Вывод уточненных динамических уравнений изгиба балки при помощи асимптотико-группового анализа уравнений теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Перечень ссылок

1. Толковый словарь математических терминов / [О. В. Ман-туров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин и др.] ; под ред. проф. В. А. Диткина. - М. : Просвещение, 1965. - 98 с.

2. Бронштейн И. Н. Справочник по математике / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М., 1964. - 17G с.

3. Справочник по элементарной математике / [ред. П. Ф. Филь-чаков]. - К. : Наукова думка, 1972. - 528 с.

Одержано 29.04.2010 Після доробки 20.10.2010

Лякун С.Ф. Метод обчислення тригранних кутів при розробці керуючих програм для механічної обробки деталей на верстатах з ЧПК

Описується перерахунок через ливарні ухили плоских кутів у тригранних кутах, необхідний при розробці керуючих програм для верстатів з числовим програмним керуванням при обробці тригранних кутів. Описується дедуктивний метод визначення кутів, утворених при перетинанні двогранних кутів площиною обробки.

Ключові слова: тригранний кут, плоский кут, двогранний кут, ливарний ухил, метод математичної дедукції, площину обробки.

Lyakun S. The method of trihedral angles calculating at control programs development for machining of parts on the numerical-controlled machine tools

The recalculation of plane angles in trihedral angles through pattern tapers is described, being required for development of control programs for the NC machine tools when machining the trihedral angles. The deductive method is described to determine the angles formed at intersection of dihedral angles by a plane of machining.

Key words: trihedral angle, flat angle, dihedral angle, cast slope, method of mathematical deduction, the plane processing.

мится к 0, то дробь стремится к бесконечности, а арктангенс этой дроби стремится к 90 °.

Описанный метод расчета на практике может быть применен для разработки управляющих программ для станков с ЧПУ при изготовлении волноводов РЛС и прессформ.

УДК 539.3

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина Государственная инженерная академия, г. Запорожье

ВЫВОД УТОЧНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗГИБА БАЛКИ ПРИ ПОМОЩИ АСИМПТОТИКОГРУППОВОГО АНАЛИЗА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

При помощи метода асимптотико-группового анализа из трехмерных динамических уравнений теории упругости получены уточненные одномерные динамические уравнения изгиба балки, более точные, чем известные. В частности найденные уравнения описывают распространение двух типов волн, причем фронты этих волн движутся с теми же скоростями, как у продольных и поперечных волн в трехмерной упругой среде. Отметим, что классические уравнения изгиба балки имеют параболический тип, т.е. не описывают фронтов волн, а уравнения типа Тимошенко задают скорости фронтов волн, не совпадающие со скоростями фронтов в трехмерной среде.

Ключевые слова: асимптотико-групповой анализ, уточненные динамические уравнения изгиба стержня, деформация, изгибающий момент, перерезывающая сила, продольные волны, поперечные волны.

В работе [1] изложена процедура получения уточненных динамических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластины на основе трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-группового анализа. При этом реализовано, так называемое, минимальное уп-

рощение трехмерных уравнений, приводящее к двумерным уравнениям. В данной работе рассматривается более сильное упрощение трехмерных уравнений, которое, в результате совмещения двух минимальных упрощений приводит к уточненным одномерным уравнениям изгиба балки. Таким образом, получаются

© А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина, 2011

ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011

асимптотически обоснованные уточненные уравнения, позволяющие учитывать как известные в изгибе балки эффекты, так и некоторые новые.

Параметры асимптотического интегрирования для процедуры последовательных приближений

Уравнения теории упругости в декартовых координатах имеют вид:

д1°11 + д2°12 + д3°13 -Рд2«1 = °, Ед1М1 = СТ„ +СТ33);

д1°12 +д2°22 + д3°23 - рд?М2 = 0, Ед2м2 = °22 - у(а11 + °33 ) ; д1^13 + д2°23 + д3°33 — рд^ М3 = 0, Ед3«3 = °33 — v(°ll + °22 ) ;

С(д1«2 + д2М1)=012, С(д1«3 + д3«1)=013, 0(2% + д3«2)=°23.(1)

В соответствии с работой [1] для оценки весов слагаемых этих уравнений применим преобразования:

д1 =5alд*, д2 =5a2д2, д3 =д3;

U1 = 5a3u*, U2 = Sa4u2, U3 = 6a5U3; all = 8a6стш a22 = 8a7a33 = Sa8ст3з;

au = 6a a*2,

a13 = SalGa13, a23

J23>

E = E*, G = G*, p = pi, дг =5al1 д*.

приводящие к соотношениям:

(2)

5* ~ o*m (, (, /, m = 1,2,3) (3)

Подстановка (2) в (1) дает таблицу показателей степени:

ai +0-6, a-2 +a9, a^, «3 + 2оц; ai +аз, ag, a7, ag; ai +a9, a2 +a7, 0, a4 + 2оц; a2 +a4, a7, ag, ag; ai +aio, a2, ag, a5 + 2оц; a5, ag, ag, a7; ai +a4, a2 +Оз, a9; ai +a5, Оз, aio; a2 +a5, a4, 0.(4)

5* ~ ^5*; £5*“** ~ а|: ~ аЦ (,, ;,I,т = 1,2,3; к = 1,2,...).

Изгиб пластины

Параметры асимптотического интегрирования, отвечающие уточненным уравнениям изгиба пластины со срединной плоскостью хх имеют значения:

al = G,5, a2 = G,5, a3 = G, a4 = G, a5 = -G,5, a6 = G,5, a7 = G,5, a8 = G,5, a9 = G,5, alG = G, an = G,5.

(5)

В работе [1] показано, что этим параметрам отвечают следующие зависимости искомых величин в первом и, частично, втором приближениях от Х3 :

а13 = а13,1, а23 = а2з,1, “3 = “3,1, а33 = х3а33,1, “1 = х3и1,1,

“2 = Х3“2,1, аП = Х3аП,1, а22 = Х3а22,1, а12 = х3а12,1,

2 122 2 122 2122 2 132

а13 - “ х3 а13,Ь а23 - ~ х3 а23,1, “3 - - х3 “3,1, а33 - ^ х3а33,1. (6)

Все функции в правых частях соотношений (6) зависят только от Х1, Х2, / .

Уточненное плоское напряженное состояние

В работе [3] приведены значения параметров асимптотического интегрирования, отвечающие уточненному плоскому напряженному состоянию в плоскости

Х1Х3:

а! - 0,а2 - -0,5, а3 - -0,5,а4 - 0,а5 - -0,5,а6 - -0,5, а 7 - —0,5,а8 - —0,5, ад - 0,а^ - —0,5, ац - 0.

В этом случае зависимость решения уравнений первого и, частично, второго приближений от Х2 будет иметь вид:

u1 = u1,1, u3 = u3,1, a22 = a22,1, a11 = a1l,1, 4з = al33,1, a13 = a13,1;

1 1 1 1 1 _ 1 2 _ 1 22

a12 = x2a12,1, a23 = x2a23,1, u2 = x2u2,b a22 = "J x2 a22,1.

(8)

Для построения процедуры последовательных приближений все искомые функции представляются в виде рядов:

ui = Zui, aj = Zaj (i, j =1,2,3)

k=1 k=1

и вместо преобразований (2) выполняются преобра-

зования:

з ?al л* л л л* k $ja3 +k-1 k* k ?a4 +k-1 k*

д1 — 6 1 д1, д2 — 6 2д2, дз =дз, u — 6 3 u , u — 6 4 U2 ,

k_ sa5 +k-1 k* —k_ ?a6 +k-1_k* —k_ ^a, +k-1_ k* u — 6 U3, a — 6 all, a — 6 a^o,

з 11 22

к oa8 +k-l k* к ?aQ +k-l k* к +k-l k*

a — 6 a33, a — 6 al2, a — 6 al3,

33 12 13

ak —6k-1a23, E — E*, G — G*, p — p*, д, — 6al1 д*, (k —1,2,...),

23

приводящие вместо соотношений (3) к соотношениям:

Все функции в правых частях соотношений (8) являются аргументами Х1, Х3, /.

Двойное упрощение уравнений теории упругости

Выполним теперь одновременно упрощения описанные выше. Складывая с этой целью параметры (5) и (7), получаем:

а1 - 0,5,а2 - 0,а3 - -0,5,а4 - 0, а5 - -1,аб - 0, а7 - 0,а8 - 0,ад - 0,5, - -0,5, ац - 0,5.

Таблица показателей степени (4) примет при этом

вид:

G,5, G,5, - G,5, G5; G, G, G, G

1, G, G, 1;

G, G, G, G;

G, G, G, G -1, G, G, G

G,5, - G,5, G,5; - G,5, - G,5, - G,5; -1, G, G

Выполнив процедуру последовательных приближений с удержанием всех уравнений первого приближения и четырех уравнения второго приближения, будем иметь:

д3°1з = 0; Ед1М1 = °11 — у(°22 + °3з 1 д2°22 + д 3ст23 = 0; Ед 2м2 =ст22 —у(ст11 +ст33 ) д1ст13 +д 2° 23 +д 3°3з —рд ?М3 = 0; д 3М3 = 0;

д2^ = 0; 0(^3 + дзм ^ст^; дзмз = 0;

д1°11 +д 2ст12 +д 3°?3 — рд 2и1 = 0; д1°1з +д 2°22 +д 3° 23 — рд 2м2 = 0; д1°23 +д 2°23 +д 3°33 — рд 2и3 = 0;

Ед3М3 = °3з — У(°П + °22 )- (9)

Зависимость решения этих уравнений от Х2 и Х3 получаем путем комбинирования зависимостей (6) и (8):

и| = хм^,м2 = х3х3и3 і,и3 = и

2л3и2,Ъи3

*3,Ъ

°П = *3°1и, °22 = хЗ°22,1, °3з = Х3°3з,1;

°13 — Хз Хз° 1

1

1

1

42 - х2Х3и 12,1,° 13 - ° 13,1, °3з = х2°2з,1, и3 = \ (х3 )3 и3,1, °3з = 'з (х2 )3 х3°22,1;

°23 = 1 (х3 )3 °23,Ь °3з = 1 х2 (х3 )3 °23,Ь

2 к \3 2 °33 = 6 (Х3 ) °33,1.

1

(10)

Здесь все функции в правых частях соотношений зависят только от Х1 и /. Зависимости от Х2 и Х3 выписаны явно.

Подстановка (10) в (9) дает:

Ед1М1,1 = °11,1 — у(°22,1

41,1 '

+ °3з,1); Ем2,1 = °2з,1 — у(°1ц + °3з,1); д1ст13,1 + °23,1 + °3з,1 —рд 3м3,1 = 0; 0 (д1М3,1 + м1,1 )=ст13,1;

д1ст11,1 + °12,1 +°33,1 —рд ?м1,1 = 0;

д1°1з,1 + ° 22,1 + °2з,1 —рд 3м2,1 = 0;

д1°23,1 + ° 23,1 +°33,1 —рд 2мз,1 = 0

т- 2 1

Ем3,1 = °33,1 —у

,1 —у(ст11,1 + °22,1)- (11)

Получилось восемь уравнений относительно четырнадцати неизвестных функций от Х1, t, входящих в (10). Недостающие уравнения берем из граничных

условий на боковых сторонах бруса.

Нахождение недостающих уравнений для двойного упрощения теории упругости

Пусть поперечное сечение балки является прямоугольником со сторонами: Х2 - ±Х3 - ±^3.

В соответствии (10) задаем:

Х3 = й3 ^ °33 = '6 (й3 )3 °33,1 + йз°3з,1 = с+

°13 = З (й3 )2 °13,1 +°13,1 = т+1;

°23 = х2

4 (3 )3 °23,1 + °23,1 х2т32;

Х3 — -h3 ^ °33 - Ч =—с1 +;

°13 = Т31 = т+1; °23 = х2т32 = х2т+2;

х2 = й2 ^ °22 = Х3[3(й2)3°22,1 + °22,1 ] = Х3Р ' ;

°12 = х3^2°12,1 = Х3т+2;

°23 = \ (х3 )3 й2°23,1 + й2°23,1 = ^ (х3 )3 т+3,2 +т+3,1; х2 = —^2 ^ °22 = Х3р = Х3р + = °12 = Х3Т12 = —Х3т+2;

°23 = 1 (х3 )3 т—3,2 +т—3,1 = — ‘З (х3 )3 т+3,2 —т+3,1-

1

Мы видим, что достаточно рассмотреть граничные условия на гранях Х3 - Н3, Х2 - Н2; условия на противоположных гранях повторяются симметрично или антисимметрично.

Остановимся подробнее на касательных напряжениях а23 (рис. 1). Они задаются на обеих гранях Х3 - Й2 и Х2 - Й2 и связаны законом парности касательных напряжений.

Рис. 1. Направление действия на стержень напряжения а23. Поперечное сечение

В угловой точке будет:

а23 - Н2 [2 (Н3 )2а2э,1 + а23,1] -- Н2т+2 - ‘2 (Н3)2т+3,2 +т+3,1. (13)

Таким образом, величины т+2, т+31, х+32, задающие касательные напряжения а 23 на смежных пер-

пендикулярных гранях, не могут выбираться произвольно, поскольку связаны соотношением (13). Можно произвольно задать любые две из этих величин, а третья определяется из (13).

В итоге из (13) получаем уравнения:

б" (3 )3 ст33,1 + ^3ст3з,1 = д+ (3 )2 ст?3,1 +ст13,1 = т+1;

^2ст12,1 = т+2; 2^2)2ст22,1 + ст22,1 = р + ;^2СТ23,1 = т+3,2;

^2СТ23,1

Эти шесть уравнений дополняют восемь уравнений (11), образуя в совокупности четырнадцать уравнений для поиска четырнадцати искомых функций Х1 и t, входящих в соотношения (10)

Вывод динамических уточненных уравнений изгиба балки

Рассмотрим подробнее граничные условия (12). На Рис. 2 изображены напряжения, отвечающие первому и девятому из условий (12).

Рис. 2. Направления действия на стержень напряжений ^23 и 033 . Поперечное сечение

На верхней грани действуют равномерно распределенные нормальные напряжения д+. На нижней грани аналогичное напряжение имеет противоположный знак (д~ = -д +), но геометрически оно направлено в ту же сторону, что и напряжение, действующее не верхней грани. Складывая эти напряжения и умножая на ширину балки 2^2 , получаем суммарную нагрузку:

до = 4к2Ч+.

В соответствии с этим первое из уравнений (12) примет вид:

2 ^2 (3 )3 ст33,1 + 4^3СТ33,1 = . (14)

На правой и левой гранях действуют касательные напряжения, направленные так же, как и напряжение д+. Интегрируя по высоте и складывая, т.е. удваивая напряжения, действующие на правой грани, получаем:

Чт - § (^3 )3 т+3,2 + 4^3т+3,1 .

Умножая на два и интегрируя девятое из уравнений (12), получаем отсюда:

-3^2(^3У ст23,1 + 4^3СТ23,1 - Чт .

Суммарная поперечная нагрузка, действующая на балку, будет:

Ч - Чо+ Чт .

Рассмотрим теперь касательные напряжения на всех гранях балки, направленные вдоль оси Х1 (рис. 3).

*) 21ьг')1 ► _

> 2Ь, *у \

\

< А

■4

Рис. 3. Направления действия касательных напряжений °13 и °12 на балку. Продольное сечение

На верхней и нижней гранях действуют постоянные касательные напряжения т+1. На рис. 3 они изображены умноженными на ширину балки 2^ . Такие напряжения образуют пару сил с плечом 2^3 . Момент этой пары равен:

т1 = 4^2А3т+1 .

Умножая второе из уравнений (12) на 4^2^, получаем:

1 (3 )2 ст123,1 + ст13,1 -

Ш1

4И2И-

2«3

Находим главный момент нагрузки Х3Т21, удваи-

вая ее с учетом действия на двух боковых гранях балки, умножая на Х3 и интегрируя по Х3 :

т2 - 4 (И3 )3т+1.

Аналогично поступим с восьмым уравнением из уравнений (12):

4^2(л3)3стш - т2.

(17)

Суммарный момент касательных нагрузок, изображенных на рис. 3, равен:

т = Ш1 + Ш2-

Рассмотренные виды нагрузок на боковых поверхностях рассматривались и ранее при изучении классического изгиба балки [2]. Рассмотрим еще и неклассические виды нагрузок, отвечающие третьему и седьмому из уравнений (12) (рис. 4, а).

Рис. 4. Неклассические виды нагрузок. Поперечное сечение стержня: а - направления действия напряжений СТ22 и СТ23 ■ б - перемещения М2 и М3, вызванные действием на балку данных нагрузок

Умножая нормальную нагрузку на боковой поверхности на Х3 и интегрируя по Х3 получаем:

- ! (а ?-+

этим из с

1 / \2 2 1 1 (А2) ст22,1 +ст22,1 , Ч3

2 , , 2(^3)

Аз) Р .

В соответствии с этим из седьмого уравнения (12) имеем:

3 Р

+ СТот і - -

(18)

Касательные усилия на верхней и нижней гранях образуют пары с плечом 2^3 . Умножая эти усилия на плечо, а также на Х2 и интегрируя по Х2 получаем:

г = "3 (^2 )3 ^3т+2.

В соответствии с этим третье из уравнений (12) дает:

22

+ 1 - -

3г

2'3/ 23,1 23,1 2(к2 )

Таким образом, шесть уравнений (12) заменены шестью эквивалентными уравнениями (14), (15), (16),

(17), (18) и (19). Из уравнения (14) выражаем 033,1; решая совместно систему двух уравнений (15) и (19), 21

находим СТ231 и СТ231; из уравнения (16) выражаем

2 1 2 СТ131; из (17) находим 012,1; из (18) выражаем 022,1:

2

СТ33,1 -

2

СТ23,1

2*2 (з )3 (з )

6 СТ1 ■

СТ33,1;

3г

Чт

(аЗ)2 [ 2(а2)3 4А2А3

СТ1 - з СТ23Д - і

2

СТ13,1

4А2Ь

23

т1

2А2 (Аз )3 (Аз )

2(А2 )3

2 СТ1 ■

СТ13,1;

3т2

12,1

4А2 (Аз )3

22,1

3 Р

(А2)2 (Аз)3 (2)'

2СТ22,1. (20)

Завершив переход к интегральным величинам в граничных условиях, выполним аналогичный переход для искомых функций. Вначале рассмотрим общепринятую для балок величину - перерезывающую силу. Она равна:

Q - "з А2(А3)Зст2З,1 + 4А2А3Ст1з,1.

2

Подставляя сюда выражение для 013,1 из (20) получаем:

т1 + 8А2А3Ст1з,1

б-■

3

Отсюда:

_1 = 3<2 - т1 _2 = 3(т1 - 0)

0131 0,11 = ' <21>

Другой важной интегральной силовой величиной является изгибающий момент:

М -

- 4А2 (аЗ )3 _1 _ _1

3

‘СТ11,1 ^СТ11,1 -

3

М.

(22)

По аналогии вводим не имеющие общепризнанных названий величины:

Аз 3

К - 2А2СТ22,1 I(х3)2^З ^ СТ22,1 - / ^ К. (23)

-А3 4А2 (А3 /

Аз 2 3

Ж - 2А2Ст3з,1 |(х3)2^х3 ^ст3з,1 -"

Ж. (24)

Собирая воедино результаты из (20), (21), (22), (23) и (24), и подставляя их в (11), а также, вводя обозначения для перемещений

3

3

Ч

г

т

2

1 2 11

w = «3 1, № = «3 1, V = «2 1, Ф = «11.

Получаем уравнения:

д1Ф =

V =

4^ (*3 )3

(М -v(к + N )

3

Г :

4ЕЙ2 (*3 )3 3

4ЕЙ2 (*3 )3 36 - Ш!

8GН9h

2Н3

д2Ф =------(М + Ш2 + Ш1 - 6 Л

4рА2 (Н )3

. _ 2 8Н2Н3р 2 1 ^ 2А3

д16 +г“;гN —э—52 w=чд1Ш1- дт +г^гг;

(*3 )2 3 3 (*2 )2

3

д1Ш2 + _ Р

к _+_ 3г дт

рА2 (Н3 )2 [ 4^3 А2А3 2(А2 )2 Н3 2(А2 )2 4А3

3 Г дт 516 3г дт д_ 3^ ^

2рА2 (Н3 )2 ^ 2А3 2Н3 (Н2 )2 2Н3 Н3 (Н3 )3

(25)

Решая систему из первых трех уравнений (25) найдем величины М, К, N :

О 2 2 1 ( Еу

— д^-дtw + —д1ф| О +(-------)——)

Р Р I (1+ УЛ1 - 2у)

+

Е

р(1 + ^1 - 2у)

(1 -v)W + vV ) =

8Н2 Н3Р

2А3

Н X

-г - дт

Ev

(1+^1 -2^

+ Е(1 -V)

(д1ф + № X

рН )2

■д^ +

V =

3Н2

(1 +vXl - 2v) 2(3 X

д1т2 Р

1 2 +^— + -4^3

3г

23

2(Н2 )2

дт

4Н3

д1ф| О +

3Ev

Р(Н3 )2

(1 + vXl - 2v) X 2

3Е (1 -у) _ 3Ev

+

(1 + vXl - 2v) (1 + vXl - 2v)

д3W +

V +

+ Од^ = — 4Н2

1

3Н3

3г

— д1Ш1 + 7—гт -ТГ^ + Т_ д_ (Н2 )2

дт

2Н3

1

Н3

М = 3((ЕН^I) <(| +'' Л

К=з(1t+EVxМ:-1)((1 +v(и,+д1фЛ

м=^Н)^1 -v(",+v(дlФ+vX <2б>

Из четвертого уравнения выразим величину 6 :

8 1

6 = 3 0Н2Н3 ( + ФЛ + 3 Ш1.

Подставляя величины из (26) и (27) в остальные уравнения (25), после произведения некоторых преобразований получим:

E(l -v) д 2 д2 20 +

—------- Г д1 Ф-дt Ф 7-ТТ ф +

Р(1 + vXl- 2v)

Ev

+ Р(1 + vXl- 2v)

Р(Н3 )2 (д1№ + д1V )-

20 - 3

дlW = -

Р(Н3 Л

4РН2 (Н3 )3 ^ 3

-т1 + Ш2

Коэффициент, который остался в первом из уравнений при д2ф - это скорость распространения продольных волн, а коэффициент, который остался во втором уравнении при д2w - это скорость распространения сдвиговых волн.

Таким образом, наши уравнения описывают распространение двух типов волн, причем в точности с теми же скоростями, как и уравнения теории упругости. Третье и четвертое уравнения описывают искажения поперечного сечения балки. Перемещение V описывает симметричную деформацию в направлении Х2 , а перемещение № антисимметричную деформацию в направлении Х3 .

Выводы

Получены уточненные динамические уравнения изгиба стержня на основе асимптотико-группового анализа дифференциальных уравнений теории упругости, описывающие распространение двух типов волн, причем в точности с теми же скоростями, как и уравнения теории упругости.

Перечень ссылок

1. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский. - Запорожье : Изд-во ЗГИА, 1997.169 с.

3

3

х

X

+

2

2. Шамровский А. Д. Вывод динамических уравнений изгиба балки прямоугольного поперечного профиля при помощи асимптотико-группового анализа уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский,. Л. Н. Егармина // Методи розв’язування прикладних задач механіки де-формівного твердого тіла. - Дніпропетровськ : Наука і освіта, 2010. - Вип. 11. - С. 306-317.

3. Шамровский А. Д. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2009. - № 2. -

С. 111-115.

Одержано 14.10.2010

Шамровський О.Д., Єгарміна Л.М. Виведення уточнених динамічних рівнянь вигину балки за допомогою асимптотико-групового аналізу рівнянь теорії пружності

За допомогою методу асимптиотико-групового аналізу отримані із тривимірних динамічних рівнянь теорії пружності уточнені одновимірні динамічні рівняння вигину балки, більш точні, ніж загальновідомі. Зокрема, знайдені рівняння описують розповсюдження двох типів хвиль, при чому фронти цих хвиль рухаються із тими же швидкостями, як у повздовжніх та поперечних хвиль у тривимірному пружному середовищі. Зауважимо, що класичні рівняння вигину балки мають параболічний тип, тобто не описують фронтів хвиль, а рівняння типу Тимошенко задають швидкості фронтів хвиль такі, що не співпадають зі швидкостями фронтів у тривимірному середовищі.

Ключові слова: асимптотико-груповий аналіз, уточнені динамічні рівняння вигину стержня, деформація, момент що вигинає, сила що перерізує, повздовжні хвилі, поперечні хвилі.

Shamrovskiy A., Egarmina L. Conclusion of the bar bending specified dynamic equations through the asimptotic-group analysis of resiliency theory equations

Through the method of asymptotic-group analysis the threedimensional dynamic equations of longitudinal bar deformation given from precise one-dimensional dynamic theory equations, more exact, than known. In particular equations describe distribution of two waves types are found, thus fronts of these waves move with the same speeds, as the longitudinal and transversal waves in a three-dimensional resilient environment. We will mark that classic equations of bar bending have a parabolic type, i.e. does not describe wave fronts, and equation of Timoshenko type set fronts of waves speeds, not consilient with speeds of fronts in a three-dimensional environment.

Key words: asymptotic-group analysis, specified dynamic equations of bar bending, deformation, bending moment, an intersecting force, the longitudinal waves, the transversal waves.

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ДИСКРЕТНОЙ ЦЕПОЧКОЙ С ЭЛЕМЕНТАМИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Предлагается усовершенствованная дискретная модель упругого стержня в виде цепочки, масса элементов которой зависит от вида движения (поступательное или колебательное). В качестве критерия усовершенствования дискретной модели используется близость графиков дисперсионных зависимостей дискретной и континуальной моделей.

Ключевые слова: стержень, дискретная модель, пружинно-массовая цепочка, дисперсионная зависимость.

УДК (531.36+539.3): 534.1

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, канд. техн. наук Ю. А. Лымаренко, А. С. Безнос, А. И. Веселов

Государственная инженерная академия, г. Запорожье

Введение

точечных частиц (гранул), связанных сложными силами взаимодействия [2]. В данном направлении получены определенные результаты [1, 3-6], однако, в целом, уровень развития дискретных моделей отстает от потребностей практики. Так, при решении классической задачи о распространении упругой продольной волны в пружинно-массовой цепочке полученная в

В связи с широким использованием в современной промышленности новых классов ультрадисперсных и нанокристаллических материалов возникает необходимость разработки и исследования новых математических моделей сред, способных учитывать дискретный характер структуры вещества, состоящего из не-

© А. Д. Шамровский, Ю. А. Лымаренко, А. С. Безнос, А. И. Веселов, 2011