CC BY
26
УДК 621.3.049.779
A.A. Тыртычный, А. И. Скалон
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Выбор подвеса чувствительных элементов инерциальных микромеханических датчиков для систем управления малых космических аппаратов
Статья содержит результаты исследований влияния конструктивных особенностей упругого подвеса инерционной массы микромеханического гироскопа, работающего в режиме автоколебаний, на характеристики прибора, в частности на амплитуды колебаний по оси возбуждения и выходной оси. Описан способ определения угла подвеса, обеспечивающего резонанс, что даёт возможность существенно повысить амплитуду колебаний и, соответственно, чувствительность датчика.
Ключевые слова: микромеханика, датчик угловой скорости, гироскоп, автоколебания, упругий подвес, жёсткость, резонанс, чувствительность.
1. Введение
Разработки прецизионных и высокочувствительных микромеханических инерциальных датчиков с цифровым выходом [1], анализ их текущего состояния и перспектив [2] показывают, что добиться значительных успехов в этом направлении позволяет использование в электромеханических приборах компенсационного типа режима автоколебаний.
В этом случае прибор, например акселерометр или датчик угловой скорости (микромеханический гироскоп), работающий в режиме автоколебаний, представляет собой измерительное устройство, в котором подвижный узел прибора - инерционная масса (ИМ) -совершает колебания с некоторыми постоянными амплитудой и частотой, величины которых зависят от параметров системы. При этом наличие входного воздействия приводит к смещению центра колебаний ИМ и соответствующей временной (частотной) модуляции управляющего сигнала. Глубина модуляции пропорциональна измеряемому воздействию.
Конструкция автоколебательного микромеханического гироскопа (АММГ) описана в работе [3].
Одним из важнейших элементов микромеханических датчиков (ММД) является подвес инерционных масс, представляющий собой упругие элементы, параметры которых существенным образом влияют на метрологические характеристики приборов. Среди основных требований к упругим элементам подвеса ИМ ММД можно выделить следующие:
1) отсутствие перекрестных связей между различными поступательными и вращательными движениями ИМ;
2) обеспечение определенной анизотропии упругих свойств подвеса для получения заданных собственных частот и форм собственных колебаний ИМ в подвесе;
3) линейность упругих характеристик, малость нелинейных эффектов при всех перемещениях ИМ [4].
2. Системы координат
Для анализа характеристик подвеса ИМ целесообразно принять основание прибора и жёстко связанную с ним несущую раму неподвижными в абсолютной системе координат.
Система координат 0XYZ жёстко связана с основанием, система 0TXTYTZT - с ИМ таким образом, что её начало находится в центре масс ИМ, как это показано на рис. 1.
При этом ИМ рассматривается как нсдсформирусмос абсолютно жесткое тело, имеющее шесть степеней свободы относительно системы координат 0XYZ. Её положение, определяемое положением системы 0ТХтУтотносительно системы 0ХУИ, задается шестью независимыми обобщенными координатами: радиус-вектором К и матрицей направляющих косинусов К размерноети 3x3. Исходное (невозмущенное) положение ИМ характеризуется радиус-вектором До и матрицей Ко. В произвольном (возмущенном) положении имеем радиус-вектор К и матрицу К, при этом переход от системы координат от х т г т гт к системе задается вектором смещения р и матрицей направляющих косинусов В. Схема расположения систем координат приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема расположения систем координат
Параметры смещённого положения ИМ можно определить по формулам
р = ро + р; К = ВКо. (1)
3. Матрица жёсткости подвеса
В общем виде матрица жёсткости подвеса С размерности 6x6, содержащая элементы с^, симметрия на (с^- = с^) и определяет зависимость сил и моментов от линейных перемещений и углов поворота ИМ относительно положения равновесия [р, М]т = С * [р, р]т, где матрица жёсткости С имеет вид
Сц С12 ^13 С14 С15 С16
С21 С22 С23 С24 С25 С26
С = С31 С32 С33 С34 С35 С36
С41 С42 С43 С44 С45 С46
С51 С52 С53 С54 С55 С56
. С61 С62 С63 С64 С65 С66
(2)
Верхнюю левую четверть матрицы составляют коэффициенты поступательной жёсткости (сц ,С22 ,сзэ ,С12 ,С1э ,С2э), нижнюю правую четверть составляют коэффициенты поворотной жёсткости (С44,С55,Сбб,С45,С46,С5б). Остальные коэффициенты могут быть названы коэффициентами перекрестной, поворотно-поступательной жёсткости (С14,С15,С16,С24,С25,С26,С34,С35,Сзб)-
Для дальнейшехх) анализа сделаем ряд предположений:
- упругие элементы подвеса выполнены без технологических погрешностей и перекрестные связи между различными поступательными и вращательными движениями ИМ отсутствуют,
- расположение упругих элементов подвеса ИМ и их форма, обеспечивающая коэффициент жёсткости С33, значительно больший, чем сц и С22, приводит к тому, что ИМ будет иметь лишь две поступательные степени свободы и одну вращательную,
- полное совпадение упругих свойств элементов подвеса и их симметричное расположение относительно центра масс ИМ приводит к отсутствию вращения ИМ относительно указанной ранее степени свободы.
При принятых допущениях матрица жёсткости подвеса С будет иметь вид
С =
сц 0 0
0 0
С22 0 0 сээ
(3)
Упругие элементы подвеса АММГ должны обеспечивать линейное перемещение ИМ по двум осям (0Х и 0У) и препятствовать перемещению по оси 0^, а также её вращательному движению.
Матрица податливости кремния имеет следующий вид:
#' =
" 5ц #12 #13 #14 #15 #16
^21 ^22 ^23 ^24 ^25 ^26
^31 ^32 ^33 ^34 ^35 ^36
#41 #42 #43 #44 #45 #46
СЛ ^52 ^53 #54 ^55 ^56
_ ^61 ^62 ^63 #64 ^65 #66 _
(4)
где ¿11 = ¿22=#33 = 0,762 • 10-11 Па-1, #12 = #13=#23=#21 = #31=#32 = -0,214 • 10-11 Па-1, #44 = #55=#66 = 1, 255 • 10-11 Па 1, #14 = #15=#16=#24 = #25=#26=#34 = #35=#36=#45 = #46 = = #56 = #41 =#51=#61 =#42 = #52=#62=#43 = #53=#63=#54=#64=#65 = 0 [5].
Для направления, заданного направляющими косинусами /, т и п, модуль упругости кремния равен [5]
Е =
12 (I2511 + т2512 + п25хз) + т2 (12^х + т2$22 + п2$гз) + (¿2^31 + т25з2 + п25зз) + т2п2£44 + п2I2Б55 + I2т25вв '
Для направления, заданного направляющими косинусами I = 1, т = 1 и п = 1, модуль = 2,1 • 1010 Па. Матрица направляющих косинусов имеет вид
(5)
Тогда константа упругости #12 равна компоненте тензора упругости четвёрного порядка #1122 и равна с учётом нулевых элементов матрицы направляющих косинусов: #12 = #1122 = а21 • а22 • #12 = -0,214 • 10-11 Па-1. Коэффициент Пуассона
ап «21 «31 1 0 0
«21 «22 «23 = 0 1 0
«31 «32 «33 _ 0 0 1
1122
11
22
д' = -#12 • Е = 0,0449, модуль сдвига равен: С = щ+^ту = 1 • 1010 Па [5].
4. Жёсткость криволинейного элемента подвеса
Из физических соображений понятно, что для обеспечения возможности перемещения ИМ по осям 0Х и 0У необходимо использовать криволинейные подвесы, пример которых приведён на рис. 2 [4].
1
Рис. 2. Общий вид криволинейного подвеса
Для такой формы подвеса коэффициент жесткости при деформации изгиба будет равен
с — (6)
^-пр.изг. — —2 ' V /
Чтобы обеспечить равножёсткость подвеса, целесообразно использовать ¿-образный упругий элемент подвеса ИМ, приведённый на рис. 3, как совокупность двух
криволинейных подвесов с коэффициентами жёсткости при деформации изгиба
— —
дет равен [4]
Спр.изг.1 • СПр.изг.2 2ЕНЪ . .
с2 (*)— ~с—гг7—;— ' (7)
Иф.изг.1 + Иф.изг.2 9 ъ В
Рис. 3. ¿"-образный упругий элемент подвеса ИМ
При перемещении ИМ вдоль оси 0 У коэффициент матрицы жёсткости С22 в соответствии с принципом суперпозиции будет равен сумме п коэффициентов жёсткости упругих элементов подвеса ИМ:
^ 8 ЕИЬ3
С22 — ^ С2№ — ' (8)
к=1
Тогда при Ь — 10-5 м, Н — 2 • 10-4 м, I — 10-3 м, В — 5 • 10-4 м с22 — 15 Н/м.
При перемещении ИМ вдоль оси 0Х деформация изгиба будет иметь вид, показанный на рис. 4.
Рис. 4. Деформация изгиба упругого элемента подвеса ИМ при перемещении ИМ вдоль оси 0Х
В этом случае сила упругости изгиба ^упр (д.), действующая па ИМ при перемещении заделки к ИМ к-го упругого элемента подвеса вдоль оси 0Х на расстояние х(к), будет равна
^упр (к) — с2 (к) • ' (9)
При перемещении ИМ вдоль оси 0Х сумма проекций этих сил упругости па ось 0 У для всех четырёх упругих элементов подвеса ИМ будет равна нулю, а проекция этой силы
упругости на ось 0Х для к-го упругого элемента подвеса ИМ будет равна
р С2 (к) • А1Х (к) • Х(к) 2ЕЫ? . 1 ■ . т п т
х (к) = -Г^Г+^Т = -9Ж • I 1 - Я—р-) • Ж(А)' (10)
у1 + х(к) \ у1 + х(к)
где Д1х(к) - увеличение длины к-го упругого элемента подвеса ИМ при перемещении его заделки к ИМ вдоль оси 0Х па расстояние х(к).
Общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при её перемещении вдоль оси 0Х, по принципу суперпозиции будет равна
п -1
X,
^ „ 8ЕкЪ3 I . I
^Р* = ъ^р -« = • I1 - ) •(11)
Ь=1 \ л/ь + X.
Коэффициент сц будет нелинейным.
Аналогично рассмотренному ранее случаю использования прямоугольного прямого подвеса С33 будет существенно превышать сц, что позволяет сделать предположение об отсутствии у ИМ степени свободы на линейное перемещение вдоль оси 0Х.
5. Жёсткость криволинейного элемента подвеса, расположенного под углом
В случае крепления упругих 5-образных элементов подвеса по углам ИМ под углом а = 4 к ос и 0Т Xт (рис. 5) уравнение силы упруго сти изгиба ^уир (¿), действующей на ИМ при перемещении заделки к ИМ к-го упругого элемента подвеса вдоль оси 0Х на расстояние Х(к), будет также определяться соотношением (10). Деформация упругого элемента подвеса
приведена на рис. 6.
Рис. 5. Вариант расположения упругих элементов подвеса по углам ИМ
Рис. 6. Деформация изгиба упругого элемента подвеса ИМ при перемещении ИМ вдоль оси 0Х
при расположении упругих элементов подвеса по углам ИМ
При перемещении ИМ вдоль оси 0Х на расстояние Ах (Ах не превышает значения I ■ cos a) проекция силы упругости изгиба подвеса Fynp (fc) на ось 0Х будет равна [6]
2 Ehb3 / I \
^упр х (fc) = - ■ 1 - /д 2 , )2 , ■ , == ■ {I ■ cosa ± Ах) . (12)
9 I В2 \ л/Ах2 + 12 - 2 ■ Ах ■I ■ cosa J
Общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при
0 Х
4Ehb3 / I ■ ( I ■ cos a - Ах) I ■ (I ■ cos a + Ах)
Fynp x — "гт^г ■ 2 ■ Ах +
9 l В2 V \/Ах2 + /2 - 2 ■ Ах ■ I ■ cos a \/Ах2 + /2 + 2 ■ Ах ■/■ cosa,
(13)
Ансьчогичным образом общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при её перемещении вдоль оси 0 Y, по принципу суперпозиции будет равна
_ 4 Ehb3 / I ■ ( I ■ sin a - Ау) l- (l ■ sin a + Ay) \
™ У = 91 В2 Д - У + ^Ay2 + P - 2 ■ Ay ■/■ sin a - sjAy2 + P + 2 ■ Ay ■/■ sinaj '
(14)
Как и ранее, жесткость С33 то оси 0 Z будет существенно превышать сц и С22, что позволяет сделать предположение об отсутствии у ИМ линейного перемещения вдоль этой
6. Моделирование динамики ИМ АММГ
AY, нм 220
190
160 150 140 130 120 110 100 90 80
10
1
/
/ ч
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Рис. 7. График зависимости амплитуды колебаний ИМ 0У вдоль выходной оси от угла расположения упругих элементов ее подвеса а.
Было проведено моделирование динамики ИМ АММГ с расположением ^-образных упругих элементов подвеса по углам ИМ в программной среде БитшИпк [7]. При моделировании были использованы следующие значения параметров: масса т = 2 ■ 10-6 кг (ИМ);
коэффициенты демпфирования по осям х и у соответственно /лх = /лу = 5 ■ 10-5 Н-с/м;
угловая скорость вращения АММГ вокруг оси чувствительности = 1°/с; сила, создаваемая датчиком силы (ДС) Ра = 150 • 10-6 Н;
расстояние от начального положения ИМ, на котором расположены датчики положения (ДП) хт= 10 • 10-6 м;
входное напряжение ДС ^пдс = 5 В;
коэффициент преобразования ДС йдс = 30 • 10-6 Н/В;
коэффициент преобразования ДП йдп = 900 В/м;
коэффициент преобразования оптического преобразователя ^оп = 100; постоянная времени ДС Т2 = 10-8 с.
На рис. 7 представлен график зависимости амплитуды колебаний ИМ вдоль выходной оси 0У от угла расположения упругих элементов подвеса.
Амплитуда колебаний ИМ 0У вдоль выходной оси достигает своего максимума при угле а = 48°24'.
7. Выводы
Проведенные исследования и разработанная методика расчета показали, что выбор угла расположения элементов подвеса позволяет осуществить оптимизацию жескостных характеристик подвеса, существенным образом влияющих на параметры и характер движения ИМ. Особенно важным представляется результат, показывающий наличие области значительного возрастания амплитуды колебаний по выходной оси (оси 0У) при угле а ~ 48°. Амплитуда колебаний 210 нм обеспечивает высокую чувствительность прибора и хороший динамический диапазон измерения. Таким образом, использование данной методики даёт возможность целенаправленно проводить процесс проектирования подвеса ИМ микромеханических приборов.
Работа, отраженная в данной статье, признана лучшей на Всероссийском конкурсе научных и инновационных проектов студентов, аспирантов и молодых ученых (МФТИ-2012).
Литература
1. Скалон А.И. Создание микромеханических инерциальных датчиков нового поколения на основе автоколебательных электромеханических систем динамического уравновешивания // Известия ГУАП. Аэрокосмическое приборостроение: науч. журнал. — 2011. - СПб.; ГУАП.
2. Тыртычный А., Скалой А. Микромеханические гироскопы: состояние разработок и перспективы развития // Датчики и системы. — 2012. — № 2. — С. 59-68.
3. Тыртычный А.А. Анализ характеристик автоколебательного микромеханического гироскопа // Приборы. — 2010. — № 4. — С. 37-44.
4. Левшина E.G., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин. — Ленинград: Энергоатомиздат, 1983.
5. Степин П.А. Сопротивление материалов. — М.: Интеграл-Пресс, 1997.
6. Tirtichny A. Choise of suspension's elements of autooscillating micromechanical gyroscope's inertial masses // Modern Information Society Formation — Problems, Perspectives, Innovation Approaches. — 2012. — P. 53-59.
7. Тыртычный А.А. Выбор элементов конструкции микромеханических автоколебательных инерциальных датчиков // Труды МАИ: электронный журнал. — 2010. — № 38.
Поступим в редакцию 10.04-2013.
