CC BY
24
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ
ДИФФУЗИИ
A PROBLEM WITH AN INTEGRAL CONDITION FOR FRACTIONAL DIFFUSION
EQUATION
Ф.М. Лосанова F.M. Losanova
Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, д. 89А Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 A, Shortanov St, Nalchik, 360000, Russia
E-mail:losanovaf@gmail.com
Аннотация. В данной работе рассматривается нелокальная краевая задача с интегральным условием для уравнения дробной диффузии. Доказана теорема существования решения исследуемой задачи.
Abstract. In this paper we consider a nonlocal boundary value problem with integral condition. The theorems of existence and uniqueness of the problem are proved.
Ключевые слова: задача с интегральным условием, уравнение дробной диффузии, дробная производная Римана-Лиувилля, аналог условия Тихонова.
Key words: problem with an integral condition, fractional diffusion equation, fractional Riemann-Liouville derivative, analogue of Tikhonov conditions.
Введение
Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка являются обобщением уравнений с частными производными целого порядка и имеют не только огромный теоретический интерес, но и большое практическое значение. Такие уравнения могут выступать в качестве математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой [1], [2].
В области ^ = {(х, у):0 < х <<»,0 < у < Т} евклидовой плоскости независимых переменных (х, у) рассмотрим уравнение
ихх (х у) - А)> (х л) = / (х у X (1)
где
а < 0, а = 0,
п -1 < а < п, п еМ
- оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка а [1, с. 9], г(а) - гамма функция Эйлера, 0 < а < 1.
Уравнения вида (1) как с дробной производной Капуто, так и с дробной производной Рима-на-Лиувилля исследовались ранее многими зарубежными и отечественными учеными. В работе [3] для уравнения (1) рассматривались первая краевая задача в прямоугольной области, задача Коши и краевая задача в бесконечной области, а в [4, с. 104] методом редукции к системе уравнений меньшего порядка построено решение задачи Коши и первой краевой задачи для уравнения
Do> (Х y ) =
if"
i(x, п)п
Г(-а)о (y -п)а
u (x, y ), Я n
—Da-"u (x, п),
Qyn 0y V \p
1
(l). Также в работе [4, с. 115] построено общее представление решения уравнения (1) в прямоугольной области, решены основные краевые задачи и найдены соответствующие функции Грина. Для обобщенного уравнения (l) с младшими членами доказан принцип экстремума в работе [5].
Краевые задачи с интегральными условиями для параболических уравнений, в том числе с дробной производной, исследовались в работах [6] - [9].
Решение u(x,y) уравнения (l) назовем регулярным в области Q , если y1-;u(x,y)e c(q), u(x, y) имеет непрерывные производные до 2-го порядка по x, D^u (x, q) - непрерывную производную по y в области Q .
В работе исследуется следующая задача. В области Q требуется найти регулярное решение u = u(x, y) уравнения (i), удовлетворяющее следующим условиям:
lim D"~'u(x, q) = x(x), 0 < x < да, (2)
y^O y
да
jK(x,y)u(x,y)dx = y(y), 0 < y < T, (3)
0
где t(x), Фу), K(x, y) - заданные достаточно-гладкие функции.
Без ограничения общности можно считать, что f (x, y) 0, x(x) 0. Действительно рассмотрим задачу
и xx ( x, y ) - D;, u( x, q) = f ( x, y ), (4)
lim D^'ufx,q) = t(x), 0 < x < да, (5)
и(0, y) = 0, 0 < y < T. (6)
Тогда решение задачи (4)-(6) имеет вид [3]
да y да
u(x, y) = J G(x, y, I,0)x(|)d| - Я f (, q)G(x, y, S, q)d| dq .
0 00
Искомое решение ищем в виде u(x, y) = u(x, y)+u(x, y),
(x, y) - D0;y~( x, q) = 0, (7)
lim D^fx, q) = 0, (8)
Jk(x, y)~(x, y)dx = ф(y), 0 < y < T, (9)
да
где ф (y) = y(y)-jK(x, y)u(x, y)dx.
Таким образом задача (i)-(3) эквивалента задаче (7)-(9)-Поэтому далее будем рассматривать следующую задачу. В области Q требуется найти регулярное решение u = u(x, y) однородного уравнения
Ux(x,y) - D0>(x,q) = 0, (1)'
удовлетворяющее следующим условиям:
lim D0a;U(x,q) = 0, 0 < x <да , (2)'
да
J K(x, y)u (x, y)dx = y(y), 0 < y < T , (3)'
0
где v(y), K(x, y) - заданные функции.
Теорема существования. Пусть K(x,y)eС(q), Kx(x,y)ec(q), K(0,y) i0,
/у 1 ^(y) e AC\0T1 llm D= 0 V°y K(0,y)G L°,7J' ^°0у K(0,y) = 0,
причем К(х, у) = о
( (
ехр
V V
2 ЛА
-рх2
и кх(ху)= о
//
(
ехр
V V
2 ЛА
- рх2
, р - некоторая положительная кон-
//
станта. Тогда существует регулярное решение уравнения (1)' в области П , удовлетворяющее краевым условиям (2)' (3)' и представимое в виде
( у )=|—-- е1
0 у-л
(у -л)а
ф(пУгь
(10)
где ф(у) = D0аyg(у), а &(у) - является решением интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода
К х (х. у )ёх
Доказательство.
Используя представление решения задачи (10) с условиями (3)' и м(0, у) = ф(у) для однородного уравнения (1) [3, с. 38] и удовлетворив условию (9), получим
|К(х, у )м(х, у )ёх = |К(х, у )|—е1'
0 у--
(у --)а
Ф(-У- ёх = у(у)
здесь еО;'р(г) - функция типа Райта [4, с. 22]. Перепишем (11) в виде
у
1К1( -)ф(-)ё- = ^(у),
где
к(-)= |к(х, у)-е1
у--
(( --)а
ёх.
(11)
(12)
(13)
Уравнение (12) является интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода с ядром К1 (у,-) и правой частью у(у).
Проинтегрировав (13) по частям, получим
К(у,-)=К(0, у ^О)1 + »(у-л)а-1е;: Г(а) 0
(( --)а
К х(х. у)ёх
Подставим К1(у, -) в (12)
К(0,у)) (г(-)) ф(-)ё- +|ф(-)К2(у,у --)- = у(у), 0 Г(а) 0
где К 2 (У, у - -)= | (( - -)а-1
К х (x, у)х-
( --)а
К(0,у^0>(у)+}ф(-)К2(у,у-л)ё- = у(у) .
(14)
В силу формулы дробного интегрирования функции Райта [4, с. 26], второе слагаемое в левой части уравнения (14) можно записать в виде
} ф(-)К 2 (у, у--)ё- =| Ф^у-^ (у, у--)ё- = } К з (у, у - '^ф^ё', (15)
где К з(y, у --)=|
1
- 1,а
(у --)а
Кх (x, у)ёх-
Далее обозначив g(y) = D0yaф(y) с учетом (15), равенство (14) перепишем в виде
К(0,уНу) + ]К3(у,у -')(()' = у(у).
0
Так как по условию К(0, у) £0, то соотношение (16) принимает вид
g(y)+| К4 (у, у -= у,(у),
(16) (17)
х
и.
х
х
х
х
х
1.0
где К(уу - г )=К 3 у ~1 ) ш(у ) = ^) где К^у I) к(о,у) ' ™ к(0,у)'
Уравнение (17) является интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. Из теории интегрального уравнения Вольтерра второго рода известно [10, с. 227], что для любых функций К 4 (у, у - г) С (Б) и уДу)е ДО,Г] существует единственное решение g(y)e ДОТ уравнения (17) и выписывается в виде
у
g(у)=^1 (уЫя(у,гК У,
О
где Я(у, г) - резольвента ядра К4 (у, у - г).
Учитывая условия теоремы, накладываемые на у(у) и на К(х,у), получим что ф(у) = (у).
Теорема доказана.
Список литературы References
1. Нахушев А.М. 2003. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 272с.
Nakhushev A.M. 2003. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit.
2. Учайкин В.В. 2008. Метод дробных производных// Ульяновск: Изд. Артишок, 512 с.
Uchaikin V.V. 2008. Metod drobnyh proizvodnyh [The method of fractional derivatives]. Ulyanovsk. Izd. Artichoke, 512.
3. Геккиева С.Х. 2003. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Кандидатская диссертация. Нальчик, Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН.
Gekkieva S.H. 2003. Kraevye zadachi dlya nagruzhennyh parabolicheskih uravnenii s drobnoi proizvodnoi po vremeni [Boundary value problems for the loaded parabolic equations with fractional time derivative]. Kandidatskaia dis-sertatciya. Nalchik, Nauchno-issledovatel'skii institute prikladnoi matematiki I avtomatizacii KBNC RAN.
4. Псху А.В. 2005. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 199 с.
Pskhu A.V. 2005. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka.
5. Нахушева В.А. 2006. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 173 с.
Nahusheva V.A. 2006. Differencial'nye uravneniya matematicheskih modelei nelokal'nyh processov [Differential equations of mathematical models of non-local processes]. Moscow, Nauka.
6. Нахушева З.А. 1990. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка// Дифференциальные уравнения. Т. 26, № 1 С. 1982-1992.
Nahusheva Z.A. 1990. 1-aya i 2-aya kraevye zadachi v integral'noi postanovke dlya parabolicheskogo uravneniya vtorogo poriadka [1st u2 th boundary problems in an integrated setting for a parabolic equation of second order]. Moscow, Differential equations. 26, № 1. 1982-1992.
7. Лосанова Ф.М. 2014. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто// Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых "Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики". С. 80-81.
Losanova F.M. 2014. Nelokalnaya kraevaya zadacha dlya nagruzhennogo uravneniya s operatorom Kaputo [Nonlocal boundary value problem for a loaded equation with Caputo operator]. Materialy Vserossiiskoi nauchnoi konferencii molodyh uchenyh "Sovremennye voprosy matematicheskoi fiziki, matematicheskoi biologii i in-formatiki". 80-81.
8. Лосанова Ф.М. 2010. Нелокальная краевая задача с оператором Капуто// Изв. ВУЗов СевероКавказский регион. № 5 (159). С. 22-25.
Losanova F.M. 2010. Nelokalnaya kraevaya zadacha s operatorom Kaputo [A nonlocal boundary value problem with Caputo operator]. Izvestiya VUZov Severo-Kavkazskii region. 5 (159). 22-25.
9. Лосанова Ф.М. 2015. Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе// Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. № 2 (11). С. 17-21.
Losanova F.M. 2015. Zadacha s usloviem Samarskogo dlya uravneniya drobnoi diffuzii v polupolose [The problem with the condition of Samara for fractional diffusion equation in the half]. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. Nauki. 2 (11). 17-21.
10. Краснов М.Л. 1975. Интегральные уравнения. М: Наука, 304.
Krasnov M.L. 1975. Integral'nye uravneniya [Integral equations]. Moscow, Nauka. 304.
