CC BY
44
УДК 519.2
Г. А. Попов, Е. А. Попова
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ УРОВНЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ПРИНЦИП ТЯГОТЕНИЯ
Разрабатываются методы поиска оптимальных уровней притяжения в системах развития, опирающихся на принцип тяготения к заданным уровням по фиксированной совокупности показателей. В качестве основной характеристики развития системы взята функция числа субъектов, достигших в заданный момент времени определенного уровня развития по всей совокупности показателей. Предложены решения уравнений частной производной, полученных ранее для среднего числа субъектов в системе, имеющих заданный уровень развития в произвольный момент времени. В качестве входных параметров системы рассматривается функция, описывающая распределение субъектов с различным уровнем заданных качеств, интенсивность обучения субъектов и среднюю интенсивность восприятия обучающего воздействия субъектом. Приведены формализованные постановки задач выбора оптимального набора уровней притяжения по заданной совокупности показаний. Рассмотрены два варианта целевой функции, по которой проводится оптимизация: максимальная суммарная величина уровня развития всех субъектов в конце заданного регламентного промежутка; максимальное суммарное значение указанной величины по всему регламентному промежутку. На основе предложенных решений уравнений описана общая процедура решения полученных оптимизационных задач. Для случая одного уровня притяжения приводится полное решений поставленной задачи выбора оптимального уровня с использованием пакета МаШСаё.
Ключевые слова: принцип тяготения, заданный уровень развития, среднее число субъектов, формализованная модель, оптимизационная задача, развиваемые качества, управляемые уровни развития.
Введение
Проблема выбора принципа (назовем его принципом развития), определяющего направление и интенсивность развития конкретной системы («направление притяжения») является одной из наиболее важных для любых систем. Это направление притяжения может быть обозначено в виде определенной цели или - более сложно - совокупности целей. Цели могут быть формализованы до уровня определенных целевых функций. В свою очередь, процесс достижения целевых значений этих функций часто сводят к процессу контроля некоторого набора (целевых) показателей, которые и определяют конкретное содержание действий всех субъектов, связанных с данной системой. Таким образом, содержание описанной пирамиды, всех происходящих в ней процессов, а также куда (в какое состояние) придет система в результате своего развития в существенной степени определяются выбранным принципом развития. Некоторые примеры принципов развития: тяготение к идеальному состоянию, к некоторому (заданному) уровню (или уровням) развития, максимальное удаление от некоторых нежелательных состояний, обеспечение стабильности. Данная работа опирается на принцип тяготения к некоторому набору состояний. Этот принцип частично охватывает также принцип идеального состояния для случая, когда это идеальное состояние может быть описано некоторым набором уровней.
Приведем примеры социально-экономических систем, опирающихся на принцип тяготения. А. Профессиональный спорт: основными целями подготовки спортсмена, обусловливающими его спортивные достижения, являются: 1) физическая подготовка; 2) волевая подготовка; 3) быстрота реакции; 4) уровень спортивного мышления; 5) спортивные параметры субъекта; 6) умение контролировать себя в экстремальных спортивных ситуациях; 7) нацеленность на высокие достижения. Каждое из перечисленных качеств имеет свои специфические методы развития и совершенствования. Таким образом, в сфере спортивной подготовки базовым является принцип тяготения к некоторым уровням по перечисленному набору из семи показателей.
Б. Рыночная экономика: основной принцип, которым руководствуется хозяйствующий субъект в рыночной экономике, - получение максимальной прибыли. Однако указанная цель в процессе практической реализации в современных условиях в развитых странах дополняется совокупностью ряда требований и стимулов, среди которых выделим: 1) соблюдение правовых
и нормативных требований; 2) поддержание должного имиджа; 3) стабильность государственной и социально-политической среды хозяйственной деятельности субъекта; 4) уровень криминальной опасности. Каждое из перечисленных качеств (требований и стимулов) имеет свой уровень достижения. Более того, низкий или недостаточно высокий уровень хотя бы по одному из этих качеств может явиться причиной сворачивания бизнеса. Вследствие этого рыночную экономику можно описать моделью развития, основанной на принципе тяготения, где целевыми функциями являются степень отклонения (точнее, «недостижения») определенного уровня по каждому из перечисленных пяти качеств (включая уровень прибыли).
Аналогичным образом можно описать моделями притяжения сферы образовательной деятельности, медицинского обслуживания, туристической деятельности и др.
Ранее одним из авторов настоящего исследования были получены дифференциальные уравнения, описывающие поведение во времени ряда характеристик указанных моделей при наличии заданных фиксированных уровней притяжения по каждому качеству (показателю) [1]. Представляет интерес анализ решений полученных уравнений и выявление оптимальных уровней по каждому показателю с учетом возможных затрат, связанных с достижением указанных уровней. Указанная задача и рассматривается в данной работе. Таким образом, целью работы является анализ решений и оптимальный выбор уровней развития на основе исследования построенной ранее математической модели развития системы, функционирующей на основе принципа тяготения к заданному набору состояний.
Исследований по построению формализованных моделей функционирования систем на основе определенных принципов или целевых функций крайне мало (см. [2]). Наиболее близкими являются работы [1, 2]. Представляют интерес по теме исследования работы [3-5].
Основные предположения
Приведем формализованное описание рассматриваемой в работе модели.
Рассматривается система, состоящая из некоторой совокупности субъектов. Каждый субъект характеризуется определенным набором свойств и качеств Q1, Q2, ..., QK, в котором количество контролируемых качеств фиксировано. Примеры формирования указанных качеств для различных сфер приведены в [1].
В модели предполагается, что среда деятельности субъекта нацелена на развитие каждого из качеств Qi. В рамках рассматриваемой модели понятие развития сводится к оценке отклонения текущего уровня качества Qi от заданного (желаемого) с помощью некоторой функции, и тогда понятие «развитие качества Qi» означает уменьшение значения целевой функции по данному качеству. Процесс изменения качеств у каждого субъекта вызывается определенным набором воздействий на него. Все множество возможных воздействий разделено на две группы: внешние воздействия (со стороны других субъектов, государственных и иных внешних структур, текущих жизненных обстоятельств) и внутренние воздействия, порождаемые непосредственно внутри субъекта на основе определенных стимулов, воззрений, рассуждений.
Возможный потенциал развития качества Qi у каждого субъекта характеризуется некоторым максимальным уровнем развития данного качества. Обозначим как уровень развития по качеству Qi у субъекта; очевидно, что 0; > (?) для любого ? > 0. Тогда предполагается выполнение следующих предположений относительно процесса изменения в условиях наличия воздействий на субъект, суммарная величина которых в момент ? равна Zi(í) [1].
Для каждого i изменение уровня развития ^го качества Qi за малый промежуток времени Д? прямо пропорционально следующим величинам:
1. Достигнутому уровню развития ^го качества:
к
Дуг-(?) ^ ^ т^У] (?), или, в векторной форме, Ду(?) ^ Я ■ ), (1)
}=1
где знак ^ указывает на пропорциональную (линейную) зависимость левой части от правой, а Г] - константы, не зависящие от времени
2. Оставшимся потенциальным возможностям субъекта 0; — (?) по каждому из качеств Qi.
3. Величине суммарного воздействия Zi(t).
4. Длительности воздействия Аг.
Анализ и обсуждение данных предположений проведены в [1]. При сделанных предположениях в [1] была получена следующая система дифференциальных уравнений:
V' (г) = С X (г) (0, - V,. (г)) г, (г), • = 1К. (2)
1=1
Для анализа динамики развития качеств в системе в целом в [1] была введена следующая характеристика: X(у, г, 0) (у = (уру2,..., ук),0 = (0Р 02,..., 0К)) есть число субъектов, достигших в момент г некоторого уровня развития г = (г2,..., гк) такого, что < у1 для всех • и имеющих потенциальные возможности 0 (0, > у1 для всех •). Здесь индекс • у переменных 0,, X, у,, г, указывает на то, что эти переменные связаны с качеством Qi. При этом функция X(у, г, 0) удовлетворяет следующему граничному условию: X(0, г, 0) = 0 для любого г > 0. Предполагаются выполненными следующие условия:
1) в начальный момент г = 0 все субъекты имеют уровни развития по каждому признаку Qi, пропорциональные их полным возможностям 0,, с некоторым универсальным коэффициентом пропорциональности а,, что влечет за собой равенство
Гх(0), если и. > а• -0, для всех ,, X (и ,0, 0) = ^ г г г* (3)
[0, если и{ < а, • 0, хотя бы для одного ,,
где а, (0 < а, < 1;, = 1;К) - константы; х(0) - заданная функция, описывающая распределение (количество) «новорожденных» субъектов (хозяйствующие субъекты, спортсмены и др.) по потенциальным возможностям по качествам Qi;
2) доля субъектов, воздействие на которые имеет «эффект воздействия (КПД)», лежащий в промежутке [т,,т, + йт) по качеству Qi (0<т, < 1;, = 1;К), равна й¥(т), где т = (т1,т2,..., тк) и ¥ (т) - заданная функция, описывающая распределение всех субъектов по степени воспринимаемого воздействия по качествам Qi (, = 1; К );
3) для каждого качества Qi задан некоторый уровень Ь,, на который ориентируются все субъекты; это выражается в том, что величина воздействия Zi(t) в момент г на субъект с уровнем развития vi(t) равна: (г) = с2 ! (Ь, - VI (г)), где с2,, - некоторая абсолютная константа, зависящая от суммарной средней величины внешнего воздействия и различающаяся в случаях Ь, > Vi(t) и Ь. < V, (г).
Уровень Ь, может находиться внутри области возможных значений качества Qi, что для субъектов с уровнем качества Qi большим, чем Ь,, приводит к деградации качества Qi у этих субъектов. Элементы совокупности {Ь,; , = 1; К } являются управляющими параметрами модели, с помощью которых можно контролировать процесс развития качеств Qi в рассматриваемом коллективе субъектов.
В [1] было получено следующее уравнение в частных производных для функции X (у, г, 0):
дX (г, г, 0) К ^(г, г, 0), К ^ ^ чч п
—^-" + -- (с, 'У, X ^ (0, - г )(Ь, - г,)) = 0, (4)
Эг 7=2 Эг; ^
1
где у, = | т1й¥ (т) - средняя величина воздействия по качеству Qi.
0
Таким образом, решение уравнения в частных производных (4) при начальном условии (3) и граничном условии X (0, г, 0) = 0 для любого г > 0 позволяет найти функцию X (г, г, 0), где функции { VI (г) } находятся как решения системы (2).
Поиск решения уравнения для X(1, £, 0)
Для решения системы (4) необходимо прежде всего найти первые интегралы следующей системы дифференциальных уравнений [6]:
у =-—-^-, i = 1К. (5)
Z riJzJ + rüzi (0- z)(b>- z)
V i =1- i /
Разложим выражение в правой части равенства (5) на простейшие дроби. Для того чтобы не загромождать преобразование несущественными деталями, ниже индекс i опускается и вво-
к
дится обозначение А = ^ г^г^. Имеем:
]=1. ] * I
C1 , C2 . C3
(А + r z )(0- z)(b - z) А + rz 0-z b - z'
+ + (6)
где С{ О' = 1, 2, 3) - неизвестные константы. Для нахождения С1 умножим обе части (6) на выражение (А + г г), получим
1 ^ С2 (А + гг) С3 (А + гг) = С + ^-- + -
(0 — г)(Ь — г) 1 0 — г Ь — г '
откуда, полагая г = — А / г , выводим:
С! =7-1-Т. (7)
1 (0 + А / г )(Ь + А / г)
Аналогично, путем последовательного умножения обеих частей (6) на 0 — г и Ь — г , получаем:
С2 = (А + г0)(Ь — 0) , Сз =(А + гЬ)(0 — Ь)' (8)
С учетом (7) и (8) соотношение (5) можно записать в следующем виде (индекс i опущен):
dz
( 1 1 11 11 ^
- + -,-^-Т-+ -
(0 + А/гг)(Ь + А/ гг) А + гг (А + г0)(Ь — 0)0 — г (А + гЬ)(0 — Ь) Ь — г Отсюда, после интегрирования, получаем
= dt. (9)
ln(А + rz) + -,-TT-тln|0- z| + -,-TT-Tln|b- z| = t + G0,
(0г + А)(Ьг + А) (А + г0)( Ь — 0) 1 1 (А + гЬ)(0 — Ь)
где О0 - некоторая константа. Умножив обе части последнего соотношения на 0 — Ь и пропотенцировав, имеем
г (0—Ь)
/А . ч(0г+А)(Ьг+А) I; |А+гЬ |—(А+г0) —(0—Ь) ^
(А + г г) Ь — г 0 — г\ ■ е - О,
где О = е~О° - некоторая константа. Наконец, возвратив индекс i, окончательно получаем первые интегралы уравнения (5) (i = 1; К):
1
r
т (г, 0, Ь, i=1 К, г) =
г (0 —Ь)
к
X ^+г г
VМ/*
к V к
^№ Г +]] ^ J \Ь — г? |
]=Ш
IА -7 И • X ^ +п0 I ¿т<0 —Ь)? -г
г, — Ц J е =° (10)
Тогда общее решение уравнения (5) запишется в виде X (г., 0,, Ь., i = 1; к, г) = f (Т., i = 1; к)), где f (■) - любая абсолютно непрерывная функция от к переменных.
Для нахождения частного решения рассматриваемой задачи воспользуемся начальным условием 1, и, ввиду (10), выводим:
X (г, 0г, Ь, i = 1; к,0) = f (Т, i = 1; к)) =
= f
( к
га (0 ~Ь,)
X
V ]'=!. 1 *
г~г- + г г-
уЪ I I
0Л + .¿.у J[ Ьг + .¿.у
к ( к
\Ь1 — 4=^'+гЬ |0г — гi Ку^ +гАJ, i = 1; к
| х(0г, i = 1; к), если а.0, < г < ш1п(Ьг, 0г) для всех i = 1; к, [0, если гг < аг0г хотя бы для одного iе {1,2,...,к}.
(11)
Поскольку функция ^ ) монотонно возрастает по всем переменным ц, то последнее соотношение можно переписать в виде
f (Т, i = 1; к))
= I х(0,., i = 1; к) , если Т{ (г = аг0г) < Т (г) < Т (г = ш1п(Ь., 0.)) для всех i = 1; к, г=0 [0 в противном случае,
где в условии при записи функции Т. все остальные переменные опущены.
Из последнего соотношения, после замены переменных и. = Т.(г1, ..., гк), . = 1; к , получаем:
/(г 0 Ь г=¥к) == Iх(0,.=1;к) , если и(а.0) < и < и(ш1п(Ь, 0)) для всех .=1;к, (12)
[0 в противном случае,
где и (у) = г{ (и1, и2,..., иг—1, V, иг+1,..., ик) и { г{ (и1, и2,.., ик), г = 1; к } есть решение системы уравнений
( к
\
гй (0,. —Ь,.)
X
V '=!. у'
г--г- + г. г-
¡У^У I I
0,г, + . X. ! || Ь,г- + . X. ! | ^ _ г\н ^ - -1 .У»**'
к [ к
|0,. — -[у=i5*i'уг'+г'0J = и, , = 1;к .
(13)
Отметим, что значения правой части (13) при г, = Ь, и ^ = 0, находятся по непрерывности.
Решение уравнение (13) для к > 1 пока не представляется возможным. Для к = 1 решение приведено в (1). Однако численное решение системы (13) при к< 10 ^ 15 может быть получено на основе математических программных систем МаШСаё, МаШЬаЬ.
Соотношения (11)—(13) позволяют найти искомую функцию X(г,,0г,Ь1,г = 1;к,г). Для этого вначале на основе (12), (13) находится функция^ ), а затем из соотношения (11) - функция^ ).
Выбор оптимальных уровней достижения
Полученные выше соотношения для функции Х( ) позволяют поставить задачу выбора оптимального набора уровней достижения Ьг, . = 1; к .
к
к
к
к
Предположим, что известна некоторая весовая функция п ( ), определяющая вес каждого из состояний системы развития. Состояние в каждый текущий момент времени г потенциально зависит от заданных уровней достижения Ь,, причем указанные характеристики являются управляемыми параметрами системы, а также зависит от достигнутого уровня развития X,
т. е. определяется набором (Ь,, , = 1; К ; X(, 0], Ь1, 1 = 1;К, г)). Таким образом, п() = п(Ь; ,, = 1; К, X (1}, 01, Ь1, 1 = 1; К, г). Отметим, что функция п ( ) является возрастающей
(точнее, неубывающей) по переменным Ь,.
Далее, задан некоторый регламентный промежуток времени [Гнач; Гкон], в конце которого необходимо достичь: I) либо заданного конечного состояния системы; II) либо максимальной суммарной величины уровня развития на всем промежутке - эта суммарная величина определяет потенциал развития на регламентном периоде. При этом для простоты предполагаем, что на промежутке [Гнач; Гкон] величины уровней развития Ь, и приложенные усилия г, не изменяются. Тогда можно записать следующие оптимизационные постановки задач развития для случаев I и II:
Ь Ьк 0 вК _____
| ... | |... | п( Ь,, = 1; К, X (г., 01, Ьу, 1 = 1; К,Т^) й^,..., йгХ (г., 0., ^, 1 = 1; К, ) ^ тах;(14)
01 =0 0К =0 г.=п 1к=п
bK 9i
■И
01=0 0K =0 Ко
кон b bK П К _____
J J ... J J... J п(b,i=1;K,X(zj, 0, bj, j=1;K, t))d%,..., d^X(zj, 0, b, j=1;K,t)d%, •••, d^, •••, d0Kdt ^max, (15)
где максимум берется по управляемым параметрам {bi}. Постановка I представляет интерес при оперативном управлении, когда управляющие воздействия формируются на основе последовательных воздействий на малых интервал управления. Постановка II соответствует стратегической линии развития требуемых качеств и определяется выбранной политикой в развитии заданных свойств. Например, если рассматривается модель развития спорта, описанная выше в примере А, то предпочтение может отдаваться развитию наиболее одаренных в спортивном плане лиц как основных локомотивов инновационного развития - в этом случае весовая функция п ( ) по переменным {0 ■} при больших значениях этих переменных может иметь более высокий порядок роста (вплоть до экспоненциального), чем при малых значениях. Обратное поведение функция будет иметь в случае, когда предпочтение отдается развитию прежде всего массового спорта. Далее, часто функция п ( ) считается независимой на регламентном промежутке от
достигнутого текущего уровня развития X (Zj, 0j,bj, j = 1; K, t). Задача (15) представляет значительно больший, чем задача (14), поскольку все основные проблемы развития заданных качеств (в частности, подготовки спортсменов, обучения и воспитания) решаются в течение длительных промежутков времени, т. е. решаются на основе стратегического управления.
Ввиду соотношений (11)—(13) задачи (14) и (15) относятся к задачам классической оптимизации функций от многих переменным. Точное их решение затруднительно из-за сложного и громоздкого вида функции. Однако полученные соотношения позволяют провести численное моделирование.
Пример для случая одного параметра
Для случая одного параметра (т. е. K= 1) соотношения (11)—(13) могут быть разрешены, что приводит к соотношениям, полученным в [2]:
— в случае z < min (b, 0)
Гх(0) при T(z,0,0)e~aTb0t > T(а0, 0, 0), X (z, t, 0) = \ Р (16)
[0 при T(z,0,0)e-aib0t < T(а0, 0, 0),
— в случае 0> b и b < z <0
X (г, г, 0) =
Гх(0) при Т(г,0, 0)е~а*0г > Т(а0, 0, 0),
[0 при Т(г, 0, 0)е"ауЪ0г < Т(а0, 0, 0),
(17)
где
Т(г, 0, 0) =
г (0- г)0-Ъ 0
\Ъ - г| ^
В качестве примера рассмотрим показатель уровня образования, т. е. X (у, г, 0) описывает среднее число субъектов в момент времени г, имеющих потенциал 0 (т. е. объем максимально возможных знаний, которые они могут воспринять) и реальный уровень образования у < г.
Примем, что функция х(0), задающая долю субъектов с уровнем развития 0, является
экспоненциальной: х(0) = е~е'0, где е - константа, описывающая эластичность уменьшения доли субъектов с заданным потенциалом. Далее примем, что политика образования предполагает равное обучение всех субъектов независимо от их потенциала и уровня образования, т. е. весовая функция г, Ъ, 0) = 1/(ЪХ(г, Ъ, 0,0)) не изменяется во времени. Тогда целевая функция (15) перепишется в виде
Ткон Ъ 0
ш
1
ЪХ (г, Ъ, 0, 0)
йХ (г, 0, Ъ, г)й0йг ^ тах.
Возьмем значения параметров равными: Тнач = 0, Ткон = 11; е = 0,01; а = 0,1. На рисунке приведен график функции. Отметим, что для вычисления функции Т(г, 0, 0) была написана программа в среде МаШСаё для решения задачи Б (см. (15)) с использованием (16), (17), когда Ъ е [0,5;5].
400
Т(г, гг) 200
0.5
График функции Т(г, 0, 0) при Ъ = 4, г = Ъ/5
Ъ
8 = 0 0
0
0
Полученное решение Ъ = 4,71. Таким образом, разработанные процедуры нахождения оптимального уровня позволяют численно находить оптимальный уровень притяжения.
Заключение
В работе приведено решение полученного ранее уравнения в частных производных для распределения субъектов по уровню развития их различных качеств. Поставлены две оптимизационные задачи по выбору оптимального набора уровней развития, в первой из которых достигается максимальный уровень развития в конечный момент заданного регламентного промежутка, а во второй - максимальное значение суммы уровней по всем субъектам на всем регламентном промежутке. Для случая одного показателя качества продемонстрирована возможность решения второй оптимизационной задачи. Результат решения проиллюстрирован графически.
Решение поставленной в работе задачи открывает возможности для постановки оптимизационных задач, связанных с выбором оптимальных управлений, обеспечивающих наибольший суммарный объем требуемых качеств в любом из возможных аспектов, в частности на определенный момент времени; по всей или определенной части совокупности субъектов; по суммарным характеристикам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов Г. А. Формализованная модель развития системы, опирающейся на принцип тяготения к заданным уровням / Г. А. Попов // Науч. вестн. Новосибир. гос. техн. ун-та. 2015. № 3 (60). С. 166-177.
2. Попов Г. А. Модель оценки уровня развития самообучающейся системы / Г. А. Попов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2008. № 2 (43). С. 251-257.
3. Попов Г. А. Классификация функций и задач вуза на основе метода Сагатовского / Г. А. Попов, Е. А. Попова // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 1. С. 7-17.
4. Лаптев А. А. Математическое моделирование этносоциальных процессов / А. А. Лаптев; Омск. гос. ун-т. Омск, Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2904 - В97. 26 с.
5. Гуц А. К. Глобальная этносоциология: учеб. пособие / А. К. Гуц. Омск: Изд-во ОмГУ, 1997. 212 с.
6. Петровский А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. И. Петровский. М.: Наука, 1973. 272 с.
Статья поступила в редакцию 14.01.2016
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Попов Георгий Александрович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук; профессор; зав. кафедрой «Информационная безопасность»; popov@astu.org.
Попова Екатерина Александровна - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; старший преподаватель кафедры «Информационная безопасность»; e.popova@astu.org.
G. A. Popov, E. A. Popova
CHOICE OF OPTIMAL LEVELS OF GRAVITATION
IN SOCIAL AND ECONOMIC SYSTEMS BASED ON THE PRINCIPLES OF GRAVITATION
Abstract. The paper presents the methods to find the optimal levels of gravitation (attraction) in the systems of the development, based on the principle of gravity (attraction) to a predetermined level at a fixed set of the parameters. As the main characteristics of the system development, the function of the number of subjects, reached a certain level of development of the whole set of indicators at a given time, is taken. Solutions of partial derivative equations derived earlier for the average number of entities in the system, having a given level of development, at any given time are proposed. As input parameters of the system, the paper considers a function describing the distribution of subjects with different levels of the given quality, the intensity of the training the subjects and the average intensity of the perception of the impact of the training subject. The formal tasks of choosing the optimal set of the levels of gravity (attraction) for a given set of readings are stated. The paper examines two variants of the objective function, the optimization of which takes place: the maximum total value of the level of development of all subjects at the end of the given period of routine and the maximum total value of the quantity over the interval routine. Based on the solu-
tions of the equations, the general procedure for solving optimization problems is described. In the case of one level (of attraction) there is a complete solution of the task of the choice of the optimal level with the use of package MathCad.
Key words: principle of gravity, set level of development, average number of subjects, formalized model, optimization problem, developed parameters, controlled levels of development.
REFERENCES
1. Popov G. A. Formalizovannaia model' razvitiia sistemy, opiraiushcheisia na printsip tiagoteniia k zadannym urovniam [Formalized model of development of the system based on the principle of gravity to predetermined levels]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, no. 3 (60), pp. 166-177.
2. Popov G. A. Model' otsenki urovnia razvitiia samoobuchaiushcheisia sistemy [Model of evaluation of the level of self-training system development]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2008, no. 2 (43), pp. 251-257.
3. Popov G. A., Popova E. A. Klassifikatsiia funktsii i zadach vuza na osnove metoda Sagatovskogo [Classification of functions and tasks of the university based on the method by Sagatov]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2009, no. 1, pp. 7-17.
4. Laptev A. A. Matematicheskoe modelirovanie etnosotsial'nykh protsessov [Mathematical modeling of ethno-social processes]. Omsk, Omskii gosudarstvennyi universitet. Deponirovano v VINITI 24.09.97, N2904 - B97. 26 p.
5. Guts A. K. Global'naia etnosotsiologiia [Global ethno-sociology]. Omsk, Izd-vo OmGU, 1997. 212 p.
6. Petrovskii A. I. Lektsii po obyknovennym differentsial'nym uravneniiam [Lectures on common differentiated equations]. Moscow, Nauka Publ., 1973. 272 p.
The article submitted to the editors 14.01.2016
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Popov Georgiy Aleksandrovich — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Information Security"; popov@astu.org.
Popova Ekaterina Aleksandrovna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Senior Lecturer of the Department "Information Security"; e.popova@astu.org.
