CC BY
64
Задача оптимального планирования работ по обновлению железнодорожных мостов: постановка, методы оптимизации, вычислительный эксперимент
Петровец Юрий Олегович ведущий специалист ЗАО «ПРОГНОЗ» г. Пермь petrovets@prognoz.ru
Сформулирована задача долгосрочного оптимального планирования работ по обновлению железнодорожных мостов. Предложен алгоритм решения задачи, основанный на идее метода ветвей и границ. Описаны результаты вычислительного эксперимента, проведенного для железнодорожной сети Дании.
Ключевые слова: обновление железнодорожных мостов, задачи оптимального планирования, метод ветвей и границ, динамическое программирование.
Optimal planning of the renovation of the railway bridges: formulation, algorithms for solving, computational experiment
Petrovets Yuri O.
Expert
JSC PROGNOZ, Perm petrovets@prognoz.ru
The paper presents the long term optimal control problem arising in the planning of the railway bridges renewal. A method of solving the problem is based on the idea of
branch and bound algorithm. Some results of computational experiment conducted on the data of the railway network of Denmark are presented.
Keywords: railway bridge renewal, optimal planning, brunch and bound algorithm, dynamic programing
Введение
В статье рассматривается задача оптимизации расходов ж.-д. компании на обновление и техническое обслуживания (далее ТО) ж.-д. мостов, за счет правильного выбора сроков проведения работ. Данная задача - это развитие разработанной ранее задачи оптимального обновления ж.-д. полотна [1].
Особенностью ж.-д. мостов как объектов основных фондов является очень продолжительный срок службы. Это обуславливает сложность комплексного планирования ремонтных работ, что зачастую приводит к чрезмерному износу мостов и повышенным расходам на их модернизацию. Так, например, в России в 2010 г. около 30% ж.-д. мостов были спроектированы и построены в период с 1861 по 1907 годы под поездные нагрузки существенно меньшие действующих сейчас. Из них свыше 10% мостов имеют повреждения, ослабления элементов коррозией металла и иные дефекты [2]. Несвоевременное обновление элементов моста может стать причиной его обрушения [3].
Своевременный ремонт позволяет избежать чрезмерных расходов на ТО. Объединение работ по обновлению мостов (и пути) в более крупные проекты позволяет снизить себестоимость работ за счет эффекта масштаба, а также сократить время, в течение которого линия, на которой проводятся работы, будет закрыта [4]. При удачном выборе сроков работ, можно добиться экономии средств за счет совместного обновления нескольких элементов моста. Все эти особенности должны быть учтены при разработке математической модели.
Постановка задачи
Ж.-д. мост состоит из большого количества элементов, таких как крылья, склоны, абатменты, компенсаторы и т.д. (см., например, рис. 1). Динамика износа, срок службы, стоимость ТО и другие характеристики отдельных элементов могут различаться.
Рис. 1. Элементы ж.-д. моста
Пронумеруем все мосты и их элементы. Будем обозначать 5 - множество номеров всех мостов; А - множество номеров всех элементов всех мостов; Ау -множество элементов моста У; ау - количество элементов моста У; ау/ау -наименьший/наибольший номер элемента моста у.
Рассмотрим износ ж.-д. линии в моменты времени 1,...,Г. Предполагается, что один момент времени - это календарный или финансовый год, а длина прогнозного периода равна нескольким десяткам лет. Ж.-д. компания, оказывает на износ управляющее воздействие в виде периодического обновления элементов мостов. Введем оператор управления: и:{ 1 ,. . . ,7’}-(О, 1 }а (здесь и далее: { 0, 1 }п - вектор, состоящий из п элементов, каждый элемент равен 0 или 1). Будем понимать и^ ( ґ) как решение обновить, если , или не обновить, если , элемент в момент времени . Все
характеристики износа конкретного элемента могут быть однозначно
определены по его сроку службы. Далее, говоря об износе, будем подразумевать возраст элемента (в годах). Обозначим х :{ 0 ,.. .,7}-Ш а -оператор, определяющий износ ж.-д. линии. А именно, будем понимать х * ( t ) -возраст элемента в момент времени . Динамика износа определяется следующим образом:
х* (0 = ФК ( 0 ( £-ц Щ^-1^1, (1)
ке Лде{ 1,.. .,7}, х* ( 0 ) = х£ , к е Л . (2)
На возраст элементов моста могут быть наложены ограничения. В первую очередь на максимальный срок службы. Также логично предположить, что чересчур раннее обновление априори не выгодно. Такие ограничения целесообразно ввести для сокращения количества допустимых состояний системы:
х* (Ое^сШ, кеЛ де{ 1 ,.. .,7}. (3)
Особенностью эксплуатации мостов является необходимость обязательного обновления одних элементов моста при обновлении других [5]. Пусть /)у = (Лу, Еу), У е5 - орграф, вершинами которого являются элементы моста , а любая дуга означает, что при обновлении элемента
должен обязательно быть обновлен элемент При этом в орграфе будут отсутствовать дуги, между вершинами и если { }
{ } В предлагаемой постановке вводится
дополнительное условие, что все орграфы являются деревьями. Для удобства будем полагать, что все деревья связные, а корневой элемент имеет наименьший номер ау-. Таким элементом, как правило, выступает вся
конструкция моста целиком, при обновлении которой заменяются все элементы моста, в каком бы состоянии они не находились. Введем следующие
обозначения: - множество дочерних элементов для элемента ;
- родительский элемент для элемента к; С С (к) = { I е Лу : Р ( .. . Р (Р ( 0 ) ) = к} -
4
множество всех дочерних элементов для элемента С; РР( С) = {ЇЄАу:/сЄ С С ( С) } - множество всех родительских элементов для элемента С. Запишем ограничение на совместное обновление:
и/с (ґ) (ис ( ґ) + и ( ґ) ) ^ 1 , С, і Є Ау: Р ( і) = С,у Є 5, (4)
Расходы на обновление обладают важной особенностью - их величина может зависеть от сочетания, обновляемых элементов моста. Введем обозначение - расходы на обновление элемента которое
произошло в результате обновления элемента Расходы на
обновление могут зависеть от того, в каком состоянии на момент обновления находится элемент моста. Как правило, если обновление элемента произошло вместе с каким-либо родительским элементом, то стоимость обновления несколько ниже:
(хі(ґ) , ґ) , V і Є Ау,у Є 5. Суммарные расходы на обновление элементов моста У в момент времени ґ будем обозначать функцией /у5Г(иу ( ґ ) , ху ( ґ) , ґ) =
І?4,и(ґ)Л!р (и (ОД где - функция, возвращающая
родительский элемент, в результате обновления которого произошло обновление элемента если такой элемент есть, или сам элемент если он был обновлен независимо от других элементов; здесь и далее иу ( ґ) = иа (ґ) ,..., иа.( ґ), аналогично ху (ґ) и гу (ґ) .
Величина расходов на ТО для моста у в момент времени ґ определяется функцией
//т(ху( 0 ,ґ) = ^ /С" (х-( 0 ,0, у Є 5,ґ Є { 1 ,...,7},
где - расходы на ТО отдельного элемента в момент времени .
Обычно расходы на ТО начинают постепенно возрастать, когда срок службы элемента моста превышает определенную величину:
А ,ґ Є { 1 ,... ,7}, а, Ь Є М, а > Ь.
Известно, что все работы по обновлению ж.-д. инфраструктуры лучше объединять в проекты. Это позволяет учесть эффект экономии от масштаба, сокращение времени и соответственно расходов из-за неиспользования ж.-д. линии, недовольство пользователей ж.-д. услуг и т.д. Поэтому добавляются ограничения на паузы между обновлениями:
||и(с)|| ■ ||и(£-1/011 = 0,С е { 1,...,7}, = { 1,...,р},С —/ > 0, (5)
где - пауза между обновлениями.
Для решения проблем, связанных с ограниченностью прогнозного периода, вводятся штрафы за обновление моста раньше рекомендованного срока:
/5Р(иу( 0 ,гу ( 0,с) = ^аД 0 ^ // О* ( 0 ,0 =
кЕА]
= Иа; (0 Т О* ( 0 , 0^( { ;/* ^ \ ^* 7 е 5, с е { 1 , ...,
а *Й; а Л'С с-г* ( 0 )
где - функция, определяющая срок службы элемента , при условии, что
в последний раз он был обновлен в момент времени т; а г* ( С) определяется равенством
г* (С) = о)(х* (С — 1 ) ) = х* (С — 1 ) + 1 , к е Л , £ е { 1 ,... 7} . (6)
Целевой критерий записывается следующим образом:
т
ТТ(^5Г(иУ (с) ,хУ( С),с) + /-(ху(0,0 + /5р(иу (с),гу(С) ,с)) - тт. (7)
; 65 С=1
Чтобы не усложнять запись, будем полагать, что все слагаемые целевой функции содержат множитель дисконтирования.
Алгоритм решения
Сформулированная задача является задачей динамического
программирования, в которой - число шагов (этапов), - управляющее
воздействие, и - фазовые переменные, а множество допустимых процессов управления задано равенством
С = { (и,х,г): и:{ 1.7} - { 0 , 1 }а,х,г : { 0.7} - М а,( 1 ) - (6 ) } .
Несмотря на то, что формально задача относится к хорошо известному классу задач, применить к ней напрямую общепринятый метод решения -принцип оптимальности Беллмана - не представляется возможным, ввиду т.н. «проклятия размерности» [6].
Введем два определения. Под проектами допустимого управления и будем понимать булев вектор р = (шахи ( 1 ),. ..,тахи (7) ) Т. Т.е. проект применительно к отдельному элементу моста означает лишь возможность или разрешение провести обновление, а не сам факт обновления.
Будем говорить, что процесс управления (и, х, г) удовлетворяет вектору проектов если он принадлежит множеству
которое определяется равенством
Ср = { (и,х,г) Є С: и ( ґ) = (0 ,. .., 0 ) Т,У ґ :р ь = 0 } .
Очевидно тождество:
ш і п{ (6 )|(и,х,г) Є С} = ш і п|ш і п{ (6 )|(и,х,г) Є }.
и р I и )
Заметим, что для фиксированного вектора проектов , элементы которого являются проектами некоторого допустимого управления и, задача (1)-(7) «распадается» на множество небольших подзадач оптимизации работ для каждого моста. Каждая такая задача имеет много меньшую размерность, чем исходная. Тем не менее, применение метода динамического программирования по-прежнему может осложняться размерностью.
Осуществить поиск наилучшего вектора проектов можно с помощью метода ветвей и границ. Ветвление допустимо организовать несколькими способами. Примеры двух способов ветвления схематически изображены на рис. 2а и рис. 2б (более подробное обоснование этой части алгоритма будет опубликовано в последующих статьях).
а. б.
Рис. 2. Процедуры ветвления
Обычным приемом, использующимся для нахождения оценок, является расширения множества допустимых процессов управления так чтобы:
a. новое множество полностью включало исходное;
b. найти оптимум на более широком множестве оказалось проще.
В этом случае оптимум на более широком множестве можно использовать в качестве оценки [7].
Рассмотрим произвольную ветвь Ь. Будем искать оценку £ ( Сь) в виде:
£ ( Сь) = Т П п{( 8 )|(и5Лх5',г5') е Р 0',Ь) },
и1
; 65
где й ь - количество элементов в векторе Ь ,
РО', Ь ) = { (и, х, г) : и: { 1 ,..., й ь} - {0 , 1 } а', х, г : { 0 ,..., й ь} - N а', ( 8 ) — ( 1 3 ) },
йь
Т //5 (и5' ( С) , х5' ( с) , г5'( С) , С) + Му (х5' ( й ь) , й ь) , (8)
С=1
и ( С) = ( 0 ,..., 0 ) т, се{ 1 ,..., й ь} : Ь с = 0 , (9)
х* ( С) = *(и ( С) ,х ( С — 1 ) ),г* ( С) = ы(х* ( С — 1 ) ),
С е { 1 ,...,й ь},к е { 1 ,...,ау}, х* ( 0) = х£+а _! , к е {1,...,ау}, (11)
х(0 £ Хк+аг1>
Се{ 1 ^ . .,йь},ке{ 1 ^ (12)
(10)
и* ( С)(и* (С) + и(С) ) ф 1 , к, £ е{ 1 ,.. . ,ау] :Р( 1 + ау —1 ) = к + ау —1 . (13)
а терминальный член должен гарантировать выполнение условия
£ ( Сь) < пн пи{ ( 7 ) | (и, х, г) е Щ .
Терминальное слагаемое будем вычислять:
»>
(хт,т) = ^ Му^(хт( к — ау- + 1 ),т) =
кЕА]
= ^ да{(1 4)|( ц^к ) Є Н( к, хт(к — ау- + 1 ), т)},
кЕА]
где
Н(к,Хо,т) = { (и,х,г):и : {т + 1 ,...,7} — { 0 , 1 },х,г : {т,...,7} — М, ( 1 5 ) — ( 1 7) },
т
^ (/Г (Х ( О , о + и ( О ІЄРШ(ІПи/с{^&Р(х ( ґ), г ( ґ), ґ)}), (14)
ґ=т+1
х (ґ) = <р(и( ґ) ,х (ґ — 1 ) ),г (ґ) = о)(х (ґ — 1 ) ), ґ Є {т + 1 ,...,7}, (15)
х (т) = х£, (16)
х (ґ)Є^, ґЄ{т + 1 ,.. .,7} . (17)
Функция /г^р (х ( ґ) ,г ( ґ) ,ґ) возвращает расходы на обновление элемента к в результате обновления элемента , если не корневой элемент, либо сумму расходов на обновление и часть штрафа за раннее обновление, если -корневой элемент:
С> (Х (ґ) ,г (ґ) ,ґ) = (хй(ґ), 0 + п ^ ( ґ) , ґ) ;у I = ау .
Таким образом, чтобы не нарушить условие £ ( Сь) < ш і пи{ ( 7 )|(и, х, г) Є Сь} мы предполагаем наиболее удачный план обновления для каждого элемента в отдельности.
Идею алгоритма решения ші п^Д( 8 )|(и5у,х5лг5у) Є F (/ , Ь ) } рассмотрим
на упрощенном примере: предположим, что для некоторого моста
выполняется С( к) = 0 , к Є С(ау). Опять воспользуемся методом ветвей и
границ. Процедура ветвления может быть организована следующим образом:
9
Рис. 3. Процедура ветвления (2)
Множество F (у, Ь, Ь 1) = { (и,х,г)еР(у, Ь):%(£) = Ь-1}, a р!,р2, ■ ■ ■ - даты первого, второго и последующих проектов (вектора проектов Ь). Разумеется, если какая-то ветвь приводит к нарушению ограничения на максимальный срок службы элемента ау-, то процедура ветвления должна это учитывать и исключать такие ветви из рассмотрения.
Для оценки произвольной ветви Ь 1 будем использовать неравенство:
Г^ь1
Ш1П
и 1
I /у5 (и5; ( о , х5; ( О , г5; (£ ) , £ ) + Му (х5; ( (I ь0 , (I ь О
t=l
(и5^х5^г50 6 Ь, Ь1)
>
/сел,-
-Хэд?- 4г&р(и(0,х(0, г(0,0 + Ж/(х(с?Ь1),сгЬ1,Ь)
t=l
(и,х,г) е К^к.Ь.Ъ1)
где - это количество элементов в векторе 1( к,Ь,Ь 1 ) = { (и,х,г):и: { 0,... ,йь 1} — { 0, 1 },х,г : { 0,... ,йь 1} — М, ( 1 8) — ( 2 2 ) },
х ( £) = <^(и ( £) ,х ( £ —1 ) ),г ( £) = &>(х ( £ —1 ) ), £е{ 1 ,.. . ,Й ь 1}, (18)
х(0) = х£, (19)
х ( £)еХ^, £е{ 1 ,.. .,£* ь 1}, (20)
и (£) = 0, £е{ 1 ,..., (I ь 1} :ЬС = 0 , (21)
и ( 0 = 1 , £ е { 1 ,...,£* ь 1} : Ь 1 = 1 , (22)
10
<
>
а функция
(fk.aj 0(0, 0 + fk (Z(f)’ bt = 1>
fk&p(u (0*x (0 *z (0*0 = { и( 0 fa (х ( 0 *0 * # = о, i ф а;,
( 0, bl = Q,i = aj.
Терминальное слагаемое (хт, т, Ь) будем вычислять исходя из тех же
соображений, что и (хт,т) :
VK-fc (хт,т, Ь) = mi n{ ( 1 4)|(u, x,z) £ Я ( к,хт,т),u ( t) = 0,bt = 0,£ = т + 1 ,. . . ,d ь} .
J и
Благодаря предпосылке о том, что все орграфы Dy являются деревьями, использовать, описанный выше, прием можно и для случаев, когда 3 к £ С(а;) :С ( к) ф 0 . Для этого метод ветвей и границ должен применяется по аналогии для всех таких .
Вычислительный эксперимент
Приведем описание некоторых результатов вычислительного эксперимента, проведенного на реальных данных, описывающих ж.-д. сеть Дании (46 линий, 1585 мостов, 14995 элементов моста).
Период прогнозирования 2013-2061 гг. (49 лет). Максимальное количество родительских элементов равно четырем. На время расчета существенное влияние оказывает параметр Для всех линий этот параметр равен 10.
Были рассчитаны: оптимальный план работ (план А), план, при котором каждый элемент моста обновляется либо в положенный срок, либо согласно ограничению (4) (план B). Отметим, что план B нарушает ограничения на паузы между обновлениями для всех 46 линий.
Суммарное время расчета всех задач составило 8 мин. 4 сек. Расчет был выполнен в два потока на персональном компьютере со следующими характеристиками: процессор Intel® Core™ 2 Duo CPU E7400 @2.80Ghz 2.53Ghz, 2.00Gb ОЗУ, 64-разрядная оперативная система. Программа написана
на языке C# под .NET Framework 4 и интегрирована в АК «ПРОГНОЗ-5» [8]. Программа учитывала специфику конкретных функций расходов на ТО, что позволило несколько сократить общее время вычисления. Самая крупная задача решалась для 103 мостов (1049 элемента) Количество неизвестных: 51401 (число элементов, умноженное на число лет). Примерное количество ограничений: 104873 (учитываются ограничения на совместное обновление, на паузы между обновлениями, на максимальный срок службы, на целочисленность неизвестных). Время расчета составило 43 сек.
Несмотря на необходимость соблюдать ограничения на паузы между обновлениями план работ А оказался выгоднее. Экономия объясняется эффективным объединением работ в рамках одного проекта. Так например, расходы на обновление при использовании плана А на 29,7% меньше, чем при использовании плана В. Сумма расходов на обновление, расходов на ТО и штрафов за раннее обновление мостов оказалась меньше на 19,1%.
Заключение
В статье сформулирована задача оптимального планирования работ по обновлению ж.-д. мостов. Для нахождения оптимального плана работ требуется минимизировать суммарные расходы на обновление и ТО, по возможности сократив величину недоиспользованного срока службы. Описанная задача может содержать большое количество неизвестных и ограничений, что осложняет применение классических методов решения, таких как принцип оптимальности Беллмана. Однако используя специфические особенности постановки, удается предложить алгоритм поиска решения, основанный на методе ветвей и границ, показавший высокую эффективность на реальных данных. Предложенная постановка и алгоритм решения могут «безболезненно» дополнить задачу оптимизации работ по обновлению ж.-д. полотна [1].
Библиографический список
1. Петровец Ю.О. Оптимальное планирование работ по обновлению железнодорожной инфраструктуры (на примере компании Banedanmark) // Вестник ПГУ. Серия «Экономика» - 2012. №3(14). - С. 24 - 31.
2. Годовой отчет РЖД - 2010. URL: http://www.rzd.ru (дата обращения 09.10.12)
3. Yanev B. Suspension bridge cables: 200 years of empiricism, analysis and management. - New York, 2009.
4. Петровец Ю.О. Проблемы и перспективы долгосрочного планирования при разработке программ по модернизации железнодорожной инфраструктуры // Финансовые проблемы и пути их разрешения: теория и практика: сб. науч. тр. 13-й Международной научно-практической конференции. - Спб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - С. 121 - 122.
5. Sianipar P., Adams T. Fault-Tree Model of Bridge Element Deterioration Due to Interaction // Journal of Infrastructure Systems. - 1997. №3. - P. 103110.
6. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ, 1960. - 400 с.
7. Сигал И.Х., Иванова А.П. Введение в дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы: Учеб. пособие. - Изд. 2-е, испр. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 240 с.
8. Свидетельство Российского агентства по патентам и товарным знакам № 2005610980 от 22.04.2005 об официальной регистрации программы для ЭВМ. Авторы: Андрианов Д.Л., Полушкина Г.К. и др.
