CC BY
76
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА*
П. Е. Товстик1, Т. П. Товстик2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru
2. Институт проблем машиноведения РАН,
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., tovstik_t@mail.ru
Выведена двухмерная модель цилиндрической оболочки, изготовленной из анизотропного материала, описываемого 21 упругим модулем. Для вывода использованы обобщенные кинематические гипотезы Тимошенко—Рейсснера. Выполнен асимптотический анализ полученной системы. В качестве примера рассмотрен композиционный материал, состоящий из матрицы, подкрепленной системой малорастяжимых нитей. Рассмотрен ряд простейших задач устойчивости оболочки.
1. Введение. Выводу двухмерных уравнений пластин и оболочек из трехмерных уравнений теории упругости посвящены многочисленные исследования, включая монографии [1-5]. Присутствие анизотропии материала вносит дополнительные трудности. Двухмерные модели для изотропного и ортотропного материалов изучены достаточно полно [2-7], однако общий случай анизотропии, описываемой 21 упругим модулем, требует дальнейших исследований. Плоское напряженно-деформированное состояние (НДС) рассмотрено в [8], а объемное — в [9]. Показано [8, 9], что в случае общей анизотропии как гипотезы Кирхгофа—Лява (КЛ), так и гипотезы Тимошенко— Рейсснера (ТР) не приводят к корректным двухмерным моделям, ибо по сравнению с трехмерной теорией они вносят ошибку в главных членах разложений по степеням относительной толщины. В [8, 9] предложены обобщенные гипотезы ТР, свободные от указанного недостатка и используемые ниже для вывода уравнений анизотропной теории цилиндрических оболочек.
В данной работе в предположении, что все 21 упругие модули имеют один порядок, проведен асимптотический анализ полученной системы 10-го порядка и получена система 8-го порядка типа системы уравнений пологих оболочек Доннелла [2]. Эта система используется для решения простейших задач устойчивости безмоментного начального НДС — устойчивости под действием внешнего давления, кручения или осевого сжатия. Проводится качественное сравнение результатов для анизотропной и изотропной оболочек.
В качестве примера рассмотрен композиционный материал, состоящий из матрицы, подкрепленной системой малорастяжимых волокон.
2. Постановка задачи и уравнения упругости. Рассмотрим тонкую круговую цилиндрическую оболочку радиуса Я и постоянной толщины к. Введём ортогональные криволинейные координаты Х1 = Яв, Х2 = Яна срединной поверхности,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12.01.92000.НН0-а, №10-01.00244-а).
© П. Е. Товстик, Т. П. Товстик, 2013
совпадающие с длинами дуг образующей и направляющей. Направление третьей оси координат хз = z (|z| < h/2) совпадает с нормалью к поверхности (рис. 1). Коэффициенты Ламе в теле оболочки равны H = R, H2 = R + z, H3 = 1. Мы будем пренебрегать z/R по сравнению с 1 и считать H2 — R.
Jl
R
v2
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка.
Рассмотрим материал для общего случая анизотропии, имеющего 21 модуль упругости. Как и в работах [8, 9], для описания соотношений упругости удобнее использовать матричные обозначения, а не элементы тензора 4-го ранга. Деформации е^ определим по формулам £ц = дм^/дж^, е^- = дм^/дж^ + д-м^/дж^, г = и разделим напряжения и деформации в соотношениях упругости на группы тангенциальных аг, £г и нетангенциальных ап, £п напряжений и деформаций:
аг = (ац, ^12, ^22)Т , а„ = (013,023, 033)Т ,
/ \Т / \Т ( ' )
£г = (£11, £12, £22) , £п = (£13, £23, £33) ;
значок т означает транспонирование. Тогда соотношения между напряжениями и деформациями записываются в матричной в форме:
а г = А • £ + В • £„, а„ = Вт • £ + С • £„, (2.2)
где А = {А{у }, В = {Вц }, С = {С\у } — матрицы упругих модулей, причем матрицы А и С симметричны. Равенства (2.2) содержат 21 упругий модуль. Предполагается, что матрица 6-го порядка
> С) (2'3)
— положительно определенная.
Предполагаем, что лицевые поверхности г = ±^/2 свободны от напряжений,
а 13 = а23 = 033 = 0, г = ±й/2, (2.4)
а поверхностные внешние силы включены, если необходимо, в объёмные силы.
Как и в моделях КЛ и ТР, мы пренебрегаем нормальными напряжениями 033 = 0 и считаем нормальное смещение ш не зависящим от г. Используя уравнение 033(г) = 0, из соотношений (2.2) исключаем деформацию £33 и переписываем их в виде
аг = А* • £г + В* • <, < = В*т • £ + С* • <, (2.5)
где в отличие от (2.1) а* = (°"13, &2з)Т , £*п = (£13, £23)Т. Элементы матрицы А* (3 х 3), В*(3 х 2), С* (2 х 2) равны соответственно
л* . Сг3С]3
Деформации £¿3 имеют вид
3п1 дт Зп2 и2 дт
13 дг дх\' 23 дг Я дх\'
где щ —тангенциальные смещения. Согласно неравенству |г/Я| ^ 1 слагаемое П2/Я в (2.7) отбрасываем.
3. Обобщенная модель Тимошенко—Рейсснера. При выводе двухмерных уравнений теории оболочек рассматривается несколько разных моделей распределения трансверсальных деформаций £¿3, г = 1, 2, по толщине оболочки. Согласно модели КЛ принимается £¿3 = 0. Модель ТР основана на представлении £¿3 = ^г или на более точном представлении £¿3 = 7¿(1 — 4г2/к2). Последние соотношения для ортотропных оболочек позволяют выполнить граничные условия (2.4).
Гипотезы КЛ и ТР в общем случае анизотропии (2.2) не приводят к корректной двухмерной модели в главных членах по отношению к малому параметру тонкостен-ности (см. [9, 10]). Таким образом, как и в [10], принимаем
£¿3 = Y¿ + ^ + Р20(г)вг, г = 1, 2, Р0(г) = г2/к2 — 1/12, (3.1)
где функции ^¿твг не зависят от Функции Y¿ являются средними углами сдвига, а функции находим из условий (2.4).
Равенства £¿3 = 0 в силу (3.1) дают тангенциальные смещения
г2 к2 г3 г
щ(г) = и° + в,г + Р2(г)д, + Р3(гЩ, Р2 = - - —, Р3 = — - (3.2)
где и0 — сечения срединной поверхности и в¿ = Y¿ — дw/дy¿ — средние углы поворота нормальных волокон.
Деформации £¿j, = 1, 2 имеют вид
£ = (£11, £12, £22)Т = £? + гК(в) + Р2(г)К($) + Р3(г)К(в), (3.3)
где
• «г-к^ол!)1
51 дХ2 дХ1 дХ2 / V Я) ' (3.4)
Здесь £° — тангенциальные деформации срединной поверхности. В последней строке (3.4) приведены двухмерные векторы, к которым применяется оператор К(£). Согласно (2.5), (3.1) и (3.3) граничные условия (2.4) выполнены, если
В*ТК(0) + С*$ = 0, В*Т (К(«) + к2К($)/12) + С* (7 + в/6) = 0. (3.5)
Опуская малый член к2К($)/12, находим
$ = — (С*)-1В*ТК(0), в = —6 (7 + (С*)-1В*Т£0) . (3.6)
129
Теперь перепишем деформации (3.1) и (3.3):
4 = 7 - г(С*)-1Б*тК(0) - 6Р20(г)(7 + (С*)-1Б*т£°), , е4 = е0 + ^К(0) - Р2(г)К(С*)-1Б*тК(0)) - 6Рз(г)К(7 + (С*)-1Б*те0). ( ' )
Используя выражения (3.7), найдем напряжения а и а* по формулам (2.5). Результирующие усилия Т^-, ^ и моменты находим интегрированием по толщине:
/• Ь/2 лЬ/2
(Тг^-, фг} = (а^-¿г, (М^-} = -/ (а^} = 1, 2. (3.8)
J-h/2 J-h/2
В случае, когда упругие модули А,В,С не зависят от толщины г, равенства (3.8) можно переписать в виде
Т = к (Л*е0 + Б*7), Т = (ТП,Т12,Т22)Г,
Ъ = к (В*те0 + С*7), Ъ = (^1,^2)г, (3.9)
М = -7 (Л**К(0) + А*К(7 + (С*)-1Б*те0)/5), М = (М11, М12, М22)т,
где
к3 (33 \т
, (ЗЛО)
Л** = Л* - Б*С*-1Б*т = Л - БС-1Бт. (3.11)
Таким образом, двухмерные усилия и моменты выражены через основные неизвестные — перемещения срединной поверхности м^, м!], ш и средние углы поворота нормального волокна #1,#2. В дальнейшем индекс 0 у м0 опускаем.
4. Двухмерные уравнения равновесия и движения оболочки. Для анизотропной оболочки двухмерные уравнения имеют тот же вид, что и для моделей КЛ и ТР. Различие заключается в соотношениях упругости (3.9):
+ + = о + + + = о
дх\ 8x2 <%2 ' дх\ 8x2 Д <%2 '
дх1 дх2 Д '
дМ11 дМ12 д201 дМ12 дМ22 д202
--^--+ = 0, —----\-Ц2-р-1^грг + т2 =0.
дх1 дх2 от2 дх1 дх2 от;2
(4.1)
Здесь 4 —время, р — плотность материала, Дг, тг —интенсивности внешних сил и моментов, равные
/^/2 /• h/2 Д = / ¿г, тг = /¿г ¿г. (4.2)
Система (4.1) имеет 10-й порядок. При некоторых предположениях эта система может быть упрощена (см. пп. 6, 7).
5. Пример материала с анизотропией общего вида. Как ив [8], рассмотрим оболочку из анизотропного материала, получающегося осреднением изотропного материала (матрицы), подкрепленного системой малорастяжимых волокон. Угол между
осью г и волокнами равен в, и угол между осью х и плоскостью, содержащей ось г и волокна, равен а (рис. 2).
Рис. 2. Направление волокон.
Потенциальная энергия деформации П данного анизотропного материала равна
П = (А(ец + £22 + езз)2 + 2/i (е^ + e¡2 + s¡3) + ц {е\2 + е213 + e¡3)) +
+ ^bEfiena2! +£220? +£3303 +£120102 +£13010-3 + £2з0'20з)2, (5.1)
при ai = cos a sin в, 02 = sin a sin в, 03 = cos в, где Л = Ev/[(1 + v)(1 — 2v)] и у = E/[2(1 + v)] —коэффициенты Ламе матрицы, Ef —модуль Юнга волокон и b — доля объема, занятого волокнами.
Находим напряжения оц из соотношения оц = дП/д£ц и вычисляем элементы матриц A, B, C:
A11 = E1 + E404, A12 = E40102, A13 = E2 + E40202
A22 = E3 + E40102, A23 = E40103, A33 = E1 + E404,
B11 = E4 о1оз, B12 = E4 0202 03, B13 = E2 + E4 0203
B21 = E4 010203, B22 = E4 010203, B23 = E4 01 02 032 ,
B31 = E4 010203, B32 = E4 0203, B33 = E2 + E4 0203
C11 = E3 + E4 0103, C12 = E4 0 1 0 2 0 32 , C13 = E4 0 1 0 33 ,
C22 = E3 + E4 0203, C23 = E4 0 2 0 33 , C33 = E1 + E4 0 34 ,
(5.2)
где
(1 + г/)(1 -2г/)' ~ 1 — V 2(1 + г/) * У '
В следующих параграфах при рассмотрении примеров возьмем следующие значения параметров в (5.2) и (5.3):
b = 0.05, v = 0.3, Ef = 20 E, a = п/6, в = n/4.
(5.4) 131
Матрицы А, В, С не используются непосредственно, поэтому приведем численные значения элементов матриц А*, В*, С*, А** (см. (2.6), (3.11)):
А*
А**
1.0656 0.0291
0.3012
0.0291 0.4146 -0.0162 0.3012 0.0162 1.0506
1.0577 0.0185
0.3056
0.0185 0.3903 -0.0103 0.2056 0.0103 1.0482
В* С*
0.0582 0.0336 0.0784 0.0453 0.0323 0.0187
(5.5)
0.5222 0.0906
0.0906 0.4177
6. Асимптотический анализ статической задачи в общем случае. Введем частные индексы вариации ¿1, ¿2 неизвестных функций рассматриваемого НДС соотношениями
^-К^г, (6.1)
дж! дж2
где Z — любая неизвестная функция, и назовем £ = тах^^) общим индексом вариации. Рассмотрим систему (4.1) в предположении, что все упругие модули имеют один и тот же порядок:
(Ау, Ву, Су } ~ Е. (6.2)
Рассмотрим статическую (д/д£ = 0) однородную = то; = 0) систему (4.1) в случае £ < 1/2. Предположим, что нормальный прогиб имеет порядок единицы
(и>/Д ~ 1), и найдем порядки остальных неизвестных: «•-«- «-«.*■
(6.3)
Тогда с погрешностью порядка Ь2 24 во втором уравнении (4.1) слагаемое ^2/К можно опустить. Далее, в связи с тем, что | ^ |Ту|, соотношения упругости (3.9) можно переписать в виде
7 = — (С*)-1В*Т е0, Т = ЬА**е0, М = — 7А**К(в), (6.4)
а систему (4.1) в виде
дТ11 дТ12 дТ12 дТ22 д2М11 д2М12 д2М22 Т22 ^ , ,
дж1 дж2 дж1 дж2 дж2 дж1дж2 дж2 К
Представим систему (6.5) в форме Доннелла [2], содержащей две неизвестных функции — нормальное перемещение т и функцию усилий Ф, связанную с усилиями Ту формулами
д2Ф д 2Ф д2Ф
Тц = -т—п, Т\2 = — т.-ГГТ' ^22 = тгт-
дж2 дж1дж2 дж1
Принимая приближенно в; = —д-ш/дж; и исключая и м2 из соотношений (6.5), получаем систему
1 / д д \ 1 д2т
= о,
(6.7)
= -Рз,
12 удХ'1 дЖ'2 у К дЖ'1
ы ' 5 л, 1 д2^ Ф Д дж2
чдж1' — дж2
Г— д ' \ 1 д2Ф
\дж1 <9Ж2
где введены дифференциальные операторы 4-го порядка
= ацд4 - 2а,12Р93д + (022 + 2а,1з)р2д2 - 2а2зр3? + а-ззР4, (а^-} = (Л**) 1, N4^, д) = А**р4 + 4А**р3^ + 2(А*** + 2А**)рУ + 4А**М3 + А**д4.
(6.8)
Система (4.1) имеет 10-й порядок, а система (6.7) — 8-й порядок. Для удовлетворения 5 граничных условий на краях оболочки нужно построить интегралы пограничного слоя. При сделанных предположениях (6.2) их показатель изменяемости £ = 1. Эти интегралы затухают при удалении от краев оболочки на расстояние порядка толщины. Строго говоря, НДС в окрестности краев оболочки, как правило, является существенно трехмерным [5], поэтому его исследование является полезным для правильной формулировки четырех граничных условий для системы (6.7), а вовсе не для вычисления напряжений. Подробнее этот вопрос здесь не исследуется.
7. Устойчивость безмоментного напряженного состояния. Как и для изотропной оболочки [12] для исследования устойчивости полагаем в (6.7)
Рз = +^¿Ь+{7Л)
где ТЦ, Т02, Т22 —безмоментные начальные усилия. Считаем их постоянными и вычисляем по формулам
Р Б °
Т=(Т1ЬТ12,Т22)т, = = Т22 = Ж' (7-2)
где Р — осевое растяжение, Б — кручение, ^3° —внешнее нормальное давление.
Начальные деформации £° = (дм1/дж1, дм2/дж1, и>/Д)т срединной поверхности и углы сдвига 71,72 могут быть найдены с учетом (6.4) по формулам
£0 = (ЛА**)-1Т, 7 = -(С*)-1В*Т £0 = -(С*)-1В*Т (ЛА** )-1Т. (7.3)
Задавая перемещения м!] краев оболочки и нагрузку ^, можно получить любое напряженное состояние Т0.
Для материала, описанного в п. 5, матрицы в (7.3) таковы:
1.0336 -0.0570 -0.3019 Е(Л** Г1 = ( -0.0570 2.5658 0.0418
-0.3019 0.0418 1.0424 Е(С ) В (Л ) I 0.0658 0.1975 -0.0482
(7.4)
При исследовании устойчивости ограничимся случаем жесткого закрепления краев Ж1 = 0 и Ж1 = Ь оболочки и считаем, что оболочка имеет среднюю длину (Ь/Д ~ 1).
Будем исследовать влияние начальных напряжений Т- по отдельности. Как известно [12], формы потери устойчивости под действием внешнего давления, кручения и осевого сжатия существенно различаются между собой. Если вмятины при потере устойчивости под действием внешнего давления и кручения сильно вытянуты в направлении образующей и распространяются от одного края оболочки до другого, то
при потере устойчивости при осевом сжатии на поверхности оболочки образуется система мелких вмятин. Примерно такая же качественная картина, как показано ниже, имеет место и для рассматриваемой анизотропной оболочки.
Для определения показателей изменяемости формы потери устойчивости ищем решение системы (6.7) в виде
<) = и>о 8ш(рв + п<), Ф(в,<) = Ф0 вт(рв + п<), Ж1 = Кв, Ж2 = пу, (7.5)
где п — целое число волн в окружном направлении. Тогда из системы (6.7) находим соотношение между волновыми числами р и п в виде
1,2 771,4 то т0 гро
* - ЛГ4(р, п) + + + + ^п2 = 0, (7.6)
12Е у Ь4(р,п) ЕЬ^ ЕК ЕЬ
где функции N4 и ¿4 определены формулами (6.8).
В случаях внешнего давления и кручения вмятины вытянуты от одного края оболочки до другого, причем в продольном направлении расположена одна вмятина, поэтому считаем р — 1. Рассмотрим сначала внешнее давление и, зафиксировав р, найдем приближенно критическое значение Т2*2 усилия Т2о2 и критическое значение п* волнового числа п:
Т2*2 д .1 / Ь2 , Ер4 \ 4м6р /3(АЦ)3 \1/4
Зр4 V78 8 ^
причем при вычислении минимума сохранены только главные члены у функций (6.8).
Решение (7.5) содержит неизвестный параметр р и не удовлетворяет граничным условиям. Поэтому зафиксируем целое число п — и будем искать решение в виде
г{з, ф) = г0егзеЫ1р, г = л/^Т, (7.8)
где Z — любая неизвестная функция. Тогда параметр г удовлетворяет уравнению 8-го порядка
г4 + ^8Ж4(г, гп)Ь4(г, гп) — Еп2ЛЬ4(г, гп) = 0, Л - . (7.9)
Уравнение (7.9) имеет 4 малых корня, приближенно удовлетворяющие уравнению
г - 1, г4 = п4ац(п2ЕЛ — М8А**п4), (7.10)
и 4 больших корня
г - М-2, М8А**аззг4 + 1=0. (7.11)
Корни (7.11) дают интегралы краевого эффекта, которые здесь не рассматриваются.
Построим решение системы (6.7) при г — 1, п — Л — Асимптотиче-
ский анализ, основанный на относительных порядках усилий Ту и деформаций £у, приводит (с погрешностью порядка к задаче
дл , л о ... о , . ди> Ь
—т+ п4ац(п4^8А^ -п2Л)«; = 0, ад = — = 0 при в = ± —. (7.12)
дв4 дв 2К
Граничные условия в (7.12) соответствуют жесткой заделке ui = U2 = 0, ибо приближенно дм2/д<£> + w = 0 и д2м1/д^2 — dw/ds = 0.
Задача (7.12) имеет явное решение
, , , \ ■ , \ , \ cos(ps) cosh(ps) R
w(s,w) = w s sin ner , wis) = --——---——, » = 4.73—, 7.13
V K ' У У ' cos(p/2) cosh(p/2) F L' K '
где w(s) —известная собственная функция задачи, описывающей колебания балки с защемленными концами [11,12]. Величины Л и n* могут быть вычислены по формулам (7.7) при p = 4.73R/L. Несмотря на наличие косой анизотропии материала, волны (7.12) не имеют наклона к образующей. Однако рассмотрение старших приближений позволяет обнаружить малый наклон порядка ^ (рис. 3, слева).
В качестве примера рассмотрим оболочку из материала, описанного в п. 5, с параметрами L/R = 3, R/h = 250. Тогда малый параметр ^ = 0.184, и формулы (7.7) дают n* = 7.8, Л = 0.000103.
8. Устойчивость оболочки при кручении. Здесь последовательность вычислений близка к той, которая имела место в п. 7 для внешнего давления. Вместо формул (7.7) получаем
T2*2 4 . 1 ( h2 дг , . Ep4 \ 4М6 (125(A||)sp4^ 1/8
~~Eh= "Г 2np п) + им) = тш {-^г
-!, 5р4 У/8
(8.1)
При п ~ ^ 1 ищем медленно меняющееся по в решение системы (6.7) в виде
™(в,<) = Цв)^, Ф(в,<) = (8.2)
Тогда в нулевом приближении по ^ приходим к краевой задаче
д4ад 4 ( 4 _8 , , дад Ь
. + п ап п ц Ап3ъи — 2гпА—— и> = 0, и> = -7— = 0 при в = ±——. (8.3) дв4 у ав у дв 2Д
Задача (8.3) лишь числовыми коэффициентами отличается от хорошо изученной [12,13] задачи об устойчивости изотропной цилиндрической оболочки при кручении. Отметим только, что наклон вмятин при потере устойчивости получается уже в нулевом приближении. Качественно форма прогиба при кручении и при внешнем давлении идентичны (рис.3, слева).
9. Устойчивость оболочки при осевом сжатии. Как и для изотропной оболочки [12, 13], ее поверхность при потере устойчивости покрывается системой малых вмятин. В отличие от задач об устойчивости при внешнем давлении и кручении здесь все слагаемые в операторах (6.8) являются в равной мере существенными, а условия закрепления краев (за исключением слабых закреплений [12]) —несущественными. Ищем решение системы (6.7) в виде
<) = и>° 8ш(рв + п<), Ф(в, <) = вт(рв + п<), (9.1)
n
*
Рис. 3. Формы потери устойчивости.
Тогда для параметра нагружения Л получаем выражение
"Sf = Л = min (~^—N4(p, п) + ТЕГ Л , (9.2)
Eh р,п \12Ер2 ' L4(p,n)J' v ;
минимизируя которое по волновым числам p и n находим критическое значение Л и форму прогиба. Положим в (9.2)
}Ч 4 Ро п0
77Т=Мо, Р=—, п=—. (9.3)
12 ^о ^о
Тогда выражение (9.2) можно записать в виде
А = + 0.4)
pono \ p2 L0(po,no)y
где в полиномах N° L0 модули упругости A** отнесены к E.
Вычисление минимума в (9.4) при буквенном выражении коэффициентов полиномов невозможно. Однако при численном задании коэффициентов трудностей не возникает. Для материала, описанного в п. 5, получаем минимальное значение Л = 1.89, которое достигается при ро = 0.039, по = 0.194. Форма прогиба (вдали от краев) представляет собой систему вытянутых волн, идущих по винтовым линиям (рис. 3, справа, на котором знаки + и — означают прогибы наружу и внутрь оболочки).
Полученный результат существенно отличается от аналогичного результата для изотропной оболочки в том отношении, что здесь получен изолированный минимум, а для изотропной оболочки минимум достигается на множестве значений, заполняющем кривую (р2 + п2)2 = р2 на плоскости (р,п) [12, 13].
10. Заключение. С использованием обобщенных кинематических гипотез Тимошенко получена двухмерная модель оболочки, изготовленной из анизотропного материала общего вида. Полученная система является сравнительно новой и малоизученной. Здесь представлен асимптотический анализ этой системы в случае, когда все модули упругости материала (21) имеют один порядок. Этот анализ далеко не полон, требуются дальнейшие исследования. Представляет также интерес исследовать полученную систему для материала, у которого модули упругости в поперечном направлении существенно меньше, чем в тангенциальных.
Литература
1. Timoshenko S. P. Strength of materials. New York: Van Vistrand. 1956.
2. Donnell L. H. Beams, Plates and Shells. McGraw-Hill, Inc. 1976.
3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
4. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 280 с.
5. Аголовян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997. 414 с.
6. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-а. Сер. 1. 2007. №3. C. 49-54.
7. Tovstik P. E., Tovstik T. P. On the 2D models of plates and shells including the shear // ZAMM. 2007. Vol.87. N2. P. 160-171.
8. Товстик П. Е., Товстик Т.П. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // Труды семинара «Компьютерные методы механики сплошной среды». Вып.3. СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 4-16.
9. Товстик П. Е. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // ДАН. 2009. Т. 425. №4. С. 489-491.
10. Товстик П. Е., Товстик Т. П. Одномерные модели балки, изготовленной из анизотропного материала с косой анизотропией // Изв. РАН. МТТ. 2011. N6.
11. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.
12. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 320 с.
13. Григолюк Э.И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.
ХРОНИКА
20 марта 2013 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступил доктор технических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы В. В. Гурецкий (Национальный минерально-сырьевой университет «Горный») с докладом на тему «О взаимосвязи подходов Ньютона и Эйлера к построению механики».
Краткое содержание доклада:
В цикле работ П. А. Жилина утверждается, что наиболее значительные изменения в развитии механики за последние двести лет были связаны с переходом на фундамент механики Эйлера, что позволило преодолеть неполноту механики Ньютона. Эта неполнота проявлялась, в частности, в том, что законы Ньютона относятся непосредственно к материальной точке и описывают лишь трансляционные движения тел, игнорируя спинорные движения; что в числе механических воздействий силами отсутствуют моменты, имеющие самостоятельную сущность; что ньютонова материальная точка наделяется лишь массой, что исключает возможность включения электродинамики в каркас механики Ньютона. В докладе доказывается, что перечисленные свидетельства «неполноты» ньютоновой механики устраняются корректной математической записью третьего закона Ньютона.
