CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVIII
19 8 7
М 5
УДК 624.072.2
ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЖЕСТКОСТИ БАЛКИ ПО ЗАДАННЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ И О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
ПЕРВОГО РОДА
Я■ М. Пархомовский
Указаны способы, позволяющие увеличить точность определения жесткости балки на изгиб по экспериментальным значениям прогибов и изгибающих моментов. Они могут быть использованы и при решении интегральных уравнений Вольтерра первого рода, структура которых аналогична уравнению рассмотренной задачи.
В настоящей заметке речь будет идти о том, как по заданным внешней нагрузке — «входе» — и распределению деформаций — «выходе» —• восстановить характеристики упругой системы в том весьма распространенном и простом случае, когда упругая система моделируется балкой. Под словом «заданные» имеется в виду совокупность чисел, дающих значения деформаций и нагрузки в отдельных точках балки, причем числа эти получены в результате эксперимента, т. е. с некоторыми погрешностями.
1. В нашем случае требуется идентифицировать (восстановить) жесткость балки на изгиб В(х) и кручение С(х)—основные характеристики при решении самых разных задач аэроупругости.
Для конкретности ограничимся задачей об изгибе балки’1'. Здесь связь между изгибающим моментом М(х) и прогибом у{х) дается известным соотношением:
(штрихи — дифференцирование по *).
Попытки определить жесткость путем двукратного дифференцирования кривой у(х), построенной по данным таблицы со значениями у(хь)=у>1, дают функцию В(х) с весьма большими неприемлемыми погрешностями.
Эффективным оказался способ непосредственного измерения кривизны (а, значит, и В) в отдельных точках при помощи предложенных Б. Л. Упадышевым кривиз-номеров [1]. Однако такой прием не всегда можно использовать, притом он требует специально поставленного эксперимента.
Поэтому, наряду с [1], был предложен другой способ. Он заключался в том, чтобы определять В по заданной функции у(х), используя аппарат интегрирования [2].
Если считать, что балка (крыло) одним концом жестко заделана в стенку, и выбрать начало координат в месте заделки, то
* Все изложенное без труда переносится на более простой случай Сен-Венанова кручения балки.
В (х) у" (х) = М (х)
0)
У(0) = У' (0) = 0,
(2)
X
У (■*) = I (* — s) Af (s) г (s) ds .
(x — s)M (s) г (s) ds .
(3)
Известно, что задача, описываемая уравнением (3), принадлежит к классу некорректных.
Для получения устойчивого ее решения необходимо — и это первая весьма важная часть расчета — соответствующим образом сгладить полученные при эксперименте значения у/I. При этом заметим, что кривая у(х) достаточно «крутая» и степень точности определения ординат уь различна по длине балки.
Наряду с повышением инструментальной точности самих измерений экспериментатор может повысить их точность, рационально задавая эпюру М(х), при которой производятся измерения ук-М(х), надо стремиться задавать ее так, чтобы кривая у' (х) не слишком резко изменялась по длине балки.
Любой способ решения уравнения (3) приводит к системе п линейных алгебраических уравнений, где п — число точек, в которых измерены прогибы. Оказалось, что использование при решении (3) обычного способа, когда г(х) = 2 Аь ФА (х), а Фк (х) — совокупность некоторых гладких координатных функций, не дает надежных результатов. При увеличении числа п система уравнений становится плохо обусловленной.
В [2] был предложен другой — «дискретный» способ задания г(х), лишенный этого недостатка. Ниже приводится некоторое видоизменение приема, предложенного в [2], позволяющее сделать его более эффективным.
Будем считать
где В к у — «точные» функции, о выборе которых будет сказано ниже. Точными здесь называются функции, погрешность определения которых может быть сделана сколь угодно малой.
Тогда (1) можно записать в виде
где р (0) = 1.
Кривая Р(х) дает закон распределения В по длине балки. Его можно взять таким, каким он получается из расчета для данного крыла; для крыла, близкого по
параметрам к данному, задать Р(х)= , где Ь(х) —хорда данного крыла, и т. д.
а длина балки принимается за единицу.
Величину а стараются выбрать так, чтобы вся кривая у лежала по одну сторону от ун. (При а<1 В>В, при а>1 В<В).
(4)
В у" + в~у" +Св + Вд) у’л = м (х).
(5)
Зададим теперь
В = В0Н*).
(5а)
После этого у(х) определяем так, чтобы балка жесткости В воспринимала весь изгибающий момент М(х), т. е. чтобы
В у" = М (х),
= Г (х — s) М (s) ds. (6)
о
Оставшуюся неопределенной величину В0 определяем из условия
У(1) = «У(1).
(7)
где
а = 0,85 -+- 1,15,
(8)
По построению опорная кривая у(х) близка к величинам у к вблизи заделки, где деформации малы, и вблизи свободного конца.
Будем теперь сглаживать не совокупность ординат Ук, а только их часть
УЛхк) =*Ук~ У (хк).
Значения !/д не слишком велики и, надо полагать, не столь резко меняются по длине балки. По этой причине самое сглаживание становится менее произвольным. Так или иначе получили у(х), уя(хк) и В. Теперь уравнение (5) переходит в
(В + Вл)у"л = -Влу".
Используя краевые условия (2), приходим к интегральному уравнению того же типа, что и (3):
X
Ул = — | (X — я) у" (в) Т ^) ((Б, (9)
и
где
Т(з)=_Вл . (10)
В + Вд
Здесь в отличие от (3) ядро уже «точное»
Решение уравнения (10) производится указанным в [2] дискретным способом. В конечном счете, решение зависит от параметра а, т. е. от того, какой была задана опорная кривая. Принимая разные значения а, получим, конечно, отличающиеся друг от друга значения Вд, а следовательно, и искомой жесткости В. Проведя расчет для нескольких значений а, мы можем за В выбрать, скажем, В — среднее арифметическое полученных значений. Контролем достоверности полученной величины В может служить сравнение соответствующей ей кривой прогибов у(х) с заданными у к- Указанный процесс в какой-то степени эквивалентен определению В(х) по ряду измерений у к при одном и том же значении М(х).
2. Нам представляется, что, говоря об уравнении
X
/С*) — | К (X, 5) (5)^5 (11)
о
[в нашем случае К(х, s) = (х — s)iVf(s)], следует различать «математическую» задачу и задачу «физическую», с которой главным образом приходится иметь дело в прикладных вопросах.
В первом случае класс функций }(х) может быть достаточно широким. Именно по этой причине неизвестен и класс функций, в котором следует искать решение ф (х).
Во втором случае, когда уравнение описывает некую определенную физическую модель, предположительно известен класс f(x) (выхода) и известна мера гладкости М(х)—входа. Так, в нашей задаче a priori ясно, что истинная кривая у(х) должна быть гладкой, иметь непрерывную (на худой конец ограниченную) вторую производную и т. д. Такого же типа сведения имеются о М(х). Наконец, В (х), по-видимо-му, по крайней мере кусочно-гладкая функция. С этой точки зрения последняя задача «благополучнее» задачи математической.
Но есть и другое отличие. В первом случае функции f(x) и К(х, s) заданы и притом с любой степенью точности во всем интересующем нас интервале. Во втором они известны лишь в конечном числе точек и притом приближенно — в пределах некоторой доверительной области. Приближенны не только fk, но и значения точек х=хк, но этим обстоятельством пренебрегаем. О том, как ведут себя эти функции вне этих точек, мы доподлинно не знаем. Приходится выравнивать табличные данные и затем по ним строить гладкую кривую, определенную во всем интервале.
Таким образом, в физическом уравнении неизбежен тот иди иной способ его
регуляризации.
Отсюда ясно, что вопрос о способе сглаживания — весьма важен. До сих пор
мы его не оговаривали. Это могли быть метод наименьших квадратов, самые разнооб-
разные интерполяционные полиномы, сплайны и т. д. Однако указанные способы такого сглаживания в общем произвольны и никак не связаны с характером получения приближенных величин у я М.
Называя их приближенными, мы применяем это слово в качестве синонима слова «случайный». И вход и выход следует рассматривать как функции случайные. Значит, и задача определения жесткости из уравнения (3) или (9) — задача вероятностная,
индетерминированная. И жесткость, восстановленная по случайным у (х) и М (х), также функция случайная* (хотя степень ее достоверности может быть довольно большой).
Поэтому «физическое» уравнение (11) также следует рассматривать как вероятностное, в котором функции у(х) и М (х) — случайные. [И, быть может, следует разрабатывать специальные, вероятностные, методы решения нахождения функции В(х) по у(х) и М(х)}.
Приближением к таким, специальным методам может служить следующий — гибридный способ. Он заключается в том, что, сохраняя детерминистическую основу, т. е. самое уравнение, мы сглаживаем данные (в первую очередь у к) не просто каким-либо подручным способом, а способом, учитывающим специфическую — вероятностную основу их происхождения.
Такой способ построения гладкой функции по заданным случайным значениям функции в ряде точек, основанный на использовании методов теории вероятностей, был предложен Э. Уиттекером [3].
В [3] дано изложение этого способа, приведены его алгоритм, пример расчета, а также таблицы, необходимые при вычислениях. Надо думать, что он не получил развития и распространения потому, что требовал выкладок, несколько больших, чем другие методы сглаживания, — обстоятельство, в наше время не слишком существенное.
Способ Уиттекера и предлагается принять за основу определения уя. Все дальнейшее можно проводить так, как это указано в п. 1. [Для сглаживания кривой М(х), входящей в (6), можно применить и более простые способы].
3. Заметим в заключение, что предложенные приемы — выделение опорной кривой и последующее «сглаживание по Уиттекеру» — могут быть использованы и при решении физических уравнений типа (11) с ядром типа К (х, я) = К (х, я) (я) , где К(х, в)—точная, а Р(з) ■—случайная функция. Это, наверное, наиболее простой способ их регуляризации. Затем используется способ, указанный в [2]
* Даже в случае сглаженных функций этого также не избегаем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Искрицкий Д. Е., Цыдзик П. В. Руководство к лабораторным работам по строительной механике самолета. — М.: Оборонгиз, 1948.
2. П а р х о м о в с к и й Я. М. О двух задачах идентификации, встречающихся при расчетах на прочность. — Труды ЦАГИ, 1979, вып. 1999.
3. Уиттекер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений.-—М.: ГТТИ, 1933.
Рукопись поступила 7/VII 1986 г.
