CC BY
1
�стеме координат Oxyz расположен диэлектрический эллипсоид Di с проницаемостями si, ц ограниченный гладкой поверхностью S. Полуоси эллипсоида a, b, c ориентированы соответственно вдоль осей x, y, z системы координат. Внутри эллипсоида размещен идеально проводящий цилиндр длиной l и радиусом r, ограниченный поверхностью Sp. Предполагается, что поверхности S и Sp не пересекаются, а параметры цилиндра удовлетворяют условиям тонкого цилиндра: 2r << X, 2r << l, где X - длина падающей на рассматриваемую структуру волны. Структура возбуждается стационарным электромагнитным полем E0,И0, зависимость которого от времени t выбрана в виде ехр(—/coi). Требуется найти рассеянное поле Ее,Не в области Д..
Кроме поля Ее,Не в 1)с. внутри диэлектрического тела существует поле Л,. Н г которое также является неизвестным. Поля Ее,Не и Ei,Hi должны удовлетворять уравнениям Максвелла
[V, Ee ] = треНе, [V, ие ]=-швД (1)
в области De,
[v, et ]= шцд, [v, иг ]=-шд (2)
в области Di и граничным условиям
[иД.-Яе] = [иД], [йД-Яе] = [и,Я0] (3)
на поверхности
[«РД] = 0 (4)
на поверхности идеально проводящего цилиндра. Кроме того, поле Ее,Не в области Д. должно удовлетворять условиям излучения
В выражениях (1)-(5) п - единичный вектор нормали к поверхности диэлектрического тела п - единичный вектор нормали к поверхности идеально проводящего цилиндра
Я - (х2 + у1 + г11 ; - векторное произведение.
Рис. 1. Геометрия задачи Fig. 1. Geometry of the problem
2. Модель рассеянного поля и определение неизвестных параметров модели
Введем внутри диэлектрического эллипсоида вспомогательный эллипсоид Se с полуосями ае = Kea, be = Keb, ce = Kec, где параметр Ke (коэффициент подобия) характеризует удаление вспомогательного эллипсоида Se от поверхности S, его значения лежат в интервале от 0 до 1 (см. рис. 1). При Ke = 0 вспомогательный эллипсоид стягивается в точку, при Ke = 1 он совпадает с поверхностью S.
( )N
Выберем на вспомогательном эллипсоиде Se конечную совокупность точек |Мл е| ^. В каждой точке Мп е разместим пару независимых вспомогательных элементарных электрических диполей с
моментами р^ = р^ е ' и рт = рт ет , ориентированными вдоль направлении единичных векторов
¿"', лежащих в плоскости, касательной к&в точке Мпе, и излучающих в однородную среду с параметрами Se и Це-
Внутри тонкого проводника на его оси разместим непрерывно распределенный вспомогатель-
« « Те
ныи электрическии ток .) р .
Представим неизвестное рассеянное поле Ее, Н во внешней среде /А- в виде суммы полей вспомогательных диполей, расположенных на вспомогательном эллипсоиде Se, и тока Jep :
Ee(M)=—Z[v,[v,nJ] + ^rv,[v,ne]l
юе„ t=TL L JJ ros L L JJ
не(М) = "Цу, пя>,] + [уД], (6)
Я=1
Ппе ^е(М,Мпе)РГ^е(М,Мпе) = ехр(Ле^)/4^е , = + К'ЧГ'
1р
В выражениях (6) = го^/е^ - волновое число в среде De; - расстояние от точки Мп,е на
вспомогательном эллипсоиде Se до точки наблюдения M в De; Яии, - расстояние от точки М' на оси идеально проводящего цилиндра до той же точки наблюдения M в De; рП,е, рП,е (п = 1,2,...,N) - неизвестные дипольные моменты, Ne - число точек размещения диполей на Se; Jep - неизвестный осевой вспомогательный ток; интегрирование в выражении для 11(, проводится вдоль оси проводника 1Р.
Для представления электромагнитного поля Е1, Н! внутри диэлектрического эллипсоида введем вспомогательную поверхность Si, охватывающую этот эллипсоид. Вспомогательная поверхность Х также выбирается в форме эллипсоида, но с полуосями а, = Кга, = КгЬ, = Кгс, где коэффициент подобия К > 1. Выберем на вспомогательной поверхности Х- конечную совокупность точек {мп г , в каждой из которых разместим пару независимых вспомогательных элементарных электрических диполей с моментами р"^' - , р"^' - . Единичные векторы ет"'! и ет"'! выбраны
лежащими в плоскости, касательной к поверхности Х- в точке Мп,-. Предполагается, что диполи, размещенные на X, излучают в однородную среду с параметрами гi, ц,.
Представим неизвестное поле Ei,Hi внутри диэлектрического эллипсоида в виде суммы полей введннных вспомогательных диполей:
N N
Ё (М) = — £ [V, [V,Пп,г ]], Йг (М) = £ [V,Пп, ],
ШЕ.- я=1 я=1
Пй, = %(М,М„Ж' > Г ^-Ч,, ) = ехрЦкЯ^ ) / 4^, р? = рГё^ + рГё^М е Д. (7)
В (7) = Юд/ег-цг- - волновое число в среде Dг■; - расстояние от точки Мп^ на вспомогательной
поверхности Х- до точки М в Dг■; р^ , р^г (п = 1,2,...,N) - неизвестные дипольные моменты, N -число точек размещения диполей на Х-.
Представления для полей (6), (7) удовлетворяют уравнениям Максвелла (1), (2). Кроме того, поле (6) удовлетворяет условиям излучения (5). Чтобы удовлетворить граничным условиям (3), (4), необходимо соответствующим образом выбрать пока неизвестные значения дипольных моментов
рП,е, рт"2'е (п = 1,2,..., N) и рП,, рП, (п = 1,2,..., N), а также распределение осевого тока 1ер .
Введем кусочно-постоянную аппроксимацию вспомогательного осевого тока 1ер. Разобьем
осевую линию идеально проводящего цилиндра на малые участки, в пределах которых ток можно считать постоянным. Постоянные токи внутри таких участков будем называть элементами токов. Пусть Np - число участков разбиения осевой линии. Тогда выражение для вектора Пе в (6) приближенно можно записать в виде:
с/
Йе = Рр Ё ^ Г ^ (М'М')ШР ' (8)
¿=1 'р,'-1
Те . ^ ^ ^
где 7 р' - элемент тока на 7-м участке осевой линии; е - единичный вектор, направленный вдоль оси цилиндра; М' - точка, принадлежащая отрезку осевой линии. При таком подходе нахож-
дение неизвестного распределения осевого тока сводится к нахождению значений Np элементов тока.
Для определения значений дипольных моментов и элементов тока используем граничные условия (3), (4), удовлетворяя им в соответствии с методом коллокаций. Пусть М] - точки коллокации на
поверхности диэлектрического эллипсоида, а число этих точек равно Ь (у = 1 ,... ,Ь); пусть Мр -точки коллокации на поверхности 5Р идеально проводящего цилиндра, а число этих точек равно Ьр (у = 1,...,Ьр). Тогда для нахождения неизвестных дипольных моментов р^, рП2,е (п = 1,2,...,N),
рП,, рП2,! (п = 1,2,..., N) и элементов токов 7ер { (7 = 1, ..., Np), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
[п\Щ-Щ = [п]Д\ [п\н{-я/] = [я\щ], / = 1. ..../,.
[й^] = 0,7=1, ...,ЬР, (9)
где п1 - единичный вектор нормали в точке коллокации М] на поверхности 5 диэлектрического эллипсоида; пр - единичный вектор нормали в точке коллокации М на поверхности идеально проводящего цилиндра; ¿"/, Я/ и ¿'.;', Я' - компоненты внутреннего и внешнего полей в точке коллокации УЦ: Ep, 1 - вектор напряжённости внутреннего электрического поля в точке коллокации Мр на поверхности цилиндра; Еу и И]0 - компоненты возбуждающего поля в точке М/.
После решения системы (9) необходимые характеристики рассеянного поля определяются из выражений (6). В частности, для компонент рассеянного поля в дальней зоне получаем
Ее 0 (М) = ^Ие ф(М) = —Д (0, ф) + 0(Я-2),
V 8е ф М
е'кеК
Ее,ф(М) = - ^рЯр,0(М) = —Бф(0,ф) + 0(Я-2), (10)
V 8е кеК
где компоненты диаграммы рассеяния (0, ф) и Б (0, ф) определяются выражениями 'юк ц ы'
Б (9, ф) = еЦе Те,, (0, ф) {(с08 0 С08 ф С08 а;,е + С08 0 8Ш ф С08 р;,е - 8Ш 9 С08 у",е) 4л • , ^ '
,е ,е
+ (С08 0 С08 фС08 а 2 е + С08 0 8Ш фС08 Рп е - 8Ш 0 С08 у\) р"£ } +
4л
Np k.
(cos 9 cos ф cos ap + cos 9 sin ф cos - sin 9 cos yp)x
x£ Jepi J exp (x'p sin 9 cos ф + y'p sin 9sin ф + z'p cos 9)J dlp,
i=l l ,
'pj-l
' k Ne
D (0, ф) = (0' ф)<1- sin ф cos <e + cos ф cos ßn{e )p"xf + (- sin ф cos a n2e + cos ф cos ß n2e )pne}
yvz, vpy — / ош vpwo uj i WJO |jj ггт \ 0111 wo vpwo|j2 ггт
4n n=1 , 1 2
Np lFi
+e (- sin фcos ap + cos фcos Pp Jep i Í exp[- ike (x'p sin 9 cos ф + y'p sin 9 sin ф + z'p cos б)]с//р,
4n i=i 'Л
'pi-1
Gn,e (9 , ф) = eXP [- ike (xn,e sin 9 cos Ф + Уп,e sin 9 sin Ф + Zn, e cos 9 )] (U)
B/ii\ n e on e n e n e c\ n e n e
выражениях (11) cos a^ ,cos p^ ,cos y^ и cos a^ ,cos p2 ,cos y^ - направляющие косинусы единичных векторов и e",e; xne, yne, zne - декартовы координаты точки Mne; cos ap ,cos $p ,cos yp -направляющие косинусы осевой линии идеально проводящего цилиндра; x'p, y', z' - декартовы
координаты текущей точки интегрирования внутри i-го участка идеально проводящего цилиндра; R, 9, ф - сферические координаты точки наблюдения M.
Контроль точности решения осуществляем путем вычисления относительной нормы невязки граничных условий (3), (4) на сетке точек, промежуточных по отношению к точкам коллокации:
Л = Л/фР7ф0,Ф0 = £ j|[n>,É¿ ]2 |[nj,É¿ ]|21, (12)
где Ф' - значение нормы невязки граничных условий (3), (4) на указанной выше совокупности точек, Ф0 - значение соответствующей нормы падающего поля на этой же совокупности точек; L' - число промежуточных точек.
3. Результаты моделирования
На основании изложенного выше подхода была создана программа для расчета компонент рассеянного поля и контроля точности полученного решения. Предполагалось, что идеально проводящий цилиндр ориентирован вдоль оси z и центр его осевой линии совпадает с началом системы координат. Входными величинами программы являются значения полуосей эллипсоида в длинах волн возбуждающего поля, относительные значения е' = e¿ / ее и ц' = ц / це диэлектрической и магнитной проницаемости эллипсоида, длина и радиус цилиндра в длинах волн, параметры подобия Ke и Ki, числа точек размещения диполей Ne, Ni и точек коллокации L и Lp для диэлектрического эллипсоида и цилиндра, а также число участков Np разбиения осевой линии идеально проводящего цилиндра.
Предполагается также, что возбуждающее структуру поле выбрано в виде линейно поляризованной
-»• —»
плоской волны, падающей на структуру таким образом, что векторы ke и E0 расположены в плоскости xOz, при этом вектор ke образует с осью z угол у, называемый углом падения плоской волны.
Система (9) решается итерационным методом сопряж^ных градиентов; итерационный процесс останавливается, если относительное изменение невязки системы на каждой из десяти последних итераций не превышает 10-4.
Разработанная программа была использована для расч^а характеристик рассеяния ряда конкретных структур. Под характеристиками рассеяния понимаются компоненты рассеянного поля (10), (11), бистатические сечения рассеяния
о(0, ф) = lim -j 4nR: а также сечения обратного рассеяния.
I |2 I 12
к-0 (0, ф) +кф (0, ф)
/E0 !, (13)
2
Рисунок 2 представляет результаты тестирования предложенного метода решения задачи и разработанной программы. Для тестирования использовалось то обстоятельство, что при падении плоской волны вдоль оси г (у = 0), когда вектор Е0 падающей волны ортогонален оси цилиндра, последний не возбуждается, и если при этом диэлектрическое тело является шаром (кеа = кеЪ = кес), то получаемые при таких условиях бистатические сечения рассеяния должны быть близки сечениям рассеяния, которые дает известное строгое решение соответствующей задачи рассеяния на однородном шаре. На рис. 2 кривая 1 - это бистатические сечения рассеяния шара с безразмерными параметрами кеа = кеЪ = кес = 3, е' = 4, ц' = 1, полученные с использованием строгого решения; кривая 2 - соответствующие результаты, полученные нами для структуры, в которой диэлектрическое тело является шаром с такими же параметрами, а идеально проводящий цилиндр имеет безразмерную длину ке! = 4,712 (I = 0,75Я) и безразмерный радиус кег = 0,1 (г = 0,016Я). Результаты представлены в Е-плос-
кости, в которой лежат векторы Е0 и ке возбуждающей волны; в сферической системе координат эта
плоскость состоит из двух полуплоскостей ф = 0° и ф = 180°. По оси абсцисс отложен угол 0 в градусах (угол 0 отсчитывается от положительного направления оси г), по оси ординат - сечение рассеяния (13), нормированное на квадрат длины волны и выраженное в децибелах. Поскольку кривые симметричны относительно оси г, они представлены только в одной из полуплоскостей.
Рис. 2. Бистатические сечения рассеяния в Е-плоскости диэлектрического шара и структуры, состоящей из такого же шара и идеально проводящего цилиндра при падении плоской волны вдоль его оси. Кривая 1 - результаты для шара, полученные на основе строгого решения, кривая 2 - результаты для структуры, полученные предлагаемым методом Fig. 2. Bistatic scattering cross sections in E-plane for dielectric sphere and structure consisting of same sphere and perfectly conducting cylinder if the plane wave propagates along its axis. Curve 1 shows the results for the sphere obtained from exact solution, curve 2 shows the results for the structure obtained from proposed method
Кривая 2 отвечает следующим параметрам. Для диэлектрического шара коэффициенты подобия Ке = 0,6; K = 4, числа N = N = 400, L = 800. На внутренней и внешней вспомогательных поверхностях алгоритм размещения вспомогательных диполей одинаков: в каждой из двадцати полуплоскостей ф = const, отстоящих одна от другой на угловое расстояние Дф = 18°, равномерно по углу 0 выбрано 20 точек размещения диполей. Для точек коллокации на поверхности шара алгоритм их расположения по углу 0 выбран таким же, как и для точек размещения диполей, но они выбраны как в полуплоскостях ф = const, в которых размещены диполи, так и посередине между полуплоскостями.
Для идеально проводящего цилиндра осевая линия разбита на тридцать участков, т.е. N = 30. Точки
коллокации на поверхности цилиндра размещены в поперечных сечениях z = const. Эти сечения проведены посередине каждого из участков разбиения осевой линии, и в каждом таком сечении расположено четыре точки коллокации равномерно по азимутальному углу. При таком выборе точек коллокации их число оказывается жестко связанным с числом участков разбиения осевой линии: L = 4N .
Как видно из рис. 2, различия между кривыми 1 и 2 очень малы. Эти различия можно объяснить наличием некоторых ошибок при получении кривых 1 и 2. Близость полученных нами сечений рассеяния к сечениям рассеяния, получаемым на основе строгого решения, говорит как о правильности самого метода решения задачи, так и о правильности выбора параметров метода и работы компьютерной программы.
На рис. 3 и 4 представлены некоторые результаты, иллюстрирующие зависимость сечения обратного рассеяния от размеров полуосей эллипсоида при различных углах падения плоской волны у. Исходной формой выбрана форма шара, для которого кеа = кеЪ = кес = 3. Далее величина полуоси кес предполагалась неизменной, а величины полуосей кеа и кеЪ менялись по правилу кеа = кеЪ = кес-А, т.е. шар был превращен в сфероид, размеры полуосей которого кеа и кеЪ постепенно уменьшались. На рис. 3 и 4 по оси абсцисс отложено значение параметра А, по оси ординат -значение сечения обратного рассеяния, нормированное на квадрат длины волны и выраженное в децибелах.
Рис. 3. Зависимость сечения обратного рассеяния от размеров полуосей эллипсоида с проницаемостью s' = 4 при различных углах v|/ падения плоской волны. Кривая 1 соответствует \|/ = 45; кривая 2 - \|/ = 60 ; кривая 3 - \|/ = 90 Fig. 3. Dependence of the backscattering cross section on the dimensions of semi-axes of the ellipsoid with relative dielectric permittivity e' = 4 for various angles v|/ of the incidence of the plane wave. Curve 1 corresponds to \|/ = 45; curve 2 corresponds
to \|/ = 60 ; curve 3 corresponds to \|/ = 90
дЬ
к1
-25
0,25 0,5 0,75 1 1,25 Д
£i«t дБ tc
-15
-20
0,25 0,5 0,75 1 1,25 Д
Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но когда эллипсоид характеризуется проницаемостью s' = 10 Fig.4. The same as in Figure 3, but for the case where the relative dielectric permittivity of the ellipsoid s' = 10
Рисунок 3 относится к случаю, когда относительная диэлектрическая проницаемость s' диэлектрического тела равна 4 и безразмерная длина kel идеально проводящего цилиндра равна 4,712 (l = 0,751), а рис. 4 - к случаю, когда s' = 10, а kel по-прежнему равна 4,712. Кривые 1 на этих рисунках соответствуют углу падения у, равному 45°, кривые 2 - углу падения у = 60°, кривая 3 - углу падения у = 90°. При получении этих результатов параметры метода выбраны такими же, как при получении кривой, показанной на рис. 2.
Анализ результатов, представленных на рис. 3 и 4, позволяет сделать следующие выводы. Зависимость сечения обратного рассеяния от размеров полуосей эллипсоида зависит от угла у падения на рассматриваемую структуру плоской волны. Несмотря на это, при всех рассмотренных углах падения у плоской волны изменением полуосей эллипсоида можно существенно уменьшить сечение обратного рассеяния. Например, как показывает рис. 3, при относительной диэлектрической проницаемости s' сфероида, равной 4, и длине идеально проводящего цилиндра kel, равной 4,712, выбирая полуоси сфероида kea и keb, равными 2, можно уменьшить сечение обратного рассеяния более чем на 10 дБ, по сравнению со случаем, когда диэлектрическое тело является шаром с параметрами kea = keb = kec = 3.
Заключение
Таким образом, в данной работе методом вспомогательных источников решена задача рассеяния электромагнитной волны на тонком идеально проводящем цилиндре, расположенном внутри однородного диэлектрического эллипсоида. Кратко описана разработанная компьютерная программа. Приведены результаты исследования зависимости сечений обратного рассеяния от размеров полуосей эллипсоида при различных углах падения плоской волны.
Список источников
1. Pocklington H.C. Electrical oscillations in wires // Proceedings Cambridge Philos. Soc. 1897. V. 9. P. 324-337.
2. Brill D., Gaunaurd G.C., Huang H., Strifors H.C. Electromagnetic scattering from finite-length cylinders and rods // Proc. SPIE's
1995 Symposium on OE/Aerospace Sensing and Dual Use Photonics, 1995, Orlando, FL, United States. 1995. V. 2485. P. 187196. doi: 10.1117/12.213083
3. Tijhuis A.G., Zhongqui P., Bretones A.R. Transient exitation of a straight thin wire segment // IEEE Trans. Antennas Propag.
1992. V. 40. P. 1132-1146.
4. Ross R.A. Forward scattering from a finite, circular cylinder // Prog. Electromagn. Res. C. 2008. V. 2. P. 207-215.
5. Hatamzadeh-Varmazyar S., Naser-Moghadasi M. New numerical method for determining the scattered electromagnetic fields
from thin wires // Prog. Electromagn. Res. B. 2008. V. 3. P. 207-218. doi: 10.2528/PIERB07121303
6. Gu Xian-Ming, Huang Ting-Zhu, Zhao Xi-Le, Li Hou-Biao, Li Liang. Fast iterative solvers for numerical simulations of scattering
and radiation on thin wires // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2015. V. 29 (10). P. 1281-1296. doi: 10.1080/09205071.2015. 1042559
7. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном магни-
тодиэлектрическом теле произвольной формы // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40, № 6. С. 875-880.
8. Дмитренко А.Г., Уринов Р.И. Моделирование электромагнитного рассеяния на структуре, состоящей из импедансного и
магнитодиэлектрического тел // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 1 (29). С. 11-20.
9. Дмитренко А.Г., Колчин В.А. Рассеяние электромагнитных волн на структурах, содержащих тонкие проводники // Изве-
стия вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46, № 1. С. 31-40.
10. Дмитренко А.Г., Балашова О.М. Моделирование электромагнитного рассеяния на тонких параллельных идеально проводящем и диэлектрическом цилиндрах // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 51. С. 35-44. doi: 10.17223/19988605/51/4
References
1. Pocklington, H.C. (1897) Electrical oscillations in wires. Proceedings Cambridge Philos. Soc. 9. pp. 324-337.
2. Brill, D., Gaunaurd G.C., Huang, H. & Strifors, H.C. (1995) Electromagnetic scattering from finite-length cylinders and rods.
Proc. SPIE's 1995 Symposium on OE/Aerospace Sensing and Dual Use Photonics. 2485. pp. 187-196. DOI: 10. 1117/12.213083
3. Tijhuis, A.G., Zhongqui, P. & Bretones, A.R. (1992) Transient excitation of a straight thin wire segment. IEEE Trans. Antennas
Propag. 40. pp. 1132-1146.
4. Ross, R.A. (2008) Forward scattering from a finite, circular cylinder. Progress In Electromagnetics Research. C. 2. pp. 207-215.
5. Hatamzadeh-Varmazyar, S. & Naser-Moghadasi, M. (2008) New numerical method for determining the scattered electromagnetic
fields from thin wires. Progress In Electromagnetics Research. B 3. pp. 207-218. DOI: 10.2528/PIERB07121303
6. Gu Xian-Ming, Huang Ting-Zhu, Zhao Xi-Le, Li Hou-Biao & Li Liang. (2015) Fast iterative solvers for numerical simulations
of scattering and radiation on thin wires. Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 29(10). pp. 1281-1296. DOI: 10.1080/09205071.2015. 1042559
7. Dmitrenko, A.G. & Mukomolov, A.I. (1995) Chislennyy metod resheniya zadach elektromagnitnogo rasseyaniya na trekhmernom
magnitodielektricheskom tele proizvol'noy formy [Numerical method for solution of electromagnetic scattering for three-dimensional arbitrarily shape magnetodielectric body]. Radiotekhnika i elektronika. 40(6). pp. 875-880.
8. Dmitrenko, A.G. & Urinov, R.I. (2015) Simulation of electromagnetic scattering by a structure consisting of an impedance and
a magnetodielectric bodies. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informa-tika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(29). pp. 11-20.
9. Dmitrenko, A.G. & Kolchin, V.A. (2003) Rasseyanie elektromagnitnykh voln na strukturakh, soderzhashchikh tonkie provodniki
[Scattering of electromagnetic waves by structures comprising thin wires]. Izvestiya vuzov. Radiofizika. 46(1). pp. 31-40.
10. Dmitrenko, A.G. & Balashova, O.M. (2020) Simulation of electromagnetic scattering by thin parallel perfectly conducting and dielectric cylinders. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 51. pp. 35-44. DOI: 10.17223/19988605/51/4
Информация об авторах:
Балашова Ольга Михайловна - аспирант кафедры прикладной математики Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: balashovajkz@mail.ru
Дмитренко Анатолий Григорьевич - профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: dmitr.tsu.202@mail.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Balashova Olga M. (Post-graduate Student, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: balashovajkz@mail.ru
Dmitrenko Anatoly G. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: dmitr.tsu.202@mail.ru
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 19.11.2023; принята к публикации 05.03.2024 Received 19.11.2023; accepted for publication 05.03.2024
