Задача расчета стержней одномерным сплайном пятой степени дефекта 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.755

ЗАДАЧА РАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ ОДНОМЕРНЫМ СПЛАЙНОМ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ ДЕФЕКТА 2

В, П, Павлов, А. А. Абдрахманова, Р, П, Абдрахманова

1. Состояние вопроса и постановка задачи

К настоящему времени достаточно подробно изучены возможности метода сплайнов пятой степени дефекта 1 для решения задачи об изгибе стержня [1,2], описываемого дифференциальным уравнением четвертого порядка относительно функции перемещения точек оси стержня. При этом производные от функции перемещения определяют деформацию стержня и действующие в нем силовые факторы:

• первая производная от функции перемещения — угол поворота

поперечного сечения;

•

ющие от него нормальные напряжения;

ные напряжения; •

нагрузкой.

При выборе функции для описания перемещения точек оси будем исходить из следующих рассуждений.

1. Внешняя распределенная нагрузка, действующая на стержень, в общем случае может иметь любой вид. Поэтому допускаем разрывы четвертых производных в узлах сплайна, что не допускается при использовании сплайнов пятой степени дефекта 1. © 2013 Павлов В. П., Абдрахманова А. А., Абдрахманова Р. П.

2. Сосредоточенная внешняя поперечная сила является идеализированным (не реализуемым в реальных конструкциях) случаем приложения внешней силы в точке оси балки. Эта сила может быть заданной, а может быть реакцией наложенной на стержень связи в виде подвижного или неподвижного шарнира. При решении задач методами сопротивления материалов сосредоточенная сила всегда применяется. Она приводит к разрыву третьей производной функции перемещения. Применяя сплайн дефекта 2, исключим возможность разрыва третьей производной, что приведет к необходимости учета сосредоточенной внешней силы через распределенную нагрузку, действующую на малом отрезке вблизи точки приложения сосредоточенной силы. С точки зрения реальных конструкций это не приведет к потере точности расчетов, но позволит рассчитывать по общей схеме конструкции с разными нагрузками.

3. Сосредоточенная внешняя пара сил является идеализированным (не реализуемым в реальных конструкциях) случаем приложения внешней нагрузки в точке оси балки. Эта пара может быть заданной, а может быть реакцией наложенной на стержень связи в виде защемления. При решении задач методами сопротивления материалов сосредоточенная пара сил всегда применяется. Применяя сплайн дефекта 2, исключим возможность разрыва второй производной, что приведет к необходимости учета сосредоточенной внешней пары сил через распределенную нагрузку, действующую на малом отрезке вблизи точки приложения сосредоточенной пары сил. С точки зрения реальных конструкций это не приведет к потере точности расчетов, но позволит рассчитывать по общей схеме конструкции с разными нагрузками.

Таким образом, ставя задачу расчета стержней методом сплайна пятой степени дефекта 2, необходимо помнить о наших допущениях и при анализе результатов расчетов понимать, как учитываются сосредоточенные внешние силы и пары сил. Были поставлены и решены следующие задачи:

• сформулированы теоретические основы метода сплайна пятой

степени дефекта 2;

• разработан алгоритм применения сплайна пятой степени дефекта 2 для численного решения задачи об изгибе упругого стержня.

2. Расчетные соотношения для одномерного сплайна пятой степени дефекта 2

Рассмотрим алгоритм построения сплайна пятой степени дефекта 2, положив в основу полиномиальные сплайны [3]. Для этих сплайнов на отрезке [а, Ь] зададим разбиение

Д:а = Ж1 <х < ••• < хм = Ь.

Через Ск [а, Ь] обозначим множество к раз непрерывно дифференцируемых па [а, Ь] функций, а через С- [а, Ь] — множество кусочно непрерывных функций с разрывами первого рода.

Затем, следуя [3], введем в рассмотрение функцию х), кото-

рую будем называть сплайном степени п дефекта V (п и V — целые числа, 0 ^ V ^ п) с узлами на сетке А, если на каждом из отрезков [х^, х^] функция WnJV(х) является многочленом степени и, т. е.

п

= (х - х,Г, х € [х4,хт], г = 1,2,...,Ж - 1, (2.1)

а= О

при этом WnIV(х) € Сп-и [а, Ь].

Сплайн х) однозначно определяется коэффициентами

общее количество которых равно N = (п + — 1).

Введем обозначения для производных от сплайн-функции:

= ^^ = Е ~ ^

а=в ^ '

х € [х^, ], г = 1, 2,..., N — 1, в = 0,..., п.

Рассмотрим узлы с координатами х^, ] = 2,..., N — 1, являющиеся местом «склейки» соседних многочленов. Условия непрерывности

сплайна (2.1) в этих точках задают Жогр = (п — V + 1)(Ж — 2) ограничительных линейных равенств

(ж; — 0) = Ш^Кж^ +0), в = 0,..., п — V, 3 = 2,..., N — 1.

Таким образом, число степеней свободы сплайна ж) равно

N = ^ — = (п + 1) + v(N — 2).

Рассмотрим на сетке А сплайн-функцию 'N^'5,2 (ж) степени 5 дефекта 2, имеющую N8 = 2N + 2 степеней свободы. В пределах каждого отрезка [ж^, ж^] функция W5I2 (ж) является многочленом пятой степени

5

'^5,2 (ж) = ^а^ (ж — ж € [ж^ж^], г = 1, 2, . .., N — 1.

а=0

Удобным является задание сплайна W5I2 (ж) совокупностью коэффициентов его многочленов а = 0,..., 5, г = 1, 2,..., N — 1, которые сведем в вектор-столбцы

Аа = (аа)Т, г = 1, 2,..., N — 1, а = 0,..., 5.

Общее количество коэффициентов а^ равно ^ = 6(N — 1), что на — 2) превышает число степеней свободы сплайна. Ввиду того, что в узлах сплайна имеет место непрерывность функции и некоторых ее производных, между коэффициентами вектор-столбцов Аа есть взаимосвязи, т. е. некоторая их избыточность.

В связи с этим для уменьшения числа параметров, определяющих сплайн, введем в рассмотрение вектор-столбец Р = (Р&)Т, к = 1,2,...,3^ где

(ж4), ] = Зг — 2,

= (ж4), к = Зг — 1, г=1,2,...,^ (2.3)

Рт = w|i22 (ж*), т = Зг, Вектор Р имеет на N — 2 больше параметров, чем степеней свободы сплайна. Таким образом, и вектор Р обладает избыточностью. Для ее

полного устранения введем в рассмотрение вектор-столбец с размерностью 2N + 2, равной степени свободы сплайна

<Э = ЫТ, к=1,2,...,2^2,

компоненты которого

- таИ2

q1= ТО" $ (ж), Чк= ^^ (ж»),

к = 2г, ^L2,...,N,

5,2 *>•*-»/>

„ N+2 = (ж№) независимы.

Векторы Аа, а = 0,..., 5, коэффициентов сплайна зависят от вектора Р .

Для узловых точек сплайна введем обозначения

/г — "^5,2 (ж»),

(ж?), г=1,2,...,^ (2.4)

/^ЧУЦ (ж?), ,ж

чнвает условий «гладкости» третьей производной:

(ж® — 0) = (ж®+0), г = 2,..., N — 1. (2.5)

Для выполнения (2.5) на основе (2.2) и (2.3) запишем

ш(г)(т т- ои ои 24 (1) 36 (!)

- и) - - 73—/¿-1 + 73— и - -

60 г 60 г

"3 • Лг-1 Тг-1 - ^ Л3 ' г —1 /г —

3 А2) _ 9

Л-г-1 ' Тг-1 | /, /г ,

60 60 /г+1 — 36 ,

Л?/г л? у

/,2 -/¿+1

"г

+

г = 2,...^-1.

(2.6)

Подставив (2.6) в (2.5), получаем 60 ,

+

+ .НЛ /(2) _ А/(2)

= 0,

(2.7)

Ы-1 к]п 1ыи+1

¡ = — 1.

Систему из N—2 линейных алгебраических уравнений (2.7) представим в матричной форме:

где в = \\gij||, г = 1,..., N — 2, ^ = 1,... , З^ Таким образом, задавая сплайн вектором Р с 3-^ компонентами, необходимо учитывать N — 2 ограничений вида (2.8).

С целью уменьшения числа параметров, определяющих сплайн, добавим к системе (2.7) два очевидных тождества

и, представив ее в виде системы из N + 2 линейных алгебраических уравнений, запишем в матричной форме:

,

(2.8)

Л(2) =

,

где коэффициенты системы (2.7) объединены в матрицы

В=\\Ь^\\, j = 1,..., N,

Ъ = \\, г = 1,..., N, j = l,...,2N+2,

а вектор П = {шк)т, к = 1,..., N имеет компоненты шк = / 1,..., N.

г

Определим вектор П:

п = в-1Б д.

(2.9)

Согласно (2.9) введем в рассмотрение матрицу

С = \\С^\\, г=1,...,^

определяемую матричным выражением С = В-10. Тогда вектор П определится выражением

П = СС&.

В соответствии с формулами (2.4) на основе равенства (2.9) появляется возможность выразить векторы Аа через посредством матричных равенств Аа = CаQ, а = 0,..., 5. Здесь введены матрицы

С« = НС? II, г= !,..., N — 1, ^ 1,...,2^2, а = 0,...,5.

Построив матричные выражения, определяющие векторы Аа, а = ,... ,

ченнй сплайна и его производных в точке с координатой х.

В соответствии с (2.2) вначале установим отрезок [хг,хг+1], содер-

х

Значение индекса г, обеспечивающего условие х € [хг,хг+1] при разбиении А, определим по формуле г = Л (А, х), где

N-1

Я(Д, х) = sign(x — хг), х ^ х ^ xN.

г=1

С учетом (2.2) запишем

= (2.10)

х € [х,хN, г = «1(Д,х), в = 0, ...,5.

(г)

Таким образом, на основе коэффициентов

О^а 5 г — 1,..., N — 1, а =

,... ,

(2.10) определяют значения сплайна и его производных до пятого по-

х

ной области определения х € [хг, хг+1].

3. Дискретный аналог уравнения равновесия

Дифференциальное уравнение равновесия [4] запишем в развернутом виде:

и , ЛЕ1у)#™ , <Р{Е1у)<Ри, _ ( Л

¿ж ¿ж3 + ва? ¿х^~ЧЛХ)- (ЛЛ)

При замене искомой функции перемещения осевой линии ад = ад (ж) ее сплайповой аппроксимацией 'N^'5,2 (ж) определяется поперечная нагрузка Ч2 = Ч2(ж), при которой сплайн (ж) является точным решением дифференциального уравнения (3.1):

д (х) = Е1 + + <Р(Е1у)<РW5,2(ж)

2 у ¿ж4 ¿ж ¿ж3 ¿ж

При построении дискретного аналога дифференциального уравнения (3.1) воспользуемся известным из теоретической механики принципом Пуансо [5]: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, п к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Базируясь на принципе Пуансо, для определения сплайн-функции ^5,2(ж), близкой к искомому решению ад = ад(ж), использовали условие эквивалентности внешних действующих на балку нагрузок, заключающееся в том, что в пределах каждого отрезка [ж,, ж^] точные Ч2 = чЛж) и приближенные = Ч2(ж) распределенные нагрузки приводятся к центру приведения, имеющему координату ж,. В итоге определяются главный вектор и главный момент Ыу^ для заданной внешней нагрузки цг = ч2 (ж) и главный вектор И^ и главный момент Ыу^ для приближенной нагрузки = дг(ж) для N — 1 узлов:

д2г) = / чг(ж ¿ж,

х< г =1,2, — 1,

Ыу = / дг(ж (ж — ж,) ¿ж,

~ (i) +1 Д^ = / qz(x)dx,

X'+1 ¿=1,2,...,^ - 1. (3.2)

Myli = j qz(x)(x — dx,

Xi

Определить Д^ и My^ по заданной распределенной нагрузке qz = qz(ж) можно как аналитически, так и численно с любой заданной точностью.

Рассмотрим вариант, при котором жесткость поперечного сечения EIy является сплайном третьей степени дефекта 1 [2]:

з з

ад/у( x = w3,i (*) = (ж — *i)a = £ bi г,

a=0 a=0

£ = x — Xi, ж G [xi, xi+i], г = 1, 2, .. ., N — 1. Сформируем из значений Д^ и My^ вектор-столбцы Rz и Му: Rz = (Д«)T, г = 1, 2,..., N — 1, My= (My^ )T, ¿ = 1,2,...,N — 1.

Введем в рассмотрение матрицы К и Т:

К= ||KKi,j||, г= 1,2,...,N — 1, .? = l,...,2N + 2, T=y:fi,j||, ¿ = 1,2,...,N — 1, j = l,...,2N+2, на их основе представим соотношения (3.2) в матричной форме:

i Rz = KQ,

y.

Приравнивая главные векторы Д^ и Д^ и главные моменты My1"1 и My^, получаем систем у из 2N — 2 алгебраических уравнений:

( = д«,

Д ¿=1,2,...,N — 1. (3.3)

ii

My My

Добавляя к системе (3.3) четыре уравнения, учитывающие краевые условия, получаем систему из 2N + 2 алгебраических линейных уравнений, однозначно определяющую вектор С^, а следовательно, саму сплайн-функцию 'N^'5,2 (х).

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов В. П., Абдрахманова А. А. Расчет изгиба балок методом сплайнов // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 98-104.

2. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел. Уфа, Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2003.

3. Завьялов Ю. С., Квасов В. П., Мирошниченко В. Л. Метод сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

4. Работнов Ю. П. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

5. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1. Статика. Кинематика. М.: Высш. шк., 1977.

г. Уфа

20 декабря 2012 г.