CC BY
37
Серия «Математика»
2010. Т. 3, № 1. С. 104-125
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 518.517
Задача Шоуолтера — Сидорова
как феномен уравнений соболевского типа
Г. А. Свиридюк
Южно-Уральский государственный университет
С. А. Загребина
Южно-Уральский государственный университет
Аннотация. Статья имеет обзорный характер. Она содержит: 1. Подход Р.Е. Шоуолтера; 2. Подход Н.А. Сидорова; 3. Применения задачи Шоуолтера - Сидорова;
4. Обобщение задачи Шоуолтера-Сидорова.
Ключевые слова: задача Коши; задача Шоуолтера - Сидорова; начально-конечная задача; уравнения соболевского типа.
Уравнения соболевского типа [14], известные также как вырожденные уравнения [41], уравнения неразрешенные относительно старшей производной [40], псевдопараболические уравнения [51] и даже уравнения не типа Коши-Ковалевской [15, 19] составляют ныне обширную область среди неклассических уравнений математической физики [2]. Число публикаций, посвященных им, растет в настоящее время лавинообразно, и упомянуть их все в нашем обзоре не представляется возможным. Всех интересующихся мы отправляем к обстоятельным историческим обзорам в [14, 40, 41, 49]. Здесь же отметим, что первым уравнения такого рода получил А. Пуанкаре в конце позапрошлого века, однако систематическое их исследование началось с середины прошлого века в работах С.Л. Соболева. Термин «уравнения соболевского типа» ввел в обиход Р.Е. Шоуолтер [46].
В настоящем обзоре мы рассмотрим только несколько видов таких уравнений. Во-первых, это линейные уравнения соболевского типа вида
Семидесятилетнему юбилею
Н.А. Сидорова посвящается
LU = Mu,
(0.1)
прообразом которого служит уравнение Баренблатта - Желтова - Ко-чиной [1]
(Л — А)и* = аАи, (0.2)
моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в тре-щинновато-пористой среде. Кроме того, уравнение (0.2) является моделью процесса влагопереноса в почве [42] и процесса теплопроводности в среде с двумя температурами [38]. Наконец, еще одним прообразом уравнения (0.1) служит линейное уравнение Девиса [39]
(Л — A)ut = aAu — в A2u, (0.3)
которое описывает эволюцию свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пласте ограниченной мощности.
Во-вторых, мы рассмотрим полулинейные уравнения соболевского типа следующих видов:
Lu = Mu + N (u), (0.4)
Lu = M (u). (0.5)
Прообразом уравнения (0.4) служат
- уравнение Хоффа [43]
(Л + A)ut = au + eu3, (0.6)
моделирующее выпучивание двутавровой балки;
- система уравнений Осколкова [18]
(Л — V2)ut = vVu — (u ■ V)u — Vp, V ■ u = 0, (0.7)
моделирующая динамику скорости и давления вязкоупругой несжима-
емой жидкости;
- уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова [12]
(Л — V2)ut = aV2u — в V(uVu), (0.8)
моделирующее квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии, и многие другие (см. внушительный список таких уравнений в [14]). Среди многочисленных прообразов уравнения (0.5) мы выберем только два:
(Л — A)ut = aA(|u|p-2u), (0.9)
(Л — V2)ut = aV(|Vu|p-2Vu), (0.10)
которые (как и их многочисленные обобщения и упрощения) в зависимости от ситуации моделируют различные процессы диффузии или
фильтрации. В ходе дальнейшего повествования мы дадим необходимые пояснения.
Стандартной задачей для всех динамических и эволюционных уравнений [25] является задача Коши
«(0) = «о- (0-11)
Наряду с задачей (0.11) мы будем рассматривать задачу Шоуолтера -Сидорова
L(u(0) - «о) = 0. (0.12)
Обе задачи в зависимости от методов исследования могут пониматься в различных смыслах (классическом, обобщенном, ослабленном, сильном и т.д.), однако очевидно, что задача (0.12) более общая, нежели
(0.11). В тривиальном случае (существование обратного оператора L)
обе задачи совпадают, а значит, совпадают и их решения. Цель данного обзора - показать, что задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа более естественна, нежели задача Коши.
К настоящему времени выделены два класса операторов M, так называемых (L, р)-ограниченных и сильно (£,р)-секториальных, для которых доказано совпадение задач (0.11), (0.12) (значит, и решений) для уравнений вида (0.1). Оба класса оказались достаточно широкими, чтобы вместить (в подходящих функциональных пространствах) все уравнения вида (0.2), (0.3), причем даже в случае ker L = {0}. Более того, этот результат получен и для более общей, чем (0.12) задачи
((aL — M )-1 L)p+1(u(0) — u0) = 0. (0.13)
По всему кругу затронутых здесь вопросов, к которым в дальнейшем мы еще вернемся, отсылаем к [50].
Задачу (0.12) в явном виде впервые поставил Р.Е. Шоуолтер [47] в 1975 г. Для ее исследования ему пришлось создать весьма изысканную математическую конструкцию - "полугильбертовы пространства с нехаусдорфовой метрикой". В дальнейшем этот оригинальный подход был развит в монографии [48]. В п.1 данной статьи мы изложим в очень сокращенном виде подход Р.Е. Шоуолтера.
Независимо и другим способом пришел к задаче (0.12) Н.А. Сидоров [21] в 1984 г. Его простой и естественный подход заключается в следующем. Если формально проинтегрировать на промежутке (0, t) уравнение, скажем (0.5), то получим
L(u(t) — u0) = [ M(u(s))ds, о
откуда очевидным образом вытекает задача (0.12). В п. 2 мы дадим краткий обзор этого подхода, развитого Н.А. Сидоровым совместно с
его учениками [23, 24]. Здесь же, и тоже очень кратко, осветим несколько иной подход, предложенный в [26].
В п.3 мы приводим несколько приложений задачи Шоуолтера - Сидорова, подобранных таким образом, чтобы показать ее эффективность. В первую очередь это касается задач оптимального управления для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа. Кроме того, здесь же содержится объяснение феномена неединственности задачи (0.12) для полулинейных уравнений соболевского типа, впервые отмеченном в [26].
Заключительный п.4 статьи содержит весьма краткий обзор сравнительно нового направления в теории линейных уравнений соболевского типа - исследование начально-конечных задач, обобщающих задачу Шоуолтера - Сидорова. Обзор сделан в основном по работам авторов [6, 7, 31], но содержит также обзор результатов одного из родоначальников таких задач С.Г. Пяткова [45].
В заключение несколько слов о библиографической базе статьи. Статья, как было объявлено выше, носит обзорный характер. Однако к сожалению, ее объем ограничен, и потому мы лишены возможности упомянуть всех, кто явно или неявно использует задачу Шоуолтера -Сидорова в своих работах. Сошлемся здесь на классический пример. Стандартная начально-краевая задача для уравнений Осколкова (0.7) или уравнений Навье - Стокса (см. например, [13, 35]) в действительности тоже является задачей Шоуолтера - Сидорова, как показано в [28]. Подобным примерам несть числа, и потому авторы приносят извинения всем, кого они обошли своим вниманием.
1. Подход Р.Е. Шоуолтера
Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением (•, ■), отождествленное со своим сопряженным и оснащенное парой рефлексивных банаховых пространств Я и Я' так, что имеют место непрерывные и плотные вложения Я ^ Н ^ Я'. Пусть Ь : Я ^ Я' - линейный, а М : Я ^ Я' - возможно, нелинейный операторы. Рассмотрим полулинейное уравнение соболевского типа вида
Ьи + М (и) = 0. (1.1)
Абсолютно непрерывную (т.е. почти всюду на [0, т) дифференцируемую) вектор-функцию и : [0, т) ^ Я назовем решением уравнения (1-1), если она почти всюду на [0,т) обращает его в тождество. Решение и = и(£) уравнения (1.1) назовем решением задачи Шоуолтера -Сидорова, если
Ь(и(0) — ио) = 0 (1.2)
для некоторого и0 € Я.
Определение 1. Оператор A : U ^ U называется монотонным, если (A(u) — A(v), u — v) > 0 при всех u, v Є U, и строго монотонным, если (A(u) — A(v),u — v) = 0 точно тогда, когда u = v. Линейный оператор A : U ^ U называется симметрическим, если (Au, v) = (u, Av) при всех u, v Є U.
Теорема 1. Пусть L : U ^ U - линейный симметрический монотонный оператор, M : U ^ U - непрерывный монотонный оператор. Тогда при любых uo Є U и т Є R+ существует решение задачи (1.1), (1.2). Если оператор L+M строго монотонен, то это решение единственно.
Заметим, что Р.Е. Шоуолтер формулирует и доказывает эту теорему при более общем условии хеминепрерывности оператора M, т.е. непрерывности на любом промежутке любой прямой в U. Мы ограничимся, простоты ради, требованием непрерывности, тем более, что в приложениях оно выполняется. Для нас больший интерес представляет доказательство теоремы потому, что именно в нем возникает условие
(1.2). Все доказательство мы приводить не будем, покажем лишь ту его часть, где возникает (1.2).
Итак, сначала формулой [■, ■] = (L-, ■) зададим на U полускалярное произведение, которое естественным образом задает на U (возможно, нехаусдорфову) топологию. Получившуюся структуру предлагается называть полунормированным векторным пространством и обозначать символом V, причем нетрудно показать непрерывность вложения U ^ V. Обозначим через V алгебраически и топологически сопряженное к V пространство (относительно (■, ■)). Очевидно, V; ^ U;, поэтому образ im(L+M) С U'. Далее доказывается, что U - гильбертово пространство, и устанавливается эквивалентность уравнения (1.1) дифференциальному включению
u + L-1M(u) Э 0, (1.3)
где L-1 - линейный, возможно многозначный, оператор. Наконец, доказывается существование решения задачи Коши
u(0) = u0 (1.4)
в случае монотонности и непрерывности (возможно, многозначного) оператора F = L-1M, и единственность этого решения при дополнительном условии строгой монотонности оператора I + F. Очевидная на первый взгляд эквивалентность условия (1.4) для включения (1.3), заданного на пространстве V, и условия (1.2) для уравнения (1.1), заданного на пространстве U, доказывается технически очень сложно;
приходится детально изучать структуру пространства V* - алгебра-
ически сопряженного к V относительно [■, ■].
Эта изящная абстрактная схема имеет много приложений. Приведем одно из них. Пусть Q С Rn - ограниченная область с границей класса
СВ цилиндре О х (0,т), т Є М+, будем искать решения уравнения (0.10)
(Л -У2Н - аУ(|Уи|р-2Уи)=0, (1.5)
удовлетворяющие условию Дирихле на дО х (0, т)
и(ж,£) = 0, (ж,і) Є дО х (0,т). (1.6)
О і
Положим Н = Ь2(О), V =И р (О), р Є [2, +го), и из (1.5), (1.6) находим операторы
(Ьи, V) = (Лии + (V«, У^))^ж, и, v ЄЮ"р (О);
./п
(М(и), V) = а / ^и|р-2^и, Vv))dж, и^ ЄИр (О).
п
(Здесь и далее (■, ■) и | ■ | - евклидовы скалярное произведение и норма в М”). Линейность, непрерывность и монотонность оператора
О
Ь :И р ^ И-1 (О), р-1 + д-1 = 1, очевидны. Покажем непрерыв-
◦ 1 о
ность и строгую монотонность оператора М :И р - • Для этого
воспользуемся результатами [33] и покажем 8-монотонность оператора М,
(М'и(v),v) = а(р - 1) / |Vu|p-2|Vv|2)dж, и, V ЄИр (О),
п
из которых вытекает и непрерывность, и строгая монотонность. (Здесь М^ - производная Фреше оператора М в точке и.) Итак, уравнение
(1.5) приобретает вид
[ (utv + ^и4, Vv))dж + а [ ^и|р-2^и, Vv)dж = 0, (1.7)
пп
а условие Шоуолтера - Сидорова
/ (Л[(и(0) — ио^ + ^(и(0) — ио), Vv)])dж. (1.8)
п
В силу теоремы 1 справедливо Следствие 1. Пусть Л Є Ьг(О), Л(ж) > 0 для п.в. ж Є О, г = р\(р—2),
О і
а Є М+. Тогда для любых т Є М+ и и0 ЄИр (О) существует един-
О1
ственная абсолютно непрерывная вектор-функция и : [0,т) ^ Ир (О),
Ор
удовлетворяющая (1.7), (1.8) при всех v ЄИр (О).
Аналогично данной абстрактной схеме редуцируются и другие уравнения. Заметим, что условие Шоуолтера - Сидорова появляется здесь
как сугубо техническое, необходимое только при доказательстве теоремы 1. Тем не менее, в настоящее время появилось множество полулинейных уравнений соболевского типа видов (0.4), (0.5), при выводе которых условие Шоуолтера - Сидорова приобретает физический смысл [14].
Заметим еще, что из сказанного вовсе не следует, что для уравнения вида (1.1) задача Коши (1.4) некорректна. Как показано в [27], [33], ее можно сделать корректной, если ограничиться выбором начальных значений и0 из фазового пространства уравнения (1.1). Более того, в [27], [33] показано, что в случае, когда Л € М, Л > — Л^ где А1 - первое собственное значение оператора Лапласа —А с однородными краевыми условиями Дирихле на границе дП, фазовым пространством задачи
для уравнения (1.7) (и многих других подобных ему) служит простое гладкое банахово многообразие. Справедливости ради отметим, что случай, когда А = А(ж) - неотрицательная функция, методами [27], [33] проанализировать пока не удалось.
Пусть U, F - банаховы пространства, операторы L, M € L(U; F) (т.е. линейны и непрерывны), причем оператор L - фредгольмов (т.е. indL = dim ker L — dim cokerL = 0). Рассмотрим задачу Коши
Определение 2. Вектор-функцию u € C0(R; U), удовлетворяющую уравнению (2.3), будем называть псевдорешением задачи (2.1), (2.2).
Прежде всего заметим, что Н.А. Сидоров [21] рассматривал задачу (2.1), (2.2) в более общей, чем здесь, постановке (например, у него операторы L, M € C1(U; F), т.е. линейны, замкнуты и плотно определены, и т.д.). Однако для наших целей такой постановки более чем достаточно. Далее, выберем }m=1 и }|==1 - базисы в ker L и cokerL соответственно и потребуем
2. Подход Н.А. Сидорова
и(0) = и0
для линейного уравнения соболевского типа
Ы1 = Ми.
Введем в рассмотрение интегральное уравнение
(2.1)
(2.2)
det1 (M^fc,ф1) ^=1 = о.
(2.4)
Не теряя общности, считаем det| (M^>k, ^) |^^¿=1 = , поэтому положим
6k = M^k, n = Mи построим операторы
m
A = L + Y, (6k, ■) nk, B = A-1. k=i
Очевидно, LB[U] = im L, положим BL[U] = coim L. Обозначим через P проектор на coim L вдоль ker L, а через Q - проектор на im L вдоль span {{k : k = 1, 2,..., m}.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (2.4). Тогда при всех u0 Є U задачи (2.1), (2.2) имеет единственное псевдорешение, которое к тому же имеет вид
m
u(t) = exp(BMt)Puo - (Muo, ^k) ^ke*. (2.5)
k=i
Отметим, что псевдорешение задачи (2.1), (2.2), представленное в виде (2.5), удовлетворяет условию Шоуолтера - Сидорова (0.12), но не удовлетворяет условию Коши (2.1). Однако прежде чем комментировать этот факт, а также результаты учеников Н.А. Сидорова, изложим другой подход [50], приводящий в данной ситуации к тем же результатам. Для этого введем в рассмотрение L-резольвентное множество pL(M) = {^ Є C : (^L — M)-1 Є L(F,U)} и L-спектр aL(M) = C \ pL(M) оператора M. Оператор M назовем (L, ^-ограниченным, если его L-спектр ограничен.
Лемма 1. Пусть оператор M (L, а)-ограничен. Тогда операторы
P = hlrL(mQ = ¿1/.lL(m№ —
проекторы, P Є L(U), Q Є L(F).
Здесь y Є C - замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую aL(M); RL = (^L — M)-1L - правая, а L^ = L(^L — M)-1 -левая L-резольвенты оператора M. Положим U0 = ker P, F0 = ker Q, U1 = im P, F1 = im Q и через Lk (Mk) обозначим сужение оператора L (M) на Uk, k = 0,1. Справедлива
Теорема 3. (теорема о расщеплении) Пусть оператор M (L,a)-ограничен, тогда существуют
(i) операторы Lk, Mk Є L(Uk; Fk), k = 0,1;
(ii) операторы L-1 Є ^(F1;U1), M—1 Є L(F0;U0).
Определим операторы H = M(-1L0 Є L(U0) и S = L-1M1 Є ^(U1), очевидно H Є L(U0), S Є ^(U1).
Следствие 2. В условиях теоремы 3 Ь-резольвенту (^Ь — М)-1 оператора М можно разложить в ряд Лорана
ГО ОО
(^Ь — М)-1 = — ^ /ЯкМ-1 (/ — Р) + ^ ^-к5к-1Ь-1Р, ^ € рь(М). к=0 к=1
Определение 3. Точку то для Ь-резольвенты (^Ь — М)-1 оператора М назовем
(1) устранимой особой точкой, если Я = О;
(л) полюсом порядка р € М, если Яр = О и Яр+1 = О;
(ш) существенно особой точкой, если Я9 = О при всех д € N.
Пусть кег Ь = {0}, множество {<^1, ^2,...} С Я назовем цепочкой М-присоединенных векторов вектора ^>0 € кег Ь \ {0}, если Ь^>9+1 = М^9, д = 0,1,... и € кегЬ \ {0}. Цепочка может быть бесконечной, (в частности, может быть заполнена только нулями), но она обязательно конечна, если существует вектор ^р, р € {0}и N такой, что М^р € ™ Ь. Мощность конечной цепочки называется ее длиной. Порядковый номер М-присоединенного вектора в цепочке назовем его высотой.
В дальнейшем удобно случай устранимой особой точки считать полюсом порядка нуль, и (Ь, ^-ограниченный оператор М, Ь-резольвента которого имеет в точке то устранимую особую точку или полюс порядка р € М, называть (Ь, р)-ограниченным оператором, р € {0} и N.
Теорема 4. Пусть оператор Ь - фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(г) оператор М (Ь, р)-ограничен, р € {0} и М;
(гг) длины всех цепочек М-присоединенных векторов не превосходят р, причем существует по крайней мере одна цепочка длины р.
Заметим, что в силу теоремы 4 оператор М (Ь, 0)-ограничен точно тогда, когда выполнено условие (2.4).
Вектор-функцию и € СГО(М;Я), обращающую уравнение (2.2) в тождество, назовем решением уравнения (2.2). Решение и = и(£) уравнения
(2.2) назовем решением задачи Коши, если оно удовлетворяет условию
(2.1) при некотором и0 € Я.
Определение 4. Множество Р С Я назовем фазовым пространством уравнения (2.2), если
(1) любое решение и = и(£) уравнения (2.2) лежит в Р поточечно, т.е. и(£) € Р при всех £ € М;
(п) для любого и0 € Р существует единственное решение задачи
(2.1), (2.2).
Теорема 5. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда фазовым пространством уравнения (2.2) служит подпространство Я1 .
Заметим, что если оператор Ь непрерывно обратим, то фазовым пространством уравнения (2.2) служит все пространство Я.
Определение 5. Отображение и• Є Сте(М; Я) назовем группой разрешающих операторов уравнения (2.2), если
(i) при любом и0 Є Я вектор-функция и(Ь) = и*и0 есть решение уравнение (2.2);
(ii) и5и* = ипри всех §, Ь Є М.
Группа разрешающих операторов {и* : Ь Є М} (в дальнейшем просто - группа) уравнения (2.2) называется аналитической, если она допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость С с сохранением свойства (іі). Для аналитической группы {и* : Ь Є М} можно определить ее ядро кег и• = {^> Є Я : иV = 0, Ь Є М} и образ іт и• = {и Є Я : и0и = и}. Аналитическая группа уравнения (2.2) называется разрешающей группой, если ее образ совпадает с фазовым пространством уравнения (2.2).
Теорема 6. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен. Тогда существует единственная разрешающая группа уравнения (2.2), которая к тому же имеет следующий вид:
и* = -^ / ЯЬ(М)е^, Ь Є М.
2п% о у
Здесь контур 7 такой же, как в лемме 1. Из сказанного вытекает
Следствие 3. Пусть оператор М (Ь, р)-ограничен, р Є {0}и N. Тогда для любого и0 Є Я1 существует единственное решение задачи (2.1),
(2.2), которое к тому же имеет вид и(Ь) = и*и0.
Из леммы 1 и теорем 5 и 6, в частности, следует, что подпространство Я1 совпадает с пространством Я (а проектор Р = I) в случае непрерывной обратимости оператора Ь. Далее заметим, что в случае кег Ь = {0} и (Ь,р)-ограниченности оператора М подпространство Я0 = кег Ь при р = 0, либо состоит из всех собственных и М-присоединенных векторов высоты не большей р, причем существует по крайней мере один М-присоединенный вектор высоты р, при р Є N. Покажем теперь, как решается задача Шоуолтера - Сидорова (0.12) в рамках данного подхода. Прежде всего отметим, что условие (0.12) и даже более общее условие (0.13) в случае (Ь, р)-ограниченности оператора М эквивалентны условию
Р(и(0) - зд) = 0. (2.6)
Более того, условие (2.6) эквивалентно условию Коши (0.11), если оператор М (Ь, 0)-ограничен и кег Ь = {0} (тогда оператор Ь непрерывно обратим). Поскольку и0 = Р, то справедливо
Следствие 4. Пусть оператор M (L, р)-ограничен, р Є {0}U N. Тогда при любом u0 Є U существует единственное решение задачи (2.2),
(2.6), которое к тому же имеет вид u(t) = Utu0.
Таким образом, различие между задачей Коши и задачей Шоуол-тера - Сидорова в данном подходе стирается благодаря тому, что оба условия являются частными случаями условия (2.6). Иное объяснение предлагается школой Н.А. Сидорова. Наиболее полно оно приводится в диссертации [36] самого успешного ученика Н.А. Сидорова - М.В. Фала-леева. Прежде всего вводится в рассмотрение класс обобщенных функций вида
p
uH + aq ¿(q),
q=0
где u : (0, t ) ^ U -локально интегрируемая по Бохнеру вектор-функция со значениями в банаховом пространстве U, aq Є U, H = H(t) - функция Хевисайда, ¿(q) - q-тая производная функции Дирака, т.е. такая, что
(aq ¿(q),s) = (-1)q -(aq ,S (0))
для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции s = s(t) со значениями в сопряженном банаховом пространстве U;. Затем налагаются условия на операторы L и M .В оригинальном виде эти условия приводить здесь не будем, отметим лишь, что они в нашем простом случае уравнения (2.2) эквивалентны следующим:
оператор L фредгольмов; оператор M (L,p) — ограничен, р Є {0} U N.
При условиях (2.7) доказывается теорема о существовании единственного решения задачи (2.1), (2.2) при любом по Є U, которое к тому же представимо через обобщенные функции. Таким образом, в подходе Н.А. Сидорова различие между задачами (0.11) и (0.12) стирается
допущением в качестве решений вектор-функций, имеющих скачок в начальном условии.
Отметим, что уникальность данного подхода только кажущаяся; его удалось распространить на неавтономные линейные уравнения соболевского типа вида
LU = M (t)u, (2.8)
а также на интегральные уравнения вида
Lu(t) — [ k(t — s)u(s)ds = f (t). (2.9)
0
Более того, универсальность подхода Н.А. Сидорова проявилась еще и в том, что им удалось охватить уравнения (2.2), (2.8) и (2.9) с нё-теровым оператором L [20]. Заметим, что случай нётерова оператора
(2.7)
пока еще не удалось исследовать другими методами (см. напр., [50]). Сила подхода Н.А. Сидорова, на наш взгляд, заключается в изначально правильном выборе направления исследований, в основу которых положена теория ветвления решений нелинейных уравнений. Если проследить творческий путь Николая Александровича на временном отрезке от персональной монографии [22] до коллективной (в соавторстве с учениками) монографии [44], то становится ясным, как многогранный талант большого математика, внимательного и чуткого учителя, замечательного человека отражается в блеске результатов его учеников и последователей.
Наиболее важную роль задача Шоуолтера - Сидорова сыграла в задачах оптимального управления для уравнений соболевского типа, а также в объяснении неединственности решений задачи Коши.
Задача оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа. Здесь мы будем следовать [30] (см. также [50], гл.7), причем, простоты ради, рассмотрим случай однородного линейного уравнения соболевского типа. Пусть Я - гильбертово пространство, вектор-функцию и Є Н*(Я) = {и Є ¿2(0,т;Я) : ж Є Ь2(0, т;Я)} назовем сильным решением уравнения
если она п.в. на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение и = и(£) уравнения (3.1) назовем сильным решением задачи Коши
если оно удовлетворяет (3.2). Заметим, что в силу непрерывности вложения Н 1(Я) ^ С([0, т]; Я) наше определение корректно. Термин "сильное решение" введен для того, чтобы отличать решение уравнения (3.1) здесь и решение уравнения (2.2) в п.2, которое теперь уместно называть "классическим".
Далее, пусть V - гильбертово пространство, построим пространства
HZp+1(V) = {v Є L2(0,t; V) : v(p+1) Є L2(0,t; V),vq(0) = 0,q = 0,1,...,p},
° і і
p Є {0} U N. Пространство Hp+1(V) - гильбертово со скалярным произведением
3. Применения задачи ^Шоуолтера — Сидорова
Lu = Mu,
(3.1)
u(0) = u0,
(3.2)
Положим
U, если ker L = {0}; U1, если ker L = {0};
(2.7)
где подпространство U1 С U определено в теореме 3. Справедлива [22]
Теорема 7. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p € {0} U N. Тогда
для любых u0 € P и v €Hp+1 (V) существует единственное сильное решение задачи (3.2) для уравнения
Lu = Mu + v. (3.3)
Введем в рассмотрение 3 - некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор C € L(U,3), задающий наблюдение z(t) = Cu(t). Заметим, что если u € H 1(U), то z € H 1(3). Выделим в пространстве H p+1(V) замкнутое и выпуклое множество H p+1(V) - множе-
О |1
ство допустимых управлений. Вектор-функцию v €Hd (V) назовем оптимальным управлением решениями задачи (3.2), (3.3), если
J(v) = min °p+i(V)J (w), g (V)
где функционал качества
1 f T , . P+1 f T . .
J(w) = J l|z(q) — z0q)||3dt + 53 J (Nqw(q), w(q)^vdt.
д=0,У0 д=0,У0
Здесь N € £(Ш), д = 0, 1, ..., р + 1, - самосопряженные и положительно определенные операторы, ¿0 = ¿0(£) - желаемое наблюдение. Справедлива
Теорема 8. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N. Тогда для любого и0 € Р существует единственное оптимальное управление решениями задачи (3.2), (3.3).
Казалось бы, задача оптимального управления для уравнения (3.1) с условием Коши (3.2) принципиально решена. Однако численные эксперименты [29], в которых строились решения системы уравнений леон-тьевского типа с условием Коши, выявили ее недостатки. Во-первых, очень трудным оказалось построение проектора Р, образом которого является подпространство Я1. В системах малой размерности (до порядка 5) проектор удавалось угадывать. В системах большей размерности такое "угадывание" попросту невозможно. Поэтому и проверка условия и0 € Я1 также невозможна. Во-вторых, выбор пространства управлений НР+1(Ш) тоже вызывает определенные неудобства при счете, т.к. в качестве базисных векторов приходится брать многочлены высокого порядка, что затрудняет верификацию результатов.
Все эти недостатки легко устраняются, если вместо условия Коши
(3.2) взять условие Шоуолтера - Сидорова (0.13). Утомительная проверка условия и0 € Я1 здесь заменяется на последовательное умножение
матриц (в конечномерном, разумеется, случае). Принципиально вопрос
о существовании единственного оптимального управления для уравнения (3.1) с условием (0.13) (в эквивалентной форме (2.6)) был решен в [37]. Численный алгоритм, реализующий абстактную схему решения задачи (0.13) для уравнений вида (3.3), построен в [10], [11].
Задача оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа. Здесь мы будем следовать [34]. Пусть H = (H; (■, •)) -вещественное гильбертово сепарабельное пространство, отождествленное со своим сопряженным; (A, A') и (B, B') - дуальные (относительности двойственности (■, ■)) пары банаховых рефлексивных пространств, причем вложения A ^ B ^ H ^ B' ^ A' плотны и непрерывны. Пусть L € L(A; A') - самосопряженный, неотрицательно определенный (относительно (■, ■)), фредгольмов оператор; a M € Cте(В; B') -s-монотонный и р-коэрцитивный оператор. (Заметим, что здесь символ р € [2, +то)). Рассмотрим задачу Коши (3.2) для полулинейных уравнений соболевского типа вида
Lu + M (u) = v. (3.4)
Пользуясь непрерывностью оператора L, формально проинтегрируем уравнение (3.4) на промежутке (0, t) и получим
L(u(t) — u0) + [ M(u(s))ds = [ v(s)ds. (3.5)
Jo Jo
Вектор-функцию u € L^(0,r;coimL) П Lp(0,T; P), удовлетворяющую
(3.5) при некоторых т € R+(t € (0, т)), u0 € A и v € Lq(0, т; B'), назовем слабым решением уравнения (3.4), р-1 + q-1 = 1. Здесь
. _ = / A, если ker L = {0};
COim \ {u € A : (u, ^>) = 0, € ker L \ {0}}, если ker L = {0};
p = ( A, если ker L = {0};
P \ {u € A : (M(u), ^>) = 0, € ker L \ {0}}, если ker L = {0}.
Справедлива [36]
Теорема 9. Множество P является простым банаховым C-многообразием, моделируемым подпространством coim L.
Слабое решение u = u(t) уравнения (3.4) назовем слабым решением
задачи (3.2), (3.4), если lim (u(t) — u0,£) = 0 при всех £ € A'.
t——0+
Теорема 10. При всех т € R+, u0 € P и v € V =
(0,т; В'), если кег Ь = {0};
{■ш € (0,т; В') : (эд,<^) = 0, ^ € кегЬ\{0}}, если кегЬ = {0},
существует единственное слабое решение задачи (3.2), (3.4).
Далее, в пространстве V фиксируем выпуклое и замкнутое множество Vd. Для уравнения (3.4) с условием (3.2) рассмотрим задачу оптимального управления
J(u, v) ^ min, v € Vd, (3.6)
где функционал J задается формулой
1 Г t N Г t
J (u,v) = -/ | |u(t) — ud(t)||Bdt +---||v(i)||B* dt,
p J0 q J0
ud = ud(t) - желаемое состояние. Пару
(u, v) € [L^(0, т; coim L) П Lp(0, т; p)] x Vd
называют решением задачи (3.2), (3.4). Вектор v € Vd называют оптимальным управлением в задаче (3.2), (3.4), (3.6).
Теорема 11. При любых т € R+, u0 € P существует решение задачи
(3.2), (3.4), (3.6).
В [34] кроме достаточных условий существования оптимального управления найдены еще и необходимые (обобщающие принцип максимума Понтрягина) условия. Кроме того, там же приводится применение данной абстрактной схемы к уравнению Хоффа (0.6). Более того, эта абстрактная схема оказалась весьма емкой, к ней удалось редуцировать не только уравнение (0.6), но и уравнения (0.9), (0.10) [16]. Однако и здесь отметим естественность задачи Шоуолтера - Сидорова (0.12), которая вытекает из (3.5). К тому же численные эксперименты, проведенные в [16], выявили те же трудности, что и в задаче (3.1), (3.2), - неудобство проверки условия u0 € P и конструкция множества Vd. В настоящее время ведется активная работа по исследованию задач оптимального управления для уравнений вида (3.4) с условием Шоуолтера - Сидорова (0.12) [17] (см. также статью Н.А. Манаковой и Е.А. Богонос в настоящем издании).
Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова. В последнее время интерес к линейным и полулинейным уравнениям соболевского типа резко возрос в связи с выходом в свет монографии [14], в которой авторы представили вывод и исследование пятнадцати линейных и восьмидесяти четырех нелинейных уравнений. Причем физически осмысленной для этих уравнений является именно задача Шоуолтера - Сидорова, хотя в изучении качественных свойств (существование, единственность, разрушение) решений авторы апеллируют к задаче Коши. Отчасти это потому, что задача Шоуолтера - Сидорова может иметь несколько решений, в отличие от задачи Коши, которая исторически имеет единственное решение. Впервые этот феномен был
подмечен в [26], здесь же мы дадим краткое описание этого феномена, возникшего в уравнении (0.6) и детально изученного в [32]. Краткости ради, мы отклонимся от принятого порядка изложения (давать сначала абстрактную схему, а потом ее конкретную интерпретацию) и перейдем сразу к приложениям.
В полосе (a, b) х R мы будем искать решения уравнения Корпусова
- Плетнера - Свешникова
Aut - Utxx = aUxx + в(uux)x, (3.6)
удовлетворяющие условию Дирихле
u(a, t) = u(b, t) = 0, t € R. (3.7)
Проинтегрировав уравнение (3.6) на (a, b) с учетом (3.7), получим
Ç Ь Ç b
/ (Autv + utxVx)dx = / (aux + e(uuæ))vædx = 0. (3.8)
./a </a
о i
Вектор-функцию u € Cœ(—t, t ; W 2(a, b)) назовем решением уравнения
◦ 1
(3.6), если она при некотором t € R+ и любом v €W i(a, b) удовлетворяет (3.8). (В свете предыдущих рассмотрений речь идет о классическом решении). Решение u = u(t) уравнения (3.6) назовем решением задачи Коши, если
i b
/ (u(0) — u0)vdx = 0; (3.9)
a
и задачи Шоуолтера - Сидорова, если [■ ь
/ [A(u(0) — uo)v + (ux(0) — uox)vx] dx = 0 (3.10)
a
о 1 о 1
при некотором u0 €W2(a, b)) и любом v €W i(a, b)).
Обозначим через (A&} спектр задачи Штурма - Лиувилля
f (^x^x + A^) dx = 0, ^,-0 €W2(a, b)). (3.11)
a
Если A € (Afc}, то задачи (3.9) и (3.10) совпадают, значит, совпадают и
их решения. Если же A = A&, то фазовое пространство уравнения (3.6)
содержит две связные компоненты Pi и P2, причем для любой точки u0 € Pi существует единственное число a € R такое, что u0 + a^^ € P2, где - собственный вектор задачи (3.11), отвечающий A&. (То же
самое можно сказать и любом векторе u0 € P2, т.е. u0 + e^fc € Pi при некотором в € R).
Таким образом, обе точки u0 и u0 + a^fc удовлетворяют условию Шоуолтера - Сидорова (3.10), но не могут одновременно удовлетворить
условию Коши (3.9). В [32] показано, что уравнение (3.6) в таком случае имеет два решения, которые удовлетворяют разным условиям Коши (uo и uo + ), но одновременно удовлетворяют условию Шоуолтера - Си-
дорова (3.10), с точки зрения которого точки uo и uo+a^fc неразличимы. Аналогичное исследование системы уравнений Плотникова [4] показало возможность существования трех решений задачи Шоуолтера - Сидорова. Причем теоретические изыскания очень хорошо подтверждаются численными экспериментами [5].
4. Обобщение задачи ^Шоуолтера — Сидорова
Пусть U и F - банаховы пространства, операторы L, М Є L(U; F), причем оператор М (L, ст)-ограничен. Пусть L-спектр оператора М
ctl(M) = ст^(М) U ст^(М), ст^(М) П ст^(М)= 0, (4.1)
причем существует контур y С C\ctl(M), ограничивающий область Q С C, содержащую ст L(M), Q П ст|"(М) = 0. Аналогично лемме 1 построим проектор
P = 2Лї/, RL(M
и положим P2 = P — Pl. Для уравнения
Lu = Mu (4.2)
поставим следующую задачу:
P2(u(0) — u0) = 0, P1 (u(t) — uT) = 0, (4.3)
где t Є R+ (для определенности, вообще можно т Є R \{0}), u0, uT Є U. Задачу (4.3) назовем начально-конечной. Заметим сразу, что если ст L(M) = 0, то задача (4.3) превращается в задачу (2.6). Таким образом, начально-конечная задача является естественным обобщением задачи Шоуолтера - Сидорова.
Задача (4.3) в более частной чем здесь постановке впервые появилась в работах авторов [31], где она названа "задачей Веригина". Причиной названия послужило довольно большое число публикаций (см. библиографию в [31]), где рассмотрена задача (4.3), но проекторы P1 и Р2 являются спектральными проекторами оператора L. Такая задача была названа "задачей Веригина", хотя и она, и поставленная здесь задача, имеют мало общего с задачей, поставленной Н.Н. Веригиным [3]. Неправомерное использование термина внесло (и до сих пор продолжает вносить) терминологическую путаницу, вызвавшую справедливые нарекания. Авторы признают свою вину в случившемся и приносят свои извинения всем пострадавшим от этой путаницы.
Теорема 12. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, p Є {0} U N. Тогда для любых т Є R+; u0, uT Є U существует единственное решение задачи (4-2), (4-3).
В [31] теорема 12 была проиллюстрирована начально-конечной задачей для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной (0.2), заданного в области с однородными условиями Дирихле на границе. В последующих работах теорема 12 была обобщена на случай сильно (L,p)-секториальных [6], [7] и сильно (L, р)-радиальных операторов [8]. Причем в качестве приложений рассматривались вышеперечисленные неклассические уравнения математической физики, заданные не только на ограниченных областях пространства Rn, но и на множествах иной геометрической структуры таких, как графы [9]. В настоящее время уже есть результаты о начально-конечных задачах для уравнений соболевского типа высокого порядка (см. статью А.А. Замышляевой и А.В. Юзеевой в данном издании) и ведутся исследования оптимального управления решениями таких задач.
Наконец, обратим внимание на фундаментальную теорию С.Г. Пят-кова [45], разработанную для задачи (4.3), где P1 - спектральный проектор оператора L, построенный по отрицательной части спектра. С.Г. Пятковым такие задачи названы "задачами сопряжения", причем возникли они в уравнениях с меняющимся направлением времени. В данном контексте задачи сопряжения хоть и не являются обобщениями задачи Шоуолтера - Сидорова, но они естественным образом обобщают задачу Коши и представляют собой новое перспективное направление в теории уравнений соболевского типа. Отметим, что именно строгая, но конструктивная критика С.Г. Пяткова побудила авторов внести ясность в терминологию.
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю и глубокую признательность Н.А. Сидорову, неутомимая деятельность которого всегда оказывала и продолжает оказывать стимулирующее воздействие на нашу работоспособность. С юбилеем Вас, дорогой Николай Александрович! Долгих и счастливых Вам лет жизни!
Список литературы
1. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещин-новатых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т.24, №5. - С. 58-73.
2. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. - Новосибирск: НГУ. 1983.
3. Веригин, Н.Н. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами / Н.Н. Веригин // Динамика жидкости со свободной границей. - Новосибирск, 1980. - вып. 46. - С. 23-32.
4. Гильмутдинова, А.Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера -Сидорова для одной модели Плотникова / А.Ф. Гильмутдинова // Вестн. СамГУ. - 2007. - №9 / 1. - С. 85-90.
5. Гильмутдинова, А.Ф. Исследование математических моделей с феноменом неединственности: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.Ф. Гильмутдинова. -Челябинск, 2009.
6. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - №3. - С. 22-28.
7. Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н.Векуа. Новосибирск. - 2007. - С. 150-157.
8. Загребина, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно (Ь,р)-радиальным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2006. -Вып. 9. - С. 17-27.
9. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейных эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева.
- Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т.16, вып. 2. -С. 329-330.
10. Келлер, А.В. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А.В. Келлер // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т.16, вып. 2. - С. 345-346.
11. Келлер, А.В. Численное решение задачи жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / А.В. Келлер // Обозрение приклад. и пром. математики. - М., 2009. - Т.16, вып. 4. - С. 666-667.
12. Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // Журн. вычислит. математики и мат. физики. - 2000. - Т. 40, №8. - С. 1237—1249.
13. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - 2-е изд. - М.: Наука, 1970.
14. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников,
А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007.
15. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972.
16. Манакова, Н.А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Н.А. Манакова. - Челябинск, 2005.
17. Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н.А. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007.
- Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.
18. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева // Записки науч. семинаров ЛОМИ. - 1991. - Т.198. - С. 31-48.
19. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. - М.: Физматгиз, 1961.
20. Романова, О.А. Жордановы наборы и псевдообратные операторы в теории некоторых классов вырожденных дифференциальных уравнений: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / О.А. Романова. - Иркутск, 1984.
21. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т.25, №4. - С. 569578.
22. Сидоров, Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск: ИрГУ, 1982.
23. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т.19, №9. - С. 1516-1526.
24. Сидоров Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фред-гольмовым оператором при старших производных / Н.А. Сидоров, М.В. Фа-лалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 726-728.
25. Свиридюк, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. - 1989. - Т.304, №2. -С. 301-304.
26. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче Showalter / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т.25, №2. - С. 338-339.
27. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1989. - №2. -С. 55-61.
28. Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. №1. - С. 62-70.
29. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - №8. -С. 46-52.
30. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Изв. вузов. Математика. - 1996. - №12. - С. 75-83.
31. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т.38, №12. - С. 1646-1652.
32. Свиридюк, Г.А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.Ф. Карамова // Дифференц. уравнения. -2005. - Т.41, №10. - С. 1476-1581.
33. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства уравнений типа Соболева с s-монотонными и сильно коэрцитивными операторами / Г.А. Свиридюк, М.В. Климентьев // Изв. ВУЗ. Математика. - 1994. - №11. - С. 75-82.
34. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Сиб. журн. индустр. математики. - 2005.
- Т. 8, №2. - С. 144-151.
35. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. -
— 2-е изд. — М.: Мир, 1981.
36. Фалалеев, М.В. Элементы теории обобщенных решений некоторых классов вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах: автореф. . .. канд. физ.-мат. наук / М.В. Фалалеев. -Свердловск, 1988.
37. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференц. уравнения. - 2004. -Т.40, №11. - С. 1548-1556.
38. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z.Angew. Math. Phys. - 1968. - V.19. - P. 614-627.
39. Davis, P.L. A quasilinear parabolic and a related third order problem / P.L. Davis // J. Math. Anal. and Appl. - 1972. - V. 40, №2. - P. 327-335.
40. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. -N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
41. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.-Y.: Marcel Dekker, Inc. 1999.
42. Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - №3. - P. 60-72.
43. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeron. Quarterly 7. - 1956. - № 1. -P. 1-20.
44. Lyapunov — Shmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov,
B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002.
45. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.
46. Showalter, R.E. The Sobolev equations I. (II) / R.E. Showalter // Appl. Anal. -1975. - V.5, №1. - P. 15-22. (№2. P. 81-99.)
47. Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1975. - V.6, №1. - P. 25-42.
48. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. - London; San Francisco; Melbourne: Pitman, 1977.
49. Showalter, R.E. Monotone operators in Banach Space and and nonlinear partial differential equations / R.E. Showalter. - Providence: AMS, 1997.
50. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
51. Ting T.W. Parabolic and pseudoparabolic partial differential equations / T.W. Ting // J. Math. Soc. Jap. - 1969. - V.21, №3. - P. 440-453.
G. A. Sviridyuk, S. A. Zagrebina
The Showalter-Sidorov problem as a phenomena of the Sobolev-type equations.
Abstract. This article has a survey character. It contains: 1. The Sowalter approach,
2. The Sidorov approach, 3. Applications of the Showalter-Sidorov problem, 4. A generalization of the Showalter-Sidorov problem.
Keywords: the Cauchy problem, the Showalter-Sidorov problem, initial-finish value problem, the Sobolev-type equations
Свиридюк Георгий Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, Кафедра уравнений математической физики, ЮжноУральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 тел.: (351)2679339 (ridyu@math.susu.ac.ru)
Загребина Софья Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Кафедра уравнений математической физики, ЮжноУральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76 тел.: (351)2679339
Georgy A. Sviridyuk, D. Sc. (Physics and Math.), Full professor, chief of department South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)2679339 (ridyu@math.susu.ac.ru)
Sophiya A. Zagrebina, Cand. of Science (Physics and Math.), Associate Professor, South Ural State University, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)2679339
