CC BY
61
УДК 539.3
А.В. Ильиных, В.Э. Вильдеман
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ЗАКОНОМЕРНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ЗЕРНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ, СВЯЗАННЫЕ С ФОРМОЙ И РАЗМЕРАМИ ЭЛЕМЕНТОВ СТРУКТУРЫ
Представлены результаты синтеза микроструктур и численного моделирования процессов структурного разрушения зернистых композитов в виде расчетных диаграмм деформирования, содержащих закритическую стадию. Установлены связи структурных параметров с закономерностями неупругого деформирования и накопления повреждений.
Ключевые слова: закритическое деформирование, численное моделирование, зернистые композиты, структурное разрушение.
A.V. Ilinykh, V.E. Vildeman
State National Research Politechnical University of Perm, Perm, Russia
PRINCIPLES OF MECHANICAL BEHAVIOR OF GRANULAR COMPOSITES, CONNECTED WITH FORM AND SIZES OF ELEMENTS OF STRUCTURE
This work contains results of microstructures synthesis and numerical modeling of structural failure processes in granular composites in the form of calculating strain curves containing post critical stage. Communications of structural parameters with laws of inelastic deformation and damage accumulation are established.
Keywords: post critical deformation, numerical modeling, granular composites, structural failure.
Актуальность развития новых математических моделей и методов, учитывающих неоднородность полей напряжений и деформаций в структурных элементах, а также многостадийность процессов микро- и макроразрушения, связаны с необходимостью получения новых данных о влиянии параметров структуры на неупругое механическое поведение и эффективные деформационные и прочностные свойства структурно неоднородных сред. В данной работе в качестве структурно неоднородных сред рассматриваются зернистые композиты.
Одной из особенностей неупругого поведения материалов является закритическая стадия деформирования. Вопросы теоретического и экспериментального изучения закономерностей закритического деформирования материалов привлекают внимание исследователей в связи с необходимостью использования деформационных резервов материалов, повышения несущей способности и живучести конструкций [1-4]. Развитие методов расчета ответственных конструкций с оценкой живучести и безопасности требует получения информации о закономерностях механического поведения композиционных материалов на стадии закритического деформирования [5, 6].
Определенные закономерности могут быть обнаружены в результате вычислительных экспериментов. В частности, ранее было показано, что накопление повреждений носит многостадийный характер, проявляют себя зависимость ниспадающего участка диаграммы от вида напряженного состояния и «квантовый» характер структурного разрушения, определенное соотношение свойств структурных элементов приводит к самоподдерживаемому разрушению, при котором закрити-ческая стадия деформирования даже при «жестком» (кинематическом) нагружении очень ограниченна [7, 8].
Для выявления связей структурных параметров с закономерностями неупругого деформирования авторами ранее был предложен оригинальный алгоритм синтеза микроструктур зернистых композитов [9], который имитирует пошаговый рост эллипсоидов (в плоском случае - эллипсов). На рис. 1 и 2 показаны модели микроструктур из 100 зерен с разными коэффициентами формы = а/Ь и относительных
размеров кг = атах/ат^ соответственно, где а и Ь - большая и малая полуоси эллипсоидов; атах и ат]п - размеры больших полуосей наибольшего и наименьшего эллипсоидов.
Макроразрушению структурно-неоднородных тел предшествует сложный процесс потери несущей способности элементов структуры, сопровождаемый перераспределением напряжений и деформаций. В результате равновесный процесс накопления повреждений может перерасти в лавинообразный и в итоге привести к образованию макротрещины. Изучение кинетики этого процесса важно для выявления факторов появления макроскопической трещины и исследования особенностей механического поведения структурно-неоднородных сред.
а б в
Рис. 1. Модели зернистых структур с коэффициентами размера кг = 2 и формы: (а) ку =1; (б) к^ = 2 ; (в) к у = 5
а б в
Рис. 2. Модели зернистых сред с коэффициентом формы к у = 2 и с заданным по равномерному закону коэффициентом размера: (а) кг =1; (б) кг = 2 ; (в) кг = 3
В работе используются модели разрушения по совокупности критериев прочности, которые позволяют различать механизмы разрушения структурных элементов [1]. Для случая изотропного материала учитываются два различных вида разрушения (отрыв и сдвиг). Рассмотренные критерии разрушения представляются в виде неравенств
ут ( А1А ^ А С, (1)
где АП - независимые инварианты тензора деформаций, вид и число которых соответствует типу анизотропии материала [10]; Ап}г - прочностные константы материала; /т - некоторые универсальные функции.
Для описания процессов неупругого деформирования и разрушения структурно-неоднородных сред используется двухуровневая
структурно-феноменологическая модель механики композитов [11]. Вычисление полей напряжений Оу (г) и деформаций Ву (г) в элементах структуры осуществляется при помощи замкнутой системы уравнений, в которую входят уравнения равновесия, записанные без учета массовых сил, геометрические соотношения Коши и определяющие соотношения для структурных элементов:
°у,у (г) = ^ (2)
ву(г )=1|Ч у( г )+и7 ,« (г)], (3)
ОУ (г) = Сцк1(г) (1к1тп ^к1тп (в У£ ег) )Втп (г) , (4)
М (г)Ьи = 4гу , (5)
где Сук1 - компоненты тензора упругих моДУлей, 1к1тп =(§кт§1п + +5кп5/т)/2 - компоненты единичного тензора, 5кп - символ Кронеке-ра, - компоненты тензора поврежденности четвертого ранга,
Ей - границы тела, на которых заданы условия макрооднородной деформации в*.
Для изотропных материалов определяющие соотношения представляются в следующем виде:
Оу ( г ) = (3К ( г ) (1“ к)°утп + 20 ( г )(1-^ ) Нутп )Втп ( г ) , (6)
где К и О - модули объемного сжатия и сдвига соответственно,
Вутп =1/3§ у§тп и Н утп =1 утп -Вутп . Тенз°р поврежденности четвертого ранга в этом случае определяется двумя независимыми материальными функциями к и g. При моделировании упругохрупкого поведения значения указанных функций скачкообразным образом изменяются от 0 до 1 при выполнении критериев разрушения.
Напряжённо-деформированное состояние макрообъёмов характе-
* * ризуется тензорами макронапряжений о у и макродеформаций в у, определяемыми осреднением по объёму соответствующих величин на
структурном уровне. Связь между макронапряжениями и макродеформациями определяет эффективные свойства зернистых структурнонеоднородных сред и может быть охарактеризована при помощи расчетных диаграмм деформирования.
Численное моделирование механического поведения зернистых структурно-неоднородных сред осуществлялось с использованием разработанного программного комплекса, в основе которого заложены метод конечных элементов, процедура метода переменных параметров упругости и автоматического выбора шага нагружения [12], ведущего к регистрации разрушения минимально возможного числа элементов в каждой итерации [13].
Синтезированные зернистые структуры разбиваются на треугольные конечные элементы, причем на каждое зерно приходится в среднем по 50 элементов дискретизации. Разработанный программный комплекс численного решения краевых задач механики неупругого деформирования и разрушения позволяет при фиксированном уровне нагружения получать картины неоднородных полей напряжений и деформаций. На рис. 3 показаны иллюстрации неоднородных полей в элементах структуры компонент тензора напряжений ап, 022, ^12
- -(2)
и второго инварианта тензора напряжений уО при отсутствии разрушенных конечных элементов и заданных по равномерному закону в интервале упругих свойств зерен.
При этом второй инвариант тензора напряжений у02) определяется следующим образом:
где 5у - символ Кронекера. Для структур, представленных на рис. 1,
проведено численное моделирование процессов структурного разрушения в условиях одноосного деформирования. Считается, что зёрна представленных микроструктур изотропны и однородны. Модули упругости зёрен Еі задаются по равномерному закону в интервале
0,8ЕХГ <Еі <1,2Е5Г , где Ег = 100 МПа. Коэффициент Пуассона для всех
зёрен принимается равным 0,3. При этом прочностные характеристики зёрен задавались по двухпараметрическому закону распределения Вей-
булла со средним значением прочностных свойств ^уО2 сг и коэффициентом вариации ку = 0,5 следующим образом:
\С-1
с (у02)
ьс
ехр
Г (2^ С
ь
V
= 10 МПа
(8)
kу =
Г
Г
Г—^
V С J
{ 1 л2
' С + 1Л
-1
V С )
0,5
(9)
Рис. 3. Неоднородные поля компонент и второго инварианта тензора напряжений в элементах структуры в условиях одноосного деформирования
Щ=ЬГ (—'!, (10)
/ ^ с )
где Ь и с - соответственно параметры масштаба и формы плотности распределения /1 уСТ2) |; Г( ) - гамма-функция.
На рис. 4 приведены полученные зависимости компоненты тензора макронапряжений ст*\ от компоненты тензора макродеформаций
е*!, отражающие влияние формы структурных элементов на механическое поведение области деформирования. На рис. 5 показаны картины дефектных структур для зернистых композитов с различным коэффициентом формы при фиксированном уровне нагружения.
Рис. 4. Диаграммы деформирования при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур с коэффициентом формы ку, равным 1 (сплошная линия),
2 (штриховая линия) и 5 (пунктирная линия)
а б в
Рис. 5. Иллюстрации дефектных структур для зернистых композитов с разным коэффициентом формы зерен: (а) к^ =1; (б) к^ = 2 ; (в) к^ = 5
Видно, что наличие в структурах большого числа зёрен с вытянутой формой приводит к снижению прочностных характеристик. Это связано с тем, что вытянутая форма зёрен даёт более сильную концентрацию напряжений в области деформирования, которая тем больше оказывает влияние на процесс структурного разрушения, чем больше задан разброс модулей упругости зёрен.
Проведен анализ закономерностей неупругого деформирования и разрушения зернистых структурно-неоднородных сред с различным относительным размером зёрен, вид микроструктур которых приведен на рис. 2. Были выбраны следующие параметры структуры: ориентация задана по равномерному закону в интервале от 0 до 180° С; коэффициент формы зерен к^ = 2; коэффициент относительных размеров
зерен принимал значения кг = 1, 2 и 3.
Для представленных структур проведено численное моделирование процессов структурного разрушения в условиях одноосного деформирования. При этом прочностные и упругие характеристики зёрен задаются аналогичным образом с предыдущей задачей. На рис. 6 приведены полученные зависимости компоненты тензора напряжений ст*1
от компоненты тензора деформаций е*1, отражающие влияние размеров структурных элементов на механическое поведение области деформирования.
Из рис. 6 видно, что у расчетных диаграмм деформирования с большим коэффициентом относительных размеров выше предельное
значение ст*1 тах и, следовательно, выше прочностные характеристики. Однако у диаграммы деформирования зернистой структурнонеоднородной среды с кг =1 наблюдается более протяженный участок
закритического деформирования, что свидетельствует о лучшей способности материала сопротивляться разрушению.
На рис. 7 представлена зависимость объемной доли поврежден-ности ю материала от величины деформации при одноосном пропорциональном деформировании для рассматриваемых зернистых структур. При этом величина поврежденности ю при решении плоской задачи для зернистых структурно-неоднородных сред соответствует отношению площади разрушенных конечных элементов к общей площади области деформирования.
Рис. 6. Диаграммы деформирования при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур с коэффициентом размера: (а) кг =1 (сплошная линия); (б) кг = 2 (штриховая линия); (в) кг = 3 (пунктирная)
0^-----,---------,-------,-------,-------
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 %
Рис. 7. Зависимость объемной доли повреждённости от величины деформации при одноосном «жестком» нагружении зернистых структур, с коэффициентом размера: (а) кг =1 (сплошная линия); (б) кг = 2 (штриховая линия); (в) кг = 3 (пунктирная)
Таким образом, для выявления связи параметров структуры с закономерностями неупругого деформирования и разрушения зернистых структурно-неоднородных сред разработан комплекс программ, включающий в себя программу синтеза зернистых микроструктур и программу для численного моделирования процессов неупругого деформирования и структурного разрушения. Определены закономерности механического поведения зернистых структурно-неоднородных сред, связанные с формой и относительными размерами элементов структуры при случайных значениях упругих и прочностных характеристик зерен.
Библиографический список
1. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. -М.: Физматлит, 1997. - 288 с.
2. Особенности деформирования пластичных материалов при динамических неравновесных процессах / Н.Г. Чаусов, У.Э. Засимчук, Л.И. Маркашова, В.Э. Вильдеман [и др.] // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2009. - Т. 75, № 6. - С. 52-59.
3. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевая задача механики деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения // Прикладная механика и техническая физика. -1995. - № 6. - С. 122-132.
4. Вильдеман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // Прикладная математика и механика. - 1998. - Т. 62, № 2. - С. 304-312.
5. Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Горбунов А.Н. Закономерности и механизмы повреждения неоднородных тел на закритической стадии // Физическая мезомеханика. - 1999. - Т. 2, № 4. - С. 41-53.
6. Вильдеман В.Э., Ильиных А.В. Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на закритической стадии деформирования неоднородных сред // Физическая мезомеханика. - 2007. - Т. 10, № 4. - С. 23-31.
7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев А.В. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на за-критической стадии деформирования // Механика композитных материалов. - 1997. - Т. 33, № 3. - С. 329-339.
8. Накопление структурных повреждений и устойчивое закрити-ческое деформирование композитных материалов / Ю.В. Соколкин, В.Э. Вильдеман, А.В. Зайцев, И.Н. Рочев // Механика композитных материалов. - 1998. - Т. 34, № 2. - С. 234-250.
9. Ильиных А.В., Радионова М.В., Вильдеман В.Э. Компьютерный синтез и статистический анализ распределения структурных характеристик зернистых композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 251-264.
10. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 336 с.
11. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 115 с.
12. Зайцев A.B. Закономерности процессов накопления повреждений и условия перехода к локализованному разрушению зернистых композитов при квазистатическом нагружении II Физическая мезоме-ханика. - 2004. - Т. 7, М 5. - C. б3-72.
13. Ильиных A.B. Численное моделирование процессов структурного разрушения зернистых композитов с изотропными элементами структуры II Bестн. Cамар. гос. техн. ун-та. Cер. Физ.-мат. науки. -2011. - М 2(23) - C. 99-104.
References
1. Wildeman V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Mechanics of inelastic deformation and failure of composite materials. Moscow: Nauka, 1997. (in Russian).
2. Chausov N.G., Zasimchuk E.E., Markashova L.I., Vildeman V.E., Turchak T.V., Pilipenko A.P., Paratsa V.M. Special features of plastic materials deformation upon dynamic nonequillibrium processes II Factory laboratory. Diagnostics of materials. 2009. 75. No. б. P. 52-59.
3. Wildemann V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Boundary-value problem of deformation and fracture mechanics for damaged bodies with strain-softening zones II J. Appl. Mech. Techn. Phys. 1995. Vol. 3б, No. б. P. 122-132.
4. Wildemann V.E. On the solution of elastic-plastic problems with contact-type boundary conditions for solids with loss-of-strength zones II J. Appl. Math. Mechs. 1998. Vol. б2, No. 2. P. 291-288.
5. Wildemann V.E., Zaitsev A.V., Gorbunov A.N. Mechanisms and regularities of heterogeneous-solid damage-accumulation at the supercritical stage II Phys. Mesomech. 1999. 2, No. 4. P. 37-48.
6. Wildemann V.E., Ilinykh A.V. Simulation of structural failure and scale effects of softening at the post-critical deformation stage in heterogeneous media. II Physical Mesomechanic. 2007. 10, No. 4. P. 23-29. (in Russian).
7. Wildeman V.E., Sokolkin Yu.V., Zaitsev A.V. Damage structure evolution of heterogeneous media at supercritical deformation stage. Mechanics of Composite Materials. 1997. No. 33, P. 231-238.
8. Sokolkin Yu.V., Wildeman V.E., Zaitsev A.V., Rochev I.N. Structural damage accumulation and stable post-critical deformation of composite materials. Mechanics of Composite Materials II 1998. No. 34, P. 171-183.
9. Ilinykh A.V., Radionova M.V., Vildeman V.E. Computer synthesis and statistical analisys of the distribution of structural characteristics of granular composite materials // Composites: Mechanics, Computations, Applications. 2011. 2(2), P. 95-109 doi: 10.1615/CompMechComputApplIntJ.v2.i2.
10. Pobedrya B.E. Mechanics of composite materials. Moscow: MGU Press, 1984. (in Russian).
11. Sokolkon Yu.V., Tashkinov A.A. Mechanics of deformation and destruction of structurally inhomogeneous bodies. Moscow: Nauka Press, 1984. (in Russian).
12. Zaitsev A.V. Regularities of damage accumulation processes and conditions of transition to localized failure of grain composites under quasistatic loading // Physical Mesomechanics. 2004. 7. P. 41-50.
13.Ilinykh A.V. Numerical modeling of structural fracture processes for granular composites with isotropic elements of structure // Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tehnicheskogo Universiteta. Seriya Fisiko-matematicheskie nauki. 2011. Is. 2 (23). P. 101-106.
Об авторах
Ильиных Артем Валерьевич (Пермь, Россия) - старший преподаватель кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: ilinih@yandex.ru).
Вильдеман Валерий Эрвинович (Пермь, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, директор Центра экспериментальной механики Пермского национального исследовательского политехнического университета, профессор кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского по-литехнчиеского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: wildemann@pstu.ru).
About the authors
Ilinykh Artem Valerevich (Perm, Russia) - Lektor, Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Politechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: ilinih@yandex.com).
Vildeman Valeriy Ervinovich (Moscow, Russia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Director of The Center of Experimental Mechanics PSTU SNRPUP, Professor of Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Politechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: wildemann@pstu.com).
Получено 28.10.2011
