Задача Коши для нелокального уравнения диффузии---адвекции радона во фрактальной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2010. — № 1 (20). — С. 127-132

Математическое моделирование

УДК 517.958

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ-АДВЕКЦИИ РАДОНА ВО ФРАКТАЛЬНОЙ СРЕДЕ

Р. И. Паровик

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка ул. Мирная, 7.

E-mail: romano84@mail.ru

C помощью метода функции Грина решена задача Коши для уравнения аномальной диффузии-адвекции радона во фрактальной среде, которое представлено с помощью дробной производной Капуто по времени и дробной производной Рисса— Вейля по пространственной координате.

Ключевые слова: радон, супердиффузия, субдиффузия, фрактальная геосреда, задача Коши, функция Грина.

Введение. В настоящее время все больший интерес вызывает теория мас-сопереноса во фрактальных средах, которая рассматривается в рамках физики открытых систем [1—3]. Этот интерес вызван тем, что многочисленные геофизические и экспериментальные данные указывают на то, что геосреда является нелинейной, имеет блочную структуру или обладает фрактальными свойствами [4]. В таких средах процесс массопереноса может происходить либо более интенсивно, либо наоборот, менее интенсивно, чем в средах с однородной структурой. Механизмы массопереноса в средах с фрактальной структурой называются аномальными, а математические модели, описывающие такие механизмы, — нелокальными [3]. Математический аппарат для описания переноса в таких средах достаточно хорошо разработан и основан на дробном исчислении [5-7].

Настоящая работа посвящена разработке математических нелокальных моделей переноса радона в пористом грунте. Практическая значимость изучения диффузии радона очень велика. Радон является индикатором геодинамических процессов, происходящих в земной коре. Например, деформационные возмущения имеют отклики в радоновых полях, которые характеризуются аномальными значениями концентрации радона и могут при определенных условиях являться предвестниками сейсмических событий [8, 9].

В работе решена задача Коши для уравнения аномальной диффузии радона в грунте. Уравнение включает в себя два режима переноса: режим супердиффузии и режим субдиффузии. Режим супердиффузии характеризует перенос, который протекает более интенсивно, чем перенос в режиме обычной диффузии [10]. Такой режим связан с пространственной нелокальностью

Роман Иванович Паровик (к.ф.-м.н.), младший научный сотрудник, лаб. физики атмосферы.

(полеты Леви) [7]. Режим субдиффузии является менее интенсивным процессом переноса, чем процесс обычной диффузии, и учитывает эффекты памяти (ловушки) [7].

1. Обобщенные законы Фика и неразрывности. Известно, что уравнение диффузии—адвекции радона в однородном пористом грунте можно получить из закона неразрывности и закона Фика [10] при Ь > 0, х > 0:

+ = (1) дЬ дх п дх

и записать

= + _ + 0_ (2) дь дх дх п

Здесь Б — коэффициент диффузии радона в грунте (м2/с); V — скорость адвекции радона в грунте (м/с); п — пористость грунта (отн. ед.); Л — постоянная распада радона (1/с); ( = Лпи0 —источник радона, обусловленный материнским содержанием радия в грунте (Бк/(м3с)); и0(х,Ь) — поровая активность радона, который находится в радиоактивном равновесии с радием на заданной глубине в грунте (Бк/м3); и(х,Ь) —поровая активность радона в грунте (Бк/м3).

Если пористый грунт обладает фрактальными свойствами, т. е. в нём присутствуют эффекты памяти и пространственные корреляции, то законы неразрывности и Фика (1) обобщаются, и их можно записать в следующей форме [7]:

^ + ^ = _Л(11(м)_ао0м))1 (3)

д(х,г) = -V, 0 <¡3^1, 1/2 < 7 <1.

Производные в (3) имеют следующий смысл:

9Р<х,1) р _1_ Г* ди{х, С) _ р

т/3 V у (К

— производная Капуто;

гЛи(х,Ь) 1 д [~ и(я,Ь)

йя

дх"' 2Г(1 -7)со8(|(1 -7)) дх '-оо

— производная Рисса—Вейля.

Уравнение (2) с учётом (3) можно переписать в виде

^ - + - А«-,. 0 -»,(,.<)). К««. (4)

Введём характерное время Ь0, масштаб хо и соответствующие безразмерные координаты т = Ь/Ь0, £ = х/х0. Тогда уравнение (4) будет записано в безразмерных координатах:

Параметры переноса в грунте I, Л, Л будут являться тоже безразмерными заданными величинами. Уравнение (5) является основным уравнением переноса радона в грунте, который обладает фрактальными свойствами.

2. Метод функции Грина решения задачи Коши для уравнения аномальной диффузии радона во фрактальной среде. Найдём с помощью функции Грина решение задачи Коши, положив для простоты -ио(£,т) = V = Л = 0 в (5):

дв С(£,т) Л даС((,т) А

п , С^О, т^О; (6)

дт в

д(а

с(С, 0) = ¿(С).

Уравнение (6) является уравнением аномальной диффузии. Когда в = 1 и а = 2, оно переходит в классическое уравнение математической физики, которое используется в задачах тепломассопереноса [2]. В работе [11] было найдено фундаментальное решение задачи Коши, когда в правой части (6) а = 0. Найдём фундаментальное решение задачи (6) для 1 < а < 2. Для этого сделаем преобразование Фурье по пространственной координате С. Приходим к следующей задаче Коши:

дОТF(к,т) = I |к|а F(к,т), ^(С,0) = 1. (7)

Решение задачи (7) известно [5]. Его можно записать следующим образом:

F(к,т) = Ее(-I |к|а тв),

где Ее (г) = ^ гп/Г(вк + 1) — функция Миттаг—Леффлера. Решение также

п=0

можно представить через функцию Фокса [5]:

F(к, т) = Ее (-I |к|а тв) = ИЦ (I |к|

а т в

(0,1)

(0,1 ),(0,в)

(8)

где — функция Фокса. Выполняя обратное преобразование Фурье вы-

ражения (8), получим

е^ИЦ (I |к|а т

(0,1),(0,в) ]ак =

'-1/2(к£)ИЦ{ I |к|а т

.¡0

(0,1),(0,в) |ак =

1 тт-12 ( 2аОтР

По

'32

1«Г

И

21

|«г

23 I 2«Дт/3

(1,1),(1,в) (1/2,1),(1,1),(1,1)

(1/2,1),(0,1),(0,1) =

(0,1),(0,в) ) = - 1 н™(

12 I

(1,в) 1 (9) (1/2,1),(1,1) I- (9)

Решение (9) является функцией Грина С(С,т) для задачи (6).

Пусть начальное условие для уравнения (6) и(£,0) = ф0(С), тогда решение такой задачи Коши можно записать следующим образом:

и(С,т)= С(С - С,т)ф0(СК-

0

(10) 129

ЭО

1

Заметим, что функция Грина С(£, т) при значениях параметров а = 2 и в = 1 переходит в функцию Грина для классической задачи диффузии. Действительно, можно показать, что

42 иПт

(1,1) (1/2,1),(1,1)

1

-е 4г>т,

3. Метод функции Грина решения задачи Коши для уравнения аномальной диффузии-адвекции радона во фрактальной среде. Найдём функцию Грина для уравнения (5):

{>о,г>а (и.

дт в

дСс

д£->

Применяя преобразование Фурье по координате С и Лапласа по т, получим уравнение С(к,р) = 1/(рв + Л + Л), где Л = -1 |к|а — V |к|7, и затем преобразуем к виду

С(к,р) =

Л

Л(рв + Л) 1 + л/ (рв + Л)'

С учётом того, что |Л/(рв + Л)1 < 1, получим

(12)

с(к,р) = £

(-Л)п

п=0

(Рв + Л)п+1'

Используя формулы [5]

д\

¿в-1Е«,в (ЛГ) = п!Гп+в-1Е0+П+в (Л£а),

¿ага+в-1Еа;+31( лИ

п!ра в - Л)га+1

выполняем обратное преобразование Лапласа для выражения (12) и получа-

ем

С(к,т) ^(-Л)птвп+в-1ЕП;^П+в(- Лтв).

(13)

п=0

Здесь

— обобщённая функция Миттаг—Леффлера [5]. Применяя обратное преобразование Фурье к выражению (13) и учитывая, что

F [(-Л)п] = F [(I |к|а + гЛ|к|7 )п] =

= F

^ ^^^^ ^Л^.-¿.Л1 |к|ап+г(^-а) = ^ [|к|ап+1(7-а)]

2

€

1

= -2 ^ (nW-¥ sin(wn/2)r(w + 1Ж|-Ш-1 = -2An>i, и = an + l(j- a) 1=0 ^ '

получим

те

= ~Е (14)

n=0

Решение (14) является функцией Грина G(£,r) для уравнения (11). Если для уравнения (11) источник радона представляет собой функцию п0(£,г), то решение этого уравнения можно представить согласно теореме о свертке в виде [7]

п(С,г)= \Г[ по(С,я)С(С - Z,T - s)dsd(. (15)

00

Если источник радона величина постоянная u0((,$) = u0 = const, то решение (15) будет иметь вид u(£,T) = AuoG(£,T). Решение задачи Коши для уравнения (11) можно представить так:

u(i,T) = \[ f uo(Z,s)G(t - Z,T - s)ckd( + t M^1 G(Z - (,T)d(. (16) 0 0 0

Если положить в (16), что функции источника и начального распределения концентрации радона в грунте являются константами, то мы получим следующее решение задачи Коши уравнения (11):

те

u(C,T) = £ Bn^n( We Атв) + E^+i(- AT в)), (17)

n=0

где Bn,i = -An,i/n.

Особенностью решения (17) является то, что концентрация радона к земной поверхности падает по степенному закону, а не по экспоненциальному, как в классическом случае (@,Y = 1, a = 2), и поэтому радона больше выноситься к земной поверхности.

4. Заключение. В грунте, который обладает фрактальной структурой, существуют различные аномальные процессы переноса: субдиффузия, супердиффузия, аномальная адвекция. В зависимости от фрактальных параметров а, в и Y будет преобладать тот или иной режим переноса, что может характеризовать изменение фрактальных свойств грунта (геосреды). Такое изменение свойств геосреды может происходить в результате деформационных возмущений, которые могут предшествовать сейсмическим событиям.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию (код проекта РНП 2.1.1/544).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беданокова C. Ю. Математическое моделирование водного и солевого режимов в почвах с фрактальной организацией: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. —

Таганрог: Юж. фед. ун-т, 2007. — 16 с.

2. Мейланов Р. П., Шабанова М. Р. Уравнение теплопроводности для сред с фрактальной

структурой // Современные наукоёмкие технологии, 2007. — №8. — C. 84-85.

3. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. — М.: Наука, 2006. — 167 с.

4. Лукк А. А., Дещеревский А. В., Сидорин А. Я., Сидорин И. А. Вариации геофизических полей как проявления детерминированного хаоса во фрактальной среде. — М.: ОИФЗ РАН, 1996. — 210 с.

5. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies, 204; ed. J. van Mill. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 pp.

6. Нахушев В. В. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.

7. Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с.

8. Рудаков В. П. Мониторинг напряжённо-деформированного состояния пород сейсмоактивного региона эманационным методом // Геохимия, 1986. — №9. — C. 1337-1342.

9. Фирстов П. П., Рудаков В. П. Регистрация подпочвенного радона в 1997-2000 гг. на Петропавловск—Камчатском геодинамическом полигоне // Вулканология и сейсмология, 2002. — №6. — C. 1-6.

10. Новиков Г. Ф., Капков Ю. Н. Радиоактивные методы разведки. — Л.: Недра, 1965. — 759 с.

11. Глушак А. В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные// Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физ. и матем., 2002. — №2. — C. 56-58.

Поступила в редакцию 11/X/2009; в окончательном варианте — 04/I/2010.

MSC: 65N80

CAUCHY PROBLEM FOR THE NONLOCAL EQUATION DIFFUSION-ADVECTION RADON IN FRACTAL MEDIA

R. I. Parovik

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation of FEB RAS, 7, Mirnaya str., Paratunka, Kamchatka Edge, 684034.

E-mail: romano84@mail.ru

In this article, using the Green's function method the Cauchy problem is solved for the equation of anomalous diffusion-advection of radon in a fractal medium, which is represented by a fractional derivative of the Caputo time fractional derivative and Riesz-Weil on the spatial coordinate.

Key words: radon, superdiffusion, subddiffusion, Cauchy problem, Green's function.

Original article submitted 11/X/2009; revision submitted 04/I/2010.

Roman I. Parovik (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Researcher, Lab. of Atmospheric Physics.