CC BY
21
МGOU, 2009. - 246 p.
2. Androsik A.B., Vorobev S.A., Mirovitskaya S.D. Mathematical fundamentals of waveguide photonics. - М: МGOU, 2010. - 224 p.
3. Androsik A.B., Vorobev S.A., Mirovitskaya S.D. Waveguide and integrated photonics. - М: МGOU, 2011. - 370 p.
УДК 621.37
Е.А. Кытин
соискатель, ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»
В.Е. Лялин
д.т.н., заведующий кафедрой «Математические технологии
в нефтегазовом машиностроении», ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»
ВЫБОР ЧИСЛА ПОЛОСОВЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА КАНАЛА СВЯЗИ
Аннотация. В статье дана методика определения числа фильтров, формирующих спектральную плотность случайного сигнала. Предложен способ оценки погрешности воспроизведения спектральной плотности набором фильтров в зависимости от их количества.
Ключевые слова: полосовые фильтры, канал связи, спектральная плотность.
E.A. Kytin, Izhevsk State Technical University
V.E. Lyalin, Izhevsk State Technical University
DETERMINATION OF THE NUMBER OF BANDPASS FILTERS FOR THE ANALYSIS OF THE
COMMUNICATION LINK QUALITY
Abstract. The paper presents method of determining the number of filters, formation of approximating the spectral density of the random signal. A method for error estimation of the spectral density play a set of filters depending on their number.
Keywords: band-pass filters, the communication channel, the spectral density.
Одной из основных задач при повышении качества работы цифровой информационной радиотехнической системы является определение помеховой обстановки в реальных рабочих условиях. Для этого необходимо определить минимальное число параллельных фильтров, которые позволили бы проанализировать зашумленность как в поддиапазонах, так и по всей полосе канала связи. При этом количество фильтров такого анализатора должно удовлетворять заданной точности оценивания зашумленности канала. Ниже предлагается методика определения необходимого числа полосовых фильтров для анализатора качества канала связи при заданной точности измерений в канале связи.
Рассматриваемая методика основана на учете физических параметров фильтров и степени их согласованности. Сутью ее является решение задачи определения числа
фильтров п для заданного частотного диапазона Дю и определения верхней границы оценки погрешности воспроизведения спектральной плотности системой фильтров.
Для определения числа фильтров п в диапазоне Дю необходимо найти алгоритм квантования частотной оси ю переменным шагом 25,, другими словами, переменный интервал между максимумами резонансных характеристик двух смежных фильтров (рис. 1).
м
Рисунок 1 - Максимумы резонансных характеристик двух смежных фильтров
Степень разделения спектральной плотности для каждой пары смежных фильтров можно охарактеризовать отношением ординаты стыка У0к к ординате максимума Ум к, т.е.
Уок ' Умк - ск , к - 1 п -1.
(1)
или
Уо • Ум1 - с
(2)
в случае независимости У0, Ум и с от положения характеристики фильтра на частотной оси ю.
При учете вклада в резонансную характеристику /-го фильтра характеристик только /-1 и /+1 при постоянном затухании б фильтров выражение для Ум можно, в частности, для /=2 представить:
Ум 2 - б -
( ю2 У 1
1 2
ч Ю у
-4 б2 2
( ю2 У 1
1 2
Ч Ю3 У
-4 б 2 2
Ю3
(3)
Проведем некоторые преобразования для упрощения выражения (3). Предварительно заметим, что при 51 « 52 « 53
ю01 - ю1 -5,
ю02 - ю2 -51,
Ю03 -Ю3 -51.
Введем обозначения
(4)
о
a = 5 • ®oi.
b = 5 • ю-2.
Тогда выражения для YM и Y0 принимают вид соответственно (1 - a)2 (1 + 3a )2
YM = d
4a 4a (1 + 2a)'
Yo =
(1 - a)
2 - a 1 - a
(1 + a)
2 + a 1 + a
(5)
(6)
(7)
Учитывая, что b < 1, то d 2 (1-a)2 << 1 и выражение (7) можно упростить
Yo = (1 - a)2 [a (2 - a)]-1 + (1 + a)2 [a (2 + a)]-1. (8)
Принимая во внимание соотношения (6) и (8), из (2) получим приближенную формулу для определения параметра а
b = d(1-0,5с)(с-2d)-1. (9)
В случае, если с < 0,5, d _1 > 20, то
a « d • с-1. (10)
Тогда из (5)
5 «ю • d • с-1. (11)
Следовательно, шаг квантования частотной оси определяется из выражения 25, « 2w0¡ • d • с Л i = \П (12)
Для определения числа фильтров п воспользуемся иллюстрацией заполнения частотного диапазона Дю набором резонансных кривых (рис. 1). Предварительно заметим, что
Ю0(п+1) =Ю01 + 251 + ... + 25n,
= 2]Г 5,. (13)
i=1
При учете (12)
Дю= 2¿ ю0, • d • с-1. (14)
ДЮ = Ю0(п+1) - Ю01
i=1
Очевидно, что
®0/ = ®0(-1) + 25,-1 = ®0(-1) (1 + 26 •с) ■
При учете (15) выражение (14) принимает вид:
А® = ®01 (1 + 26 • с) -®01.
Из (16) определим число фильтров п
1д (А® •®011 +1)
(15)
(16)
п =
lg (1 + 2d • с-1)
Если граничные частоты ю01 и ю0(П+1) рассматриваемого частотного диапазона Дю совпадают с резонансными частотами фильтров ю1 и юп, то выражение для определения п приобретает следующий вид:
п - 2 + 1д-1 (1 + 2б • с)
Дю
Чю01
1 --
- >91 1
(18)
Пример: принимаем ю01 = 50 гц, Дю =5000 гц, с = 0,5.
Тогда при б1 = 0,05, б2 = 0,5 число фильтров, вычисленное по формулам (17) и (18), соответственно равно:
п1(17) = 15, п2(17) = 4,
п1(18) = 16, п2(18) = 3.
Оценка ошибки Дв(ю) воспроизведения спектральной плотности в(ю) может быть получена следующим образом.
Верхней границей ошибки Дв(ю) может служить величина в, равная разности площади равномерного спектра и спектра, переданного набором п фильтров:
. п
в - Ум • Дю - I У У/бю, ю е
Дю,
(19)
где
У -
/-1 \2
(1 -ю2ю(-2) + ю2ю(-2б2
Для определения в используем графический способ.
Огибающую набора резонансных характеристик п фильтров по диапазону Дю аппроксимируем ломаной (рис. 2).
У
У
сУ
1тах
ю
»01 »1 »02 »2
п 0(п+1)
Рисунок 2 - Огибающая набора резонансных характеристик п фильтров по диапазону Дю
Тогда в определится по формуле:
п У - У У - У
в-у Ум У • 25 - Ум У Дю.
Я 2 ' 2
Принимая во внимание (6) и (7), выражение (20) запишем в виде:
в -
2(1 + 2а)(а - б) + б(1 + а)3
• Дю.
(20)
(21)
4аб (1 + 2а)
Оценка ошибки воспроизведения спектральной плотности может быть получена на основании соотношения [1, 2]:
ю
ю
ю
ю
03
3
04
0п
пТ
Причем Ав(®) можно определить из (19)
А5 «=АГ У"-А®4
® 1 = 1
Следовательно,
Ав ®=пТ у- У» А®® у®[А®®
I ® 1 =1 |_ ® 1 =1
Учитывая (21), для Ав(®) получим:
Ав М=ПТ
При 6 < 0,1
2 (1 + 2а )(а - 6) + 6 (1 + а )3 4а6 (1 + 2а)
ч 1 (2а - 6
Ав (®)<—I-
w пТ^ 4а6
или при учете (10)
1 (2 - с)2
Ав (®)<-
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
пТ 1662
Как следует из формулы (25), ошибка воспроизведения спектральной плотности набором фильтров является функцией добротности, значения отношения У0^Ум на частоте стыка резонансных характеристик и длительности реализации Т, т.е.
Ав (®) = ^ (6, с,Т) ■ (28)
На рис. 3 изображены параметрические семейства зависимостей:
60 -- Т, = СОШ1
40 --
20 --
0 0,05 0,1 0,15 0,2 а
Рисунок 3 - Параметрические семейства зависимостей
A • AG., = f (d, с) при Д = пТ. = const,
A2 • AG2 = f2 (d, с) при A2 = nT2 = const,
для дискретных значений с (с. < с2 < с3). Так как n = f3 (d, c), то
A •AGk = ), k = 1,2
(29)
представляет параметрическое семейство зависимостей ошибки воспроизведения спектральной плотности от числа участков квантования, т.е. числа фильтров.
Зависимости относительной погрешности п расчета по формулам (25) и (27)
П =
AG(25) - AG(27)
AG,
(27)
изображены на (рис. 4).
(30)
п,% 60 40 20
с j=0,4
с3=0,6
С2=0,5
d
Т
Т
т
т
0,05 0,1 0,15 0,2
Рисунок 4 - Зависимости относительной погрешности п
Таким образом, дана методика определения числа фильтров, формирующих спектральную плотность случайного сигнала. Предложен способ оценки погрешности воспроизведения спектральной плотности набором фильтров в зависимости от их количества.
Список литературы:
1. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: Физматгиз, 1962. - 236 с.
2. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.
List of references:
1. Kharkevich A.A. Spectra and analysis. - Moscow: Fizmatgiz, 1962. - 236 p.
2. Sergienko A.B. Digital Signal Processing. - St. Petersburg. Peter, 2002. - 608 p.
