Задача о распределении тепла в плоскости, состоящей из двух различных неоднородных материалов, с полуограниченной межфазной трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955.8

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

А. C. Черникова

ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛА В ПЛОСКОСТИ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ, С ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНОЙ

Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1

Рассматривается задача трансмиссии для системы уравнений, описывающей стационарное распределение тепла в плоскости, состоящей из двух полуплоскостей, заполненных неоднородными материалами с различными экспоненциальными коэффициентами теплопроводности. На границе этих материалов содержится полуограниченная трещина. Дано определение классического решения задачи, а также сформулированы условия его существования. Получены явные формулы решения. В работе развиваются результаты, полученные для ограниченной трещины. Они являются основой для предстоящего изучения асимптотических представлений решения и его первых производных вблизи ограниченной трещины. Библиогр. 19 назв.

Ключевые слова: задача трансмиссии, обобщенное решение, гладкость решения, выполнение краевых условий, уравнения стационарной теплопроводности, трещина.

А. S. Chernikova

HEAT DISTRIBUTION ON A PLANE WHICH CONSISTS OF TWO DIFFERENT NON-HOMOGENEOUS MATERIALS WITH A SEMI-BOUNDED INTERPHASE CRACK

Voronezh State University, 1, Universitetskaya square, Voronezh, 394006, Russian Federation

The problem of transmission for the system of equations is considered. It describes the stationary distribution of heat in the plane consisting of two half-planes, filled with non-homogeneous materials with different exponential coefficients of thermal conductivity. There is a semi-bounded crack on the boundary of these materials. A definition of the classical solution of this problem is given and the conditions of its existence are formulated. Explicit formulas of this solution are worked out. This research develops the results which are obtained for the bounded crack and they are the basis for further study of asymptotic representations of the solution and its first derivatives near the bounded crack. Bibliogr. 19.

Keywords: transmission problem, generalized solution, solution smoothness, implementation of the boundary conditions, steady heat conduction equation, crack.

1. Введение. Рассматривается задача о стационарном распределении поля температуры в плоскости, составленной из двух полуплоскостей, состоящих из неоднородных материалов, с трещиной на границе их сопряжения. Предполагается, что коэффициенты внутренней теплопроводности материалов различны и имеют экспоненциальный вид. Задаются условия на скачки температуры и теплового потока через границу.

Многие работы посвящены модельным задачам, описывающим физические характеристики материала с трещиной. Так, в [1-4] изучались задачи о стационарном

Черникова Анастасия Сергеевна — аспирант; e-mail: chernikova-an@mail.ru Chernikova Anastasia Sergeevna — post-graduate student; e-mail: chernikova-an@mail.ru

и нестационарном распределении тепла в плоскости с конечной трещинои, представляющей собой отрезок. Крестообразному варианту трещины для задачи о стационарном распределении тепла в плоскости с экспоненциально изменяющимся коэффициентом внутренней теплопроводности посвящена статья [5].

Дальнейшие исследования были сконцентрированы на поведении решений задач о распределении тепла в биматериалах. В [6, 7] решается задача о теплопроводности в двухкомпонентном материале, состоящем из однородных материалов, один из которых содержит систему микротрещин, с межфазной трещиной. Также задачам, моделирующимся уравнениями теплопроводности на полуплоскостях и условиями на присутствующих трещинах, посвящены работы [8—11].

Ряд результатов, касающихся поставленной задачи, можно найти в [12-15].

Данная статья - вторая из цикла, посвященного изучению качественных свойств решения поставленной задачи. В первой работе [15] рассматривается классическое решение поставленной задачи для случая конечной трещины. В этой статье описан первый этап построения асимптотических представлений решения исследуемой задачи по расстоянию до отрезка трещины. А именно, выделяются гладкие компоненты представления решения. Конечная цель цикла работ - выделение сингулярных компонент асимптотических представлений решений и их производных при обобщающем задачу отказе от ряда предположений, которые в первоначальной постановке задачи сглаживают поведение решения вблизи трещины.

Настоящая работа, с физической точки зрения, решает задачу о стационарном распределении тепла в плоскости, состоящей из различных неоднородных материалов, с полуограниченной межфазной трещиной, а с математической точки зрения, является подготовкой к изучению сингулярных компонент решения задачи, сформулированной в первой работе из указанного цикла, и его первых производных.

2. Основные понятия и обозначения. Пусть х = х2) € М2, через М+ и М^ будем соответственно обозначать множества точек М+ = {х\ х\ € М,х2 > 0}, М^ = {х\ х\ € М, х2 < 0}. Рассмотрим задачу о стационарном распределении поля температуры в биматериале с конечной межфазной трещиной. Данная задача моделируется следующей краевой задачей для системы уравнений с частными производными:

/ ч , dui(x) AuUx) + ki 7 = 0, хеЙ,

dx2 +

(1)

/ n , du2(x) mo . .

Au2(x)+k2 —^ =0, iel2, (2)

dx2

с условиями на границе материалов Г = {x|xi G R,x2 = 0}

ui(xi, +0) — U2(xi, —0) = qo(xi), xi G R, (3)

dui . . du2m

-^(хь+0) -) = q1(x1), neR. (4)

dx2 dx2

Замечание 1. Условия (3), (4) понимаются в смысле главного значения: ui(xi, +0) — u2(xi, —0) = lim (ui(xi,e) — u2(xi, — e)), du i(xi,+0) du2(xi,— 0) f dui(xi,e) du2(xi,—e)

дх2 дх2 е—>+о у дх2 дх2

Уравнения (1), (2) получены из уравнения стационарной теплопроводности div(kp(x)gradмp(x)) = 0, р =1, 2, с коэффициентами внутренней теплопроводности кр(х) = екрХ2 • ср, р = 1, 2.

В первой работе [15] указанного в п. 1 цикла функции до(х1) и (х) финитны, яиррдо(х\) = яиррд1(х1) = [—1; 1], до(х\), д1(х1) € С3([—1; 1]). Таким образом, из граничных условий (3) и (4) следует, что вне отрезка I = {х|х1 € [—1; 1],х2 = 0} температурные поля на границе Г и тепловые потоки через границу материалов Г совпадают. На отрезке границы I С Г происходят ненулевые скачки температуры и потока тепла. В зависимости от дополнительных ограничений, налагаемых на функции до (х1) и д1(х1), решение такой задачи может быть классическим, или, в некотором смысле, обобщенным. Речь в первую очередь идет о наличии сингулярных составляющих компонент решения и его производных в окрестности границы. Как отмечалось в п. 1, раньше основное внимание было уделено классическому решению, которое вместе со своими первыми производными ограничено и непрерывно вплоть до границы. Приведем определение решения задачи (1)-(4).

Определение 1. Решением задачи (1)-(4) назовем пару функций и1(х) и и2(х), .заданных соответственно на «К2-, таких, чтои\(х) € и2(х) €

С2(М^) П С 1(М^), которые в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (1) и (2),

ди1 (х) ди1(х)

условиям (3) и (4), и такие, что функции е°-ък1Х2и\(х), е°-5к1Х2 —--; ео.5к!х2 —-

дх1 дх2

ди (х) ди (х)

ограничены на функции е°-5к2Х2и2(х), е°-ък2Х2 , ео.5к2х2 _ на

дх1 дх2

функции Ь:1[Х\ ^^ - при х2 > 5 > 0, функции е°-5к^д

дх2 дх2 дх\

2 1 2 1

е°

дх22

ству Ь1(М+), функция в°'5к2Х2и2(х) - пространству Ь1(М2_), а функции и1(х1 ,+0),

ди1(х1, +0) ди2(х1, —0)

и2(х1,—0), ---, --- существуют и принадлежат пространству

дх2 дх2

Ь1(Ж).

В вышеуказанном определении 6 - произвольная положительная константа. Главной целью всего цикла работ является детальный анализ решения задачи (1)-(4) с минимально возможными ограничениями на функции др(х^), р = 0, 1, что приводит к появлению сингулярных составляющих в тепловых потоках (первых производных решения) в окрестности границы. Именно его результаты наиболее интересны с практической точки зрения. В настоящей статье делается еще один шаг в направлении решения поставленной задачи. Функции др(х1), р = 0, 1, будут представлены в виде суммы двух компонент. Первая из них, несмотря на отличие ее свойств от свойств функций из граничных условий (3) и (4), сформулированных в статье [15], будет задавать тот же класс гладкости решения задачи, изучению свойств которого будет посвящена эта работа. Оставшиеся компоненты функций др(х1), р = 0, 1, будут настолько просто устроены, что допустят вычисление их образов Фурье. Данные свойства оставшихся компонент функций др(х1), р = 0, 1, станут основой изучения сингулярных асимптотик компонент решения обобщенной задачи, которая будет поставлена и исследована в дальнейшем.

Как уже говорилось, функции др (х1), р = 0, 1, запишем следующим образом:

др(хл) = др(х1) + др(х1), р = 0,1, (5)

д2и (х) 1 2 1 15к2Х2—тг~2— ~~ пРи х2 ^ —3 < 0, функция е°'5к1Х2ипринадлежит простран-

где др(х1) при р = 0, 1 принадлежат классу Э = {/(х)\/(х) € С3(М); /(х) = 0,х < _1;/(й)(_1) = 0,/г = 073;\^к\х)\ < Се~х,х > -1,к = О^З} и

ЯрЫ) = в-(х1+1)в(х1 + 1) [др(-1) + (х1 + 1) (д'р(-1) + ^(-1)) + 0.5(х1 + 1)2х х (^(-1) + 2др{-1) + др(-1)) + 1(х1+1)3 (9;"(-1) + 39;'(-1) + 3</р( —1) +

+ Яр(-1))] - в-(х1-1)9(х1 - 1) [9р(1) + (х1 - 1) (д'р(1) + др(1)) + 0.5(хл - 1)2х х (^(1) + 2др{1) + др(1)) + -I)3 (^'(1) + 3^(1) + 3^(1) + 9р(1))], р = 0,1.

(6)

Замечание 2. Справедливость представлений (6) будет доказана в дальнейшем.

Таким образом, задачу (1)-(4) можно разбить на такие задачи:

1) задачу, состоящую из уравнений (1), (2) и граничных условий

«1(х1, +0) - П2(х1, -0) = д0(х1), х1 € М, (7)

дпл . . ди2 , г , т

0^(х1,+0)--^(х1,-0) = Я1(х1), Х1€М; (8)

2) задачу, состоящую из уравнений (1), (2) и граничных условий

и1(х1, +0) - и2(х1, -0) = ^о(х1), х1 € М, (9)

ди ди

^(и, +0) - -0) = ЯгЫ), XI е к. (10)

Условия (7)-(10) понимаются в смысле главного значения (см. замечание 1).

В настоящей статье рассматривается задача (1), (2), (7), (8) и доказывается, что асимптотические представления ее решения и первых производных этого решения не имеют сингулярных членов. Таким образом, будет справедливо утверждение:

Утверждение. Решение задачи (1), (2), (7), (8) и его первые производные являются непрерывными, ограниченными функциями.

Несмотря на то, что специальный вид правых частей в условиях (7) и (8), обусловленный их принадлежностью классу Э, продиктован интересами разбиения (5) с функциями специального вида (6), задача (1), (2), (7), (8) имеет вполне определенный физический смысл, как задача с полуограниченной трещиной на границе раздела двух неоднородных материалов.

3. Задача (1), (2), (7), (8). Эта задача моделирует стационарное распределение тепла в двух связных полуплоскостях М+ и М^ с трещиной I = [-1; то) х {0}, находящейся на границе этих полуплоскостей, при условии, что в М+ и М^ отсутствуют тепловые источники. Условия (7), (8) задают скачки температуры и тепловых потоков на трещине I. Предполагается, что на полупрямой (-то; -1) х {0} температурные поля и тепловые потоки совпадают.

Аналогично определению решения задачи (1)-(4) можно сформулировать определение решения задачи (1), (2), (7), (8), оно будет повторять определение 1 с заменой граничных условий (3), (4) на условия (7), (8).

С помощью замен

ир(х) = в-°-5кРЖ2Ур(х), р =1, 2,

«2 (х1,х2) = 2 (х1, х2) ( )

от задачи (1), (2), (7), (8) можно перейти к следующей задаче

Д^(х) — 0.25к21у1(х) =0, х € М+, (12)

1 1 2 что функции г(х), ———, ———, ———, ——— ограничены нак^, функции

Дг(х) — 0.25к|г(х) = 0, х € М+, (13)

«1 (х1, +0) — 2(х1, +0) = д0(х1), х1 € М, (14)

-^(хь +0) + + Ьг{хи +0) + = Ж1 е м. (15)

2 дх2 2 дх2

Используем определение решения задачи (1), (2), (7), (8), чтобы сформулировать определение решения задачи (12)-(15).

Определение 2. Решением задачи (12)-(15) назовем пару функций «1(х) и г(х), заданных на М+, таких что (х), г(х) € С2(М+) ПС1 (М+), которые в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (12) и (13), а также условиям (14) и (15), и такие,

д«1(х) дг(х) д«1(х) дг(х

дх1 дх1 дх2 дх2 д2У1(х) д2у1(х) д2г{х) д2г{х)

———2—, —о~2—, ^ 2 ' д 2 ~~ пРи х2 ^ о > V, функции У1(х), г(х) принаоле-

/тт2 д«1(х1, +0) дг(х1, +0)

жат пространству Ь1(К+), а функции У\{х1, +0), г{х-1,+0), ---, ---

дх2 дх2

существуют и принадлежат пространству Ь1(М).

В определении решения задачи (12)-(15) 6 - произвольная положительная константа.

Таким образом, для построения решения задачи (1), (2), (7), (8) достаточно построить решение задачи (12)-(15) и воспользоваться формулами (11).

Введем в рассмотрение функции

У1(х)=/^ (х), х2 > 0,

(х1, —х2), х2 < 0;

(16)

\Z(x), х2 > °

У2(х)^г(х1, —х2), х2 < 0.

Замечание 3. В представлении (16) (у1(х),г(х)) - решение задачи (12)-(15).

Согласно определению решения задачи (12)-(15), функции У1 (х) и У2(х) - это функции медленного роста (см. [16]), и, следовательно, их можно рассматривать как регулярные обобщенные функции из Б (М2) (см. [16]).

Замечание 4. Пусть /(х1) и /(х) - обычные функции, такие что /(х1) € Ь1(М), а /(х) € Ь1(М2). Будем применять следующие обозначения: ГХ1,Х2^3182 [/(х)] -преобразование Фурье функции /(х) по переменным х1,х2; ГХ1^31 [/(х1)] - преобразование Фурье функции /(х1) по переменной х1; F—^Х1 [/(в1)] - обратное преобразование Фурье по переменной в1; FÍГ11S2_^Х1 Х2 [/(в)] - обратное преобразование Фурье по переменным в1 ,в2, т. е.

1

2тг

Fxux2^SuS2 [/(х)] = /к2 в^1^2^/(х^1 в*2,

81 , в2 ^Х1 , Х2и\"Л (2п

В дальнейшем, если не оговорено противного, под прямым и обратным преобразованием Фурье будем понимать «обычное» прямое и обратное преобразование Фурье, т. е. преобразование Фурье в смысле замечания 4.

Вычислив обобщенные производные от функций Ур(х), р =1, 2 (см. [16]), получим, что в Б (М2) они являются решениями уравнений

ДУр(х) - 0.25к2Ур(х) = 2

дУр(Х1,+ 0) дх2

5(х2), р =1, 2,

(17)

дУр (х1, +0)

р = 1,2, и2 = *2 + 4

или эквивалентных (17) уравнений Б -(И2+0.25 к^РХиХ2^аиа2\Ур(х)] = 2РХ1^а1

(18)

Это справедливо, так как, согласно представлениям (16) и определению решения задачи (12)-(15), функции У1 (х) и У2(х) принадлежат пространству Ь1(М2), а функции

У1 (х1,+0), У2(х1,+0),

дУ1(х1, +0) дУ2(х1, +0)

дх2

дх2

дх2

пространству Ь1(М), следовательно,

дУр(хи+ 0)

от функций Ур(х), Ур(х1, +0),

где р = 1, 2, существует преобразование

Фурье в смысле замечания 4, причем Рх1,х2—Я1 Ур(х)], где р = 1, 2, можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу. Уравнения (18) получаются из уравнений (17) применением к нему обобщенного преобразования Фурье по переменным х1,х2 и использованием свойств обобщенного преобразования Фурье (см. [16]).

В [15] доказано, что (18) можно рассматривать как равенства для регулярных функций.

Замечание 5. Для вывода уравнений (17) необходимо пользоваться следующими равенствами при р = 1, 2, которые справедливы в силу четности функций Ур(х), р = 1, 2:

дУр(х) дх2

У (х)]х2=° = Дт° (Ур(х1 ,е) - Ур(х1, -е)) = 0, Ит ГдУр{хие) _ дУр(хи-£)\ = 2 Ит дУр(хье)

Х2 = °

е—V дх2

дх2

е—+°

дх2

]дУр(х1,+ 0) дх2

Замечание 6. Нетрудно получить, что для функций У1(х) и У2(х), заданных равенствами (16), справедливы соотношения

Рх

дУр(х1 +0)

дх2

Введем обозначения

- + 0.25кр)°'5 Рх1—«1 [Ур(х1, +0)], р =1, 2.

Ш°(81) = Рх1 —«1 [Ур (х1, +0)], т! (51) = Рх1—«1

дУр(хъ+ 0) дх2

, р =1, 2;

(19)

Рр (в1) = рх1—«1 [др (xl)], р = 0, 1.

Из определения решения задачи (12)-(15) и условий на функции д°(х1) и д1(х1) следует, что функции (в1), тр(в 1) и Рр(в1) существуют.

Лемма 1. При р =1, 2 решения уравнений (18) представимы в виде

Х1 , Х2 —, г р

[Ур(х)] = —

2^1 + кЦ4Р1(81) + (-1)Р у81 + Щ_р/А + {-\ук^р/2)Р0{а1) |в|2+^/4 у/з{ + к'{/4 + кг/2 + - к2/2

Доказательство этой леммы получить несложно, если применить преобразование Фурье по переменной х1 к равенствам (14) и (15) и воспользоваться обозначениями (16), (19) и равенствами замечания 6.

З а м е ч а н и е 7. В ходе доказательства леммы 1 может быть установлено, что при р = 1, 2 справедливы представления

~ Р1(*1) + (-1)^ и8\ + 0.25/с§_ + (-1)Р0.5А;з-р) Р0(з1)

=--,...—,-> (20)

^ +0.25^ + 0.5/С1 + + 0.25^2 - 0.5к2

™р,(81

в1 +0.25к2

Р1 (в1) + ( —1)р ( А/в! + 0.25к|_р + ( —1)р0.5кз_^ Ро(в1)

. (21)

+ 0.25^ + 0.5/г! + + 0.25^2 - 0.5/г2

С учетом обозначений (20) из леммы 1 получаем, что решения уравнений (18) будут задаваться равенствами

Ур(х) = F-l?

Я2—Х1 ,Х2

2 в + 0.25кр)°'5 (|в|2 + 0.25кр) (в1)

, р =1, 2. (22)

В равенствах (22) символ F—?S2—Хl обозначает обратное преобразование Фурье в смысле теории обобщенных функций (см. [16]).

Перейдем к доказательству существования решения у задачи (12)-(15). Для этого сформулируем и докажем несколько вспомогательных лемм.

Лемма 2. Для функций Рр(в1) с р = 0, 1, заданных в (19), где др(х1) € Э, найдется такая положительная константа С, что будут справедливы следующие оценки:

< С(1 + |в1|Г4, р = 0,1.

Доказательство. Так как цр(х) =0, х ^ —1 при р = 0, 1, то для функций Р0(в1) и Р1(в1) будут справедливы такие представления:

— —' —''

Рр(в1) + Рр (в1) + Рр (в1)

Ро(в1) = у вгХ181 доЫйхь Р1 (в1) = J вгХ181 д1(х1)х. 11

(23)

Из условий на функции до(х1) и д1(х1) следует, что найдется такая положительная константа С, что при в1 € М выполнены оценки

Рр (в1)

< С, р = 0, 1.

(24)

Если | в 11 > 6, где 6 - некоторая положительная константа, то при помощи интегрирования по частям из (23) определяем, что при р = 0, 1 Рр(в1) =

е1х1Я1 («1) 1 д°(х1) - («1) 1/—1 е1х1Я1 д° (х1)йх1. Воспользовавшись последним

представлением и оценкой (24), имеем: есть такая константа С > 0, что при 51 € М выполняется оценка

Рр (51)

< С (1 + \ в 1 \) 1, р = 0, 1.

(25)

Трижды используя интегрирование по частям при р = 0, 1, аналогично оценкам (25) можно получить

Рр(51)

< С (1 + \в1\) 4 , если др(х1) € Э.

(26)

Оценки для функций Рр (51) = /^ вгх1в1 гх1др(х1 )3,х1, Рр (51) = /^ вгх1в1 (-х"^др(х1 ))йх1, где р = 0, 1, выводятся аналогично (26), стоит лишь отметить, что если др(х1) € Э, то и функции х1 др(х1) и х2др(х1) принадлежат классу Э. Лемма доказана.

Лемма 3. Для функций т°(в1) и (в1), заданных равенствами (20), где др (х1) € Э при р = 0,1, найдется такая положительная константа с, что при

(в1)

К(51))

+

(К (51))

< С (1 + \ 51 \

в1 € М будут выполнены оценки

р =1, 2. ~

Доказательство. Проведем его на примере функции (й1)

-РМ + ^4+02Щ - 0.5*2 Р0(«1)

+ 0.25*^ + 0.5*1 + ^/4+07ШЩ - 0.5 *2 '

для функции к°(51) оно проводится

аналогично. __

Воспользовавшись видом функции к°(51) и оценками из леммы 2, получим, что

К°(51)

^ с (1 + \ в 1 \) . Перейдем к оценке первой и второй производных функции

(51). Легко заметить, что

К(51))' =¿1(81) у/в{ + к'(/4 + 0.5кг + + *2/4 - 0.5*2 -

1

- ВМ (у/з1 + кЦ4 + 0.5*1 + у/з\ + Щ/4 - 0.5*2) , (^(в!))" = А'^в!) + 0.25*? + 0.5*1 + +0.25А;| - 0.5*2

(27)

1

к2 -0.5 к2 -0.5

-2

--I -

- В'^вг) (у«2 + 0.25к\ + 0.5*1 + \/4 + 0.25Щ - 0.5*2) +

+ 2В1(51)51((52 + ^Т + 11И + Х/ ■ 2

к12 0.5 к1 2 к22 0.5 к2

4 + ) + -+(*!"■ 4 I 2 I '

(28)

где

А1(з1) = -Р1 (51) + 51(52+*22/4) °-5Ро(81)+^а1+Щ/4-0.5к2^Ро (51)

4

2

3

В1(в1) = (- Р^Ы^/в2 + к2/4 — 0.5кПРо(в1)) вф2 + к?/4) о'5 + (в2 + к2/4)

-о.5

Л[(в1) = —Р1 (в1 )+Ро(в1) (в2 + к|/4) о.5 + вЛ Ро (в1) (в2 + к2/4)

о.5

- 31(32+к1/4) 1-5Ро(81^+81(821 + к1/4) °'5 Р0 (в!)+ - 0.5/гз) Р0

В^) = (в!) + 51 (з\ + ^/4)"0'5 ^(в!) + [у/з{+Щ/А - 0.5^2) РЬ (81) ^ х

X 51 + кЩ 0'5 + (82 + ^2/4) + + (у52+^2/4 - 0.5^] Ро^)

х ((в2 + к2/4)- а5 — в2 (в2 + к2/4)-1.5 + (в2 + к2/4)- о.5 — в2 в + к2/4)-1.5) .

Из леммы 2 и вида функций Л1(в1), В1(в1), Л1(в1) и В1 (в1) следует, что

|Л1 (в1)| + |В1(в1)| < с (1 + |в11)-3 , (29)

Л1(в1) + В1 (в1) < с (1 + |в11)-3 . (30)

о.5

Из (27) и (29) вытекает, что

К(в1))

< с (1 + |в 11) 4, а из (28)-(30) - что

К (в1))

^ с (1 + |в1|) . Лемма доказана.

Лемма 4. Если др(х1) € Э при р = 0, 1, то функции У1(х) и У2(х), заданные равенствами (22), являются непрерывными и ограниченными в М2 функциями, которые можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу, а функции У1(х1, +0) и У2(х1, +0) существуют и принадлежат пространству Ь1(М).

Доказательство. Проведем его на примере функции У1 (х), для функции У2(х) оно проводится аналогично. Воспользовавшись оценками из леммы 3 и равен-

ством

^ + 0-25к\ (в2 + + 0.25/г2) (Ь2 = 7г, получим, что

^ оо

в1 + к2/4 в + в2 + к2/4) w0(в1)^в2 I йв1 < п (1 + |в1|) 4 йв1 < ж.

-ж —ж

Из последней оценки, теоремы Фубини и теоремы о зависимости интеграла от параметра (см. [16]) следует, что функция У1(х) непрерывна и ограничена в М2, причем ее можно вычислять при помощи сведения к повторному интегралу.

Принадлежность У1 (х1, +0) пространству ^(М) вытекает из представления

\/1(ж1,+0) = [и;1(в1)] = и леммы 3, из оценок которой

можно сделать вывод о том, что функции ^о(в1), (Ч°(в1)) , (Ц>(в1)) принадлежат пространству Р1(М) (см. [17]). Лемма доказана.

Лемма 5. Если др(х1) € Э при р = 0, 1, то функции У1(х) и У2(х), заданные равенствами (22), принадлежат пространству Р1(М2).

Доказательство. Проведем его на примере функции У1 (х), для функции У2 (х) доказательство проводится аналогично. Функция У1 (х) представима в виде

У1(х) =Р-,1где Ах{8Ъ82) = 2у/8\+0.2Ък\ (^ + ^+0.25^) Ц>(81).

При доказательстве данной леммы будем использовать доказанные в предыдущей работе цикла, указанной в п. 1, леммы 6 и 7.

Лемма 6. Пусть € С4(М2); А(31,32), дЛ^32\ ^А^з^

д52 д522

€ а функция У(х) предстаеима в виде У(х) =

дв1дв2 д5^д52

1,82)^1^2, тогда V(х) е Ь^Ш2).

Лемма 7. Для любых 51,52 € М и любой положительной константе к существует положительная константа с такая, что выполнены оценки

(52 + 52 +0.25к2)-1 < с(1 + \51 \)—2 , (52 + 52 + 0.25к2)-1 < с(1 + \52\)-2 , (52 + 52 + 0.25к2)-1 < с(1 + \51 \) 1 (1 + \52\)-1 .

Из леммы 6 вытекает, что для принадлежности у? (х) пространству ^(М2)

, ,, - дА(8Ъ82) д2А(зЪ32) д3А(зЪ32) достаточно доказать, что функции А(в1,в2), ---, -г-о-, —г—г-й—,

д52 д5<2 д51д52

&Ах{зъЗ2)

— , ,— принадлежат пространству Ь\ дв¿1дв2

Воспользовавшись оценками из лемм 3 и 7, получаем, что

\А1 (51,52)! < с (52 + 52 + к?/4) °'25 (1 + \51\)

< с (1 + \вl\)-3-5 (1 + \52\)

К° (51)

N-1.5

(5? + 52 + к2/4)-°.75 <

следовательно, А1(51, 52) € Ь1(

дA(вl,B2) д2A(вl,в2) д3A(вl,в2) д4Al(вl,в2)^

Вычислим

д52 ' ' дв1дв2 ' дв2дв2

К° (51),

72

д52 (52 + 52 +0.25к2)2

^1(8!, 82) / „ ^+0-25Щ , 1С з2^З2+0.25к2 \

-^—о-= —4-о + 1о-о С в 1),

Н ^ (52 + 52+0.25*2)2 (82 + 82 + 0.25*2)3у П

0^1(31,32) А *1 (.2 , -2 , к2Л-2 3^4 + 0.25к2 у~

(82 + 82 + 0.25*2)2 (82 + 82 +0.25*2)

д4А1 (51,52)

21

л/в2 + 0.25*2 ^ 1 ^ 1 4 у "(в?+ 81+0.25^)"

(^ + к2/4)-°.5 - 52 (52 + к2/4)-1.5) (52 +52 + к2/^-

- 452 (52 + к2/4)-°5 (52 + 52 + к2/4)-3( К° (51) - 451 (52 + к2/4)-°5 х

дв2дв2

4

2

X * + *2 + к\/4)-2 К (81))' + 16 * + /4)+ 52 * + к2/4)х

х («2 + *2 + к2/4)-3 - 6*2 (*2 + к2/^и'° («1 + «2 + к2/4)

0.5

4

?(«1)

+ 16*1 * + к2/4)а5 * + *2 + к?/4)(ш0(*1))' - 4 * + к2/4)X

-3

0.5

х * + *2 + к2/4)~2 - 4*1 (*2 + к2/4)0.5 (*2 + *2 + к2/4)№0(*1))'-

- 4 (*2 + к2/4)0.5 (*2 + *2 + к2/^ 2 №0(*1))" +16*

+ к2/4)

0.5

- *1 (*2 + к2/4)-1.5) (*2 + *2 + к2/4)-3 - 6*2 (*2 + к2/4)-0.5 (*2 + *2 + к2/4)

4

х ^0(*1)+16*2*1 (*2+к2/^-0.5 (*2+*2+к2/^3 (^0(*1))' -96*2 ((*2+к2/4)а5+

+ * + к2/4)-°ь) * + *2 + к2/^4 - 8*2 * + к2/^и.5 * + *2 + к2/4)" х №0(*1) -96*1*2 (*2+к2/4)0.5(*2 + *2+к2/4)-4 №0(*1))'+16*2 * (*1+к2/4)-0.5 х

\0.5

х (*2 + *2 + к2/4)-3 - 6*1 (*2 + к2/4)0.5 (*2 + *2 + к2/^~4 (^0(*1))+

0.5

)4

+ 16*2 (*? + к2/4)0.5 * + *2 + к2/4) -3 К(*1))".

Из лемм 3 и 7 и представлений имеем следующую оценку:

дА1(*1,*2) д2А1 (*1,*2)

дА(*1,*2) д2А(*1,*2) д3А(*1,*2) д4А1(*1 ,*2)

д*2

д*2

д*1д*2

д*2д*2

д*2

+

д*2

+

д 3А1(*1,*2)

д*1д*2

+

д4А1 (*1,*2)

д*1д*2

< С (1 + |*11)-4 (1 + |*2|)-2.

Из нее следует, что

дА(*1,*2) д2А(*1,*2) д 3А(*1,*2) д4А1(*1 ,*2)

д*1д*2

еЬ-1

. Лемма

д*2 ' д*2 ' д*1д*2 доказана. 2 2

В лемме 4 было доказано, что если цр(х\) € Э при р = 0, 1, то функции У1(х) и Р2(х) существуют, причем их можно вычислять при помощи сведения к по. . -П

вторному интегралу. С учетом равенства Г,

1

2у/4 + 0.25А;2 (|в|2 + 0.25к2^

е ь\+о.1Ък2 ^ к0т0р0е ПрИ > 0 и произвольной константе к > 0 доказано в [17],

и представлений Ур (х) = Г, где р = 1, 2, находим, что

Ур (х) = Г--—

-1

51 —>Х\

Г

1

2^*2+0.25&2 (|*|2 + 0.25*2)

1

(*1)

exp(-x^/*1 + 0.25кр) шр(*1)

р =1, 2.

(31)

Лемма 8. Если ¿¡р(х1) € Э при р = 0, 1, то функции У1(х) и У2(х) бесконечно дифференцируемы в М+ и являются решениями уравнений (12) и (13) соответственно.

Доказательство этой леммы полностью повторяет доказательство леммы 9 из работы [15].

Воспользовавшись (31) и теоремой о дифференцируемости интеграла по параметру, получаем, что при х2 > 0 и р =1, 2

дУр(х) дхл

1

2п

/ е-^181ехр -х2^*2+0.25Р (-г*!) ^(в!^*!

(32)

2

1

х

ш

= / + 0.25*2) ^+0.25*2 (33)

Из леммы 3 вытекает, что равномерно по х1 € К и х2 ^ 0 подынтегральные

функции в (32) и (33) мажорируются функцией с (1 + |*1|) 3, где с - некоторая положительная константа. Таким образом, если цр(х1) € Э при р = 0,1, то функции дУг{х) дУ2{х) дУ1(х) дУ2{х)

—--, —--, —-- и —-- непрерывны и ограничены при х\ € К и х2 ^ О,

дх1 дх1 дх2 дх2

причем

дУр{хи + 0) = дУр{хи 0)

дх2 дх2

^ оо

= - Г-

*1 +0.25к2 ш0(*1)

— — / + р= 1,2.

(34)

„ д2УЛх) д2Ух{х) д2У2(х) д2У2(х) Ограниченность функции ——к—, ——ц—, —г—2—, —г—2— при х2 ^ о > 0

следует из представлений (31).

дх1 дх2 дх2 дх2

Лемма 9. Если др(х1) € Э при р = 0, 1, то функции

дУ1(х1, +0) дУ>(хь +0)

дх2 дх2

принадлежат пространству Ь1(К).

Доказательство. Проведем его для функции У1(х), для функции У2(х) оно проводится аналогично.

Воспользуемся представлением (34) и покажем, что функции ^в2 + к2/4 «^(вх),

+ к2/4 и ■ш^вх)^ принадлежат пространству Ь\{

что и будет свидетельствовать о справедливости леммы (см. [17]).

Согласно результатам леммы 3, получаем, что функция ув?

+ к2/4 ш0 (*1) принадлежит пространству ^(К). Нетрудно видеть, что

*2 + к2/4 ш0(*1Л = *1 (*? + к2/4) 0.5 ш0(*1) + л/*1 + к2/4(ш0(*1))

у/з{ + к2/А «,°(81)1 = 1(з1 + кЩ-0-5-8Ц81+к1/А)-'-о)ш01(81) +

) 1.5

Из последних представлений и леммы 3 вытекает справедливость оценок

*1 + к2/4 ш0(*1)

< с (1 + |*1|)-3 ,

*1 + к24 ш0(*1)

< с (1 + |*1

3

Таким образом, ( У * 21 + к21/4т01(з1)) , ( + к2/4 то

(*1 М € ¿1(К). Лемма дока-

зана.

Приведем формулировки нескольких вспомогательных лемм, доказательства которых можно найти в работе [15], которые необходимы для того, чтобы установить,

1

что функции У?(х) и У2(х), заданные равенствами (22), удовлетворяют граничным условиям (14), (15).

Лемма 10. Пусть к - положительная константа, тогда при х, принадлежащих М+, справедливы следующие равенства:

F-1

Si,S2—Xi ,Х2

2y^ + fc2/4 |s|2 + Ä;2/4

= F-1

Si —>Х\

\J X2

где Xi (z) - функция Макдональда (см. [18]).

Лемма 11. Пусть функция f (x) непрерывна на R за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода. Тогда для любого ¿>0

ke XlfKi (О, §k\J(x\ — у\)2 + е2*) f(yi) f, _ 0) + f, + 0) ит — / ---, -аул = -,

е-+о2тг J y/ixi-yi)2+е2 2

Xi — 6

где к - произвольная положительная константа, а Ki(z) - функция Макдональда (см. [18]).

Лемма 12. При p = 0, 1 справедливы равенства

lim F— —xi

'Х2— + 0 1 1

^exp 's2 + Щ/4^ -exp s\ + k\j4^ wf(si)

0,

где функции гшр(5?) при р = 0, 1 заданы соответственно равенствами (20) и (21), в которых др(х?) € Э.

Лемма 13. Если др(х1) € Э при р = 0, 1, то функции У?(х) и У2(х), заданные равенствами (22), удовлетворяют условиям (14) и (15).

Доказательство. При использовании представлений (31) и результатов леммы 3 может быть доказано, что при всех х1 будут справедливы равенства

оо

ВД = (у ((^-У^+^у0'5 Р^уг №1)]

— ОО

(35)

(Подробное доказательство справедливости этих представлений можно найти в доказательстве леммы 15 первой работы [15] указанного в п. 1 цикла статей.) Воспользовавшись представлениями (35) и леммой 11, получаем, что

дт° (у?(х?, +е) - У2(х?, +е)) = Р-—х1 [т°(51) - К?^?)] .

Из последнего равенства, формул (19) и (20) следует, что (см. [17, 19]) Дт° (У?(х?, +е) - У2(х?, +е)) = р-^ )] = Р-^ [Рх1 1 [д°(х1)]] = д°(х1).

Таким образом, выполнение граничного условия (14) доказано.

Для доказательства выполнения условия (15) необходимо воспользоваться леммой 12 и представлениями (35). Лемма доказана.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Если др(х1) € Э при р = 0, 1, то задача (12)—(15) имеет решение, причем для функций (х) и г(х) справедливы следующие представления:

vi (х) = г-1

«1(х) = Х1

г^(х)

к1X2 2тг

2^ + ^/4 п

|5|2 + к2/4

^1)

г (х) Гь1,ь2^х1,х2

2у/в\ + ЩЦ „

|5|2 + к|/4

-х2ф1 + к1/4

г(х) = Р-1^х1

, -2.5

2 , „,2\ 771-1

^1,

г (х)

*2Х2 2тг

К1 ( у ^(х1-у1)2+х1) ^х1-у1)2+х22) °'5 ^г1

™2(«1)

где функции ад°(в1) и ад°(в1) задаются равенствами (20).

Замечание 8. Для того чтобы восстановить решение задачи (1), (2), (7), (8), достаточно воспользоваться теоремой и равенствами (11).

Из вышеизложенного рассмотрения задачи (1), (2), (7), (8) следует справедливость утверждения, сформулированного в п. 2.

4. Заключение. В работе была изучена задача трансмиссии для системы уравнений в частных производных

ди1(х)

Дм1(Х) + Ди2(х) + к2

дх2 ди2(х) дх2

0,

х € М+,

= 0, х е М2

и1(х1, +0) — и2(х1, —0) = д°(х1), Х1 € М,

91 (хД Х1 € М.

дил , . ди2 ,

22

Здесь и1(х) (и2(х)) - температура в точке х = (х1 ,Х2) € М2 верхней (нижней) полуплоскости. Функции др(х1), р = 1, 2, принадлежат классу Э = {/(х)| /(х) € С3(М);/(ж) = 0,х < -1;/(й)(-1) =0, к = ОД |/(й)(х)| < Се~х,х > -1,к = 073}.

Данная система моделирует задачу о стационарном распределении тепла в плоскости, составленной из двух полуплоскостей, состоящих из неоднородных материалов с различными экспоненциальными коэффициентами внутренней теплопроводности, с полуограниченной трещиной на границе их сопряжения. Основным результатом работы является построение трех явных представлений решения исследуемой задачи и доказательство ее корректности. Доказан ряд лемм, позволяющий утверждать, что решение поставленной задачи и его первые производные - это непрерывные, ограниченные функции.

Литература

1. Глушко А. В., Логинова Е. А. Асимптотические свойства решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2010. № 2. С. 47-50.

2. Логинова Е. А. Построение решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной и его асимптотика // Материалы Воронеж. зимней матем. школы «Современные методы теории функций и смежные задачи». Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2011. С. 202-203.

е

е

3. Логинова Е. А. Решение задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной при неограниченно большом времени // Материалы четвертой междунар. науч. конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)». Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2011. C. 181-182.

4. Логинова Е. А. Построение решения задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 1. С. 40-47.

5. Черникова А. С. Об асимптотике вблизи границ решения задачи о стационарном распределении тепла в плоскости с крестообразной трещиной // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж. весенней матем. школы «Понтрягинские чтения-XXII». Воронеж: ИПЦ Воронеж. гос. ун-та, 2011. С. 205-207.

6. Petrova V., Schmauder S. Thermal fracture of a functionally graded/homogeneous bimaterial with a system of cracks // Teoretical and Applied Fracture Mechanics. 2011. Vol. 55. P. 148-157.

7. Petrova V., Herrmann K. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects // Intern. Journal of Fracture. 2004. Vol. 128. P. 49-63.

8. Li Y.-D., Lee K. Y. An antiplane crack perpendicular to the weak/microdiscontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities // Intern. Journal of Fracture. 2007. Vol. 146. P. 203-211.

9. Караулова Н. Е., Петрова В. Е. Взаимодействие трещин в функционально-градиентном/ однородном двухкомпонентном материале под действием антиплоского сдвига // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2011. № 1. С. 157-167.

10. Мещерякова Т. В., Петрова В. Е. Влияние внутренних дефектов на состояние поверхности раздела между двумя упругими материалами при продольном сдвиге // Наука - производству. 2005. № 3. С. 20-23.

11. Lee K. Y., Park S.-J. Thermal stress intensity factors for partially insulated interface crack under uniform heat flow // Eng. Fract. 1995. Mech. 50, N 4. P. 475-482.

12. Глушко А. В., Рябенко А. С., Черникова А. С. Построение стационарного поля температуры для двух связных полупространств с межфазовой трещиной // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж. весенней матем. школы «Понтрягинские чтения-XXIII». Воронеж: ИПЦ Воронеж. гос. ун-та, 2012. С. 49-50.

13. Черникова А. С. Асимптотики решения задачи о сопряжении двух неоднородных материалов с трещиной на границе // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж. весенней матем. школы «Понтрягинские чтения-XXIV». Воронеж: ИПЦ Воронеж. гос. ун-та, 2013. С. 216-217.

14. Глушко А. В., Черникова А. С. Задача о распределении тепла при сопряжении двух неоднородных материалов с трещиной // Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация: труды Всерос. науч.-практич. конференции. 23-26 апреля 2013 г. М.: РУДН, 2013. С. 58-59.

15. Глушко А. В., Рябенко А. С., Черникова А. С. О стационарном распределении тепла в двух связных полуплоскостях с трещиной на границе // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2014. № 3. С. 87-99.

16. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527 с.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит, 1949. 572 с.

18. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций / пер. со 2-го англ. изд. В. С. Бермана. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. 799 с. (Vatson G. N. The theory of Bessel's functions.)

19. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: учебник для студентов вузов: в 3 т. Т. 3: Гармонический анализ. Элементы функционального анализа. М.: Дрофа, 2006. 350 с.

References

1. Glushko A. V., Loginova E. A. Asimptoticheskie svoistva reshenija zadachi o stacionarnom raspredelenii tepla v neodnorodnoi ploskosti s trecshinoi (Asymptotic properties of solutions of the stationary heat distribution in a non-homogeneous plane with a crack). Vestnik of Voronezh State University, ser. Fizika, matematika, 2010, no. 2, pp. 47-50.

2. Loginova E. A. Postroenie reshenija zadachi o stacionarnom raspredelenii tepla v heodnorodnoi ploskosti s trecshinoi i ego asimptotika (The construction of the solution of the problem of stationary heat distribution in a non-homogeneous plane with a crack and its asymptotic behaviour). Materialy Voronezhskoi zimnei matematicheskoi shkoly "Sovremennye metody teorii funkcii i smezhnye zadachi". Voronezh: Izd-vo Voronezh State University, 2011, pp. 202-203.

3. Loginova E. A. Reshenie zadachi o raspredelenii tepla v neodnorodnom materiale s trecshinoi pri neogranichenno bol'shom vremeni (The solution of the problem about heat distribution in

a non-homogeneous material with a crack at the unlimited big amount of time). Materialy chetvertoi mezhdunarodnoi nauchnoi konferencii "Sovremennie problemy prikladnoi matematiki, teorii upravlenija i matematicheskogo modelirovanija (PMTUMM-2011)". Voronezh: Voronezh State University, 2011, pp. 181-182.

4. Loginova E. A. Postroenie reshenija zadachi o raspredelenii tepla v neodnorodnom materiale s trecshinoi (The construction of the solution of the problem about heat distribution in a non-homogeneous material with a crack). Vestnik St. Petersburg University, ser. 1: Matematika, mekhanika, astronomia,

2012, issue 1, pp. 40-47.

5. Chernikova А. S. Ob asimptotike vblizi granic reshenija zadachi o stacionarnom raspredelenii tepla v ploskosti s krestoobraznoi trecshinoi (About the asymptotics of the solution of the problem about the stationary heat distribution in the plane with a cross-crack which is studied near the borders). Sovremenyi metody teorii kraevyh zo,d,o,ch: materialy Voronezhskoi vesennei matematicheskoi shkoly "Pontrjaginskie chtenija-XXII". Voronezh: IPC Voronezh State University, 2011, pp. 205-207.

6. Petrova V., Schmauder S. Thermal fracture of a functionally graded/homogeneous bimaterial with a system of cracks. Teoretical and Applied Fracture Mechanics, 2011, vol. 55, pp. 148-157.

7. Petrova V., Herrmann K. Thermal crack problems for a bimaterial with an interface crack and internal defects. Intern. Journal of Fracture, 2004, vol. 128, pp. 49-63.

8. Li Y.-D., Lee K. Y. An antiplane crack perpendicular to the weak/microdiscontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities. Intern. Journal of Fracture, 2007, vol. 146, pp. 203-211.

9. Karaulova N. E., Petrova V. E. Vzaimodeistvie trecshin v funkcional'no-gradientnom/ odnorodnom dvuhkomponentnom materiale pod deistviem antiploskogo sdviga (Interaction of cracks in functionally graded / homogeneous two-component material under the action of an antiplane shear). Vestnik of Voronezh State University, ser. Fizika, matematika, 2011, no. 1, pp. 157-167.

10. Mecsheryakova T. V., Petrova V. E. Vlijanie vnutrennih gefektov na sostojanie poverhnosti mzd,ela mezhdu dvumja uprugimi materialami pri prodol'nom sdvige (The effect of internal defects at the interface condition between the two elastic materials with a longitudinal shear). Nauka - proizvodstvu,

2005, no. 3, pp. 20-23.

11. Lee K. Y., Park S.-J. Thermal stress intensity factors for partially insulated interface crack under uniform heat flow. Eng. Fract, 1995, Mech. 50, no. 4, pp. 475-482.

12. Glushko A. V., Ryabenko A. S., Chernikova А. S. Postroenie stacionarnogo polja temperatury dlja dvuh cvjaznyh poluprostranstv s mezhfaznoi trecshinoi (The construction of a stationary temperature field for two half-adjacent spaces with an interphase crack). Sovremenyi metody teorii kraevyh za.d.a.ch: materially Voronezhskoi vesennei matematicheskoi shkoly "Pontrjaginskie chtenija-XXIII". Voronezh: IPC Voronezh State University, 2012, pp. 49-50.

13. Chernikova А. S. Asimptotiki reshenija zadachi o soprjazhenii dvuh heodnorodhyh materialov s trecshinoi na granice (The asymptotic ot the solution of the problem about linking two non-homogeneous materials with a crack at the border). Sovremenyi metody teorii kraevyh zadach: materialy Voronezhskoi vesennei matematicheskoi shkoly "Pontrjaginskie chtenija-XXIV". Voronezh: IPC Voronezh State University, 2013, pp. 216-217.

14. Glushko A. V., Chernikova А. S. Zadacha o raspredelenii tepla pri soprjazhenii dvuh neod-norodnyh materialov s trecshinoi (The problem of the heat distribution at linking of two non-homogeneous materials with a crack). Differcial'nye uravnenija, teorija funkcii, nelineinyi omo,liz i optimizacija: trudy Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferencii, 23-26 april 2013. Moscow: PUDN,

2013, pp. 58-59.

15. Glushko A. V., Ryabenko A. S., Chernikova А. S. O stacionarnom raspredelenii tepla v dvuh svjaznyh poluploskostjah s trecshinoi na granice (About the stationary heat distribution in the two adjacent half-planes with a crack on the boundary). Vestnik of Voronezh State University, ser. Fizika, matematika,

2014, no. 3, pp. 87-99.

16. Vladimirov V. S. Uravnenija matematicheskoi fiziki (The equations of mathematical physics). Moscow: Nauka, 1976, 527 p.

17. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funkcii i funkcional'nogo analiza (Elements of the theory of functions and the functional analysis). 7-e izd. Moscow: Fizmatlit, 1949, 572 p.

18. Vatson G. N. Teorija besselevyh funkcii (The theory of Bessel's functions). Per. s 2 angl. izd. V. S. Bermana. Moscow: Izd-vo inostr. lit., 1949, 799 p.

19. Kudryavcev L. D. Kurs matematicheskovo analiza: v 3 t. (The course of the mathematical analysis: in 3 vol.). Vol. 3: Garmonicheskii analiz. Elementy funkcional'nogo analiza. Moscow: Drofa,

2006, 350 p.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.