CC BY
17
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
обчислення цін опціонів методами спектрального аналізу
БУРТИЯК І. В., МАЛИЦЬКА Г. П.
УДК 336.71
Буртняк І. В., Малицька Г. п. Обчислення цін опціонів методами спектрального аналізу
У статті розроблено систематичний метод обчислення наближеної ціни для широкого класу цінних паперів за допомогою інструментів спектрального аналізу, сингулярної та регулярної хвильової теорії. Ціна опціонів залежить від стохастичної волатильності, яка описується шляхоза-лежним процесом. Знаходження ціни зводиться до розв'язання проблеми знаходження власних значень і власних функцій певного рівняння. Ключові слова: стохастична волатильність, локальна волатильність, спектральна теорія, сингулярна хвильова теорія, регулярна хвильова теорія. Рис.: 1. Формул: 46. Бібл.: 3.
Буртняк Іван Володимирович - кандидат економічних наук, доцент, кафедра економічної кібернетики, Прикарпатський національний університет ім. В. Стефаника (вул. Шевченка, 57, Івано-Франківськ, 76018, Україна)
Малицька Ганна Петрівна - кандидат фізико-математичних наук, доцент, кафедра математичного та функціонального аналізу, Прикарпатський національний університет ім. В. Стефаника (вул. Шевченка, 57, Івано-Франківськ, 76018, Україна)
UDC 336.71
Burtnyak I. V., Malitskaya A. P. Calculation of Option Prices Using Methods of Spectral Analysis
The article develops a systematic method of calculation of an approximate price for a wide range of securities with the help of instruments of spectral analysis, singular and regular wave theory. Price of options depend on stochastic volatility, which depends on a method. Finding the price is reduced to solution of a problem of finding own values and own functions of a specific equation.
Key words: stochastic volatility, local volatility, spectral theory, singular wave theory, regular wave theory.
Pic.: 1. Formulae: 46. Bibl.: 3.
Burtnyak Ivan V. - Candidate of Sciences (Economics), Associate Professor, Department of Economic Cybernetics, Precarpathian National University named after V. Stefanyk (vul. Shevchenka, 57, Ivano-Frankvsk, 76018, Ukraine)
Malitskaya Anna P.- Candidate of Sciences (Physics and Mathematics!, Associate Professor, Department of Mathematical and Functional Analysis, Precarpathian National University named after V. Stefanyk (vul. Shevchenka, 57, Ivano-Frankvsk, 76018, Ukraine)
УДК 336.71
Буртняк И. В., Малицкая А. П. Вычисление цен опционов методами спектрального анализа
В статье разработан систематический метод вычисления приближенной цены для широкого класса ценных бумаг с помощью инструментов спектрального анализа, сингулярной и регулярной волновой теории. Цена опционов зависит от стохастической волатильности, зависимой от пути. Нахождение цены сводится к решению проблемы нахождения собственных значений и собственных функций определенного уравнения.
Ключевые слова: стохастическая волатильность, локальная волатильность, спектральная теория, сингулярная волновая теория, регулярная волновая теория.
Рис.: 1. Формул: 46. Библ.: 3.
Буртняк Иван Владимирович - кандидат экономических наук, доцент, кафедра экономической кибернетики, Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника (ул. Шевченко, 57, Ивано-Франковск, 76018, Украина)
Малицкая Анна Петровна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического и функционального анализа, Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника (ул. Шевченко, 57, Ивано-Франковск, 76018, Украина)
Спектральна теорія стала важливим інструментом для аналізу дифузії, а саме, у дослідженні розвинень за власними функціями лінійних операторів. Для фінансових моделей дифузії є основним процесом, тому не дивно, що методи спектральної теорії зробили свій внесок у фінансову математику. Зокрема, багато проблем, пов'язаних з оцінкою похідних активів, були вирішені аналітично за допомогою методів спектральної теорії. Спектральний метод застосовувався до похідних ціноутворення таким чином: використання цін, нейтральних до ризику, відбувається через представлення ціни похідної активу и(Ь, х) нейтральною до ризику очікування деякої функції від майбутньої вартості основного процесу X. Математично це виражається як
п(Ґ,х) = Ех [И(ХІ)] =/Н(у)р(Ґ,х,у) йу, (1)
де р (Ь, х, у) - щільність переходу X по Р. Якщо інфіні-тезимальний (нескінченно малий) генератор Ь базового процесу самоспряжений на гільбертовому просторі з приростом міри т (х) іх, і спектр Ь є дискретним, то щільність переходу X має розвинення за власними функціями:
p(t,х,y) = т{y) ^ -int <рп(у)<рп(х),
(2)
де {Ли} - власні значення (-L) і {фп} - власні функції: тобто -L% = \ Фп •
Значення ціни похідної активу може бути виражена аналітично шляхом підстановки (2) в (1):
u (t, x) = 2 c„e~Xnt-p „( x),
cn = (P^ H) = f H (y) pn(y) m (y) dy-Розглянемо інфінітезимальний генератор загальної одномірної дифузії:
L = 2 a 2(x) dXx +b(x)dx - k (x) ,x є (ex ,e2), (3)
з областю визначення dom (L), який завжди само спряжений в гільбертовому просторі H = L2 (І, m), де І є R, І = (e1, e2) та m - швидкість щільності дифузії:
2 ( " ' ' Х m(x) := —------exp
a2( х)
a 2У2
Нижня межа інтегрування х0 є I є довільною. Таким чином, при одномірній дифузії для опису основної
динаміки, спектральний метод служить потужним інструментом для аналітичного ціноутворення.
Одномірні дифузії широко застосовуються в фінансах, але існують випадки, у яких одномірні дифузії не є адекватними для опису динаміки базового активу. Це стосується, наприклад, досліджень стохастичної во-латильності, зокрема волатильності активу, що лежить в основі похідної та контролюється нелокальною дифузією, але інфінітезимальний генератор багатовимірної дифузії буде самоспряженим тільки, коли вектор зсуву задовольняє певні обмеження, пов'язані з волатильніс-тю кореляційної матриці.
Комбінуючи методи з теорії сингулярних збурень і спектральної теорії, можна наближено обчислити ціну вибору, як розвинення за власними функціями, хоч працюватимемо з інфінітезимальними не самоспряженими генераторами двовимірної дифузії.
Спочатку розглянемо загальну одномірну дифузію (Хі = V (Хі) Іі + а (Хі) (Шг , в якої є можливість проявляти кіллінг (стрибок дефолту) на швидкості к(Х{) > 0, Wt -геометричний броунівський рух(ГБР), X завжди строго додатній. До загальної дифузії ми додаємо два фактори нелокальної волатильності: а (Х) ^ а(Х)/(Уі, ¿і). Перший фактор У - це фактор швидко мінливих чинників. Другий фактор Z змінюється повільно. Таким чином, наша модель є багатовимірною стохастичною волатильною моделлю.
Нехай (О, Р, Р) ймовірнісний простір, який підтримує корельований броунівський рух (ШхМг) і експоненціальна випадкова змінна є ~ Ехр(1), яка не залежить від №х№у№*). Будемо вважати, що економіка з трьома факторами, описана однорідним часом, неперервним процесом Маркова х = (Х, У, Z), який приймає значення в деякому просторі станів Е = I х Я х Я, I = (ер е2), -м < е1< е2 < м. Припустимо, що х починається в Е і миттєво зникає, як тільки Х є I, тобто:
Xt \А
(Xt, Yt, Zt), гі > t
z і > t
, z1 = inf (t > 0: Xt £ I),
де (X, Y, Z) задаються
dXt =v(Xt) dt + a (Xt) f (Yt, Zt) dWtx, dYt = Є a(Yt) dt + ^(Yt) dWty, dZt = dc{ Zt) dt + Sg (Zt) dWtz, d (Wx,Wy )t = p xydt, (4)
d (Wx,Wz )t =p xzdt, d(Wy, Wz)t =pyzdt,
(X0, Yo, Zo ) = (x y, z)є E.
ІРхуІ, ІРхгІ, ІРугІ ^ 1 та 1 + 2Рху Рхг Руг - Рху2 - Рхг2 - Руг2 * 0 так, щоб матриця кореляції броунівського руху була додатно визначена.
Генератори У та Z мають вигляд
•Су = ^ (§02(зОЗ£у + а(у)9у),
/1 \ (5) &г = 5 {^д2(^діг + с(г)д2у
узгоджені з факторами — та § відповідно. Таким чином,
1
У та Z мають внутрішню шкалу часу є > 0 і — > 0. Відмітимо, що мають вигляд (3) з к(х) = 0 для всіх
х є I. Нас цікавить оцінка похідного активу, з виплатою в час і > 0, яка залежить від траєкторії Х. Зокрема, ми розглянемо форми виплати:
НХ ^ ^ (6)
де т - випадковий час, несплати похідного активу, визначимо динаміку (Х, У, Z) за оцінкою міри з нейтральним ризиком, яку ми позначимо, як Р :
(ах„ = (од - аО(і)г(хма(хм)л+
+ а(ХМ(УМ<1Щх,
Жг = (\<Уі) -^0(ПМ(ПЛ))* +
+ —p(Yt)dWty,
dZt = (■Sc(Zt) - VSg(Zt)r(Yt,Zt)) dt +
+ ^g(Zt)dWtz,
d(Wx, Wy)t = Pxydt, d(Wx,Wz)t = pxzdt, d(Wy, Wz)t = pyzdt,
V (X0,Y0,Z0) = (x,y,z)eE,
(7)
де
dWtx := dWtx +
v( Xt)- b( Xt)
+ Q(Yt,Zt)
dt,
a(Xt )f (Yt, Zt) dWty := dWy + A(Yt, Zt )dt, dWtz := dWtz + T(Yt, Zt )dt.
Припустимо, що (7) має єдиний сильний розв'язок, т - час похідного активу, дефолт може відбутися одним із двох способів: X виходить за інтервал I, або у випадковий час Th, яким управляє рівень небезпеки h(Xt) > 0. Математично ми виражаємо час дефолту т таким чином:
Т = Zі ATh,
гі = inf {t > 0 : Xt є I}, (8)
zh = inf {t > 0 : f0(Xs)ds > є}, є ~ Exp(V), e(X, Y, Z).
Припустимо, що наша економіка включає надійний актив, який росте миттєво на короткий рівень r (Xt) > 0. Таким чином, якщо наша економіка включає, наприклад, «не платити дивіденди» і виносить на обговорення неплатіжний актив S, ціновий процес, який описується: St = II{t > rh} Xt, де простір станів X на I = (0, “), тоді ціна
активу має вигляд: {e f°r(Xs)dsSt, t > 0}, (IPjG) - повинен бути мартингальним, G - розширена фільтрація процесу. b(Xt) = [r(Xt) + h(Xt)] Xt і 0(Yt, Zt) = 0 у (7). З іншого боку, якщо X тільки описує надійний відсоток через r(Xt), то зміна ймовірнісної міри Р на IP не має причини змінити дрейф від X до v(Xt) до b(Xt). Однак, якщо
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
є ефект включення ринкової ціни ризику, то в цьому випадку можливе Ь(Х{) = у(Х{), і 0(УЬ, Zt) / 0 в (7).
Оцінимо похідний актив деякого виграшу, який має вигляд (6), де час дефолту виражається формулою (8). Використовуючи нейтральний ризик ціноутворення і властивість Маркова X, ціна ие’5 (Ь, х, у, г) деяких похідних активів при Ь = 0 має вигляд:
иє’8{г, X, у, 2)
г £
= Е.
x,y,z
ЄХР (~ I r('Xs’>dS)
де (х, у, г) є Е - вихідна точка процесу (X, У, Z), ие’5 (Ь, х, у, г) задовольняє такій задачі Коші:
,,Є,8 _П ЛуЧ7'7'ЇЄЇГ*-СШ>+ (9)
(10)
ие’° = 0, (x,y,z) Є E,t Е І ue‘s(0,x,y,z) = Я( де), де оператор _2е’^ має вигляд:
£6,5
1 1
-fi0 + —+ £2 е Ve
:$m3 + VíSUt! + 5$Ш2,
(11)
(12)
Розглянемо регулярний розклад збурень, які породжені §, а потім здійснимо сингулярний аналіз збурень, які стосуються є .
Регулярне розвинення збурень для Шє'8 і ие’8, що стосується У§:
2є,8 = 2є+ л/5Шє + 84012,
иє'8 = ^ иі> ( )
де оа0
11 1 Я.6 =-йо+—2.1+й2, 5№е = ~р а^з + 5Ші- (14) є л/є л/є ' '
и1 = Z(Vé)4j-
ігО
(15)
fio = 2 Р2(У)дуу + а(у)ду>
#і = P(y)(Pxya(x)f(y,z)dx-A(y, z))dy
&2 = ^a2(x)/2(y, z)d2* + (b(x)
- а(х)П(у, z)f(y, z))dx - k(x),
5Шз = PxzP(y)9(.z)d$z,
= g(z)(pxza(x)f(y,z)dx - r(y,z))dz,
1
ЗИ2 = -520)3z2z + c(z)dz, k(x) = r(x) + h(x).
Крім початкової умови (10) функція ие’§ (t, x, y, z) повинна задовольняти на кінцях інтервалу І додаткові крайові умови. З рівняння (5) ми бачимо, що £0 = £у. Вважаємо, що дифузія з генератором має інваріантний розподіл з щільністю п, оператор £0 з dom(£0) = L2(M,7t) є самоспряженим в Гільбертовому просторі L2(E, 7г).
Розв'яжемо задачу Коші (9) - (10). Для сукупності f а, р, Л, c, g, Г) не існує ніякого аналітичного розв'язку. Однак для фіксованого § умови (11), які містять є, відхиляються в як завгодно малому є-околі, що призводить до сингулярних збурень. Тим часом, для фіксованого є умови, які містять §, є малими для деякого малого §-околу, що призводить до регулярних збурень. Таким чином, є -окіл і §-окіл дають початок об'єднаному сингулярно-регулярному збуренню 0(1) оператора #2 . Це говорить про те, що ми шукаємо асимптотичний розв'язок задачі Коші (9) - (10). Для цього ми розкладемо ие,§ по степенях У є та V§ таким чином:
Ue,S = ^ ^ у[є1 'ís'uij .
]>0 і>0
Тому наближення цін має вигляд
ue’s « и0 0 + Viu10 + лІ5и0 д.
Підставивши розклад (13) в (9) і збираючи члени з степенями У§, ми отримали рівняння з регулярним розвиненням збурень:
0(1): 0 = (-аі+£еК, (16)
о(уб)-. о = (-аг + £еК + яиеи§. (17)
У рівняннях (16) і (17) застосуємо сингулярне розвинення збурень по відношенню до є. Підставимо (14) -(15) в (16) і зберемо члени зі степенями Ує. У результаті порядок О ^ і О рівняння:
0 0:0 = £0и0>0, (18)
О : ® = £оиі,о + £іио,о- (19)
якщо и00 і и10 не залежать від у, то вони задовольняють рівняння (18) і (19), тому вибираємо и00 = и00 (Ь, х, г) і и10 = и10 (Ь, х, г). Проведемо асимптотичний аналіз для порядку 0(1) і 0(Ує):
0(1): 0 = йаЩ'О + (—ді + £г)и0о, (20)
0(л/і): 0 = 20и30 + Ям# + (-дї + %.2)Щ,о (21) Рівняння (20) і (21) є рівняннями Пуассона вигляду: 0=й0и + Х. (22)
и є сіот(£0) = І2 (М, я)
<Х) := Jx(y)л(y)dy = 0, (23)
З рівнянь (20) і (21) і умови центрованості (23) випливає:
0(1):0 = (-ас + <£2»и0і0, (24)
0(7і): 0 = <£^2,0) + {-ді + (25)
Оператор (£2) має вигляд:
<й2> = 2 ff2a2Mdxx +
(26)
+ (Ь(х) — //3а(х))дх — к(х), х Є (е1; е2) а2 :=< /2(-,г) >, fП :=< >.
Враховуючи відповідні крайові умови, знайдемо розв'язок рівняння (24):
Яі“2,о = ~(-дс + Я2)“о,о = ~(~дс + Я2)“о,о + (-Зс + <й2»“о,о = — “2(/2 - °2)дїх ~ - Щдх^ над.
Позначимо ф(у, х) і п(у, х) розв'язки рівнянь Пуас-
сона:
&оФ = ґ- а > йоЛ = /Л - /Л- (27)
Використовуючи (27), знайдемо и2 0 як:
Щ,о = ~(^ а2Фдхх - и0 0 + С, (28)
де С - константа, незалежна від у. Підставимо (12) і (28) в (£ои2,о) і отримаємо:
№і“2,0> = ОРІРху^Зх - Л)ду) X
Л 2^Я2 ^ V Л (29)
Х^а Фдіх~Щдх) Що) = -Ащ.0.
Оператор <А має вигляд:
А = -у3а(х)дха2(х)д2х - у2а2(х)д2
— и2а(х)дха(х)дх — 111а(х)дх, де = - Щ^^дуф),У2 = \(РЛдуф),
Щ = Рху (РҐдуЛ).У-і = -{РЛдуї}).
Підставивши (29) в (25), отримаємо: сА-Щ, о = (—^ + (£г))и1,о-
(30)
(31)
Враховуючи вираз для и00 і відповідні крайові умови, можна знайти вираз для и10. Повернемося до рівняння 0(У§). Для сингулярного аналізу збурень рівняння (17), підставимо (14) і (15) в (17) згрупуємо по степенях Ує. У результаті для 0(У§/є) і 0(У§/Ує) маємо рівняння:
(32)
(40)
Оператори (£2), ® та Зг визначені в (26), (30),
(36) та (37) відповідно, та введені крайові умови при Ь = 0.
Розв'яжемо рівняння (38) - (40) з точки зору власних функцій {^и}, власних значень (Ли) оператора (£2) Відмітимо, що (£2). поданий у (26), має вигляд інфіні-тезимального генератора одномірної дифузії (3) з вола-тильністю а а(х), відхиленням (Ь(х) - (/О) а(х)) і кіллінг з рівнем к(х), (от((Яг)) включає крайові умови, які накладені на кінцях е1 та е2. Припустимо що (&2) має чисто дискретний спектр. Зафіксуємо Гільбертів простір М = £2(/,т), де т - щільність швидкості, яка відповідає (Яг). Оператор <£г> самоспряжений в Н, і його область визначення є щільною підмножиною в К. Таким чином, власні функції {^п} оператора <£г) формують ортогональну базу в К. Позначимо:
СІОт(<А) := {ф Є Н, Лф Є К} ііот(В) := {ір Є К, Ъгр є К}, сІот(дг) := {ф Є К, дггр є К].
Теорема 1: Нехай рівняння власного значення:
= КФп- Фп Є ¿отп«£2», (41)
і припустимо, що Н єЖ. Тоді розв'язок и00 можна подати у вигляді:
“о,0 ^¡СпФпТп! сп (ірп> Тп є ^71.
п
Теорема 2: Нехай сп, ^п, Тп є такими, як описано в теоремі 1 і визначимо
сАк'П • (.Фк’ Ук,п :_
Тк-Тп
О | 0 = £0^1 + О1и01, (33)
де 9Л3и0,о = 0. Якщо и01 і и11 не залежать від у, то
вони автоматично будуть задовольняти рівняння (32) та
(33), тому и01 = и01 (х, г) і и11 = и11 (х, г). Продовжуючи асимптотичний аналіз, для 0(У§) маємо рівняння:
О 0 = £0и2д + (~дс + £2)и0д + (34)
оскільки £іМ1д = 0 і $Щ3и10 = 0 для (34) знайдемо розв'язок и2>і є ^(№,я), умова центрування (23) виконується. У (34) умові центрування відповідає
0 = (-аг + £2)и0>1 + (35)
де и0 0 (Ь, х, г) залежить від г тільки через а і/Л(г). Таким
чином, у (35) (®1і) можна записати: (5Ші) = —Ид2,
В = - у0, У1 := дрХ2(Ґ), = д(Г), (36)
д2 = а'д* + /Л,а7Я а’ ■■= д^П. (37)
0(1): (—+ (£2»и00 = 0 иоо(0,х,г) = Н(х), (38) 0(л/є): (~дс + (£2»иі,о = <Аи00, и10(0,х,г) = 0,
(39)
О (Тб): (~д( + <£2))и0д = Вд2и0і0, щ л(0,х,г) = 0.
Тоді розв'язок их 0 рівняння (40) має вигляд:
и1,0 =£ Е спАк,п Фк^Кп -Е сп<ЛтиіФпҐГп ■ (42)
П кФп п
Теорема 3: Нехай с^ ^ і Тп є такими, як описано в теоремі 1, нехай и(к, п) є таким, як в Теоремі 2, визначимо
%.П ■= (Фк.ЪдМ, ЪКп (х1}к1Ъхрп1
Тк-Тп
+ ■
іТ„
Ук-п'- ак-ку' ь-к
Тоді розв'язок и0 х рівняння (39) має вигляд: “од = X І сп Ък,п-фкикп - X спЪппфпап
п к*п п
+ X І (.дгсп)Вкпфкикп -
п кФп
(43)
~ І (дгСп)‘Вп,пФП1Тп + X Е спЪк,п’Фк(.дгК')Ук,п
п п кФп
-^п'Вп.пФп^гЮ 2 і2Тп-
Отримані наближення для ціни похідного активу мають вигляд ие’5 » и00 +Ує и10 + и01. Однак дана похід-
на покладена на формальні сингулярні і регулярні аргументи збурень. Для більш точного результату вимагаємо щоб функція виплати Н(х) і всі її похідні були гладкими і обмеженими. Тоді уточнення виглядає таким чином.
Теорема 4: Для фіксованих (Ь, х, у, г) існує стала С
така, що для будь-якого є< І, д < 1 маємо:
|ие-5 - (и0>0 + л/іи1і0 + л/ги0>1)| < С(е + 5).
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Розглянемо приклад. Нехай X - цінний папір, по якому не виплачуються дивіденди. У нашому випадку X - модель ГБР з багатовимірною стохастичною вола-тильністю. Зокрема, Р динаміки в X задані:
<ЗКХ = тХ1йґ + /(У1, )Х^Ж*, И(Х() = 0,
де г - безризикова відсоткова ставка, а У, і 2 є швидкими і повільними факторами нестабільності, які описані
в (7). Відзначимо, що за зниженою ціною активу є~гіХ1
є мартингалом під ІР. Обчислимо приблизну ціну опці-ону подвійного бар'єра визначеного на X. Спочатку використаємо рівняння (4) і (26), щоб записати оператор (£г) і пов'язані з ним щільності зі швидкістю т(х):
<£2) = \а2х2д2х + гхдх - г.
(44)
, ч і аг \ тп(х) — ^ехрі^гіпх ) а2х2 \а2 )
Для подвійного бар’єру опціону з бар’єрами Ь і Я
опціон виплат:
І = 0<КК<И.
Щоб обчислити значення цього параметра, ми повинні спочатку знайти власні значення рівняння (41) з <£2> , подані в (44) і з крайовими умовами
\іттрп(х) = 0,1ітж/й^п(д0 = 0.
=
x\L а л/х
<Лк,п —
2(к2 — 7і2)<т41п3(^-)
((-1 + (~l)fe+n)fewr\
\ (к2 - п2)о2 In (J) ) 2(—1 + (-1 )к+п)кп
®fc,n — 0і
®fe,n — —0і а'(Хк,п) —
(к — гі)(к + ті) In (j^j ; /8(—1 + (-1)к+п)кпг In (j-У
(к2 — n2)2n2a3 4nfcr(ln(L) - (-1)*+п1п(Д))
(fe2 — n2)cr3 In
(к — ri) (к + n) л i - 2r(—2r + <r2)ln2 (0
2(—і + (-i)*+»)fcn (№-»)№ +
(fc2 — n2)2n2a5 In (0
і для £ = и знайдемо:
/2г — сг2\
®п.п = 01 у 2дг ) -00.
_ Л rv(ln2№)-ln2(D)>
®n.n = -01*' Т------------ж-------L
/і г(іп2(ю-іп2а))\
'"" /
-0„г --
Lo-
С„ = (і/'тС), 0 - Ю+) =—.^г(ьфп(у + <0 - КФп(у)),
Ні)
2
Фп(г)
r(exp(#z) (wncos (шпй)
г /п7г1п(0\
_____ехр 1^=-In ж) sin --, 71 = 1,2,3, ■■■,
’ V1”©/
11 ппа \ /V2 \ г а
+ 2
розрахуємо коефіцієнти Ak¡n, Зкл, Зкп. Для k / и ми знайдемо
((-1 + (-І)к+П)кп(4п2л2а* \
Ч + (-12г2 + Ara2 + ff4)ln2(^)) I
Шп + 22
- 2віп(мп&) — ехрОіг) (д-1)пшп),
= и = ;1п(г}
Орієнтовні ціни опціонів обчислимо за допомогою теорем 1 - 3.
На лівій частині рис. 1 зображена наближена ціна и0 0 +Ує и10 з подвійним бар’єром опціону для конкретної моделі, яка має тільки швидко змінні чинники вола-тильності у припущенні, що відома динаміка У і функції
волатильності f := oexp(Yt + Zt )exp
у N
dYt
f (Yt) =
-1 Yterf (Yt )\dt + ($dWty
oexp(Yt)
exp
.K
2
(45)
dt.
Права частина рис. 1 репрезентує наближену ціну u00 W§ uQl з подвійним бар'єром опціону на конкретну модель, яка містить чинники волатильності, що змінюються повільно, за умови, що динаміка Z і функції вола-тильності задана
dZt = (—6Zt —^fdg erf (Zt)) dt + ^[dgdWt ,
f (Zt ):
oexp(Zt)
(46)
ЄХр( 2 )
Ця стаття розвиває загальний метод отримання орієнтовної ціни для широкого класу похідних-активів. Виграш похідних може бути шляхозалежним процесом, що лежить в основі похідної-активу, і може проявляти стрибок, також комбіновані нелокальні стохастичні во-латильності. Інтенсивність стрибка може бути залежною. Нелокальна компонента волатильності може бути багатовимірною. її спонукають один швидко мінливий і один повільно фактори. Однією з ключових переваг на-
Рис. 1. Ціна опціону з подвійним бар'єром, L = 300, K = 350, R = 400, y = 0, z = 2, в = 1, о = 0,34, r = 0,05, g = 2, pxy = 0,5,
Pxz = °,18, Pxy = °,18-
шої методології ціноутворення є те, що, комбінуючи методи зі спектральної теорії, теорії сингулярних збурень і регулярної теорії збурень, ми зводимо обчислення ціни активу до розв'язання одного рівняння для знаходження власних значень. ■
ЛІТЕРАТУРА
1. Anderson T. W. Introduction to Multivariate Statistical Analysis / T. W. Anderson. - New York, 1968.- Р. 584.
2. Благун І. С. Спектральний аналіз динаміки валютних курсів / І. С. Благун, І. В. Буртняк // Економічна кібернетика. - 2005. - № 5-6. - С. 86 - 93.
3. Благун І. С. Застосування методів крос-спек-трального аналізу для виявлення взаємозв'язку між рядами значень фінансових ресурсів / І. С. Благун, І. В. Буртняк //
Зб. наук. праць «Моделювання регіональної економіки». -Івано-Франківськ : Плай, 2005. - № 1(5). - С. 3 - 13.
PREFERENCES
Anderson, T. W.Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York, 1968.
Blahun, I. S., and Burtniak, I. V. "Spektralnyi analiz dynamiky valiutnykh kursiv [Spectral analysis of changes in foreign exchange rates]." Ekonomichna kibernetyka, no. 5-6 (2005): 86-93.
Blahun, I. S., and Burtniak, I. V. "Zastosuvannia metodiv kros-spektralnoho analizu dlia vyiavlennia vzaiemozv'iazku mizh riadamy znachen finansovykh resursiv [Application of cross-spectral analysis to identify the relationship between the rows values of financial resources]." Modeliuvannia rehionalnoi ekonomiky, no. 1(5) (2005): 3-13.
<C
m
2
o
ZT
<c
I
o
o
<
*
o
*
Ш
