CC BY
41
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВНУТРИ ВОЛНОВОДА С АБСОЛЮТНО ПРОВОДЯЩИМИ СТЕНКАМИ
С.И. Харитонов '"2, С.Г. Волотовский '"2, С.Н. Хонина 1,2 1ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, Самарская область, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, 443086, Россия, Самарская область, г. Самара, Московское шоссе,д. 34
Аннотация
В работе получены явные выражения импульса и момента импульса из теоремы Нётер (ab initio), содержащие квадраты модулей коэффициентов разложения по модам волновода, взвешенные на присутствующие порядки вихревой сингулярности.
Полученные выражения полезны для квантования электромагнитного поля в волноводе.
Ключевые слова: момент импульса, теорема Нётер, уравнение Лагранжа-Эйлера, вектор Умова-Пойнтига, моды цилиндрического металлического волновода.
Цитирование: Харитонов, С.И. Вычисление момента импульса электромагнитного поля внутри волновода с абсолютно проводящими стенками / С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 4. - С. 588-605. - DOI: 10.18287/24126179-2018-42-4-588-605.
Введение
Законы сохранения и динамические инварианты играют большую роль для описания движения любой динамической системы. Основные принципы получения динамических инвариантов для произвольной динамической системы с известным лагранжианом рассмотрены в работе [1]. В представленной работе рассмотрено получение динамических инвариантов для электромагнитного поля. Существует два подхода к получению динамических инвариантов для электромагнитного поля. Первый подход основан на использовании уравнений движения электромагнитного поля или системы уравнений Максвелла. Этот подход изложен в любом учебнике по классической электродинамике, например [2 - 4]. В рамках данного подхода можно легко получить закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Однако, кроме энергии, для электромагнитного поля существует ряд других инвариантов: импульс, момент импульса [5]. В работе [6] описана алгебра операторов симметрии уравнения Шредингера, а в работах [7, 8], пользуясь связью уравнения Шредингера с уравнением параксиального распространения светового поля, рассмотрена оптическая интерпретация операторов-инвариантов.
Нетрудно показать, что та или иная величина для электромагнитного поля является сохраняющейся, если известно аналитическое выражение [9], но нахождение выражения для этой величины - непростая задача. Метод получения динамических инвариантов даёт известная теоретикам теорема Нётер [1]. Следует отметить, что применение теоремы Нётер для вычисления динамических инвариантов электромагнитного поля приводит к выражениям для вектора энергии импульса, которые отличается от выражения компонент вектора Умова - Пойтинга, полученного из уравнений Максвелла в работах [2 - 4], посвящённых классической электродинамике. Аналогичная проблема возникает при вычислении компонент момента импульса электромагнитного поля. При вычислении компонент момента импульса возникает также про-
блема соответствия выражений динамических инвариантов выражениям, полученным в классической механике для системы материальных точек.
В данной работе приведено получение динамических инвариантов из теоремы Нётер для электромагнитного поля, которые стыкуются с выражениями, полученными в рамках классической электродинамики, и имеют структуру, аналогичную соответствующим выражениям, полученным в рамках классической механики.
Уравнения движения частиц в электромагнитном поле и выражения для динамических инвариантов содержат не только напряжённости электрического и магнитного поля, но и компоненты магнитного потенциала [10]. В данной работе приведена связь выражения для компонент магнитного потенциала с выражениями для комплексных амплитуд электрического и магнитного полей.
1. Вывод уравнения Лагранжа - Эйлера для электромагнитного поля В приложении А рассмотрен вывод уравнения Лагранжа - Эйлера - простейший случай для движения материальной точки вдоль прямой.
В случае, когда несколько частиц движутся в трёхмерном пространстве, получается система уравнений по каждой переменной:
dL ~dx7
d_ dt
dL
= 0, i = 1, N .
(1)
По аналогии можно рассмотреть уравнения движения физических полей.
1.1. Уравнение Лагранжа - Эйлера в многомерном случае для физических полей
Пусть функция Лагранжа имеет вид: I (4 (X), А,к (х)), / = 1, Ж; к = 1,М, х = (х1,х2,...,Xм). Запишем действие в виде:
S [ 4 (x)] = J L (4 (x), A,k (x)) dM
x .
(3)
Условие экстремальности действия приводит к системе уравнений:
dL (A (x), A;k (x))
dA,.
-Y JL
h dxk
dL (( (x), A,k (x))
dA
(4)
= 0, i = 1, N.
1.2. Вывод уравнения Лагранжа- Эйлера для электромагнитного поля В случае электромагнитного поля Лагранжиан имеет вид:
3 дАт дАт
l=-1 h
^ (5)
2 дх" дХ
Для дальнейших вычислений запишем этот Лагранжиан в виде, который содержит только один тип компонент:
Am = gmkAk
xn = gnpx",
xq = g94.
(6)
dAm =h dAL dxL =
dxn q=0 dxq dxn
= h h d(gmkAk) d(gq\)
q =0 k,s=0 dx'' dxn
3 3 dA dr = h^ h k s gmk gqs =
(7)
dxq dx_
q =0 k,s=0 3 3 dA 3 3
=h h ^ §ngmkgqs =h h
q=0k, s= 0 CX q=0k=0
где метрический тензор "10 0 0 0 -10 0 0 0 -10 0 0 0 -1
dAt
dxq '
lk y~r mk qn
gnm
(8)
определён для 4-мерного расстояния в пространстве Минковского:
dS2 = с2 (dt)2 - (dx) - (dy) - (dz)2. С учётом соотношений (6) - (8) получаем
(9)
l=-1 h
2 ^
qngmk | dAm || dAk
=-1 h
2
n,m,q,k=0 3
dxn !{dxq
m,q,k=0 3
• q ,k =0 3
• q ,k =0
k f dAm If dA
l dxq ^Jl dxq
'dA If dAk )
С dxq J
'dA I2
dxq J
(10)
После преобразований получаем:
L = (A0;0)2 -(A1;0 )2 -(A20 )2 -(A^ )2 --(A0;1 )2 +(A1;1 )2 + (a2;1 )2 + (Ay,)2 -
(A0;2 )2 + (A1;2 )2 + (A2;2 )2 + (A3;2 )2 -
-(A0;3 )2 +(A,3 )2 +(A2;3 )2 +(A,3 )2. Уравнение Лагранжа-Эйлера имеет вид
dL (Am (x), Am;n (x))
(11)
dA„
-h—
^ dxn
n=0 UX
dL (Am (x), Am;n (x))
dA„
(12)
= 0, m = 0,3,
или в более конкретном виде:
dL__d_
dA„ dx0
dL d dL
_ dAm, _ dx1 _dAm1 _
d dL d dL
dx2 _dAm,2 _ 'dx3 _dAm;3 _
(13)
= 0, m = 0,3.
Рассмотрим в (13) отдельно т = 0 и, используя (11), получим волновое уравнение для 0-й компоненты:
+-
д
"а/
dx2
dAi
cx0
А
dx2
dx1
dx3
A
dx1
'A
dx3
(14)
= 0.
Для т = 1, 2, 3 в (13) с использованием (11) получим волновое уравнение для остальных компонент:
dAm;0 dAm, dA
m;2 dAm;3
= 0.
(15)
дх0 дх1 дх2 дхъ
1.3. Связь решений уравнений для потенциала с решениями уравнений Максвелла
В дальнейшем некоторые динамические инварианты будут записываться с использованием вектора потенциала. Для квантования электромагнитного поля также будем использовать векторный потенциал.
Уравнение для векторного потенциала имеет вид
1 д2 А д2 А д2 А д2 А л
—т—2---2---2---г = 0. (16)
с2 Ы2 дх2 ду2 дг2
Для векторного потенциала выполняется калибровочное условие
dAx dAy dA n + —- + —- = 0 .
(17)
dx dy dz
Электрическое и магнитное поле связано с векторным потенциалом следующими уравнениями
1 dA
~c~ddt' (18)
B = rot (A ).
E = --
Перейдем от самих потенциалов к комплексным амплитудам:
A(x,y,z,t) = £ {A (x,y,z,ro)exp(-irot) + +A+ (x, y, z,ro)exp (irot)} dro.
(19)
Функции А (х,у, г, ю) и А (х,у, г, ю) удовлетворяют уравнению Гельмгольца
д2A± д2A± д2A± ro2 „+ Л -J" A~ = 0.
(20)
дх2 ду2 дг2 с2
Электрическое и магнитное поле выражаются следующим образом
Е ( х, у, г, () =
= J0 j A" (x, y, z, ro) I — I exp(-irot) +
+A+ (x, y, z,ro)J exp (irot)j dro, B (x, y, z, t ) =
= £ jrot (A" (x, y, z, ro)) j—j exp (-irot) + + rot (A+ (x, y, z,ro))| — I exp (irot) I dro.
(21)
Введём в рассмотрение
E (x, y, z,ro) = J A" (x, y, z,ro), B~ (x, y, z, ro) = - rot (A- (x, y, z, ro)).
(22)
Покажем, если Е (х,у, г, ю) и В (х,у, г, ю) удовлетворяют
. D- 'roe
rot B =--E
c
rot E = — -B".
c
(23)
то А (х,у, г, ю) удовлетворяет уравнению Гельмгольца.
Действительно, из первого уравнения (23) следует:
1 iro jiroj . , Ч
— rotrotA =—I — IeA (x,y,z,ro),
H c | c J
grad (div A~)-V2 A- =
iro j iroj . / ч
=--1 — |e-A (x,y,z,ro).
Накладывая условие
div A- = 0 ,
V2А —J ец4" = 0, из второго уравнения получаем тождество
(24)
(25)
(26) (27)
rotj — j A"(x,y, z, ro) =
iro = —H c
-rot( (x,y,z,ro)) .H
(28)
Следует также отметить, что
rot B+ =E +, c
_,+ iro „+ rot E+ =--B
(29)
где
E+ (x, y, z,ro) = -j"^) A+ (x, y, z,ro), B+ (x, y, z, ro) = - rot (A+ (x, y, z, ro)).
(30)
Для того, чтобы векторный потенциал был действительной функцией, должно выполняться условие:
A+ (x,y, z,ro) = [A"(x,y,z,ro) .
(31)
Следует отметить, что система уравнений совпадает с уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд:
rot B = -—eE c
^ iro- „ rot E~ =—- B ~.
(32)
Таким образом, для того чтобы получить выражение для комплексной амплитуды векторного потенциала, необходимо решить систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд и затем воспользоваться соотношением
A~ (x,y, z,ro) = |irojE~ (x,y,z,ro) . Калибровочное условие div(A- (x,y,z,ro)) = 0
выполняется автоматически
div (A" (x, y, z,ro)) =
= | iroj div (E" (x, y, z, ro)) =
-—e ) div (rot B~ (x, y, z,ro)) = 0.
(33)
(34)
(35)
c ) j iro iro Jl c
Используя (19), (31) и (33), запишем А (х, у, г, () =
= £ jliicrojE (x,y,z,ro)exp(-irot)-E+ (x, y, z,ro)exp (irot) > dro.
(36)
2. Получение динамических инвариантов для электромагнитного поля
2.1. Теорема Нётер Пусть функция действия инварианта относительно преобразования координат и полей следующего вида:
ук = хк +5хк, (37)
5хк = X ^8юи , (38)
1< П< 4
где обозначение для индекса (п) означает «многоин-дексность».
V,. (у) = п1 (х) + 5щ (х), (39)
5щ (х) = , (п) 5юп . (40)
1<п <4
Тогда величина
0П(X)=
3
^ dL (x) i ^
Z~, I ^i(n) Ui;mX(n)
,_0 ди..
- L(x) X"
удовлетворяет уравнению непрерывности:
Z ь (°n ^_о.
(41)
(42)
Из уравнения непрерывности (42) следует, что величина, пространственная плотность которой задаётся выражением:
i (n)(x) = en (x) =
_ Z dL (x
_-Z Г'(n)
-ZuM I- L(x)X
(43)
сохраняется во времени.
Это можно доказать следующим образом. Если проинтегрировать (42) по пространству, то получим:
Í
den (x)+Z den (x)
dx0 Z dxk
dV _
_Íden« dV + fZ^ dV _ J dx0 j 4-í dxk
den(x)
dx
dx¡
(44)
dx0
Í en (x)dv|+ÍíZ
v k_1
den (x)
dxk
dV _ 0.
Применяя ко второму слагаемому теорему Остроградского - Гаусса, получим:
V k _1
ÍZ^dx _Í On (x)ds,
(45)
где
On (x) _(en (x), en (x), en (x)).
При увеличении размера области интегрирования до бесконечности и учитывая, что на границе поверхности интегрирования 9п(х)^0, получаем:
V k _1
ÍíZ^dx _Í On(x)ds _ 0.
(46)
Тогда из (44) следует, что
Л
d^Íen«dVj_°. <47> Таким образом,
Í en (x)dV _ const (48)
V
не зависит от времени.
2.2. Вычисление компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля
В случае параллельного переноса преобразование координаты (38) имеет следующий вид:
X (¡n)_sn,
5n - дельта-символ Кронекера. Тогда
5xk _í Sn8ю" _ 5rok,
n_1
и вместо (37) получим:
/ _ xk +Scok .
Из теоремы Нётер вместо (41) получим:
(49)
(50)
(51)
en (x) _Z
dL (x)
dA.k
Z A,, §n
- L(x)sn _en (x) _
,dL (x )
_Z^[A.;n]-L(x)§n _
i_0 A
(52)
dL (x) k
_Z - L(x)sn.
,=0 дА,;к
Для получения инвариантов рассмотрим Лагранжиан вида:
1 (х) = 1 {(( - А!;0 )2 +(А0;2 - А2;0 )2 +
+ (А0;3 - А3;0 )2 +(А2;3 - А3;2 )2 +(А1;3 - А3;1 )2 + (53) + (А2;1 - А1;2 )2}.
Лагранжиан (53) можно записать в виде:
I (X )= 2 {(^0 )2 +(^20 )2 +(30 )2 +
+ (^31 )2 )2 +(^32 )2 } ,
(54)
где тензор электромагнитного поля имеет вид:
^ = А. - А,;,. (55)
Для лагранжиана (53) получим тензор энергии-импульса, используя выражение (52):
,k (x )_íZ di - L (x )s¡ .
n У > Z_I ^-n \ ! n
i_0 dAik dx"
(56)
Нас будут интересовать только компоненты с нулевым верхним индексом, так как они являются инвариантами:
з dL (x) dA,. 0
T0 (x )_Z—^ — - L (x )5 . n V J Я/1 V J n
1_0 dA.0 dxn
(57)
Учитывая, что
-А иР
(58)
в результате получаем выражение для пространственной плотности вектора энергии-импульса:
С (х ) =X РА*.
(59)
Нулевая компонента вектора (59) является плотностью энергии:
То0 (х) = РоА1;о + Ро2А2;о + РозАз;0 , (60)
а остальные компоненты - компоненты плотности импульса:
То (х) = Р (х) =
I = 1, 2, 3.
(61)
= РА + Р А + Р А
1 о1Л1;' т' о2 2;' о3Л3;,'
Для демонстрации связи плотности вектора импульса (61) с вектором Умова- Пойнтинга добавим к выражению (61) дивергенцию от некоторого тензора. Прибавление дивергенции некоторого тензора изменяет вид плотности импульса, но не изменяет величины импульса, так как интеграл от этой добавки по всему пространству равен нулю (плотность импульса сама по себе не имеет смысла, а имеет смысл только сам импульс).
Таким образом,
Т • = т, • - б .± Ро,А-X) =
1=1 дх ,=1
дх'
= у рА - Ау -X рА =
XРо'дх' А'X дх' XРо'дх'
(62)
= X Ро,
(д^) А X дР^
дх' дх' \ 'X дх'
Рассмотрим последний член:
X дРо' £ дх? ■Ёд( А' '=1 о Ао;') _ дх'
д2 А1 д2 Ао 1 д2 А 2
дх1дх0 д (х1)2 1 дх2 дх0
д2 Ао | д2А3 д2 Ао
д (х2)2 + дх3дх0 д (х3)2
д2 А1 | д2А2 д2 А3 | 3
, . —АА =
дх[дх0 дх2дх0 дх3дх0
дх
д (дА, дА2 дА3) —- +—- +—3
дх дх дх
-ААо.
Используя волновое уравнение:
ААо =-
52 Ап
д(х0)2 '
выражение (63) можно переписать в виде:
д (дА дА„ дА, ) д2А„
3 дР
X
дх1 дх2 дх3
дх' дх0 Далее, учитывая калибровку:
■ = о,
= о,
д( х У
А дА1 дА2 дА3
дхо дх1 дх2 дх3
дАо дА1 дА2 дА3
дхо дх1 дх2 дх3
вместо (65) получим:
X
X дх'
д (дАо)
дх0
дхо
д2 Ао д (х0)2
= о.
Таким образом,
Т,° = То - Б = X Р
( дА' дА, ^ ~дхГ ~д7
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
Это же можно было доказать через дивергенцию электрического поля, которая равна нулю из уравнения Максвелла.
Более детально выражение (68) записывается в виде:
(дА, дА, ) (дА„ дА, ) (дА, дА, ) (дА„ дА, ) (дА, дА, )
Т = Р
М 1 о1
Т = Р
2 1 о1
Т = Р
13 1 о1
дх1 дх1
(дА1 дА2)
~дхГ ~дхГ
(дА1 дА3)
дх3 'дх1
+ Р-
+ Р,
+ Р,
^дх1 (дА, кдх2 ( дА, дх3
дх'
+ Р,
дх'
дА „ ^
дх' дА3 ^ дх:
+ Р,
+ Р,
дА ^
сх1
ч
(дАз
ч дх2 дх
(дА3 дА3)
дх3 дх"
= Р-
дх'
= Р,
= Р,
дА ^
дх1
дх2 "дх1
( дА1 дА3)
дх3 'дх1
+ Р,
+ Рт
+ Р-
дх1 (дА у дх ' ( дА, дх3
дх' дА2) д3
(69)
дА3) дх
С учётом связи компонент тензора с компонентами вектора потенциала и компонентами электромагнитного поля:
Ро = о,
Р = Р = А - А
1 о1 х 1;о о;1'
Р = Р = А - А
1 о2 2;о о;2'
Р = Р = А - А
1 оз г Л3;о Ло;3' Р21 = = А1;2 - А2;1, Р1з = НУ = А3;1 - А1;з,
Р32 = Нх = А 2;3 - А3;2
получаем следующее в^1ражение для тензора:
(7о)
Т° =- РуН; + Р2Иу Т° = Б И, -БН.,
73о = -РхНу + РуН х.
(71)
Компоненты тензора (71) соответствуют компонентам вектора Умова-Пойнтинга [2 - 4]:
8 = -
(РУН2 - Р2Ну ^ РН - РХН;
Р*Н> - РУНх
(72)
1=1
'=1
2.3. Тензор момента импульса электромагнитного поля
Далее, используя теорему Нётер, получим выражение для пространственной плотности момента импульса:
МПт (X) =
=_У
= У А*
3
m _ £ a vp
i nm / , i; p nm
3 dL
ML (x) -_£ dL
i-o dA,k
p-o
3
_ L(x) Xt
(73)
где Xp - x _ xSp, nm m n n m
3
^i,nm - £ Ki,nmAj = ginAm _ SimAn , (74)
j-o
K - g. s-'' _g. .
i,nm c>m m bim n
Подставляя (74) в (73), получим выражение для пространственной плотности тензора момента импульса (или количества движения) в явном виде:
У Kj A. _У A. (x sp _xS")_L(x)(x sk _x Sk ) =
/ . i,nm j / . i;p \ m n n m f ^ у \ m n n m f
j-o
p-0
(
3 3 p)T 3 p)T
= _У У -A-KtnmAj _У ^dL-Ai; p (xm sp _ xn sm ) _ L(x) (xm sn _ xnSm )-
i -0 ^ j -0 dAi; k
p-0 dAi;k
■Л dL .. . dL . dL . - _у £-KLA--+-A^x,„
i -0 V U dA^ i,nm j dAU
- Mkm(x) -_У fcTA-KinmAj
i-0 V j-0 dA i;k
dA,
_ L(x) (xmSn _ xnSm ) =
+ x_
dL dA
A
i;k
_ L(x)Sn
А
У dL
A
dA i;m
V Ai;k
_L(x)sm
Выражение пространственной плотности тензора момента импульса можно переписать в виде:
3 ( 3 ^ А
M^(x) -_У y^ArK^Aj
(75)
+x Tk _ x Tk
^Xm1n n m ■
где компоненты тензора энергии-импульса и спинового момента соответственно:
T k _
3 С dL
У
Л
ЗА,..
А,
_ L(x) Sn Л
3 3 dL
^nm _ _У y dA Ki,nmA
i-0 V j-0 ^i;k y
Рассмотрим (75) при k=0:
Mn0m (X) --У
i-0 V j-0 dAi;0
(76)
(77)
+xj: _ xnTm. (78)
Приведём выражение пространственной плотности тензора момента импульса к виду, который используется в классической механике. Для этого выполним следующие преобразования:
м1 (X)=-у |у '
, = 0 ^ У = 0 'А~/;0 у
+х (( - В + В )-х ( - В + В ) =
^ п п п у т т }
3 С 3 dL = _У yd^KfjnmA
+ x.
(( _ D )-
' \ п п f
+x В _x (t0 _D )_x D -
m n n \ m m J n m
3 С 3 dL Л = _У Уд^ K'-nmAJ
i-0 V j-0 ^Ai;0 +x (( _В )_x (( _В ),
m \ n n у n \ m m
+ xmDn _ xnDm +
где A = Уa,^ + ££^^-
l tf dx' tf l dxi tf 0i dxi
= У F0i dx
dAi dL
sa...
= ( _ A0, )- fÜ
Представим в виде:
M° (x) -
nm ^ ^
-.)_££ JA^KL-A,
I i_0 V j_0 dAi;0
+x T° _ x 2"0
+ x D _ x D ^ +
m n n m
(79)
где Тп = (Тп - Вп). Покажем, что в^1ражение в фигурных скобках равно нулю.
( 3 ^ а
3 3 dL
_У У 0L Kj А
i_0 vL_0VA';0 3 с 3
= -У УF0.KJ А.
^^ ^^ 0i i,nm j
i _0 v j _0 ^ cA_
_ x„ У F0r
i _0
+ x D _ x D -
m n n m
3 sA ■x УF0. —-_
mj-0 0i dxi
(80)
dxi
Подставим в (80) K]jnm из (74), получим:
3 С 3 Л 3 ЗА
_У У F0i (К _ 8imSi )Aj + xm У F0i 0 _
V j=
5A„
xn ^ F0i Qxi ^ F0i (ginAm gimAn) +
i-0 иЛ i-0 + x У F^Al ^ 5A
r0i ^nZa ra
(8t)
i -0
dx'
0i
i-0
dx'
= У Fm
, , dA dA
_(g,nAm _ gimAn ) + xm _ ^
Из в^1ражения:
i-0
хп ёпрх
следует, что
>т с>гп
дхп
дх'
(82)
(83)
Подставим (83) в (81), получим:
X Ро
'=о
= X Ро
дпА -дтА 1+х дк-х А.
дх' т дх' п Г^ дх' п дх'
'=о
3
д(хпАт ) д(хтАп )
дх'
дх'
(84)
= X Ро' ТТ [-хпАт + ХтАп ] .
дх
К этому выражению можно прибавить равный нулю член:
Xд^[-хпАт + ^п ] =
3 дР
= \т хпАт + хтАп Е
(85)
который равен нулю, так как это дивергенция электрического поля
X =о.
ЫО дх•
Тогда
X ^ ^т + хтАп ]+д} [-хпАт + х,тАп ]} =
* |д((о,- ЫАт + хтАп ])] = X^ дх'
(86)
это дивергенция некоторой величины, которая при интегрировании по объёму даст нуль. Перепишем:
М1, (Х) =
X Т~А KijnmAj
I '=о V] = оаА1 ;о
+х То -х то =
п т
+ хтБп - хпБт ^ +
(87)
3 I д(Ро, \-хпАт + хтАп ])) о
^ -]1 \+ М"от (Х),
где МI (х) = хТ - хпТ: .
Первую часть выражения (87) можно не учитывать, так как при интегрировании по объёму оно даст нуль.
В результате выражение для пространственной плотности момента импульса принимает следующий вид:
(х) = хтТ„° - х„С = МI (х).
(88)
В предыдущем подпараграфе компоненты тензора Т по были вычислены и найдена их связь с вектором Умова-Пойнтинга.
Проекции пространственной плотности вектора момента импульса связаны с пространственной плотностью тензора момента импульса следующим образом:
(89)
Подставляя выражения для тензоров (71), учитывая х1 = -х1 = -х, х2 = -х2 = -у, х3 = -х3 = -х, а также
М х ~ Мз« = хТ - хТ
М у ~ ММ 13 (х) = х3Т° - хТ°;
М х ~ М^х) = х2Т° -
8~ЕхН=-
(РуН, - Е,Ну Л РгНх - КхНг РН„ - РН„
(9о)
(91)
V х у
запишем в явном виде:
м х ~ Мо (х) = - у (-РуНг + РгНу ) + + х( - РгНх ) = -уБх + хБу,
Мх ~ М2°3 (х) = -х (РхНг - Р2Нх ) +
+ у (-РхНу + РуНх ) = -х + , Му ~ М°(х) = -х (-РуН1 + РгНу )
+ х (-РН^ + РНг) = -хБг + .
\ху у х / х х
Окончательно получаем выражение для пространственной плотности момента импульса в классическом виде [2 - 4]:
М ~ г х Е х Н . (92)
3. Представление электромагнитного поля по модам волновода с абсолютно проводящими стенками
Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд электромагнитных полей в цилиндрической системе координат:
(1Р-Р) г дф дх
'дЕг дР 2 дх дг ( , я(..г7 Л Л
= 'К^х
= 'К^Нг, = 'К^Нф,
(93)
1 д\гР<. г
дг
1 дН дН
1Р.
г дф
г дф дх дН дН.
дх дг (1 д[ гН ф) -г дг
= -'к^Р,
= ^К^ф,
(94)
1 дНг
г дф
= ^К^х
Запишем решение в виде Е (г,ф, г) = Е (г,ф) ехр (,уг) , Н (г,ф, г) = Н (г, ф) ехр (,уг) . Преобразуем системы (93) и (94):
1
г дф .дЯ
к0^Нг + УЕф = -
УНг + к0еЕф = -УЕг - к0^Нф = -
(95)
(96)
(97)
дг дЕ
к0еЕг -УНф =
дг
1 дН.
г дф
(98)
Разрешая системы (97) и (98) относительно поперечных компонент, получаем их выражения через продольные компоненты (см. Приложение Б):
„ 1 дг ^ г дф °Ц „ 1 дг °Ц г дф ^ Е„ =-:-:-, Еф =-
Н, =■
-у2 + к02це ' ф к02це-у2
, д^ , . дЯ , дЯ . ¿^ т ,
+1 ^ 1 "яф^ У +1 ~дГк0е
к02це-у2
Н ф =
г дф
. дЕг дг '
(99)
- У2 + к02це
Продольные компоненты, в свою очередь, удовлетворяют системе уравнений
1 д ( дЕ А 1 д2Е2 ( 2 2 А 77 п -—I г—1 1 + -т-т^ + (коЦе-у2)Е = 0
г дг ( дг У г2 дф2 1 д ( дН А 1 д2 Н.
г
(100)
+ (к2це-у2)Нг = 0.
г дг ( дг У г2 дф2
Представляя решения уравнений (100) в виде линейных комбинаций цилиндрических функций и экспонент, получим следующие выражения [11]:
Е (р, 0, г ) =
= X атРетрдд (р)ехр(,(т0 + ^к2^це-а2тр2)) + (101)
т, р
+ХЬтЧ,рА2 (р)ехр (, (т0 + 7 к2це-ртд!)),
т,д * '
н (р, 0, г ) =
= X аЩР етр,2Д (р) ехр (, (т0 + ^■-Ор!)) + (102)
т, р
+ХЬтдетдаа (р)ехр(,(т0 + ^к2це-рт^
где
-к0Цт /т (трр) р
етр,1,1 (Р) =
1
к0 це - У
0 Г тр,ТЕ
-к0 ц
. д/т (трР)
др
(103)
етд,1,2 (Р) =
1
к0Це-у:
0 К10 I тц,ТМ
.дJm (Рт,р)
др
тд,ТМ
тр,2.
. (р) =
1
к0Це-У
0 I тр,ТЕ
т / \
--Jm (Ртдр)У,
р
р-/ (тдр)
. Шт (атрр)
тд,ТМ
(104)
др
I трТТЕ
- т/т («трр) /т (атрр)
тр,ТЕ
( атр
(105)
е
тд,2,2
(р) =
1
ко Це - У
0 Г" I тд,ТМ
т / \ р Jт (Ртдр)к0е
/ (Ртдр)
др
к0е
к02це-а тр=у т^,
к0 Це - Ртд = У тд,ТМ , к0 = .
Параметры а тр и р тд находятся из условия: а/ (а К)
т гтр ) = 0, /т (РтдК = 0.
(106)
(107)
(108)
Выражение (108) получено из условия равенства нулю тангенциальных компонент электрического поля на поверхности абсолютного проводника. Таким образом, любое векторное поле
( Ег (г, ф)А
Е (г, ф) =
Л(г , ф)
в волноводе с абсолютно проводящими стенками может быть представлено разложением по модам волновода:
ГЕ (г) =
тр \ )
(рТЕ А
тр,г рТЕ
( тр.ф У
-к0Ц
к0 Це Утр,ТЕ ( Р
Е™ (г) =
тд V '
(т Т ( \А
(трг) . д/т (трр)
I---1
др ,
( рТМ А
тд,г
Т7ТМ
( тд ,ф у
(109)
У,
тд,ТМ
к0це-у;
0 Г" I тд,ТМ
д/ (в г)
т \^тд )
дг
Сг/т (в-дг)
С учётом ортогональности функций (109) коэффициенты разложения поля можно вычислить следующим образом:
Атр 0 0
Ш)Е (Г, Ф)"
Ьт" =
Р^ф (Г )ЕФ (r, Ф)] еХР (-тФ) Г дГ ЙФ,
1 """
(110)
2л.
л/А
^Я Р^) Ег (г, Ф) +
- р,™* (г )еф (г, ф)] ехр (-тф) г ^ дф,
где А" =
АТМ =
Атд _
IО ! [|
р„
Ег (г)|2
г (г)|2
+ рт
+ рт
рИ2 ] Фф (г )|2"
г дг,
г дг.
Используя коэффициенты (110), распространение поля в волноводе можно легко получить на основе выражений (101) - (106).
0,1
На рис. 1, 2 показаны радиальные сечения некоторых мод волновода с абсолютно проводящими стенками, рассчитанных по формулам (109) при следующих параметрах: длина волны лазерного излучения Х0 = 0,532 мкм, радиус волновода Я = 5Х0, е = 1, ц = 1.
При т = 0 в волноводе формируются поперечные моды, а при т Ф 0 - гибридные [12, 13].
Очевидно, моды волновода будут распространяться в волноводе без изменений только с соответствующим набегом фазы. Суперпозиция хотя бы из двух мод будет менять своё поперечное распределение при распространении, демонстрируя периодическое самовоспроизведение [13, 14].
На рис. 3 показано распространение суперпозиции двух ТЕ-мод с номерами (т, р) = (0, 2) + (1, 2). Как видно из представленных результатов расчёта, поперечная картина интенсивности вращается при распространении (рис. 3а-в).
а)
0 -0,1 -0,2
.....
/ мкм
0
0,6
1,2
1,8
2,4
б)
0,09 0
-0,09 -0,18
—'---- /--
-- мкм
0
0,6
1,2
1,8
2,4
Рис. 1. Радиальные сечения некоторых мод волновода с абсолютно проводящими стенками при т = 0: угловые компоненты ТЕ-мод (а) и радиальные компоненты ТМ-мод (б) (р, д = 0 - пунктирная линия, р, д = 1 - сплошная линия, р, д = 2 - точечная линия)
0,15 0,10 0,05 0
а) 0 0,16 0,08 0
-0,08
—
------- -------
......................
0,6
1,2
1,8
2,4
\ \
\ ___
...........•••'' г мкм
б)
0,14 0,07 0
-0,07 0
-0,05 -0,10 -0,15
"— _ гт-р-
---и, ч
г, мкм
0 0, 6 1, 2 1, 8 2, 4
—^^ мкм
в)
о
0,6
1,2
1,8
2,4
г)
0
0,6
1,2
1,8
2,4
Рис. 2. Радиальные сечения некоторых мод волновода с абсолютно проводящими стенками при т = 1: радиальные компоненты ТЕ-мод (а), угловые компоненты ТЕ-мод (б), радиальные компоненты ТМ-мод (в), угловые компоненты
ТМ-мод (г) (р, д = 0 - пунктирная линия, р, д = Периодический характер интерференционного взаимодействия двух мод волновода хорошо виден на рис. 3г, д.
Если же подать на вход волновода произвольное поле, то распространяться будет только та часть поля, которая соответствует его аппроксимации на основе разложения (101) - (102), остальная часть отразится. На рис. 4а показано векторное входное поле, заданное в виде радиально-поляризованного Гауссова пучка:
Е ( ф) = [0| Е0 Ф) =
(111)
г2 2ст2
— I ехР
где ст - радиус перетяжки пучка (ст = Я/2).
В результате разложения (110) входного поля по модам волновода была получена аппроксимация,
1 - сплошная линия, р, д = 2 - точечная линия) представленная на рис. 4б. Погрешность аппроксимации связана с конечным числом мод волновода. Как видно из результатов моделирования распространения такого поля в волноводе (рис. 5), оно также периодически самовоспроизводится.
4. Расчёт импульса и момента импульса для электромагнитного поля внутри волновода с абсолютно проводящими стенками Расчёту плотности энергии и вектора Умова-Пойнтинга посвящено множество работ [15], среди которых к рассматриваемой теме наиболее близки публикации, связанные с векторными модами Бесселя [16 - 19]. Особенно интересным типом электромагнитного поля являются лазерные вихревые пучки, которые обладают ненулевым значением полного момента импульса. Наличие ненулевого момента импульса в электромагнитном поле приводит к вращению захваченных
частиц [20 - 27]. Как правило, выражения момента импульса приводятся для случая скалярной теории дифракции [28 - 38]. Рассмотрим выражения для момента
импульса в рамках векторной теории дифракции для электромагнитного поля внутри волновода с абсолютно проводящими стенками.
\ A A r \
\ / \ \
V \ / \J r, M KM
<» 0 25 50 75 100
Рис. 3. Распространение суперпозиции двух ТЕ-мод с номерами (0,2) + (1,2): поперечное распределение интенсивности на входе (а) и на расстоянии 2 = 20 мкм (б) и г = 40 мкм (в), а также продольное распределение интенсивности (г) и его сечение (д)
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
"4 \ k \ / / К N
/ / / \ \ Д \ / / / / \ \
/ / / \ \ \ \ / / / / \ \ \
/ / \\ \\ / / // // \ \
__ \л i/ \ -—r.
а) б) в) -2-1012 мкм
Рис. 4. Интенсивность векторного входного поля (а) и интенсивность его аппроксимации по модам волновода (б), а также их сечения (пунктир - для входного поля, сплошная - для аппроксимации) (в)
г) щ _ ш д) 0 25 эи /Э г, мкм
Рис. 5. Распространение аппроксимации входного поля (111): поперечное распределение интенсивности на входе (а) и на расстоянии г = 20 мкм (б) и г = 40 мкм (в), а также продольное распределение интенсивности (г) и его сечение (д)
Запишем выражение для момента импульса (91) в явном виде:
М ~ г х Е х Н = = Е (гН)- Н (гЕ) =
= Е ((гег + ге г) Н) - Н ((гег + ге г) Е) = (112)
= Е (гНг + 2Н2)-Н (гЕг + 2Е2 ) = ( г (ЕГН2 - НЕ ) А Еф (гНг + Н )- Н ф (гЕг + Е) г ((Нг - не )
Рассмотрим среднее значение момента импульса поля, заключённого в волноводе длиной Ь:
1 L 2п R
MV = — \\\Mzr dr d<p dz =
L 0 0 0 1 L 2n R
= LW\(EHr -HzEr)r2drd9dz. L 0 0 0
Выразим MV через комплексные амплитуды:
E (r, ф, z, t ) = 2 ( E(r, ф, z, ю) exp (-/'rot ) +
(113)
+ E*(r, ф, z, ю) exp (/rot)),
(114)
H (r, ф, z, t ) = ( H (r, ф, z, ю) exp (-/rot ) +
-H * (r, ф, z, ю) exp (mt ) ).
С учётом (114) можно записать:
(ЕНг - НЕ ) =
= 4[(ЕНг ехр(-,2ю0 + Е*Нг + +ЕгН* + Е* Н* ехр (, 2ю/))] - (115)
-1[(НЕг ехр(-,2ю/) + Н*Ег + +Н2Е* + Н*Е* ехр(,2ю/))] .
При усреднении (115) слагаемые с экспонентой исчезают:
(Н. -н,ег)= 4((Нг + ЕН*)-
- 1 ((* Е + НЛ ) = = "^^е (Е* Нг)-^е (( Ег ) =
= ^Ие(Е*Нг -Н*Ег).
Тогда момент импульса при гармонической зависимости поля от времени:
1 Ь 2п К
Му = - Щяе (( - н* Ег ) а0 а!. (117)
2 0 0 0
Обозначим компоненты базисных векторов следующим образом:
е-.,1,1; у (Р, 0 2) =
~тр,1,1;, (р)ехр (Щ0 +Vк2 -аЩр 2)) ,
(116)
mp,1,1; j
= em
где у = г, ф, г.
Таким образом, среднее значение момента импульса для электромагнитного поля внутри волновода с абсолютно проводящими стенками можно записать (см. Приложение В) в явном виде через коэффициенты разложения поля по модам волновода:
Му = X Г 1 етд ,1,2; I (р)' е,„д ,2,2; г (УФ -т ,д 0
-X |атр Г1 етр,2,1;г (р)* етр,1,1;г (р)р2ар = т,р 0
=2 XI ътд\2 тТТМ + 2 XI «тр|2 -Т-Е =
т,д т,р
= "2X-(X|«12 ТЩЕ +XИ2 ТЩМ
(119)
Из выражения (119) видно, что среднее значение момента импульса для электромагнитного поля пропорционально сумме, взвешенной на присутствующие порядки вихревой сингулярности.
Выражение, аналогичное (119), было использовано в [31, 32] для измерения орбитального углового момента светового поля с помощью многопорядкового дифракционного оптического элемента [34].
По аналогии, при гармонической зависимости поля от времени продольная проекция вектора Умова-Пойнтинга (пропорциональна импульсу электромагнитного поля):
S ~ E*H - EH,.
(120)
Рассмотрим среднее значение импульса поля, заключённого в волноводе длиной Ь:
1 L 2п R
Sv = - jjjSzr dr d; dz =
L 0 0 0 1 L 2n R
= T ШК HФ- E; Hr )r dr d; dz.
(121)
Среднее значение импульса поля можно записать в явном виде (см. Приложение Г):
SV =
= '2 I Re (E* H;- Еф Hr )p dp =
=S|
m, p
1mp,TE J
k0 ^Y
ЛГ 1 mp,TE ■
>■ I
0
21
J2 (a p) R (dJ (a p)
m \ mprj Г m \ mpr f
-dP + i
k0^ Ymq,TM J
5p
k0SYmq,TM '
pdp
+ (122)
J2m (Pmqp) R (j (Pmqp)
-dp + j
dp
p dp
Можно видеть, что выражение (122) при ц = 1, е = 1 представляет собой суммы интегралов от квадратов векторов, взвешенные на квадраты модулей коэффициентов разложения:
Sv = ■ | Re (( H;- E; Hr )p dp = 2 0
i R
= Г SI ^2 К (p))2 p dp +
k0 m,p 0
R
1 SI bmq|2 i(emq,2,2 (p))2 p dp .
(123)
k
""0 m,q 0
Полученные выражения полезны для квантования электромагнитного поля в волноводе.
Заключение
В работе получены явные выражения импульса и момента импульса из теоремы Нётер (ab initio), содержащие квадраты модулей коэффициентов разложения по модам волновода, взвешенные на присутствующие порядки вихревой сингулярности.
Полученные выражения полезны для квантования электромагнитного поля в волноводе.
0 0 0
Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 18-19-00595) в части теоретических выкладок и Министерства науки и высшего образования РФ в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН в части численного моделирования.
Литература
1. Боголюбов, Н.Н Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. - 4-е изд. - М.: Наука, 1984. - 600 с.
2. Griffiths, D.J. Introduction to electrodynamics / D.J. Griffiths. - 3rd ed. - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1999. - 600 p. - ISBN: 978-1-108-42041-9.
3. Jackson, J.D. Classical electrodynamics / J.D. Jackson. -New York: John Wiley & Sons, 1999. - P. 350. - ISBN: 978-0-471-30932-1.
4. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 720 с.
5. Lekner, J. Invariants of electromagnetic beams / J. Lekner // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2004. -Vol. 6, Issue 5. - P. 204-209. - DOI: 10.1088/14644258/6/2/008.
6. Миллер, У. Симметрия и разделение переменных / У. Миллер. - М.: Мир, 1981. - 344 с.
7. Котляр, В.В. Операторное описание параксиальных световых полей / В.В. Котляр, С.Н. Хонина, Я. Ванг // Компьютерная оптика. - 2001. - № 21. - С. 45-52.
8. Khonina, S.N. An analysis of the angular momentum of a light field in terms of angular harmonics / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, P. Paakkonen, J. Simonen, J. Turu-nen // Journal of Modern Optics. - 2001. - Vol. 48, Issue 10. -P. 1543-1557. - DOI: 10.1080/09500340108231783.
9. Volke-Sepulveda, K. General construction and connections of vector propagation invariant optical fields: TE and TM modes and polarization states / K. Volke-Sepulveda, E. Ley-Koo // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. -2006. - Vol. 8, Issue 10. - P. 867-877. - DOI: 10.1088/1464-4258/8/10/008.
10. Казанский, Н.Л. Совместное решение уравнения Клейна-Гордона и системы уравнений Максвелла / Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36, № 4. - С. 518-526.
11. Харитонов, С.И. Преобразование конической волны с круговой поляризацией в вихревой цилиндрически поляризованный пучок в металлическом волноводе / С.И. Харитонов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. -2018. - Т. 42, № 2. - С. 197-211. - DOI: 10.18287/24126179-2018-42-2-197-211.
12. Koshiba, M. Optical waveguide analysis / M. Koshiba. Tokyo: McGraw-Hill, Inc., 1990. - 173 p. - ISBN: 978-0-07035368-8.
13. Khonina, S.N. Self-reproduction of multimode laser fields in weakly guiding stepped-index fibers / S.N. Khonina, S.G. Volotovsky // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2007. - Vol. 16, Issue 3. - P. 167177. - DOI: 10.3103/S1060992X07030071.
14. Хонина, С.Н. Саморепродукция многомодовых пучков Гаусса-Эрмита / С.Н. Хонина, В.В. Котляр, В.А. Сой-фер // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25, № 12. - С. 62-69.
15. Loudon, R. Contributions of John Henry Poynting to the understanding of radiation pressure / R. Loudon, C. Baxter // Proceedings of the Royal Society A. - 2012. -
Vol. 468, Issue 2143. - P. 1825-1838. - DOI: 10.1098/rspa.2011.0573.
16. Barnett, S.M. Optical angular-momentum flux / S.M. Barnett // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. - 2002. - Vol. 4, Issue 2. - P. S7-S16. - DOI: 10.1088/1464-4266/4/2/361.
17. Volke-Sepulveda, K. Orbital angular momentum of highorder Bessel light beams / K. Volke-Sepulveda, V. Garces-Chavez, S. Chavez-Cerda, J. Arlt, K. Dholakia // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. - 2002. -Vol. 4, Issue 2. - P. S82-S89. - DOI: 10.1088/14644266/4/2/373.
18. Lekner, J. Invariants of three types of generalized Bessel beams / J. Lekner // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2004. - Vol. 6, Issue 9. - P. 837-843. - DOI: 10.1088/1464-4258/6/9/004.
19. Litvin, I.A. Poynting vector and orbital angular momentum density of superpositions of Bessel beams / I.A. Litvin, A. Dudley, A. Forbes // Optics Express. - 2011. - Vol. 19, Issue 18. - P. 16760-16771. - DOI: 10.1364ЮЕ.19.016760.
20. He, H. Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity / H. He, M.E.J. Friese, N.R. Heckenberg, H. Rubin-sztein-Dunlop // Physical Review Letters. - 1995. - Vol. 75, Issue 5. - P. 826-829. - DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.826.
21. He, H. Optical particle trapping with higher-order doughnut beams produced using high efficiency computer generated holograms / H. He, N.R. Heckenberg, H. Rubinsztein-Dunlop // Journal of Modern Optics. - 1995. - Vol. 42, Issue 1. - P. 217-223. - DOI: 10.1080/09500349514550171.
22. Friese, M.E.J. Optical angular-momentum transfer to trapped absorbing particles / M.E.J. Friese, J. Enger, H. Rubin-sztein-Dunlop, N.R. Heckenberg // Physical Review A. -
1996. - Vol. 54, Issue 2. - P. 1593-1596. - DOI: 10.1103/PhysRevA.54.1593.
23. Simpson, N.B. Mechanical equivalence of spin and orbital angular momentum of light: an optical spanner / N.B. Simpson, K. Dholakia, L. Allen, M.J. Padgett // Optics Letters. -
1997. - Vol. 22, Issue 1. - P. 52-54. - DOI: 10.1364/OL.22.000052.
24. Allen, L. The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of their angular momentum density / L. Allen, M.J. Padgett // Optics Communications. - 2000. -Vol. 184, Issues 1-4. - P. 67-71. - DOI: 10.1016/S0030-4018(00)00960-3.
25. O'Neil, A.T. Three-dimensional optical confinement of micron-sized metal particles and the decoupling of the spin and orbital angular momentum within an optical spanner / A.T. O'Neil, M.J. Padgett // Optics Communications. -2000. - Vol. 185, Issues 1-3. - P. 139-143. - DOI: 10.1016/S0030-4018(00)00989-5.
26. Сойфер, В.А. Оптическое манипулирование микрообъектами: достижения и новые возможности, порожденные дифракционной оптикой / В.А. Сойфер, В.В. Котляр, С.Н. Хонина // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2004. - Т. 35, № 6. - С. 1368-1432.
27. Skidanov, R.V. Micromanipulation in higher-order Bessel beams / R.V. Skidanov, V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, A.V. Volkov, V.A. Soifer // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2007. - Vol. 16, Issue 2. -P. 91-98. - DOI: 10.3103/S1060992X07020051.
28. Allen, L. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Woerdman // Physical Review A. - 1992. - Vol. 45, Issue 11. - P. 81858189. - DOI: 10.1103/PhysRevA.45.8185.
29. Van Enk, S.J. Spin and orbital angular-momentum of photons / S.J. van Enk, G. Nienhuis // Europhysics Letters. -1994. - Vol. 25, Issue 7. - P. 497-501. - DOI: 10.1209/0295-5075/25/7/004.
30. Soskin, M.S. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices / M.S. Soskin, V.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, J.T. Malos, N.R. Heckenberg // Physical Review A. - 1997. - Vol. 56, Issue 5. -P. 4064-4075. - DOI: 10.1103/PhysRevA.56.4064.
31. Khonina, S.N. Measuring the light field orbital angular momentum using DOE / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, P. Paakkonen, J. Turunen // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). - 2001. - Vol. 10, Issue 4. - P. 241-255.
32. Котляр, В.В. Измерение орбитального углового момента светового поля с помощью дифракционного оптического элемента / В.В. Котляр, С.Н. Хонина, В.А. Сойфер, Я. Ванг // Автометрия. - 2002. - Т. 38, № 3. - С. 33-44.
33. Leach, J. Measuring the orbital angular momentum of a single photon / M.J. Padgett, S.M. Barnett, S. FrankeArnold, J. Courtial // Physical Review Letters. - 2002. -Vol. 88, Issue 25. - 257901 (4 p). - DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.257901.
34. Khonina, S.N. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J. Turunen // Journal of Modern Optics. - 2004. -Vol. 51, Issue 5. - P. 761-773. - DOI: 10.1080/09500340408235551.
35. Leach, J. Direct measurement of the skew angle of the Poynting vector in a helically phased beam / J. Leach, S. Keen, M.J. Padgett, C. Saunter, G.D. Love // Optics Express. - 2006. - Vol. 14, Issue 25. - P. 11919-11924. -DOI: 10.1364/OE.14.011919.
36. Franke-Arnold, S. Advances in optical angular momentum / S. Franke-Arnold, L. Allen, M.J. Padgett // Laser & Photonics Reviews. - 2008. - Vol. 2, Issue 4. - P. 299-313. -DOI: 10.1002/lpor.200810007.
37. Yao, A.M. Optical angular momentum: origins, behavior, and applications / A.M. Yao, M.J. Padgett // Advances in Optics and Photonics. - 2011. - Vol. 3, Issue 2. - P. 161204. - DOI: 10.1364/AOP.3.000161.
38. Князев, Б.А. Пучки фотонов с ненулевой проекцией орбитального момента импульса: новые результаты / Б.А. Князев, В.Г. Сербо // Успехи физических наук. -2018. - Т. 188, № 5. - С. 508-539.
Приложение А Лагранжев подход к получению уравнений
Рассмотрим вывод уравнения Лагранжа-Эйлера для простейшего случая, рассмотрев одномерное движение материальной точки вдоль оси X.
Пусть есть система, которая описывается функцией Лагранжа:
Ь( х(1), х(1), 1). (А1)
Запишем функцию действия (функционал): '2
Б [*(0] = | Ь(х(1), *(0, . (А2)
Принцип наименьшего действия гласит, что точка будет двигаться по такой траектории, чтобы Б было экстремумом (как правило, минимум).
Рассмотрим вариацию функционала (А2):
8Б [ х(1 )] =
= Б [х(1) +5х(1) ]- Б [х(1) ] =
>2 (А3)
= 1{Ь () + 8х(/), X (1) + 5Х (1), 1) -
- Ь( х(1), х(1), 1)} &.
Рассмотрим подынтегральное выражение в (А3).
Ь (х(/) + 8х(/), х(1) + ЩГ), 1) -
dL dL
- L( x(t), x(t ), t ) =—Sx(t) +—Sx(t ).
dx dX
С учётом соотношений:
_d dt
dL gx(t )
dx
_d dt
dL
dx
Sx(t ) d [Sx(t )],
dx dt
dt [Sx(t)] = Sx(t )
(А4)
(А5) (А6)
можно показать, что
dL dL .
—Sx(t ) +—5x(t ) =
dx dx
dL й d
= —Sx(t ) + —
dx dt
dL gx(t )
dx
_d dt
dL
dx
(А7)
8x(t ).
Подставим правую часть (А7) в интеграл (А3):
dx dt
dS [x(t)]=m sx(t) - dt
dx
8x(t) ^ dt +
• d_ dt
dL sx(t )
ox
dt =
(А8)
i Г 8x(t ) - —
J I dx dt
dL ex
8x(t) > dt +
dL sx(t )
dx
С учётом того, что мы рассматриваем вариации с закреплёнными концами, бх^) = 8х(12) = 0.
Тогда вариация функционала с условием экстремальности примет следующий вид:
дЬ ]
дх дх
8S [x(t ) ]=jsx(t ) {§ - £
dt = 0 .
(А9)
Так как бх(1) - произвольная, неравная нулю функция, то для обеспечения выполнения (А9) нужно, чтобы выполнялось следующее уравнение, которое называется уравнением Лагранжа-Эйлера:
dL _ _d dx dt
dL_
dx
= 0.
(А10)
Приложение Б Решение уравнения Максвелла в виде разложения поля по модам цилиндрического волновода
Рассмотрим ТМ-моды, для этого полагаем в (97) и (98) Н2 = 0:
к0цИг + уЕф = -1-Е, Г Эф
уЯг + к0еЕф= 0,
дЕ
УЕГ -к>цЯф ,
Эг
к0еЕг -уЯф= 0.
Перепишем (Б1) в матричном виде:
( 1 дЕ А V уА(Я„А г 1 дЕ- А
(Б1)
У к0е
Е
V Ф/
У -к0Ц
Ук0е -У
' Ег ^
V Я Ф/
г Эф 0
( дЕ А 1—-
дг
0
(Б2)
Решаем систему (Б2) относительно поперечных
( I дЕ А
компонент:
( я, А
V ФУ
( Е '
Г
Я
V Ф /
1
к0е -У
(к0) ец-у2 V-Y к0Ц
-У к0Ц
(к0) ец-у2 V-koе У Таким образом,
г Зф 0
( дЕ А
(Б3)
-/-
Эг 0
к0е
Я =- 1 г (к0)2 ец-у2 г 5ф
еф =
У
I дЕ,
(к0) ец-у2 г 5ф
Е =-
У
дЕ,
(Б4)
Я =-
(к0)2 ец-у2 дг
дЕ,
к0е
(к0)2 ец-у2 дг
Вектора электрического и магнитного поля, выраженные через производные продольной компоненты электрического поля, записываются следующим образом:
( .дЕ А
Е = -
1
к0це-у
Я =-
1
к0 це - У
^у 1 дЕ^
г Зф ^ (к2це-у2))
V
г Эф к0е
■ дЕ,ь
1 дг к°е 0
(Б5)
Рассмотрим также ТЕ-моды, для этого полагаем в (97) и (98) Е, = 0:
к>цЯг + уЕф = 0,
УЯг + к0еЕф = -|
ЭЯг Эг
уЕг - к>цЯф= 0.
(Б6)
к0еЕг -УЯф =
I ЭЯ.
г Эф
Перепишем (Б6) в матричном виде:
( 0 А
дЯ,
кц У А(ЯгА
У к0е
Е
-/-
-к„ цА( Е,
к0е -У
Я,,
дг /
( 0 А
I ЭЯ,
(Б7)
г Эф
V' /
Решаем систему (Б7) относительно поперечных компонент:
,( 0 А
ЭЯ.
(я. А
Е
V ф /
V Я Ф/
1 (к0е -У (к0)2 ец-у2 1-У к0ц
-I-
-У к0ц
(к0) ец-у21-к0е У
дг
( 0 А
I дЯ,
(Б8)
г Эф
Таким образом,
У
Я =-
. дЯ,
(к )2 ец-у2 дг
Еф = —
к0ц
ЭЯ.
(к0)2 ец-у2 дг
Е =-
к0ц
I дЯ,
(Б9)
я ф =
(к0) ец-у2 г 5ф У I дЯ,
(к)2 ец-у2 г 5ф
В этом случае вектора электрического и магнитного поля, выраженные через производные продольной компоненты магнитного поля, записываются следующим образом:
(I А
г Зф 0
Е =-
1
к0 це - У
.ЭЯ, Эг 0
-г—^ц
(Б 10)
Я
1
к0 це - У
дЯ
дЯ,
г 9ф (це-у2))
1
1
Приложение В
Вычисление среднего значения момента импульса при гармонической зависимости поля от времени Чтобы вычислить выражение (116), выпишем сначала первое произведение:
Е* (р, 0,2) Нг (р, 0,2) =
X (( ет,р,дд;г ( 0 I ))* + X (( ет,д,Л2;г ( 0 I)
X а-2р2 е-
У;г (р, 0, I )+X Ь-2д2 е-2д2,2,2;г (р, 0,1)
(В1)
= X
а ™ а гп е
(р,0,1)*ет2р2,2Д;г (р,0,1)+ X а-1 р*ътгС,гет1р]ДД;2 (р,0,1)*е^г(р,0,1) +
+ X Ът-д-*ат2р2ет1д]№ (р,0,1)*е-2р2А1;г (р,0,z)+ X Ъ^Ъ^е^ (р,0,I)*е^г (р,0,4
Т.к. при интегрировании в (117) по углу будет 2^5^,^, то останутся суммы только при т1 = т2 = т. Также при интегрировании по I (при достаточно большом Ь) останутся суммы только с одинаковыми параметрами а тр и р тд (появится коэффициент, пропорциональный Ь, имеющий размерность единиц длины).
С учётом приведённых выше соображений перепишем выражение (В1):
Е*Нг ~ XIа-12 е-рДД;I (р)* е-р(р) +
т, р
+X \ЪЩд Г е-дд,2; I (р)* е-д,2,2;г (р).
(В 2)
т,д
Аналогично,
Н*Ег ~ XIатр|2 е^ (р)* е-рДД;г (р) +
Ъ'
mg,2,2;I
(р)* етд,1,2;г (р).
(В3)
Для вычисления интегралов в (117) по радиусу понадобятся следующие выражения:
1 етр,1,1;I (р)* етр,2,1;г (р) р2ф = ° 0 К
|е-д,1,2;I (р)* етд,2,2;г (р) р2ф =
вГ - К ( р)р Ф = -Т,
Ртд 0
ТМ тд '
(В4)
|етр,2М (р)* етр,1,1;г ()р2Ф = 0
= i-00Ц-ЩК (атдр)2 рф = -Т,
ТЕ тр >
тд 0
К
|етд,2,2;. (р)* етд,1,2;г (р) р^ = 0.
Приложение Г Вычисление среднего значения импульса при гармонической зависимости поля от времени
С учётом ранее сделанных рассуждений (см. Приложение В) можно записать:
Е*Нф ~ X |а-р Г етр,1,1;г (р)* етр,2,1;ф (р) + X Г етд,1,2;г (р)* етд,2,2;ф (р) ,
т,р т,д
Е*Нг ~ XIатр|2 е-рДД;ф (р)* е-рг (р) + X|Ъ-дГ е,д,1Дф (р)* е,д,2,2;г (р).
т,р т,д
Для вычисления интегралов по радиусу понадобятся:
и2 (а р)
т у трг I
(Г1)
(
к02це-у т 1
^ п.0 цо с тр,ТЕ (
1 етр,1,1;г (р)* етр,2,1;ф(р)р^р = ' 1
0
К
1 етд,1,2;г (р) етд,2,2;ф (р) р^р = 0
К
1 етр,1,1;ф (р)* етр,2,1;г (р)р^р = -
2
2 Г" т^тр^) 2 т
к0 ЦУ тр,ТЕЩ ] -а р = кС,ЦУ тр,ТЕЩ тр ,1,
ксЦе"У -1
^ п.0 Ц.С. с щд,ТМ у (
1 етд,1,2;ф(р)* етд,2,2;г (р)р^р = -
ксЦе"У -1
к0 еУ тд ,ТМ 1
0
2К У тр,ТЕк0 Ц1
дЗ (р р)
Щ у Г щдГ у
др
рар =к0еУ тд,ТМ^тд,2 '
у-0 I тр,ТЕ у
(
дЗ (а р)
т у тр > }
(Г2)
др
рар = ксЦУтр,ТЕ1 тр,2 '
2
к0це-у
к„ ет2 у Г
0 тд,ТМ
З2(в р)
т у'тдг у
а р = к„ еу „,т21 ,.
0 тд,ТМ тд,1
у-0 Г"" I тд,ТМ у
Таким образом,
0
0
Sv = 1J Re (X - E*Hr )pdp = amp \ mpJEm2Imp, + £|bmqf k0eymJMImq, +
0 m ,p m,q
+X| amp |2 КЩ^еК* + Ц bmq f ^дм™2I^ = (Г3)
m,p m,q
= amp Г koM-У mp,TE [m 2 Imp,, + Imp, 2 ] + I f ^дм [ ^ I^i + ^,2 ] .
Сведения об авторах
Сведения об авторе Харитонов Сергей Иванович см. стр. 585 этого номера.
Волотовский Сергей Геннадьевич, 1959 года рождения, в 1984 году окончил Куйбышевский авиационный институт имени академика С.П. Королёва (КуАИ) по специальности «Прикладная математика», работает ведущим программистом в ИСОИ РАН - филиале ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: разработка программного обеспечения расчёта и моделирования работы элементов дифракционной оптики. E-mail: sv@smr.ru .
Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского университета; главный научный сотрудник ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru .
ГРНТИ: 29.31.15 Поступила в редакцию 6 июля 2018 г.
CALCULATION OF THE ANGULAR MOMENTUM OF AN ELECTROMAGNETIC FIELD INSIDE A WAVEGUIDE WITH ABSOLUTELY CONDUCTING WALLS
S.I. Kharitonov '"2, S.G. Volotovsky '"2, S.N. Khonina1,2 1IPSIRAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Molodogvardeyskaya 151, 443001, Samara, Russia, 2Samara National Research University, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse 34
Abstract
In this paper, explicit expressions for the momentum and angular momentum from the No-ether's theorem (ab initio) are obtained. These expressions contain squared modules of the coefficients of a guided mode expansion, weighted by the phase singularity orders present. The expressions obtained are useful for quantizing the electromagnetic field in a waveguide.
Keywords: angular momentum, Noether's theorem, Lagrange-Euler equation, Umov-Poynting vector, modes of a cylindrical metal waveguide.
Citation: Kharitonov SI, Volotovsky SG, Khonina SN. Calculation of the angular momentum of an electromagnetic field inside a waveguide with absolutely conducting walls. Computer Optics 2018; 42(4): 588-605. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-588-605.
Acknowledgements: This work was financially supported by the Russian Science Foundation (grant No. 18-19-00595) in part of theoretical investigations and by the Ministry of Science and Higher Education within the State assignment FSRC «Crystallography and Photonics» RAS (No. 007-GZ/ch3363-26) in part of computer simulatious.
References
[1] Bogoliubov NN, Shirkov DV. Introduction to the theory of quantized fields. 3rd ed. New York: John Wiley & Sons Inc; 1980. ISBN: 978-0-471-04223-5.
[2] Griffiths DJ. Introduction to Electrodynamics. 3rd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc; 1999. ISBN: 9781-108-42041-9.
[3] Jackson JD. Classical electrodynamics. New York: John Wiley & Sons; 1999: 350. ISBN: 978-0-471-30932-1.
[4] Born M, Wolf E. Principles of optics: Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. 6th ed. Oxford, New York, Beijing, Frankfurt, Sao Paulo, Syd-
ney, Tokyo, Toronto: Pergamon Press; 1980. ISBN: 978-008-026482-0.
[5] Lekner J. Invariants of electromagnetic beams. J Opt A: Pure Appl Opt 2004; 6(5): 204-209. DOI: 10.1088/14644258/6/2/008.
[6] Miller W. Symmetry and separation of variables. Cambridge: Cambridge University Press; 1984. ISBN: 978-0521-30224-1.
[7] Kotlyar VV, Khonina SN, Wang Ya. Operator description of paraxial light fields [In Russian]. Computer Optics 2001; 21: 45-52.
[8] Khonina SN, Kotlyar VV, Soifer VA, Paakkonen P, Simonen J, Turunen J. An analysis of the angular momentum of a
light field in terms of angular harmonics. J Mod Opt 2001; 48(10): 1543-1557. DOI: 10.1080/09500340108231783.
[9] Volke-Sepulveda K, Ley-Koo E. General construction and connections of vector propagation invariant optical fields: TE and TM modes and polarization states. J Opt A: Pure Appl Opt 2006; 8(10): 867-877. DOI: 10.1088/14644258/8/10/008.
[10] Kazanskiy NL, Kharitonov SI, Khonina SN. Joint solution of the Klein-Gordon and Maxwell's equations [In Russian]. Computer Optics 2012; 36(4): 518-526.
[11] Kharitonov SI, Khonina SN. Conversion of a conical wave with circular polarization into a vortex cylindrically polarized beam in a metal waveguide [In Russian]. Computer Optics 2018; 42(2): 197-211. DOI: 10.18287/2412-61792018-42-2-197-211.
[12] Koshiba M. Optical waveguide analysis. Tokyo: McGraw-Hill Inc; 1990. ISBN: 978-0-07-035368-8.
[13] Khonina SN, Volotovsky SG. Self-reproduction of multimode laser fields in weakly guiding stepped-index fibers. Optical Memory & Neural Networks 2007; 16(3): 167-177. DOI: 10.3103/S1060992X07030071.
[14] Khonina SN, Kotlyar VV, Soifer VA. Self-reproduction of multimode Hermite-Gaussian beams. Technical Physics Letters 1999; 25(6): 489-491. DOI: 10.1134/1.1262525.
[15] Loudon R, Baxter C. Contributions of John Henry Poynting to the understanding of radiation pressure. Proc R Soc A 2012; 468(2143): 1825-1838. DOI: 10.1098/rspa.2011.0573.
[16] Barnett SM. Optical angular-momentum flux. J Opt B Quantum Semiclass Opt 2002; 4(2): S7-S16. DOI: 10.1088/1464-4266/4/2/361.
[17] Volke-Sepulveda K, Garcés-Chavez V, Chavez-Cerda S, Arlt J, Dholakia K. Orbital angular momentum of highorder Bessel light beams. J Opt B Quantum Semiclass Opt 2002; 4(2): S82-S89. DOI: 10.1088/1464-4266/4/2/373.
[18] Lekner J. Invariants of three types of generalized Bessel beams. J Opt A: Pure Appl Opt 2004; 6(9): 837-843. DOI: 10.1088/1464-4258/6/9/004.
[19] Litvin IA, Dudley A, Forbes A. Poynting vector and orbital angular momentum density of superpositions of Bessel beams. Opt Express 2011; 19(18): 16760-16771. DOI: 10.1364/OE.19.016760.
[20] He H, Friese MEJ, Heckenberg NR, Rubinsztein-Dunlop H. Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity. Phys Rev Lett 1995; 75(5): 826-829. DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.826.
[21] He H, Heckenberg NR, Rubinsztein-Dunlop H. Optical particle trapping with higher-order doughnut beams produced using high efficiency computer generated holograms. J Mod Opt 1995; 42(1): 217-223. DOI: 10.1080/09500349514550171.
[22] Friese MEJ, Enger J, Rubinsztein-Dunlop H, Heckenberg NR. Optical angular-momentum transfer to trapped absorbing particles. Phys Rev A 1996; 54(2): 1593-1596. DOI: 10.1103/PhysRevA.54.1593.
[23] Simpson NB, Dholakia K, Allen L, Padgett MJ. Mechanical equivalence of spin and orbital angular momentum of
light: an optical spanner. Opt Lett 1997; 22(1): 52-54. DOI: 10.1364/OL.22.000052.
[24] Allen L, Padgett MJ. The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of their angular momentum density. Opt Commun 2000; 184(1-4): 67-71. DOI: 10.1016/S0030-4018(00)00960-3.
[25] O'Neil AT, Padgett MJ. Three-dimensional optical confinement of micron-sized metal particles and the decoupling of the spin and orbital angular momentum within an optical spanner. Opt Commun 2000; 185(1-3): 139-143. DOI: 10.1016/S0030-4018(00)00989-5.
[26] Soifer VA, Kotlyar VV, Khonina SN. Optical microparti-cle manipulation: Advances and new possibilities created by diffractive optics. Physics of Particles and Nuclei 2004; 35(6): 733-766.
[27] Skidanov RV, Kotlyar VV, Khonina SN, Volkov AV, Soifer VA. Micromanipulation in higher-order Bessel beams. Optical Memory & Neural Networks 2007; 16(2): 91-98. DOI: 10.3103/S1060992X07020051.
[28] Allen L, Beijersbergen MW, Spreeuw RJC, Woerdman JP Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes. Phys Rev A 1992; 45(11): 8185-8189. DOI: 10.1103/PhysRevA.45.8185.
[29] Van Enk SJ, Nienhuis G. Spin and orbital angular-momentum of photons. Europhys Lett 1994; 25(7): 497501. DOI: 10.1209/0295-5075/25/7/004.
[30] Soskin MS, Gorshkov VN, Vasnetsov MV, Malos JT, Heckenberg NR. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices. Phys Rev A 1997; 56(5): 4064-4075. DOI: 10.1103/PhysRevA.56.4064.
[31] Khonina SN, Kotlyar VV, Soifer VA, Paakkonen P, Tu-runen J. Measuring the light field orbital angular momentum using DOE. Optical Memory and Neural Networks 2001; 10(4): 241-255.
[32] Kotlyar VV, Khonina SN, Soifer VA, Wang Ya. Light field orbital angular moment measurement with the help of diffractive optical element [In Russian]. Avtometriya 2002; 38(3): 33-44.
[33] Leach J, Padgett MJ, Barnett SM, Franke-Arnold S, Cour-tial J. Measuring the orbital angular momentum of a single photon. Phys Rev Lett 2002; 88(25): 257901. DOI: 10.1103/PhysRevLett.88.257901.
[34] Khonina SN, Kotlyar VV, Soifer VA, Jefimovs K, Turunen J. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics. J Mod Opt 2004; 51(5): 761-773. DOI: 10.1080/09500340408235551.
[35] Leach J, Keen S, Padgett MJ, Saunter C, Love GD. Direct measurement of the skew angle of the Poynting vector in a helically phased beam. Opt Express 2006; 14(25): 1191911924. DOI: 10.1364ЮЕ.14.011919.
[36] Franke-Arnold S, Allen L, Padgett MJ. Advances in optical angular momentum. Laser Photon Rev 2008; 2(4): 299313. DOI: 10.1002/lpor.200810007.
[37] Yao AM, Padgett MJ. Optical angular momentum: origins, behavior, and applications. Adv Opt Photon 2011; 3(2): 161-204. DOI: 10.1364/AOP.3.000161.
[38] Knyazev BA, Serbo VG. Beams of photons with nonzero orbital angular momentum projection: New results. Phys Usp 2018; 61(5). DOI: 10.3367/UFNe.2018.02.038306.
Author's information
The information about authors Sergey Ivanovich Kharitonov you can find on page 586 of this issue.
Sergey Gennadjevich Volotovsky (b. 1959) graduated from Kuibyshev Aviation Institute named after academician S.P. Korolyov (KuAI) on a specialty "Applied Mathematics", works as the leading programmer in the IPSI RAS -Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: software design, modeling of systems with diffractive optical elements. E-mail: sv@smr.ru .
Svetlana Nikolaevna Khonina, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor of Samara National Research University. Main researcher of the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulating, optical and digital image processing. E-mail: khonina@smr.ru .
Received July 6, 2018.
