CC BY
15
Краткие сообщения
УДК 004.422.635
задача оптимальной стабилизации линейных многосвязных биомедицинских динамических систем*
А. В. Щенников, В. Н. Щенников
Приводится формулировка задачи оптимальной стабилизации линейных многосвязных биомедицинских систем с перекрывающимися декомпозициями и разбирается метод ее решения.
Отличительной особенностью многосвязной эргатической управляемой динамической системы является ее большая размерность. Большая размерность систем приводит к серьезным трудностям как аналитического, так и вычислительного характера. Особенно это касается эргатропных управляемых динамических биомедицинских систем. К указанным моделям относятся, например, модели, описывающие взаимодействие посредством диффузии через мембрану одинаковых клеток [3]. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемые здесь модели описываются многосвязными линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с перекрывающимися декомпозициями (подсистемами). Известно, что субоптимальная стабилизация не приводит к оптимальному управлению, а врач-оператор должен иметь точный результат [2]. В этой связи в данном исследовании и разрабатывается способ решения задачи оптимальной стабилизации применительно к указанным системам, т. е. к системам
1x1 \ (И (1x2 (И
1хз
Ац 1 Ап \ А1з А21 ¡А22: А23 А31 ! А32 А33
V х1 -А Х2 V х3 у
' В11 В12
+ В21 В22
ч В31 В32
(1)
Пунктирными линиями здесь обозначены перекрывающиеся подсистемы. Вектор
\Т
х =
I т т т\
I х1 , х2 , хз
х представим в виде х1 е Яп, х2 е Я"2, х3 а вектор управления — в виде и = \и{ щ е Я™1, щ е Я™2, щ + = т, т < п.
) , где
+ "2 + "з = п, т ит )т
Далее из трех компонент вектора х образуем две
компоненты у1 = (хт, хт) , у = (хт, х3 ) .
(т т \т У1 , У2 ) .
Вектор у связан с вектором х соотношением у = Ух. Размерности постоянных матриц А ■, ^,] = 1,3), и В^, (х = 1,3, I = 1,2) соответствуют размерностям соответствующих векторов х и и¿.
Выберем и, У, и М в виде [2, с. 458 — 459]
0 0 0 ^
112
и ■■
1
0
0
0 1з
Щенников А. В., Щенников В. Н., 2012
* Полное содержание данной работы было изложено на XXXVIII Огаревских чтениях (11 декабря 2009 г., г. Саранск).
192 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
0 12
M :
A12
0 2 A22
о - 2 A22 0 -1A32
0 A 0 0 13
1 A - 2 A12 0
- f A22 0
-A-2
1
22
32
и, считая, что N = 0, получим систему с неперекрывающимися декомпозициями (подсистемами), т. е.
(B11 B12 ^
+ B21 B22
B21 B 22
[ B31 B32 ,
Здесь N = В - VB, В и В стоянные
матрицы по-
МГ ) == [ (М1Г ) , (М2Г1
уровне, 5 = 1,2. С учетом принятых обозначений система (2) будет иметь вид
^ = АЛ + Blmw + Ау2У'2 + B3i2"G2),
^ = А'У'2 + В?2"Л2) + А21У1 + BB'iM^,
(2.2)
где
A11 A12 A21 A22
A22 A23 ^ A32 A33 у
Bi
B11 B21
B2 =
есть матрицы, соответствующие двум подсистемам
dy л Г A11 A12 0 A13 Л
dt A21 A22 0 A23 [" 1 + [ y2 J з Здесь
dV2 dt у A21 V A31 0 0 A22 A32 A23 A33 у
^ = ^ + ^ =+В2«л2)
(3.1)
(3.2)
12
(2.1)
B12 =
B12 B22
B21 =
A21 =
A21 0 A
31
0 J
B21 B31
являются матри-
являющиеся множителями при и = («1, и )Т соответственно систем (1) и (2).
Обозначим через и^ = ^(и^л) , (и^)
а через
управления на локальном уровне,
\Т
— на глобальном
цами связей. Задача решается в два этапа. На первом этапе системы (3.1) и (3.2) в предположении их управляемости строятся модальные стабилизирующие системы (3.1) и (3.2). На втором этапе, т. е. на глобальном уровне, решается задача оптимальной стабилизации с учетом того, что подсистемы (3.1) и (3.2) асимптотически устойчивы. На этом этапе строится и функционал качества управления. В заключении приводятся решения конкретных задач. Данное исследование продолжает и развивает исследования, содержащиеся в работах [1—3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем / В. В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 43, вып. 3. С. 440 456.
2. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / под ред. В. М. Матросова и С. В. Савастюка. М. : Мир, 1994. 576 с.
3. Щенников А. В. Математическая модель С. Смейла взаимодействия двух и более одинаковых клеток живой системы / А. В. Щенников // Препринт : СВМО. 2009. № 111. С. 1 9.
Поступила 13.02.2012.
Серия «Физико-математические науки»
193
