CC BY
34
УДК 621.372.82
ЗАДАЧА НА ВЛАСН1 ЗНАЧЕННЯ В1ДКРИТОГО НЕОДНОР1ДНОГО Д1ЕЛЕКТРИЧНОГО ХВИЛЕВОДУ
Гусева О. В., к.т.н, доцент; Горб М. С., астрант
Нацгоналъний технгчний унгверситет Украгни «КиХвсъкий полгтехнгчний ¡нститут», м. Кигв, Украгна
EIGENVALUE PROBLEM OF OPEN INHOMOGENEOUS DIELECTRIC WAVEGUIDE
Guseva E. V, PhD, Associate Professor; Gorb M. S, Postgraduate Student
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine
Вступ
При aHani3i поля в дiелектричному об'екл, створюваного заданим дже-релом струму, можна застосувати метод розкладу поля по власним функщ-ям. В такому випадку задача мае розв'язуватися в два етапи [1]: на першо-му еташ визначаються власнi хвил^ якi можуть iснувати в даному об'екл, на другому — на основi заданого джерела збудження визначаються ампль туди знайдених власних хвиль. Даний шдхщ е актуальним при розв'язку задачi мiкрохвильовоi вiзуалiзацii, оскшьки дозволяе звести тривимiрну поздовжньо однорщну задачу до двовимiрноi, зменшуючи при цьому чи-сельнi затрати [2 с.161]. Метою даноi роботи е визначення власних хвиль вiдкритого неоднородного дiелектричного хвилеводу, який можна розгля-дати як спрощену модель об'екта дослщжень в мiкрохвильовiй вiзуалiзацii.
Постановка задач1
Розглядаеться структура довiльноi форми в поперечному перетиш, з однорщними параметрами в повздовжньому - z - напрямку i неоднорщними в поперечному - Рис.1. Оскь льки об'ект характеризуеться неоднорiдними параметрами — вщносною дiелектричною проникнiстю — Sj(х, у), тому для знахо-дження власних хвиль необхщно застосову-вати чисельний метод.
Поле в област 1, яка обмежуе неоднорщ-ний об'ект дослщження, знаходиться методом кiнцевих елеменлв, який здатен описати структуру довшьно!' форми з довiльними параметрами. У зовшшнш необ-меженiй областi 2 поле представляеться у виглядi цилшдричних гармонiк. В основi даного алгоритму покладено роботи [3,4].
y •
Область 2
ч
\
z
Область 1
~~~ц(х;у)
Рис. 1. Об'ект дослiдження
Математичне формулювання задачi
Залежшсть вщ часу прийнята у виглядi — е]М>1:, повздовжня однорщ-нiсть хвилеводу призводить до розв'язку по z - координатi у виглядi -
е~]Р [5]. Множник ) надалi опускаеться. При вирiшеннi задачi на
власш значення розглядаються однорiднi диференцiйнi рiвняння без збу-джуючого струму, шуканим при цьому е повздовжня стала розповсюджен-ня Р на фжсованш частотi. Розглянемо рiвняння для електричного поля [5]:
1-2 го— ШЕ) - к о (х, у)Е = О
М-
Роздiливши поле на поперечну та повздовжню складовi [6 с.256, 7 с.98] i застосувавши до отриманих рiвнянь метод Гальоркiна [8 с.22], пiсля пе-ретворень [9] отримаемо:
- • Я ((^ № )+ + Р- • =
М-1 £ М-1 £
= к1Ч || Ё, - - — • §Ё, {п X V, X , )сй
Б М-1 Ь
М-1 5
^ _ А
а
к1гх\\Т2 ■ ПЕ2)(Е + --§{Т2-+ Т2п ■ фЁ,) $ щ ь\ оп у
(1)-(2)
де: к0 — хвильове число вшьного простору
81 — 81(х,уХ М -^(Х,У) — вiдноснi дiелектрична та магнiтнi проник-ностi
— площа облает! 2, обмежено!' контуром Ь — Рис. 1
Ё Е
2 —поперечш та повздовжня компонента поля
Ё Т
1 г —вагов1 функцп
- ^ а . а
У(=х---1-у---градютгзапоперечними координатами
дх ду
В областi 2 поле представимо у виглядi розкладу по цилшдричним гар-монiкам:
м , .
ЕТ* - Т ( ^^(тф) + ф))• И%\х2г)
т—0
М / ч
ИТР — Т (Вет^(тф) + В°тБт(тф))• И^^г)
т—0
I 2 2
де: Х2 = Vк2 - Р — поперечне хвилеве число в зовшшнш обласл А, А, Вет, Вт — невiдомi амплiтуди
Розглядаючи поверхневi хвилi при дшснш дiелектричнiй проникностi, для яких %2 уявне (Х2 = - / | Х2 I) [1 с.25, 5 с.265], можна перейти вщ функ-цiй Ханкеля третього роду з уявним аргументом до модифшовано! функцп Ханкеля (функцii Макдональда), з дiйсним аргументом Нт\-/|х2|г)~Кт(|%2\г), тодi вирази для поля у зовшшнш обласл прий-муть вигляд:
= Е (АтСа8(тф) + А^т(тф)) • Кт (х2г) 3)-(4)
т=0
М
Нехр = Е (В^(тф) + В0т&п(тф))• Кт (%гт)
т=0
де: х2 = >/Р2 - — змiна доданкiв в порiвняннi з вищенаведеним визна-
^9 9
к2 -Р ) враховуе перехiд до функцii Макдональда — х2 приймае дшсне додатне значення в дiапазонi змши Р для поверхневих хвиль (при Р> к2 )
Азимутальнi складовi поля знаходимо з (3,4), використовуючи вiдомi спiввiдношення для хвилеводт [5], але при цьому враховуемо, що X2 < 0 для поверхневих хвиль:
Ефхр = ^ Е т • (-А^Ип(тф) + АО(тф))• Кт(Х2^) -
Х2Г т=0
М
Х2 Е (ВтСс«(тф) + Вт81п(тф))• К 'т (Х2Г)
7^2
х2 т=0
нфехр = • Е т • (-Вет?Ип(тфф) + Вт С^(тф)) • Кт (Х2^) +
ф Х^ т=0 4 7 (5)-(6)
/Р
, /"'С2 М
•Х2 Е (ААп^(тф) + ААООт(тФф) )• К \ (Х2^)
Х2 т=0
де: К'т^ х2г ^ — похщна вiд цилiндричноi функцii (по аргументу х2г )
Виконаемо граничш умови на допомiжному контурi Ь кругло! форми радiуса Я — Рис. 1, який обмежуе об'ект дослщження. При цьому прирiв-нюемо дотичнi компоненти поля:
Е^^Я, ф) = Е™ (Я, ф) Ефхр(Я, ф) = Е™ (Я, ф)
Використовуючи умову ортогональносл тригонометричних функцш на контурi Ь, i переходячи вiд iнтегрування по контуру Ь до штегрування по
азимуту в полярнш системi координат, тсля перетворень отримуемо вира-зи для амплггуд:
1 2л
А^ — ^ , т / Е™ (я, ф) • Cos(mф)dф (7)
л Кт (х2Я) о
1 2л
А — ^ , т \ Е™ (Я, ф) • £ш(тф^ф
л- Кт (Х2Я) о
—_X 2
т
В1 —
-л- К'т(Х2Я)
ур т
2л
А • л • Кт (Х2Я) - | (Я, ф) • С^(тф)^ф
\х2Я о у
^ = Х2 {-}рт - 2л Л
3о =_Х2
'т
>М2 К 'т (Х2Я)
А -л- Кт (Х2Я) - | Ефш (Я, ф) • &я(тф)^ф
V х2Я о
2л
1 2л
при т — 0: АО —- Г Е™ (Я, фШ
Р А 2л- Ко(х2Я) 0 2 ( , ф) ф
_ 2л
вое —-Х2-г е(тем (я, ф)^ф
2укМ2 к 'о(Х2я) о ф
АО —во — о
де: (Я, ф), Еф7£М (Я, ф) - ф та г — компоненти поля на контурi Ь, знай-
деш методом кшцевих елементiв
Лшшш штеграли в (1)-(2) можна представити у виглядг [3, 6 с.257]:
(¡)Т({п хУ(х = уЧ12рфГ, • ЩГШ(И
ь ь
С Д/ 4-С \ \
§\Т2 ■ ^^ + Т2п ■ (Р ЁМса = ^г$Т2Н™си
А дп ) I
Виконуючи граничнi умови:
И|хр( Я, ф) — И(Я, ф)
лшшшштеграли набудуть вигляду:
§Ё{{п х V, х рЁЁ)(й = • фЯехр(Я,ф)са (8)
ь ь
§{т2 ■ +тп. (Р Ё{))а =
А дп ) I
де: Иехр(Я,ф),Ифхр(Я,ф) — магштне поле (вирази (5,6)) у зовшшнш обла-стi, з амплiтудами Ат, Ат, Вет, В°т визначеними у (7) через значення поля на
FEM
Kornypi L, знайдене методом кшцевих елеменлв — Ez (R, ф), E™ (R, ф)
Отже, пiсля виконання граничних умов отримаемо задачу сформульо-вану вiдносно поля в 1 обласл, а зовнiшня область 2 враховуеться через лшшш iнтеграли (8).
Для апроксимацп повздовжньо! компоненти поля Ez використаемо вуз-ловi Kirn^i елементи [8-10]:
3
Ez = £ezj -аj (9)
j=1
e — значення поля у вузлах трикутника
а ■ — вузлов1 базисш функцп
Оскшьки векторне поле Et незручно представляти вузловими кшцевими елементами через важкiсть у виконанш граничних умов, та появу нефiзич-них pimeHb [8 с. 273, 9 ], тому застосуемо векторш кшцев1 елементи [8-11]:
з
Et = Hetn-Wtn
n=l
etn — тангенщальна складова поля на n —iii сторош елемента
Wln— векторш базисш функцп
Поле Efem(^ф) на обмежуючому контyрi L в межах кожного граничного елемента, тобто трикутника одна сторона якого лежить на контyрi L, також представляеться базисними вузловими функщями, а для представ-лення поля на всьому контyрi необхщно врахувати вс граничнi елементи:
2
) = £ £ezj -а(L) (10)
Гр.Елем j=1
де враховано, що одна з базисних фyнкцiй на сторош трикутника дорiвнюе нулю [8,10]
а j (l) — позначення, яке пiдкреслюе, що цiкавить тшьки значення поля на граничнiй сторош, тому аj (l) — фyнкцiя однiеi змiнноi (друга змшна внражаеться через р1вняння гранично!' сторони трикутника)
Поперечне поле Et на обмежуючому Kornypi L описуеться векторними базисними функщями:
_ 3 _
Et(L)= Е Y.etn-Wtn(L)
Гр.Елем n=1
Азимутальна складова поля на зовшшньому KOHTypi (R,§) дор1в-нюе проекцп (скалярному добутку) Et(L) на азимутальний орт ф :
ф = -Л7/?(ф) • х + СЪл(ф) • у — розклад азимутального орта ф по проекщ-ям, де ф - азимутальний кут в поляриш систем! координат
<£М(^,ф) = ф-ад= ^ е(п-ф-Щп(1) (11)
Гр.Елем
У (11) враховано, що для представления (Я, ф) в межах одного
трикутиика достатиьо лише одше! базисно!' фуикцп ¡¥1п, яка мае ненульо-ву таигеищальиу складову на граничит сторош даиого трикутиика (прое-кщя двох шших базисиих фуикцш на ф приблизно дор1внюе нулю ), а за-гальне поле на всьому контурi складаеться з полiв на всiх граничних еле-ментах.
Пiдставимо (8) у (1)-(2), враховуючи (5)-(7) i вигляд поля на обмежую-чому контур1 - (Ю)-(11), шсля перетворень отримаемо:
Елементiв I и=1
и—1
}—1 ^
.. г> V- (., т ф2(е) фде;
ТУ, *Л • 2 ^ 1 ЗД^Ф" |
2л- Ко(х2Я) Гр.Елем ф1(е) ф1(е)
( 2 ф2(е) ^ ф2(е)
X 2} ■ | а• | (Ь) ■ ф • Со5(отф)й?ф -
Гр.Елем]—1 ф1(е) ) ф1(е)
^ Тт ^ Кт (Х2Я)
лХ2 т—1 Кт (Х2Я)
М Кт (Х2Я)
л т—^(хЯ В2 М Кт (Х2Я)
н—!— Т т —, лХ2 т—1 Кт(Х2Я)
ф2(е)
ф2(е)
_Х2Я М Кт (Х2Я) л т—1Кт(Х2Я)
Гр.Елем ф1(е) ) ф1(е)
( 2 ф2(е) ^ ф2(е)
Гр.Елем]—1 ф1(е) ) ф1(е)
ф2(е) Лф2(е)
Гр.Елем ф1(е) У ф1(е)
(12)-(13)
Елементiв i ]=1
«=1
]=1 ^л
+
к2Я • К0(ЪЯ) 2^X2 • Кс(Х2Я)
р2 кт (x 2Я)
ф2(е)
^ ф2(е)
ЛЯХ2 т=1 Кт (Х2Я)
Е Е е^ | а] (ь) • ^ф • | а,- (ь) • ¿ф-
Гр.Елем} =1 ф1(е) ) ф1(е)
( 2 Ф2(е) ^ ф2(е)
Е Е е] • | а] (Ь) • &'п(тф)^ф • | аг- (X) • &'п(тф)^ф-
Гр.Елем ]=1 ф1(е) ) ф1(е)
1_ • Кт (Х2Я) Х2^ т=1 Кт (Х2Я)
ф2(е)
Л
ф2(е)
ут2-Кт (Х2Я)
*ЯХ32 ]'=1 Кт (Х2Я)
у Гр.Елем ф1(е) ^ ф1(е)
( 2 Ф2(е) ^ ф2(е)
Е Е • | а (Ь) •Со5,(тф)^ф • | а (Ь) •Со^(тф)^ф-
ф1(е)
Гр.Елем ]=1
ф1(е)
1 М Кт (х2 Я)
+--Е т- , 2
х2Л т=1 Кт (х2Я)
ф2(е)
Л
ф2(е)
Е | ЖГи(Х)-ф-5'ш(/иф)с/ф | а.Д/.)• СшС/мфХ/ф-
Гр.Елем ф1(е) ) ф1(е)
к02Я М Кт (х2Я)
Ып
+—о— е —т Ъ2 " • Е
^Х2 т=1 Кт (х2Я) ] '=1
ф2(е)
^ ф2(е)
+
к2 Я
М
кт (х2я)
Ып
Е Е е2] • | а](Ь) •Со^(тф)^ф • | аг-(Ь) •Со^(тф)^ф +
Гр.Елем} =1 ф1(е) ) ф1(е)
2 ф2(е) ^ ф2(е)
Е Е е] • | а ] (Ь) • Бт(тф)ёф • | аг- (Ь) • Бт(тф)ёф = 0
уГр.Елем у=1 ф1(е) ^ ф1(е)
лх2 т=1^т(Х2Я) у'=1
де: =аг Т(=Щ, И = 1,2,3 — переб1р вагових функцш в межах одного трикутника.
У виразах (12,13) введено замшу [12]:
Р4 ( Р-^Р-^ф^^'Ф) зам1нюемо на^,(Я, ф))
-]Ег ^Е2{ замшюемо наЕ^Е*™ Ш))
Символи Е , Е У (12,13) означають процедуру «зборки» [8, 13
Елементхв Гр.Елем
с 360], яку необхщно провести для врахування вшх кiнцевих елеменпв, при цьому частина рiвнянь, яка враховуе зв'язок з областю 2 (складовi з лiнiйними iнтегралами) обраховуються лише для граничних елементiв i вагових функцш, як\ апроксимують поле на контур1 Ь. ГПд час зборки не-обхщно враховувати напрямок векторних базисних функцш Ж ш на спшь-них сторонах трикутниюв [9, 11 с.46, 13 с.361] В результатi зборки форму-еться система лiнiйних алгебра1чних рiвнянь (СЛАР) розмiром N х N (N -загальна кiлькiсть глобальних вузлiв та сторiн трикутникiв), яку в матричному виглядi можна записати у виглядг
ДР) • Е = 0 (14)
Оскiльки залежнiсть елементiв матрицi ДР) вщ Р нелiнiйна (Р входить в аргумент цилшдрично! функцii), тому СЛАР (14) можна розглядати як нелшшну задачу на власш значення [3,14]. В данш роботi для отримання
г1-ЕМ,
розв'язку (14), спочатку задача зводиться до лшшно!', розкладаючи А(Р) в ряд Тейлора i утримуючи лише два доданки [14]. Використовуючи власш значення лiнiйноi задачi як початковi наближення при розв'язку нелшш-но1 системи (14) методом зворотних ггерацш [14,16], в результатi я^' отримаемо набiр власних значень - Рг-, та власних хвиль Е[ якi описують розподiл поля.
Враховуючи вигляд полiв на контурi Ь - (10,11), розпишемо iнтеграли, як входять в (12,13) через (7):
2л 2 Ф2(е)
| Е^ш (я, ф). Соу(тфУф— Т Т е2] • | ау (Ь) • Со$(тф)йф
0 Гр.Елем ]=\ ф1(е)
2л ф2(е)
\Е™{Я^)-Со8{т^= 2 еш- / ^(Х)-ф-Сш(тфМф
о Гр.Елем ф1(е)
ф1(е), ф2(е) - кути, якi обмежують граничну сторону, е -ого граничного елементу, а штервал вщ о до 2л набираеться тсля обходу всiх граничних елемитв.
ф2(е) ф2(е)
1нтеграли | aJ(L)■Cos(m<bЩ, { ^(¿)-ф-Ол?(>ф>/фможна знайти в ана-
Ф1(е) Ф1(е)
лiтичному виглядi, записавши базиснi функцii в полярнiй системi координат. Подвшш iнтеграли по плошд трикутникiв у (12,13) обчислюються в аналггичному виглядi [8-10].
Розв'язуючи задачу збудження вщкритого хвилеводу метод розкладу поля по власним функцiям необхщно враховувати всi види хвиль, як мо-жуть iснувати у хвилеводг У вiдкритому хвилеводi можуть юнувати пове-рхневi хвилi, комплекснi та неперервний спектр хвиль випромшення [1,17]. Загальна методологiя задачi збудження вщкритих хвилеводiв наведена у [1,18], але якщо цiкавлять лише амплггуди хвиль дискретного спектра - поверхневих та комплексних, то для iх знаходження можна викорис-тати метод [19, 20 с.723] - аналопчний тому, який використовуеться для екранованих хвилеводiв. В роботах [21-28] застосовано метод штегралу Фур'е для розв'язку задачi збудження однорiдного дiелектричного хвиле-воду точковим джерелом.
Чисельш результати
Для перевiрки даного алгоритму проведено розрахунок однородного хвилеводу круглого поперечного перетину, власш числа якого можна знайти методом роздшення змшних [5]. Розглядався хвилеводу з радiу-
сом Я = 5 см при довжиш хвилi ^ = Я>/3, з вщносною дiелектричною проникнiстю е = 3. Для розбиття об'екта на трикутники викори-В табл.1 наведенi результати розрахунку, як порiвнюються з методом роздшення змшних (МРЗ), i результатами для ль неарiзованоi задачi (ЛЗ) на власш значення (14). Як бачимо з табл.1, лше-арiзована задача дае точне початкове наближення, а метод зворотних гге-
Таблиця.1
Даний метод ЛЗ МРЗ
81.855 81.845 82.652
85.118 85.13 85.922
91.723 91.884 92.221
105.093 104.018 104.257
105.095 105.233 105.378
105.093 108.505 108.511
118.05 118.062 118.125
стовувалась програма [29].
Рис. 2 а — об'ект до^дження, б — розподш поздовжньоi компонен-ти, в — поперечних компонент
рацiй для певних власних чисел дае неточш результати, тому можна засто-сувати проекцшно-ггерацшш методи [14, 16] замють методу зворотних гге-рацiй.
На Рис. 2 наведено розподш поля (власного вектора при р = 352.4) поз-довжньо! компоненти Ez — Рис. 2 б i поперечних компонент — Рис. 2 в, для хвилеводу з одшею неоднорщшстю — Рис. 2 а. Параметри об'екта на Рис. 2 а:
R = 5 см, ^ = R, 8 = 3 s;- = 10 - дiелектрична проникнiсть основно! областi та неоднорiдностi вiдповiдно, при цьому об'екта розбивався на 338 трику-тниюв, що вiдповiдае розмiру СЛАР (14) — 723 х 723.
Висновки
Наведено алгоритм для розв'язку задачi на власш значення вщкритого поперечно неоднорiдного дiелектричного хвилеводу. Даний алгоритм мо-жна модифiкувати i для об'ектiв з комплексною дiелектричною проникшс-тю. У цьому pa3i необхщно використовувати функцп Ханкеля у (3)-(4) з
/2 2
Х2 = - Р , що забезпечуе згасання хвиль в поперечному напрямку
[3].
Оскшьки при розв'язку задачi збудження необхiдно враховувати весь спектр хвиль вщкритого хвилеводу, подальший розвиток даного питання може бути спрямованим на визначення реактивних хвиль та хвиль непере-рвного спектра.
Лггература
1. Барыбин А. А. Электродинамика волноведущих систем. Теория возбуждения и связи волн / Барыбин А. А. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 512 с. — ISBN: 978-5-92210740-2.
2. Okechukwu F. E. Medical imaging / F. E. Okechukwu— Croatia.: Intech Publisher, 2011. — 400 p. — ISBN 978-953-307-774-1.
3. Allilomes P. C. A Nonlinear Finite—Element Leaky—Waveguide Solver / P. C. Alli-lomes, G. A. Kyriacou // IEEE Trans. MTT. — 2007. — Vol. 55, №7. — P.1496—1510.
4. Allilomes P. C. A FEM analysis of open boundary structures using edge elements and a cylindrical harmonic expansion / P.C. Allilomes, G.A. Kyriacou, E.Vafiadis, J.N. Sahalos // Electromagnetics. — 2004. — Vol. 24, № 1—2. — P. 69—79.
5. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. — М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 544с. — ISBN: 502-014033-3.
6. Zhu Y. Multigrid finite element methods for electromagnetic field modeling / Y. Zhu, A C. Cangellaris. — USA: Wiley—Intersciencer, 2006. — 400 p. — ISBN: 100-471-741108.
7. Volakis J. L. Finite Element Method for Electromagnetics / J. L Volakis, A. Chatterjee, L. C. Kempel. — New York: IEEE PRESS, 1998. — 344p. — ISBN: 0-7803-3425-6.
8. Jin J. The finite element method in electromagnetics. Sc.Ed. / Jin J. — New York: Wiley—Interscience, 2002. — 753p. — ISBN: 0-471-43818-9.
9. Reddy C. J. Finite element method for eigenvalue problems in electromagnetics / C.J. Reddy, M. D. Deshpande, C. R. Cockrell, F. B. Beck // NASA, Langley Res. Center, Hampton, VA, Tech.Rep., 1994. — 28p.
10. Баландин М. Ю. Векторный метод конечных элементов / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. — Новосибирск: НГТУ, 2001. — 69с.
11. Peolsi G. Quick Finite Elements for Electromagnetic Waves. Sc.Ed. / G. Peolsi, R. Coccioli, S. Selleri. — Boston, London: Artech House, 2009. — 289p. — ISBN: 978-159693-345-3.
12. Lee J. F. Full—Wave Analysis of Dielectric Waveguides Using Tangential Vector Finite Elements / J. F. Lee, D. K. Sun, Z. J. Cendes // IEEE Trans.MTT. — 1991. — Vol. 39, №8. — P. 1262—1271.
13. Jin J. Theory and computation of electromagnetic fields / J. Jin. — New Jersey: John Wiley & Sons, 2010. — 572 p. — ISBN: 978-0-470-53359-8.
14. Ben-Shan Liao Nonlinear Rayleigh-Ritz iterative method for solving large scale nonlinear eigenvalue problems / B. Zhaojun, Lie-Quan Lee., Kwok Ko // Taiwanese journal of mathematics. — 2010. — Vol. 14, №3. — P.869—883.
15. Bai Z. Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide / Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H.Vorst. — Philadelphia: SIAM, 2000. — 410 p.
16. Voss H. An Arnoldi method for nonlinear eigenvalue problems / H. Voss // BIT Numerical Mathematics. — 2004. — №44. — P. 387—401.
17. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. — М. : Радио и связь, 1988. — 440 с. — ISBN: 5-256-00064-0.
18. Маненков А.Б. Возбуждение открытых однородных волноводов / А.Б. Манен-ков // Известия Вузов. Радиофизика. — 1970. — Том 13, №5. — C. 739—748.
19. Goubau G. On the excitation of surface waves / G. Goubau // Proceedings of the IRE.
— 1952. —Vol. 40, №7. — P. 865—868.
20. Collin R.E. Field theory of guided waves. Sec. Ed / Collin R.E. — New York. : Wiley Interscience, 1991. — 852 p. — ISBN: 0-87942-237-8.
21. Dudley D.G. Linear source in a circular tunnel / D.G. Dudley, S.F. Mahmoud // IEEE Trans. AP. — 2006. — Vol. 54, №7. — p. 2034—2047.
22. Yip G.L. Launching Wave Efficiency of the HE11 surface wave mode on a dielectric rod / G.L. Yip // IEEE Trans. MTT. — 1970. — Vol. 18, №12. — P. 1033—1041.
23. Yip G.L. Launching Efficiency of the HE11 surface wave mode on a dielectric tube / G.L. Yip, T. Auyeung // IEEE Trans. MTT. — 1974. — Vol. 22, №1. — P. 6—14.
24. Safaai-Jazi A. Scattering from an Arbitrarily Located Off-Axis Inhomogeneity in a Step-Index Optical Fiber / A. Safaai-Jazi, G.L. Yip // IEEE Trans. MTT. — 1980. — Vol. 28, №1. — P. 24—32.
25. Duncan J.W. The efficiency of excitation of a surface wave on a dielectric cylinder / J.W. Duncan // IRE Trans. MTT. — 1959. — Vol. 7, №2. — P.257—268.
26. Hanham S.M. High efficiency excitation of dielectric rods using a magnetic ring current / S.M. Hanham, T.S. Bird // IEEE Trans. AP. — 2008. — Vol. 56, №6. — P. 1805— 1808.
27. Каценеленбаум Б.З. Симметричное возбуждение бесконечного диэлектрического цилиндра / Б.З. Каценеленбаум // Журнал Технической Физики. — 1949. — Том 19, № 10. — C.1168—1181.
28.Каценеленбаум Б.З. Несимметричные колебания бесконечного диэлектрического цилиндра / Б.З. Каценеленбаум // Журнал Технической Физики. — 1949. — Том 19.
— №10. — C.1182—1191.
29. Person P.L. A simple mesh generator in Matlab / P.L. Person., G. Strang. — Режим доступу: http://persson.berkeley. edu/di stm esh
References
1. Barybin А. А. (2007) Elektrodinamika volnovedushchikh sistem. Teorija vozbuzhdenija i svjazi voln [Electrodynamics of waveguide system. Excitation and mode coupling theory]. Moscow, 512 p.
2. Okechukwu F. E. (2011) Medical imaging. Croatia, Intech Publisher, 400 p.
3. Allilomes P. C. and Kyriacou G.A. (2007) A Nonlinear Finite-Element Leaky-Waveguide Solver. IEEE Trans. MTT. Vol.55, No 7, pp. 1496-1510.
4. Allilomes P. C., Kyriacou G., Vafiadis E., Sahalos J. N. (2004) A FEM analysis of open boundary structures using edge elements and a cylindrical harmonic expansion. Electromagnetics. Vol.24, No 1, pp.69-79.
5. Nikolskiy V. V. and Nikolskaya T. Y. (1989) Elektrodinamika i rasprostranenie radi-ovoln [Electrodynamics and wave propagations]. Moscow, 544p.
6. Zhu Y. and Cangellaris A. C. (2006) Multigrid finite element methods for electromagnetic field modeling. USA, Wiley-Intersciencer, 400 p.
7. Volakis J. L., Chatterjee A. and Kempel L.C. (1998) Finite Element Method for Electromagnetics. New York, IEEE PRESS, 344p.
8. Jin J. (2002) The finite element method in electromagnetics. New York, Wiley-Interscience, 753p.
9. Reddy C. J., Deshpande M. D., Cockrell C.R. and Beck F.B. (1994) Finite element method for eigenvalue problems in electromagnetics. NASA, Langley Res.Center, Hampton, VA, Tech.Rep., 28p.
10. Balandin M. Yu. and Shurina E. P. (2001) Vektornyi metod konechnykh elementov. [Vector finite element method]. Novosibirsk, 69p.
11. Peolsi G., Coccioli R. and Selleri S. (2009) Quick Finite Elements for Electromagnetic Waves. Boston, London, Artech House, 289p.
12. Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. (1991) Full-Wave Analysis of Dielectric Waveguides Using Tangential Vector Finite Elements. IEEE Tra.ns.MTl. Vol. 39, No 8, p. 1262-1271.
13. Jin J. (2010) Theory and computation of electromagnetic fields. New Jersey, John Wiley & Sons, 572p.
14. Ben-Shan Liao., Zhaojun Bai., Lie-Quan Lee and Kwok Ko. (2010) Nonlinear Ray-leigh-Ritz iterative method for solving large scale nonlinear eigenvalue problems. Taiwanese journal of mathematics. Vol. 14, No 3, pp.869-883.
15. Bai Z., Demmel J., Dongarra J., Ruhe A., Vorst H. Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide. Philadelphia, SIAM, 2000. 410p.
16. Voss H. (2004) An Arnoldi method for nonlinear eigenvalue problems. BIT Numerical Mathematics. No 44, pp. 387-401.
17. Vayinshtein L. A. (1988) Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow, 440p.
18. Manenkov A. B. (1970) The excitation of open homogeneous waveguides. Radio-physics and Quantum Electronics. Vol 13, No 5, pp. 578-586.
19. Goubau.G. (1952) On the excitation of surface waves. Proceedings of the IRE. Vol. 40, No 7, p.865-868.
20. Collin R.E. Field theory of guided waves. New York, Wiley Interscience, 1991, 852p.
21. Dudley D. G., Mahmoud S. F. (2006) Linear source in a circular tunnel. IEEE Trans. AP. Vol. 54, No 7, p.2034-2047.
22. Yip G. L. (1970) Launching Wave Efficiency of the HE11 surface wave mode on a dielectric rod. IEEE Trans. MTT. Vol.18, No 12, p. 1033-1041.
23. Yip G. L., Auyeung T. (1974) Launching Efficiency of the HE11 surface wave mode on a dielectric tube. IEEE Trans. MTT. Vol. 22, No 1, p.6-14.
24. Safaai-Jazi A., Yip.G. L. (1980) Scattering from an Arbitrarily Located Off-Axis In-homogeneity in a Step-Index Optical Fiber. IEEE Trans. MTT. Vol. 28, No 1, p.24-32.
25. Duncan.J.W. (1952) The efficiency of excitation of a surface wave on a dielectric cylinder. IRE Trans. MTT. Vol. 7, No 2, p.257-268.
26. Hanham S. M., Bird T. S. (2008) High efficiency excitation of dielectric rods using a magnetic ring current. IEEE Transaction On Antennas and Propagation. Vol. 56, No 6, p. 1805-1808
27. Kacenelenbaum B. Z. (1949) Symetrichnoe vozbuzhdenie beskonechnogho dielektry-cheskogo cilindra [Symmetrical excitation of dielectric rod]. Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki. Vol 19, No 10, pp. 1168-1181.
28. Kacenelenbaum B. Z. (1949) Nesimetrichnye kolebaniya beskonechnogho diel-ektricheskogo cilindra [Unsymmetrical excitation of dielectric rod]. Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki. Vol. 19, №10, pp. 1182-1191.
29. Person P. L., Strang G. A simple mesh generator in Matlab. Available at: http://persson.berkeley.edu/distmesh
Гусева О. В., Горб М. С. Задача на еласн1 значення в1дкритого неоднор1дного д1е-лектричного хеилееоду. Наведено алгоритм для розрахунку власних хвиль та власних значень поперечно неоднор1дного д1електричного хвилеводу, який поеднуе метод шнце-вих елементгв та розклад поля по цилгндричним гармошкам у зовмшмй необмежешй област1. Отримат результати розрахунку для поверхневих хвиль. Наведено огляд л1-тератури з1 збудження в1дкритих хвилевод1в, з якого сл1дуе необх1дн1сть врахування повного спектра хвиль при розрахунку д1електричних структур методом розкладу по-лгв по власним функциям.
Ключое1 слова: неоднор1дний в1дкритий д1електричний хвилев1д, власш хвил1, влас-rn значення, метод ктцевих елемент1в, збудження в1дкритих хвилевод1в, метод мтрох-вильовог в1зуал1заци.
Гусева Е. В., Горб Н. С. Задача на собственные значения открытого неоднородного диэлектрического волновода. Приведен алгоритм решения задачи на собственные значения поперечно неоднородного диэлектрического волновода. Используется метод конечных элементов совместно с разложением поля по цилиндрическим гармоникам во внешней неограниченной области. Получены результаты расчета для поверхностных волн. Приведен обзор работ по возбуждению открытых волноводов, из которого следует необходимость учета полного спектра волн при расчете диэлектрических структур методом разложения полей по собственным функциям.
Ключевые слова: неоднородный открытый диэлектрический волновод, задача на собственные значения, метод конечных элементов, возбуждение открытых волноводов, метод микроволновой визуализации.
Guseva E. V., Gorb M. S. Eigenvalue problem of open inhomogeneous dielectric waveguide.
Introduction. Algorithm for solving eigenvalue problem of open inhomogeneous dielectric waveguide is presented. Open waveguide is divided in two regions. Inner inhomogeneous region is discretized using node-edge finite elements. Fields in outer unbounded homogeneous region are expanded into cylindrical harmonics. The final nonlinear eigenvalue problem is solved using inverse iteration procedure.
Results. Surface waves of circular inhomogeneous object are calculated. Literature overview on the excitation of open waveguide is presented.
Conclusions. The algorithm allows to determine the discrete spectrum of waves in open inhomogeneous waveguide
Keywords: inhomogeneous dielectric waveguide, eigenvalue problem, finite element method, open waveguide excitation, microwave imaging
