения»
Параметрический анализ ударно-волновых структур традиционно проводится на плоскости (М; сг1), показанной на рис. 4. Угол <(г = 1..3) наклона скачка к вектору скорости набегающего потока перед ним связан с интенсивностью скачка соотношением:
<] = ¡итаип^ ( 3 г + 8)/[(1 + 8) м] ].
Кривая 1 на рис. 4 соответствует скачкам с «критической» интенсивностью и ограничивает сверху область существования тройных конфигураций. Координаты нижней точки с на этой кривой соответствуют следующим параметрам ветвящегося скачка:
М =
4-4^ = 1,683, <= аГС,п№) = 2(1 - 28) с V 5 - 48
62,327°,
а горизонтальная асимптота кривой 1 описывается соотношением:
< = агсБШ (^1 + 8) = 73,221°.
(6)
Рис. 4. Области неоднозначности решения на плоскости «число Маха невозмущенного потока - угол наклона падающего скачка»
Кривая 2, определяемая соотношением ст1 = а^т (1/М) = а(М), где а(М) -угол Маха, служит на рис. 4 нижней границей области существования тройных конфигураций. Интенсивности J2 = J3 = J скачков _/2 и ]3 в этом предельном (31 ^ 1) случае определяются из решения задачи о взаимодействии косого скачка уплотнения с предшествующим слабым возмущением (догоняющей или встречной разрывной акустической характеристикой) и описываются уравнением [34, 35]:
]Г АМ2г = 0,
г=0
А = J2(1 + е)2 -4е(J + е)2, А = 4е(1 - е)( J + е)( J2 -1) - 2(1 - е2) J2 (J -1) - 4(1 - 2е)( J + е)2, (7)
А = (1 - е) • Г4(1 - 2е)( J2 -1)(J + е) + 4(J + е)2 + (1 - е) J2 (J -1)2
Ао =-4(1 -е)2 (J + е)(J2 -1).
Условие реализации сверхзвукового течения за скачком ]1 не является достаточным для существования тройной конфигурации при заданных значениях М,
31 и у. Тройные конфигурации образуются только при параметрах скачка_/ь соответствующих областям 1-111 на рис. 3 и 4 (в области IV решения не существует). Одно («основное») из решений системы (2)-(4) непрерывно во всей зоне 1-111. Оно соответствует конфигурациям первого типа - в области I, второго типа - II, третьего типа - III.
Кривая 2, разделяющая области I и II, соответствует СМК и описывается соотношением:
У ЕГ = 0,
/ .1 п 1 ?
п=0
Е3 = 1 -б, Е2 =-[(1 + Б-Б2 +Б3) М 2 +(1 -б)(1 -Б + Б2 )], Е1 = б[(1 + б)М2 +1 - б] ■ [(1 - б)М2 - 2 + б],
Е0 = (1 - б)(м2 -1)((1 + б)М2 - б).
Начало кривой 2 соответствует числу Маха Мт =^(2-б)/(1 -б) = 1,449,
крайняя верхняя точка d - параметрам (Ма = 1,687, ои = 44,684°), определяемым из соотношения (8) и уравнения:
У АМ2 = о,
1=0
Ц =(1 - б) ■ (2 - 2б2 + б3 + 2б4 + 2Б + Зб6 + б7 ), П4 = -(1 -б)(10 + 12б-17б2 - 9б3 +12б4 + 17б5-18б6 + 5б7), Ц = 12 + 37б - 65Б2 - 49Б3 + 74Б4 + 40Б5 - 97Б6 + 52Б7 - 10Б8, Д = 1 - 46б - 4Б2 + 1З9Б3 - 64Б4 - 10ЗБ5 + 1З1Б6 - 28Б7 + 10Б8 , д = -б(1 - б)(4 - 50б + 20б2 + 47б3 - 59б4 + 27Б - 5б6),
Д = Б2 (1 -б)4 (4 - Зб + б2 ). Горизонтальная асимптота кривой 2 соответствует значению
о = аггат
1
2Б(1 -Б)-= 16,694°
1 + б-б2 +б3 + ^(1 + б)2 - Б(1 - Б)[2 (1 + Б)( 2 - Б) - б3 (1 - Б)]
Область II между кривыми 2 и 3 соответствует тройным конфигурациям второго типа, образующимся при маховском отражении (см. рис. 1, в). Течение за результирующим (маховским) скачком ]ъ в таких конфигурациях является дозвуковым; течение за отраженным скачком _/2 может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым (в подавляющем большинстве случаев). Кривая 4 на рис. 3 и 4 разделяет область II на подобласти, соответствующие маховскому отражению
с дозвуковым (ниже кривой 4) или сверхзвуковым (выше нее) течением за отраженным скачком. Кривая 4 начинается в точке h1, соответствующей СМК с критической скоростью течения за отраженным скачком. Координаты точки h1 (Mh1 = 2,188, <jihi = 42,593°, = 17,664°) определяются из уравнения (8) и следующего соотношения:
X H г M hi = 0,
i=0
H3=(1-s)(1-s-2s2 + s4), H2 = -(4-6s2 + 2s3 + 5s4 -3s5), H =s(4 - 4s - 3s2 + 7s3 -3s4), H0 = -s2(1 - s)3.
Горизонтальные асимптоты кривой 4 (< ^ 72,937°, Д1 ^ 56,439°) аналитически описываются громоздкими алгебраическими уравнениями высоких степеней и не совпадают с асимптотами других кривых.
Образование СМК, соответствующей кривой 2, удовлетворяет критерию фон Неймана смены типа (регулярного или маховского) отражения скачка уплотнения j1 . Критерий фон Неймана наиболее часто применяется для установившихся течений, особенно при умеренных и больших числах Маха. При анализе нестационарных течений и установившихся сверхзвуковых течений с небольшими числами Маха широко используется критерий максимального угла поворота потока (detachment criterion), введенный Дж. фон Нейманом [31]. Согласно этому критерию, регулярное отражение скачка j1 сохраняется до тех пор, пока существует решение уравнения
в (M, J ) + e (Mj, J ) = 0, (9)
где M1 - число Маха за падающим скачком, определяемое соотношением (4). Решение уравнения (9) при J2 = J1 (M1) определяет кривую 5 на рис. 3 и 4, в области выше которой не существует решения для регулярного отражения. Кривые 2 и 5, описывающие два критерия смены типа отражения, не пересекаются, но имеют единственную точку касания g (Mg = 2,030, <1g = 43,516°, p1g = 15,683°), определяемую уравнениями:
X GM2 n = 0,
n g '
n=0
G4 =(1 -s)(2 - 4s + 2s3 -s4), G3 = -10 + 20s - 10s2 - 10s3 + 12s4 - 4s5, G2 = 12 - 24s + 10s2 + 16s3 - 18s4 + 6s5, G = -2(1 + s)(3 - 4s + 2s2)(1 - s)2, G0 = (1 + s)(1 - s)4.
Горизонтальная асимптота кривой 5 описывается теми же соотношениями (5) и (6), что и асимптота кривой 1.
В обширной области между кривыми 2 и 5 (dual solution domain) при одних и тех же параметрах скачка j1 сосуществуют решения, описывающие как регулярное, так и маховское его отражение. Вид отражения скачка в каждом конкретном случае может зависеть от многих факторов, в том числе от предыстории течения (иметь гистерезисный характер).
Если реализуется регулярное отражение скачкаj1, то течение за отраженным скачком j2, как правило, является сверхзвуковым, исключая тонкую область между кривыми 5 и 5'. Кривая 5' определяется из уравнения (9) при J2 = J* (M1) и соответствует критической скорости течения за регулярно отраженным скачком.
Кривые 2 и 5' имеют две точки пересечения (h1 и h2). Точка h1 такая, что Mh1 = 2,188, cr1h1 = 44,183°, = 13,299° определяется уравнением для соответствующего числа Маха:
X H г м I = 0,
i=0
H6 = -(1 - s)(1 - 6s + 3s2 + 8s3 - б4 - 2s5 + s6), H5 = 10 - 44s + 26s2 + 42s3 - 42s4 - 12s5 + 18s6 - 6s7, H4 = -31 + 85s - 16s2 - 113s3 + 78s4 + 39s5 - 45s6 + 15s7, H3 = (1 - s)(36 - 44s - 55s2 + 93s3 + 16s4 - 40s5 + 20s6), H2 = -(1 - s)(23 - 29s - 48s2 + 57s3 + 9s4 - 30s5 + 15s6), H = (1 - s)(1 - s2)(11 - 9s - 6s2 + 12s3 - 6s4), H0 = -(1 - s)5 • (1 + s)2.
При параметрах падающего скачка, соответствующих точкам h1 и h2, могут образоваться как СМК, так и регулярное отражение с критической скоростью течения за отраженным скачком. Если при этом смена типа отражения соответствует точке h2, происходит скачкообразное изменение параметров отраженного скачка, соответствующее величине АА (см. рис. 2, д). Если же она наблюдается при параметрах падающего скачка, соответствующих точке h1, скачок j2 не меняет своей интенсивности (рис. 2, е). Горизонтальные асимптоты близко расположенных кривых 5 и 5' совпадают.
Кривая 3, соответствующая переходным конфигурациям ТКП-2-3, начинается в точке T и имеет горизонтальные асимптоты, описывающиеся уравнениями (5), (6) и совпадающие с асимптотами кривой 1.
Кривая f1, ограничивающая сверху область существования тройных конфигураций, определяется из решения задачи взаимодействия скачка уплотнения с последующим догоняющим слабым разрывом без образования отраженных
возмущений. Она характеризуется следующей зависимостью, общей для кривых /[ и/2 [36-38]:
А = (1 + еЗх)/[(1 + *)((1 - 3*)-4*)], В = (1 - 2*-*2)-2*, (10)
Точки F1 и служащие началами соответствующих кривых, описываются соотношением
где МР1 = 1,274, МЕ2= 1,876. Асимптоты кривых 1, 3 и /1 при больших числах Маха совпадают.
В ряде случаев одним и тем же параметрам задачи (значениям М, 11 и у) соответствует не только описанное «основное» решение (точка Ь на рис. 2, б-г), но и «альтернативные» решения (точки Ь' и Ь"), описывающие тройную конфигурацию третьего типа. При параметрах, соответствующих области между кривыми 2 и/2 на рис. 4 (а также области под кривой/2 на рис. 3), существует одно решение для «альтернативной» ТК-3, а в криволинейном треугольнике F2vw -два таких решения, образующихся на кривой vw из точки касания ударных поляр. Параметры тройной конфигурации, соответствующие точке V, определяются уравнениями (10) для числа Маха (MV = 1,790) и следующего уравнения для интенсивностей скачкову2 и]3 (12 = 13 = I):
V = (1 - *)4, V = -2(1 - *)2(1 - 3* + 11* - *),
V = -2*(9 - 44* + 12е2 - 64* + 35*4),
V = 4*(1 - 26* + 62*2 - 18*3 + 31*4 - 20*),
V = 3 -18* +114*2 - 304* + 215* - 326* + 48* - 32*), V = -2 +14* -100* +156* - 318* +118* -128*,
V = -4*(3 - 6* + 41* - 20* + 42*),
V = -8*(3 -2* +11*), К0=-16*.
^2 (1 ±Щ{1 ± 24*),
ТУ! = 0,
г =0
Координаты точки w определяются из уравнения
5
Ужм2г = 0,
/ 1 г w ?
1=0
Ж5 = 482(1 - 38 - 682), Ж4 = -(1 -18 + 1882 + 1483 + 5384 + 1Ш5 - 648), Ж, = 2(1 - 8)(2 - 48 + 82 - 8383 -11584 -138 - 1128й), Ж2 = -(1 - 8)2(5 -138 +11382 + 24983 + 23084 + 82485 + 2568й), Ж = 4(1 - 8)3(1 - 68 - 4182 - 5683 -15484 -1288),
Ж0 = -4(1 - 8)4(1 + 88 + 2182 + З483 + 6484).
для соответствующего числа Маха (Мм, = 2,014) и соотношения (10), связывающего параметры тройной конфигурации на кривой /2.
При у > 1,25 кривая /2, ограничивающая область существования «альтернативных» ТК-3, имеет крайнюю левую точку и (Ми = 2,462, Т = 1,515 при у = 1,4), определяемую соотношением
У и.м2г = о,
^^ г и ?
¿=0
из = (1 -38)2, и2 =-(3 -18)(1 -28 + 582), и = (1 - 8)(3 - 238 + 2582 + 2183), и0 = -(1 - 8)2(1 + 108 - 2182),
У иТ = 0,
/ 1 г и ?
г=0
из = 1 - 38, и2 =8(1 -118), и = -8(4 + 8 + 982), и0 = -8(1 + 58).
При у < 1,25 крайняя левая точка отсутствует, и кривая/2 соответствует единственному решению при любом числе Маха, превосходящем М^.. Горизонтальная асимптота кривойописывается следующим образом:
■>/1 - 38 1(1 + 8)(1 - 38) о-1 = штат--= 69,132°, Д = аг^А-^-= 55,902°.
1 -8 V 48
Течение за скачками]1 и_/2, приходящими в тройную точку «альтернативной» конфигурации, сверхзвуковое. Течение за результирующим скачком ]3 является дозвуковым при параметрах скачка _/ь соответствующих области справа от кривой 6 на рис. 3 и 4. Крайняя левая точка к кривой 6 соответствует значениям Мк = 2,628, сг1к = 31,772°, /31к = 12,463°. Верхняя ветвь кривой 6 имеет горизонтальную асимптоту, определяемую, исходя из условия Т1 /М2 ^ С, где значение С является корнем уравнения
У ЕС = 0,
¿=0
Е3 = (1 - 8)2(1 - 28 + 982), Е2 = -(1 - 8)(3 -18 + 1982 + 118 + 684),
Е= (1 + *)(3 -11* + 22* - 6*3 +1*4 + *), Е0 = -(1 + *)2(1 - *)4
откуда
0 = ашип^С/(1 + *) = 64,109° и Д = arctgС(1 + *-С)/(у -С)
= 53,501°.
Нижняя ветвь кривой 6 при больших числах Маха соответствует слабому скачку}1 (I ^ 1, Д ^ 0, О ^ а(М)).
Неоднозначность решения для тройных конфигураций второго типа с отрицательным углом наклона отраженного скачка. При больших числах Маха течения и уменьшенных (по сравнению с у = 1,4) показателях адиабаты газа возможно образование тройных конфигураций с отрицательным (по отношению к набегающему потоку) углом наклона скачка _/2 (см. рис. 1, е). Полеты с большими сверхзвуковыми скоростями, использование многоатомных углеводородных топлив, снижение «эффективного» показателя адиабаты газа на сильных скачках уплотнения и ударных волнах [21, 31] делают анализ реализуемости и устойчивости ОТК особенно актуальным.
«Отрицательные» тройные конфигурации теоретически и численно исследованы в [24-30, 39]; аналитическое описание области существования ОТК впервые дано в [28]. Согласно результатам [28], ОТК всегда относятся к ТК-2 и образуются при маховском отражении скачков, параметры которых соответствуют области справа от кривой 1 на рис. 3 и 4, в газах с пониженными показателями адиабаты (при у < 1,392). Число Маха Мп, начиная с которого возможно образование ОТК (точки п на рис. 3 и 4), растет от умеренных значений (Мп = 3,064 при у ^ 1) до больших (Мк = 4,621, а1к = 51,486°, Д1к = 40,081° при у = 1,2) и бесконечно больших (при у ^ 1,392). Зависимость этого и других характерных значений чисел Маха от показателя адиабаты газа представлена на рис. 5. Она показывает, что отмеченное здесь наложение областей существования различных ударно-волновых структур имеет место при всех малых показателях адиабаты.
Верхняя и нижняя ветви кривой 1, ограничивающей область существования ОТК, имеют горизонтальные асимптоты, описывающиеся соотношениями для верхней и нижней ветви соответственно:
г- (1 -*)4 5 (1 - )
о = атсБт^ = 16,562°, д = агС^---^ = 55,731
1 - (1 - *) 5
о
(1 -*) 5
(1 -*и 5 2 (1 - 5 2)
о, = агсБтл/57 = 21,901°, Д = ак^--^ = 19,808°,
1 л/2 1 1 -(1 -*) 52
где 51 и 52 - больший и меньший из корней уравнения соответственно
(1 - *)3 55 - (1 - *)(4 - 5*)54 + (1 + *)(6 - 2* -1*)53 - 2у2 (2 - 2* - *)5 + + у3(1 + *-*2 -3*3)5-*у4(1 -* + 2*2) = 0, лежащих на промежутке (0;1).
Многие параметры течения (давления торможения, температуры, скорости, скоростные напоры) на сторонах тангенциального разрыва т, исходящего из тройной точки ОТК, различаются тем сильнее, чем ближе параметры падающего скачка соответствуют нижней ветви кривой 7. Например, согласно [30], отношения давлений торможения (7^) и скоростных напоров (1^ в предельном (М ^ да) случае на верхней ветви кривой 7 стремятся к значениям:
I =
Р 0
1 + 8-е( 2у-
28 = 1,736, Iл = р/[(2у-Sl)Л,] = 3,430,
а на нижней ветви этой границы области существования ОТК - к значениям
I =
Р 0
1 + 8- 52 8( 2у- 52)
1 + 8 28
= 9861,0, I, = Рг/[{2у-S2)R2] = 437,447.
Здесь
1,2 '
р,2 = у(1 + 8) - у(3 - 28 - 482)51,2 + (1 + 8)(3 - 48)522 - (1 - 8)2 5, яи = У8 - (1 + 8)(1 - 28) 5,2 + (1 -8)2 522.
Таким образом, за «отрицательной» конфигурацией формируется течение с большим различием механических свойств потока в различных его частях. Вопрос об устойчивости такого течения требует дополнительных исследований, особенно при параметрах ОТК, соответствующих нижней части области существования на рис. 3 и 4. В этом случае различия параметров потока за тройной точкой особенно велики, также имеет место «дуализм» решений для маховского (с образованием ОТК) и регулярного отражения.
Течение за главным (маховским) скачком ОТК является дозвуковым. Кривая 4, разделяющая подобласти существования маховского отражения с дозвуковым и сверхзвуковым течением за отраженным скачком, проходит выше области существования ОТК. Таким образом, поток газа за отраженным скачком ОТК всегда сверхзвуковой.
Область существования ОТК при любых показателях адиабаты вложена в область под кривой Это означает, что любой скачок _/ь отражающийся с образованием ОТК, может формировать также «альтернативную» тройную конфигурацию третьего типа (т. е. конфигурацию догоняющих скачков) со сверхзвуковым (в области над верхней ветвью кривой 6) или дозвуковым (в противоположном случае) течением за результирующим скачком ]ъ. При этом сосуществование ОТК с «альтернативной» ТК-3, течение за результирующим скачком которой дозвуковое, имеет место в большей части области существования ОТК.
Кривая 5, соответствующая известному критерию максимального угла поворота потока при смене типа отражения скачков уплотнения и ударных волн,
разделяет область существования ОТК на две подобласти. В нижней из них (заштрихованной на рис. 3 и 4) имеет место дуализм регулярного и маховского отражения: скачок ]1 может отражаться как нерегулярно (с отрицательным углом наклона отраженного скачка), так и регулярно. В верхней подобласти не существует решения для регулярного отражения скачка уплотнения с соответствующими параметрами.
Дуализм маховского отражения с образованием ОТК и регулярного отражения численно продемонстрирован в [29]. Скачок уплотнения с параметрами, соответствующими точке р1 на рис. 3 и 4 (М = 6,5, Д = 40°), не мог отражаться регулярно. Однако его ослабление под влиянием последующей волны разрежения Прандтля - Майера до интенсивности, по расчетам соответствующей Д1 = 35,519° (точка р2), сделала такое отражение возможным и реализуемым в ходе вычислительного эксперимента.
Кроме трех указанных решений (маховское отражение с отрицательным углом наклона отраженного скачка; регулярное отражение; образование тройной конфигурации догоняющих скачков), при взаимодействии высокоскоростного газового потока с обтекаемыми телами возможны и другие, связанные с коренной перестройкой поля течения. К примеру, расчеты показывают, что изменение угла о1 наклона падающего скачка в системе из двух симметричных клиньев, описанной в [29], с 43° до 45° при М = 6,5 приводит к образованию отошедшего скачка уплотнения, хотя решение с ОТК теоретически существует в обоих случаях. Иногда (при тех же параметрах задачи) в ходе численного эксперимента не удается добиться установления течения с образованием ОТК (в этих случаях предполагается реализация нестационарного (возможно автоколебательного) режима [25]). В некоторых случаях [26] расчет показывает существование более сложных, разветвленных конфигураций, напоминающих двойное маховское отражение в нестационарных течениях.
Отмеченное перекрытие областей существования различных ударно-волновых структур имеет место при всех малых показателях адиабаты. Например, все особые числа Маха, найденные аналитически в этом исследовании, существуют при всех соотношениях удельных теплоемкостей газа у > 1 (рис. 5). Во всех приведенных примерах расчета и выведенных формулах предполагалось, что среда, в течении которой образуются исследуемые ударно-волновые структуры, с удовлетворительной точностью описывается моделью совершенного газа, что позволяет провести относительно простое аналитическое исследование. Возникновение высокотемпературных эффектов и неравновесных явлений в течениях с большими числами Маха, несомненно, вносит определенные количественные коррективы в полученные результаты.
Рис. 5. Зависимость некоторых важных для рассматриваемой задачи чисел Маха от значения показателя адиабаты газа 1 - Мт (у); 2 - Мв (у); 3 -ЫР1 (у) ; 4 -М2 (у); 5 -М„ (у);
6 - Ми (у); 7 - М„ (г); 8 - Мк (у); 9 - Мп (у)
Заключение
При анализе ударно-волновых структур, возникающих при одних и тех же параметрах набегающего сверхзвукового потока и ветвящегося скачка, установлено, что существует обширная область параметров задачи, внутри которой для одного и того же ветвящегося скачка уплотнения сосуществуют:
• маховское отражение с дозвуковым течением за главным скачком (течение за отраженным скачком при этом может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым);
• регулярное отражение (как правило, со сверхзвуковым течением за отраженным скачком);
• «альтернативная» тройная конфигурация третьего типа, при этом течение за результирующим скачком ]ъ в большинстве случаев является дозвуковым.
Дозвуковой характер течения за исходящими скачками в условиях неоднозначности решения указывает на возможную неустойчивость и зависимость вида образующейся ударно-волновой структуры от внешних возмущений, расположенных ниже по потоку, а также от начальных условий ее образования.
При всех параметрах ветвящегося скачка и набегающего потока, которые соответствуют «отрицательным» конфигурациям (тройным конфигурациям ма-ховского отражения с отрицательным углом наклона отраженного скачка), могут образоваться также ТК догоняющих скачков (в большинстве случаев - с до-
звуковым течением за главным (результирующим) скачком). Во многих случаях те же параметры падающего скачка соответствуют и его регулярному отражению («дуализм» решения), как правило, со сверхзвуковым течением за отраженным скачком. Кроме того, при аналогичных параметрах задачи в реальных газодинамических устройствах (например, при обтекании сверхзвуковых воздухозаборников) не исключено образование отошедших скачков, формирование неустановившихся течений, а также более сложных и разветвленных конфигураций. Таким образом, решения, соответствующие образованию «отрицательных» конфигураций, всегда неоднозначны, и их реализуемость (как и устойчивость возникающих ударно-волновых структур) должна подтверждаться в каждом отдельном практически важном случае.
Благодарность / Acknowledgement
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № FZWF-2024-0003) / The work has been carried out with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Project No. FZWF-2024-0003).
Конфликт интересов / Conflict of interests
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflict of interests.
Библиографический список
1. Bai C.-Y., Wu Z.-N. Size and shape of shock waves and slipline for Mach reflection in steady flow // Journal of Fluid Mechanics. 2017. Vol. 818. Pp. 116-140. DOI: 10.1017/jfm.2017.139
2. Tao Y., Liu W., Fan X. et al. A study of the asymmetric shock reflection configurations in steady flows // Journal of Fluid Mechanics. 2017. Vol. 825. Pp. 1-15. DOI: DOI: 10.1017/jfm.2017.280
3. Roy S., Gopalapillai R. An analytical model for asymmetric Mach reflection configuration in steady flows // Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 863. Pp. 242-268. DOI: 10.1017/jfm.2018.945
4. Lin J., Bai C.-Y., Wu Z.-N. Study of asymmetrical shock wave reflection in steady supersonic flow // Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 864. Pp. 848-875. DOI: 10.1017/jfm.2019.18
5. Choe S.-G. A method for predicting Mach stem height in steady flows // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G: Journal of Aerospace Engineering. 2022. Vol. 236. Iss. 1. Pp. 3-10. DOI: 10.1177/09544100211001518
6. Чернышов М. В., Савелова К. Э. Приближенно-аналитическая модель струйного течения с маховским отражением и импульсным энергоподводом на главном скачке // Известия вузов. Авиационная техника. 2023. № 1. С. 49-60. EDN: UVQHRM
7. Chernyshov M. V., Savelova K. E., Kapralova A. S. Approximate Analytical Models of Shock-Wave Structure at Steady Mach Reflection // Fluids. 2021. Vol. 6. Iss. 9. № 305. 18 p. DOI: 10.3390/fluids6090305
8. Чернышов М. В., Савелова К. Э. Приближенно-аналитическая модель ударно-волновой структуры течения с маховским отражением скачков уплотнения // Аэрокосмическая техника и технологии. 2023. Т. 1, № 4. С. 30-55.
9. Chpoun A., Ben-Dor G. Numerical confirmation of the hysteresis phenomenon in the regular to Mach reflection transition in steady flows // Shock Waves. 1995. Vol. 5. Iss. 4. Pp. 199-203. DOI: 10.1007/BF01419001
10. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Beylich A. E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Physics of Fluids. 1995. Vol. 7. Iss. 4. Pp. 685-687. DOI: 10.1063/1.868591
11. Ben-Dor G., Elperin T., Li H., Vasiliev E. Downstream pressure induced hysteresis in the regular ^ Mach reflection transition n steady flows // Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. Iss. 10. Pp. 3096-3098. DOI: 10.1063/1.869417
12. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Markelov G. N. Statistical Simulation of the Transition between Regular and Mach reflection in Steady Flows // Computers & Mathematics with Applications. 1998. Vol. 35, № 1/2. Pp. 113-125. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00262-9
13. Ivanov M. S., Markelov G. N., Kudryavtsev A. N., Gimelshein S. F. Numerical Analysis of Shock Wave Reflection Transition in Steady Flows // AIAA Journal. 1998. Vol. 36, № 11. Pp. 2079-2086. DOI: 10.2514/2.309
14. Ivanov M. S., Vandromme D., Fomin V. M. et al. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results // Shock Waves. 2001. Vol. 11. Pp. 199-207. DOI: 10.1007/PL00004075
15. Ben-Dor G., Ivanov M., Vasilev E., Elperin T. Hysteresis processes in the regular reflection ^ Mach reflection transition in steady flows // Progress in Aerospace Sciences. 2002. Vol. 38. Pp. 347-387. DOI: 10.1016/S0376-0421(02)00009-X
16. Hadjadj A., Kudryavtsev A. N., Ivanov M. S. Numerical Investigation of Shock-Reflection Phenomena in Overexpanded Supersonic Jets // AIAA Journal. 2004. Vol. 42, № 3. Pp. 570-577. DOI: 10.2514/1.989
17. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd Edition. Berlin - Heidelberg -NewYork: Springer, 2007. 342 p.
18. Mouton C. A., Hornung H. G. Experiments on the mechanism of inducing transition between regular and Mach reflection // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, № 126103. 11 p. DOI: 10.2514/1.989
19. Shimshi E., Ben-Dor G., Levy A. Viscous simulation of shock-reflection hysteresis in over-expanded planar nozzles // Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 635. Pp. 189-206. DOI: 10.1017/S002211200900771X
20. Ben-Dor G., Takayama K. The phenomena of shock wave reflection - a review of unsolved problems and future research needs // Shock Waves. 1992. Vol. 2. Iss. 4. Pp. 211-223. DOI: 10.1007/BF01414757
21. Баженова Т. В., Гвоздева Л. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977. 274 с.
22. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995. 180 с.
23. Savelova K. E., Alekseeva M. M., Matveev S. A., Chernyshov M. V. Shock-wave structure of prospective combined jet engine // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1959. № 012043. 9 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012043
24. Гвоздева Л. Г., Гавренков С. А. Возникновение тройных конфигураций с отрицательным углом отражения в стационарном потоке струи // Письма в Журнал технической физики. 2012. Т. 38. Вып. 8. С. 39-45.
25. Гавренков С. А., Гвоздева Л. Г. Численное исследование возникновения неустойчивости трехударных конфигураций в стационарном сверхзвуковом потоке газа // Письма в Журнал технической физики. 2012. Т. 38. № 12. С. 74-80. EDN: RCVSUB
26. Gvozdeva L. G., Silnikov M. V., Gavrenkov S. A. Triple shock configurations with negative angle of reflection // Acta Astronautica. 2015. Vol. 116. Pp. 36-42. DOI: 10.1016/j.actaastro.2015.05.026
27. Азарова О. А., Гвоздева Л. Г. Нестационарные трехударные конфигурации и контактно-вихревые структуры, инициированные взаимодействием источника энергии с ударным слоем в газах // Письма в Журнал технической физики. 2016. Т. 42, № 15. С. 59-66. EDN: XAXKFX
28. Сильников М. В., Чернышов М. В., Гвоздева Л. Г. Аналитическое описание области существования тройных конфигураций с отрицательным углом наклона отраженного скачка // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, № 11. С. 30-34. EDN: XAXOIB
29. Шоев Г. В., Иванов М. С. Численное исследование взаимодействия ударных волн в стационарных потоках вязкого теплопроводного газа с низким показателем адиабаты // Теплофизика и аэромеханика. 2016. № 3. С. 359-370. EDN: WBFNAX
30. Чернышов М. В. Экстремальные тройные конфигурации с отрицательным углом наклона отраженного скачка // Известия вузов. Авиационная техника. 2019. № 2. С. 82-88. EDN: JIOOLR
31. Von Neumann J. Oblique reflection of shock waves // Collected Works. London: Pergamon Press, 1963. Vol. 6. Pp. 238-299.
32. Васильев Е. И. Четырехволновая схема слабого маховского взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 3. С.144-152.
33. Омельченко А. В., Усков В. Н. Максимальные углы поворота потока в ударно-волновых системах // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. № 3. С. 148-156.
34. Омельченко А. В., Усков В. Н. Экстремальная система волна разрежения - скачок уплотнения в стационарном потоке газа // Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38, № 2. С. 40-47.
35. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Uskov V. N. Analytical solutions for Prandtl-Meyer wave - oblique shock overtaking interaction // Acta Astronautica. 2014. Vol. 99. Pp. 175-183. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.02.025
36. Омельченко А. В., Усков В. Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1996. № 4. С. 142-150.
37. Усков В. Н., Чернышов М. В. Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, № 4. С. 39-53.
38. Усков В. Н., Чернышов М. В. Экстремальные ударно-волновые системы в задачах внешней аэродинамики // Теплофизика и аэромеханика. 2014. Т. 21, № 1. C. 15-31. EDN: RWYKDD
Дата поступления: 26.03.2024 Решение о публикации: 29.03.2024
Контактная информация:
ЧЕРНЫШОВ Михаил Викторович - д-р техн. наук, профессор (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), mvcher@mail.ru, chernyshov_mv@voenmeh.ru
САВЕЛОВА Карина Эдуардовна - аспирант, младший научный сотрудник (Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, Россия, 190005, Санкт-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д. 1), savelova_ke@voenmeh.ru
References
1. Bai C.-Y., Wu Z.-N. Size and shape of shock waves and slipline for Mach reflection in steady flow. Journal of Fluid Mechanics. 2017. Vol. 818, pp. 116-140. DOI: 10.1017/jfm.2017.139
2. Tao Y., Liu W., Fan X. et al. A study of the asymmetric shock reflection configurations in steady flows. Journal of Fluid Mechanics. 2017. Vol. 825, pp. 1-15. DOI: DOI: 10.1017/jfm.2017.280
3. Roy S., Gopalapillai R. An analytical model for asymmetric Mach reflection configuration in steady flows. Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 863, pp. 242-268. DOI: 10.1017/jfm.2018.945
4. Lin J., Bai C.-Y., Wu Z.-N. Study of asymmetrical shock wave reflection in steady supersonic flow. Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 864, pp. 848-875. DOI: 10.1017/jfm.2019.18
5. Choe S.-G. A method for predicting Mach stem height in steady flows. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part G: Journal of Aerospace Engineering. 2022. Vol. 236. Iss. 1, pp. 3-10. DOI: 10.1177/09544100211001518
6. Chernyshov M. V., Savelova K. E. Approximate Analytical Model of Jet Flow with Mach Reflection and Pulse Heat Efflux at the Main Shock. Russian Aeronautics. 2023. Vol. 66, no. 1, pp. 51-63. DOI: 10.3103/s1068799823010087
7. Chernyshov M. V., Savelova K. E., Kapralova A. S. Approximate Analytical Models of Shock-Wave Structure at Steady Mach Reflection. Fluids. 2021. Vol. 6. Iss. 9, no. 305, 18 p. DOI: 10.3390/fluids6090305
8. Chernyshov M. V., Savelova K. E. Approximate analytical model of shock-wave structure of supersonic flow with Mach reflection of oblique shocks. Aerospace Engineering and Technology. 2023. Vol. 1, no. 4, pp. 42-66. (In Russian)
9. Chpoun A., Ben-Dor G. Numerical confirmation of the hysteresis phenomenon in the regular to Mach reflection transition in steady flows. Shock Waves. 1995. Vol. 5. Iss. 4, pp. 199-203. DOI: 10.1007/BF01419001
10. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Beylich A. E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves. Physics of Fluids. 1995. Vol. 7. Iss. 4, pp. 685-687. DOI: 10.1063/1.868591
11. Ben-Dor G., Elperin T., Li H., Vasiliev E. Downstream pressure induced hysteresis in the regular ^ Mach reflection transition n steady flows. Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. Iss. 10, pp. 3096-3098. DOI: 10.1063/1.869417
12. Ivanov M. S., Gimelshein S. F., Markelov G. N. Statistical Simulation of the Transition between Regular and Mach reflection in Steady Flows. Computers & Mathematics with Applications. 1998. Vol. 35, no. 1/2, pp. 113-125. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00262-9
13. Ivanov M. S., Markelov G. N., Kudryavtsev A. N., Gimelshein S. F. Numerical Analysis of Shock Wave Reflection Transition in Steady Flows. AIAA Journal. 1998. Vol. 36, no. 11, pp. 20792086. DOI: 10.2514/2.309
14. Ivanov M. S., Vandromme D., Fomin V. M. et al. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results. Shock Waves. 2001. Vol. 11, pp. 199-207. DOI: 10.1007/PL0000407
15. Ben-Dor G., Ivanov M., Vasilev E., Elperin T. Hysteresis processes in the regular reflection ^ Mach reflection transition in steady flows. Progress in Aerospace Sciences. 2002. Vol. 38, pp. 347-387. DOI: 10.1016/S0376-0421(02)00009-X
16. Hadjadj A., Kudryavtsev A. N., Ivanov M. S. Numerical Investigation of Shock-Reflection Phenomena in Overexpanded Supersonic Jets. AIAA Journal. 2004. Vol. 42, no. 3, pp. 570-577. DOI: 10.2514/1.989
17. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd Edition. Berlin - Heidelberg -NewYork: Springer, 2007, 342 p.
18. Mouton C. A., Hornung H. G. Experiments on the mechanism of inducing transition between regular and Mach reflection. Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, no. 126103, 11 p. DOI: 10.2514/1.989
19. Shimshi E, Ben-Dor G, Levy A. Viscous simulation of shock-reflection hysteresis in overex-panded planar nozzles. Journal of Fluid Mechanics. 2009. Vol. 635, pp. 189-206. DOI: 10.1017/S002211200900771X
20. Ben-Dor G., Takayama K. The phenomena of shock wave reflection - a review of unsolved problems and future research needs. Shock Waves. 1992. Vol. 2. Iss. 4, pp. 211-223. DOI: 10.1007/BF01414757
21. Bazhenova T. V., Gvozdeva L. G. Nestacionarnye vzaimodejstviya udarnyh voln [Unsteady Interactions of Shock Waves]. Moscow: Nauka, 1977, 274 p. (In Russian)
22. Adrianov A. L., Starykh A. L., Uskov V. N. Interferenciya stacionarnyh gazodinamicheskih razryvov [Interference of Stationary Gasodynamic Discontinuities]. Novosibirsk: Nauka, 1995, 180 p. (In Russian)
23. Savelova K. E., Alekseeva M. M., Matveev S. A., Chernyshov M. V. Shock-wave structure of prospective combined jet engine. Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1959, no. 012043, 9 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1959/1/012043
24. Gvozdeva L. G., Gavrenkov S. A. Formation of triple shock configurations with negative reflection angle in steady flows. Technical Physics Letters. 2012. Vol. 38. Iss. 4, pp. 372-374. DOI: 10.1134/S1063785012040232
25. Gavrenkov S. A., Gvozdeva L. G. Numerical Investigation of the Onset of Instability of Triple Shock Configurations in Steady Supersonic Gas Flows. Technical Physics Letters. 2012. Vol. 38, no. 6, pp. 587-589. DOI: 10.1134/S1063785012060223
26. Gvozdeva L. G., Silnikov M. V., Gavrenkov S. A. Triple shock configurations with negative angle of reflection. Acta Astronautica. 2015. Vol. 116, pp. 36-42. DOI: 10.1016/j.actaastro.2015.05.026
27. Azarova O. A., Gvozdeva L. G. Unsteady Triple-Shock Configurations and Vortex Contact Structures Initiated by the Interaction of an Energy Source with a Shock Layer in Gases. Technical Physics Letters. 2016. Vol. 42, no. 8, pp. 799-803. DOI: 10.1134/S1063785016080046
28. Sil'nikov M. V., Chernyshov M. V., Gvozdeva L. G. Analytic Description of the Domain of Existence of Triple Configurations with a Negative Slope of Reflected Shock. Technical Physics. 2016. Vol. 61, no. 11, pp. 1633-1637. DOI: 10.1134/S1063784216110232
29. Shoev G. V., Ivanov M. S. Numerical study of shock wave interaction in steady flows of a viscous heat-conducting gas with a low ratio of specific heats. Thermophysics and Aeromechanics. 2016. Vol. 23, no. 3, pp. 343-364. DOI: 10.1134/S0869864316030045
30. Chernyshov M. V. Extreme Triple Configurations with Negative Slope Angle of the Reflected Shock. Russian Aeronautics. 2019. Vol. 62, no. 2, pp. 259-266. DOI: 10.3103/S1068799819020120
31. Von Neumann J. Oblique reflection of shock waves. Collected Works. London: Pergamon Press, 1963. Vol. 6, pp. 238-299.
32. Vasilev E. Four-wave scheme of weak Mach shock wave reflection under von Neumann paradox conditions. Fluid Dynamics. 1999. Vol. 34, no. 3, pp. 421-427.
33. Omel'chenko A. V., Uskov V. N. Maximum turning angles of a supersonic flow in shockwave systems. Fluid Dynamics. 1998. Vol. 33. Iss. 3, pp. 419-426. DOI: 10.1007/bf02698194
34. Omel'chenko A. V., Uskov V. N. An optimal shock-expansion system in a steady gas flow. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1997. Vol. 38. Iss. 2, pp. 204-210. DOI: 10.1007/BF02467902
35. Silnikov M. V., Chernyshov M. V., Uskov V. N. Analytical solutions for Prandtl-Meyer wave - oblique shock overtaking interaction. Acta Astronautica. 2014. Vol. 99, pp. 175-183. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.02.025
36. Omel'chenko A. V., Uskov V. N. Optimal shock-wave systems under constraints on the total flow turning angle. Fluid Dynamics. 1996. Vol. 31. Iss. 4, pp. 597-603. DOI: 10.1007/BF02031768
37. Uskov V. N., Chernyshov M. V. Special and extreme triple shock-wave configurations. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2006. Vol. 47, no. 4, pp. 492-504. DOI: 10.1007/s10808-006-0081-5
38. Uskov V. N., Chernyshov M. V. Extreme shockwave systems in problems of external supersonic aerodynamics. Thermophysics and Aeromechanics. 2014. Vol. 21, no. 1, pp. 15-30. DOI: 10.1134/S086986431401003X
Date of receipt: March 26, 2024 Publication decision: March 29, 2024
Contact information:
Mikhail V. CHERNYSHOV - Doctor of Engineering Sciences, Professor (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), mvcher@mail .ru, chernyshov_mv@voenmeh.ru
Karina E. SAVELOVA - Postgraduate Student, Junior Researcher (Baltic State Technical University "VOENMEH", Russia, 190005, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya ul., 1), savelova_ke@voenmeh.ru
