CC BY
28
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 2(18)
УДК 517.958 +532.59
М.М. Стерхова
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДЛИННЫХ ВОЛН В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ
Рассматривается задача Коши для системы интегродифференциальных уравнений, описывающих вихревое течение жидкости со свободной границей. Для начальных данных, удовлетворяющих условиям гиперболичности, доказана разрешимость задачи Коши в малом по времени.
Ключевые слова: вихревое течение, гиперболичность, интегродифферен-
циальные уравнения.
1. Постановка задачи
Рассмотрим начально-краевую задачу со свободной границей:
р (иТ + ииг + ги2)+рг = 0, 0 < Г < Н (г ,Т), (1.1)
(ги )г + (г¥ )2 = 0,
Рх =- Р8 , н
нт + г--(¡шг )г = о,
0
р(г, Н(г, Т), Т)=0, V(r,0,T)=0, и(г,2,0)=и0(г, 7), Н(г,0)=Но(г),
которая описывает в приближении теории длинных волн осесимметричное завихренное течение слоя однородной весомой жидкости глубины Н=Н(г,Т) над ровным дном 7=0. Здесь и, V - компоненты вектора скорости жидкости, р - давление, р - плотность, g - ускорение свободного падения, и0 , Н0 определяют исходные поле скоростей и положение свободной поверхности.
Эта задача может быть сведена к задаче Коши по фиксированной области (полоса 0<Х< 1 , ^ - аналог лагранжевых координат) заменой переменных г'=г, г=г, у=ф(г,г, ^), где Ф(г,г, ^) определяется в результате решения задачи
1 Ф
ф, + -(¡ги (г, г, г)й2 )г = о, Ф(г,о,Х) = Шо (г).
г0
В результате исходная задача эквивалентна задаче Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений
1
и1 + ииг + g | Нг йу = 0 ,
о
Ц + (ик)г + г~хик = 0, 0 < К < 1, (1-2)
и(г, 0, Г) = ио (г, Шо (г)), к(г, 0, Г) = Н0 (г).
Здесь и(г, г, ^) = и(г, Ф(г, г, ^), 1), Ь(т, г, ^)= Ф^ (г, г, ^),
В случае, когда и¥ = 0 (что соответствует в длинноволновом приближении безвихревому течению) система (1.2) переходит известные уравнения теории «мелкой воды». Мы будем рассматривать вихревые течения( и¥ Ж 0).
Общая теория гиперболичности систем уравнений первого порядка применительно к интегро-дифференциальным уравнениям была сформулирована в [1, 2], а в [3] были указаны условия гиперболичности в плоском случае.
Действуя аналогично [3] можно показать, что условия
ux > 0,Х (u) Ф 0, А arg
X+ (u)' X- (u)
= 0
(1.3)
достаточны для гиперболичности уравнений (1.2).
Здесь А обозначает приращение функции на интервале 0 <Х< 1,
Х± (и) = (и0 - и )ю-' - (и1 - и )ю-1 +
ui
u0
+ (и - «о)(« - «і)) - g f І-71 -----------------------+ яі І —І — ,
J ' ю )v u - u v Ю Л и-к
ю = их / к, и', и - сокращенные обозначения и(г, V, г), и(г, X, г). Индексы «0», «1» -значения функций при X =0, X =1. Здесь т', т, ю - сокращенные обозначения и(у), и(Х), ю(Х), и(у),
Система уравнений (1.2) имеет семейство характеристик, соответствующих непрерывному спектру г = гх (г),(X є [0;1]):
йгх / Ж = и (гх, X, г)
и характеристики г = г1 (г), соответствующие дискретному характеристическому спектру (&г')/& = кі (г',г); (г = 1,2)
Характеристические числа к' определяются как корни уравнения
1
| к (и’- к; )2^у = 1 (1.4)
Если условия (1.3) выполнены, это уравнение имеет только два действительных корня
kl (r, t) < min x u (X, r, t), k2 (r, t) > max x u (X, r, t)
И система (1.2) эквивалентна соотношениям на характеристиках
R + uR + ur lR - r 1
Rit + ki Rir + kir -Ri - r 1
jh'dv
0
k2 + jh' d V
= 0
V 0 f 1 \
= 0 (i = 1, 2)
V 0 У
(1.5)
rot + uror - r 'rou = 0
0
где
*=к -1-^,
г г и' - к ’
(1.6)
Я = и (X) -1 -•> 1/
Н'сіу
и - и
В дальнейшем к заменим величинами и и ю при помощи равенства к = .
2. Априорные оценки
Для того чтобы получить априорные оценки для решения задачи Коши (1.2), используем аналог метода интегралов энергии. Система уравнений (1.2) сводится к симметрической форме путем введения инвариантов Римана Я, ю, Яг. Это позволит нам использовать такую же схему получения оценок для решения и его производных в соболевском классе функций, как те, что используются в случае квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений.
Чтобы получить оценку для решения, нужны соотношения для производных с и через производные инвариантов Римана.
После дифференцирования (1.5) получим соотношения:
ю' дv
ю' дv
и - и
Л
и - к
і У
¿V = яіг +1= Фіі. (2.1)
П V ю )г и - к
Аналогичные представления могут быть получены для игг, иг
«(к)
1 д(«'(к) -«<к)
Г 1 О
I ю' дv
Л
дм = Я„(к) +
« - «
■=рк ( (=1,
ю' дv
и' - к,
а v = Я!г (к) +
р-
Л 1ю'
(к)
и' - к,
= Ф к, (к = 2,3),
Рг -
^ +1Р-1 + 2 ГШ АрЦ ЛV- М
^ ю' и ' - и Яv и - - и КЛ'
ю '). дv
1 д
ю' дv
и- - и.
<іч .
ю и — и
з[ 1 — 1 -
Л ю)„ *
ду +
Л 1 Ґ Л \ Я Ґ ' Л2
л,-3Г Ґ .ІЛ —\ и*—и. 1 л-11 &')„ дv '
1 1 дг
-зГ-1
* ю'
ю' ду
(«гг «гг) / , ^ р 1
^------2 ( - «г ) ) +2 I——
(«'-«)2 1 г ^ 0 ю'ду
(«Г - «г )
Ля,
0
Ф2І = Кігт + І І —
- [ Л — ~Т— dv - 2 кі Му 3 дм ,
і ю Эу . и - к , і ю (и' - к )3
і
1
1 и.
\
и ' - к
ду -
о“ (и '-кі)
Фз і = Кіггт +
и[, ду Л( 1
- + 3
. и ' - к,
(
ю' )„ ду
и' - к
дм -
-3
ю ' )г ду
и ' - к
ду + 2
-2 Г — д
^ ю'
ю ' ду
(и'- кі) и'„ дv
ю ' )г ду
и
\
дм + 2 Г — д 1 ю'
ю ' дv
и '- кіу
„ '3 Л
ду -
- + 2
■кг 12\Юд
(и '- кі)
ю' ду
(и'- кі)
(и ' - кі)
(и '- кі)
ду +
^ ч\
ду ^ ч\
Мм
-4кігкіг Г1 К 3 дм - 2кі2— Г1 К 3
1 ю' (и' - к )3 ' дГ 1 ю' (и' - кі )3
дм +
Если представить функцию иг в виде
(и '- кі)
(к) -
^ + 3кі>|Л ги\ 4 дм.
0 ю (и ' - к- )4
(к)
= юк + ак (и - к1) 1 + а^ (и - к2) 1 (к = 1,...,3),
где а^, а2 - произвольные величины, не зависящие от X, а юк обращается в нуль на концах промежутка, получим сингулярное интегральное уравнение для определения юк(Х, г, г):
(2.2)
Км Юк + I I ~
и0
Ю )и и - и
(2.3)
где К = (ю' 1) , = (ю' 1X«Vі, ¥к из (2-1а).
\ 'и
С помощью (2.1а) найдем а(к) а^к^ в точной форме
( 1
2 г 1 и'у дV
I о' (и'(V)-кі)3
Фкі
о-°'Л и'-к у
(( = 1,2; к = 1,...,3) (2.4)
Условия гиперболичности (1.3) гарантируют однозначную разрешимость сингулярного интегрального уравнения (2.3) в классе функций, удовлетворяющих ус-
ловию Гельдера во внутренних точках интервала [м0; щ ] и ограниченных на его концах [4].
Уравнение (2.3) может быть решено в явном виде
№к Я / и Г11 /' П М
- тК . (2.5)
|х+| я и0 v ю у“'|х+ я '(и' - и)
где f = (и - и0 )(и - и1), g = (и - к1)(и - к2).
Представления (2.2), (2.4), (2.5) функций позволяют оценить эти функции через производные инвариантов Римана ю, Я, Rj.
В Я3(г, г, X,) рассмотрим область Qt , ограниченную плоскостями г=0, г=соп81, Х=0, Х=1 и поверхностями Ги определяемыми уравнениями
г = г1 (г): с]г1 /& = к' (г1,г); г1 (0) = Ь, г2 (0) = а(Ь > а).
Сечение <21 плоскостью г=т - прямоугольник:
°т = {(гД): г е[г2, г1 (т)], X е [0; 1].
Символом Н5 будем обозначать соболевское пространство функций, интегрируемых с квадратом на некоторой области вместе с производными до я-го порядка,
я > 0. Символ ||кна|| (т) обозначает норму функции к в Н5(От), ||й||д (т) обозначает норму в ¿?(х), \Щс (т) - норма в С(От), Аналогичные нормы для функций, зависящих только от г, г (г € |~г2 (т),г1 (т)^), обозначены как | к | а^(т), | к |?(т), | к |с(т) Лемма. Пусть начальные данные удовлетворяют условиям (1.3) и нормы МН3 (О), 1НН (0)’ И н3 (0), К!н3 (0), I Я;|н3 (0) (г = 1,2) ограничены. Тогда 3 г0 > 0 и положительные функции С() такие, что неравенства
N1 Н (*) < С (), I I ш||н3 (/) < с2 (/)^|ш"^|яз (/) < Сз (/), (/ = 1,2),
||«-1|нз () < С (/), | (I) < С5 (/)
выполнены на интервале 0 < I <
Функции С;(г) и значение 4 зависят от заданных значений норм начальных данных.
Схема доказательства. Рассмотрим уравнения для квадратов производных функций
иХ’ и\ ’ [й’ ю Щ =1,2).
Интегрирование этих уравнений по <21 позволяет получить неравенство
6 6 * 5 1
Е2*2 () - (0) + С1 () {ЕТ^Т[1 Мг112 +1Ы12 +1 Кг II2 + (2.6)
I=1 *=1 0 *=1 у \с
Лиггг (1)2 + Е(к1г\г + К\г + \к1т-\г) + Е2*](Т)Е22 т .
/=1 /=1 I=1
Здесь С1 - положительная константа, = пхн2 (), г2 = мх-1 н2 (), г3 = юн3 (),
z4 = ®-1H3 (t),z5 = |Rh3 (t). z6 = lR21H (t) •
Неравенство
9 7 t 3 -
zi2 (t) ^ Zzi2 (0 ) + C2 (t) Í^TIF [ Ur\ L +1 Urrl I2 41 Urrrll 2 +1 \Urrr (1)112 + (2J)
i= 7 i=7 0 i=1 |r|c
4 9 9
+£(Z ))& (t) 41 fRr llc 41M4 )lZz; (T)dT
i=1 i=7 i=7
может быть получено аналогично. Здесь
Z7 HI All 2 (t) > Z8 HI fRrr II2 (t). Z9 HI fRrrrh (t) ,
2
hrrr «II2 = 21 ai 112 (Z2 + Z4 ) (2.8)
i=1
Представление (2.3) ur как оператора над производными функций R, ю-1, fRr и так же, как аналогичные представления для ur , Urr , Urrr , позволяют получить окончательное неравенство
t
Z (t) < Z (0) + jo (Z (t ))dT (2.9)
0
9
для Z (t) = I2 (t) с монотонно возрастающей положительной функцией Ф(г).
/=1
Ограниченное решение этого неравенства обеспечивает требуемые оценки на интервале [0; t0] только при выполнении условий (1.3). Для завершения доказательства оценим разницу между выражениями (1.3) и их начальными данными и обеспечим выполнение условий (1.3) выбором t0.
Теорема существования для задачи Коши (1.2) доказана, когда начальные условия удовлетворяют условиям леммы с равномерно ограниченными нормами и равномерно выполненными условиями (1.3) (равномерно по отношению к a, когда Ib - a = const ).
Теорема. Существует t0 > 0, такое, что задача (1.2) имеет решение в интервале 0<t< t0 с нормами
И и з(т )> И и з(т )> I К* Iи з(т )> I И и з(т) > I Rí\h з(т),
равномерно ограниченными по отношению к a.
После того как получены априорные оценки, теорема доказывается стандартным путем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тешуков В.М. О гиперболичности длинных волн // ДАН СССР. 1985. Т. 284. № 3. С. 555-559.
2. Teshukov V.M. Long wave approximation for vortex free boundary flows // Numerical Methods for Free Boundary Problems. Basel: Birkhauser Verl., 1991 (Intern. Ser. Numer. Math.; V. 99).
3. Teshukov V.M. On Caushi problem for long wave equations // Numerical Methods for Free Boundary Problems. Basel: Birkhauser Verl., 1992 (Intern. Ser. Numer. Math.; V. 106).
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Статья поступила 10.05.2011 г.
Sterkhova M. M. THE CAUCHY PROBLEM FOR LONG WAVE EQUATIONS IN THE AXISYMMETRIC CASE. The Cauchy problem for a system of integro-differential equations modeling the free-boundary vortex fluid flow is considered. For the initial data satisfying the hyperbolicity conditions, the solvability of the Cauchy problem in the small with respect to time is proved.
Keywords: vortex flow, hyperbolicity, integro-differential equations.
STERKHOVA Maria Maksimovna (Tomsk State University, Ltd. “Termofarm”)
E-mail: sterhova.m@gmail.com
