CC BY
67
ВРАЩЕНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ,
НЕ ОБЛАДАЮЩИХ ОРБИТАЛЬНЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ
В.В. Котляр, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева
Показано, что среди многомодовых вращающихся лазерных пучков, комплексная амплитуда которых может быть представлена как линейная суперпозиция мод Лагерра-Гаусса с определенными номерами, имеются световые пучки с нулевым орбитальным угловым моментом. Также рассмотрены примеры вращающихся лазерных пучков с нулевым орбитальным угловым моментом, представленных в виде суперпозиции мод Бесселя и гипергеометриче-ских мод. Впервые с помощью жидко-кристаллического микродисплея был сгенерирован вращающийся бесселевый пучок с нулевым орбитальным угловым моментом.
В последнее время возрос интерес к вращающимся модовым лазерным пучкам Лагерра-Гаусса (ЛГ) в свободном пространстве [1] или нелинейной среде [2], а так же к пустым (hollow) лазерным пучкам [3], эллиптическим пучкам Бесселя [4] и оптическим вихрям с эллиптической симметрией [5]. Вращение лазерных многомодовых пучков впервые рассматривалось в [6-8]. Известно также, что моды ЛГ, Бесселя и другие обладают орбитальным угловым моментом (ОУМ) [9]. Микрообъекты, помещенные в поперечное сечение таких пучков, будут совершать вращения по замкнутой траектории типа светового кольца [10].
Однако остается не выясненным вопрос о связи между ОУМ лазерного пучка и возможностью вращения распределения интенсивности в его поперечном сечении. Далее мы покажем, что из множества вращающихся световых пучков, комплексную амплитуду которых можно представить как линейную суперпозицию мод ЛГ с определенными номерами (m,n), есть световые пучки с нулевым ОУМ. Также мы приведем примеры вращающихся световых пучков с нулевым ОУМ, которые являются суперпозицией мод Бесселя и Гипергеометрических мод.
Любое параксиальное световое поле, описываемое комплексной амплитудой E(x,y), при z=0 можно разложить в ряд по базису мод ЛГ:
E (x, y) = ^ C (n, m)T nm (x, y), (1)
n ,m
где C(n,m) - комплексные коэффициенты с номерами n и m, причем m - азимутальный индекс,
^ „„ (x, У) = a-1
I I exp
(n + \m |) ішф
m
r
2a
(2)
где а = —^, ю0 - радиус перетяжки Гауссового пуч-
л/2
ка, (г, ф) - полярные координаты, Г (х) - присоединенные многочлены Лагерра. В [7] приведено условие на номера мод в уравнении (1), при которых интенсивность в поперечном сечении многомодового пучка ЛГ будет вращаться при его распространении вдоль оси г:
2(n - n') + Iml - \m 'I B =---- —■—■—- = const,
(3)
где (п,т) и (п’,т’) номера двух любых мод из линейной комбинации (1). Постоянная величина В/4 равна числу оборотов, которое совершает многомодовый пучок ЛГ от 2=0 до 1=ю. Причем половину этих оборотов пучок совершит на расстоянии от 2=0 к
до 2=20, где 20 = —2° - расстояние Рэлея, к=2п/к -
волновое число света. В [11] получено уравнение для проекции на ось 2 линейной плотности орбитального углового момента линейно поляризованного лазерного пучка на единицу мощности, состоящего из суперпозиции мод ГЛ (1):
wJz =-
^ m\C (n, m)|2
n,m
^ |C (n, m)\2
(4)
где V - циклическая частота света. Из уравнений (1)-(4) следует:
1) фазы коэффициентов С(п,т) не влияют на значения В и 32, но влияют на вид интенсивности светового поля из уравнения (1) I(х,у, г) = \Е(х, у, г)^ ;
2) число оборотов согласно уравнению (3) при вращении пучка (1) зависит только от комбинации номеров мод (п, т) и не зависит от выбора значений коэффициентов С(п, т);
3) ОУМ (4) определяется только азимутальными номерами т мод ЛГ и значениями модулей коэффициентов С(п, т)| и не зависит от выбора номеров
п. Поэтому с помощью подходящего выбора комбинации номеров (п, т) и модулей коэффициентов С (п, т)| можно реализовать различные
варианты сочетаний значений В и .
На рис. 1 приведены численные примеры. В первой строке показаны распределения интенсивности 4-хмодового пучка ЛГ с коэффициентами С(12,0)=1, С(11,2)=1, С(10,-4)=/, С(9,6)=1. Такой пучок не вращается (В=0), но имеет положительный ОУМ №1).
Во второй строке рис. 1 показаны распределения интенсивности 5-ти модового пучка ЛГ с коэффици-
ентами С(2,2)=і, С(3,1)=1, С(4,0)=-1, С(4,-2)=1, С(4,-4)=1. Такой пучок вращается влево (В=-1) и имеет отрицательный ОУМ =-3/5).
В третьей строке рис. 1 показаны сечения интенсивности 3-х модового пучка ГЛ с коэффициентами С(10,-2)=1, С(8,0)=1, С(4,2)=1. Этот пучок вращается влево (В=-3), но не обладает ОУМ =0).
И в четвертой строке рис.1 показан 2-х модовый пучок ЛГ с коэффициентами С(1,-1)=1, С(9,1)=1. Этот пучок вращается вправо (В=8) и также не обладает ОУМ (уЗг =0). Параметры моделирования: длина волны света Х=633 нм; радиус перетяжки фундаментальной моды ЛГ ю0 =0,1 мм; размер каждой картинки на рис. 1 - 1мм*1мм; расстояние, на котором рассчитывались интенсивности на рис. 1 (слева направо) г=30 мм, г=40 мм, г=50 мм.
(5)
Рис. 1. Распределения интенсивности (негатив) в поперечном сечении многомодовых пучков ЛГ, рассчитанных на расстояниях z=30 мм (1 столбец), z=40 мм (2 столбец), z=50 мм (3 столбец) для:
4-х модового (1 строка), 5-ти модового (2-строка),
3-х модового (3 строка) и 2-х модового (4 строка)
Для суперпозиции мод Бесселя (1) вместо выражения (2) запишем:
^nm (^ У) = [^nRJm (Yn )] X xJm (k anr) exp(/m<p),
Y
где an = cos 9n = —-, 0n - угол наклона к оси z кони-
kR
ческой волны, Jm(x), J’m(x) - функция Бесселя и ее производная, у„ - корень функции Бесселя. Моды Бесселя (5) нормированы на единицу в круге радиуса R. Лазерный пучок (1), состоящий из мод Бесселя будет вращаться [12] на конечном расстоянии от исходной плоскости (z=0) при условии, что номера мод (n,m), входящих в суперпозицию (1) будут удовлетворять условию:
Число Ві/2 равно числу оборотов, которые совершает интенсивность в сечении пучка на расстоянии равном одной длине волны X. Проекция на ось г линейной плотности орбитального углового момента лазерного пучка на единицу мощности, состоящего из суперпозиции мод Бесселя рассчитывается с помощью уравнения (4). Из уравнений (4) и (6) следует, что подбором номеров (п, т) можно сформировать пучки Бесселя, обладающие вращением интенсивности в поперечном сечении (В] Ф 0), но имеющие нулевой орбитальный момент (Зг = 0). На рис. 2 показаны
распределения интенсивности 2-модового пучка Бесселя с коэффициентами С(а5,3)=1 и С(аі0,-3)=1. Такой пучок вращается влево (В]= -12,5*10-8) и не обладает орбитальным моментом (./г=0). Параметры расчета: Х=633 нм, а5=5*10-4, аі0=10х!0-4, размер картин ди-
фракции на рис.2 - 5*5 мм.
а б в
Рис. 2. Распределения интенсивности в сечении 2модового пучка Бесселя, рассчитанные на разных расстояниях 2 от начальной плоскости:
1 м (а), 2 м (б) и 3 м (в)
В [13] приведен ортогональный базис функций, удовлетворяющих параксиальному уравнению распространения. Эти функции можно рассматривать как еще один тип параксиальных световых мод свободного пространства. Мы называем их гипергеомет-рические (ГГ) моды, так как они описываются через гипергеометрические функции. Как и моды Бесселя ГГ -моды обладают бесконечной энергией, и поэтому на практике их можно сформировать с помощью амплитудно-фазового фильтра или цифровой голограммы с кольцевой апертурой. Поэтому ГГ-моды будут сохранять свои модовые свойства только на конечном расстоянии вдоль оптической оси.
Для суперпозиции ГГ -мод (1) вместо (2) и (5) запишем (Я »1):
Тnm (^ У) = (r 'l— R)
<exp| i—Inr + Шф\, n = 0,±1,±2,...
(7)
Эти моды будут ортонормированны в кольце с радиусами R и R 1:
| Тm (r, ф)Т„';л' (r, ф)Г dr ^ = 8ИИ' 8m
(S)
■ = const.
m - m
(б)
где 5пп, - символ Кронекера. В зоне дифракции
кг2
Френеля мода (7) имеет вид (Я^-да, х =-------):
2 2
-1
R
3б
i Y-1
Т-(r•фz* ■ ЇД! [Т12 х
exp
(
in
— (- \m\ + iY -1) + ix + im§
x2 Х
(9)
хГ
\m\ +1; - ix
nn
где у = —, ! ^ (а, Ь; х) - конфлюэнтная гипергео-
метрическая функция, Г(х) - гамма-функция.
Условие вращения для многомодового ГГ-пучка имеет вид:
n - n
const ,
(10)
где В2/4 - число оборотов, которые совершит пучок (1) с модами (7) в промежутке от 2=1 до 2=Я. Заметим, что в промежутке от 2= Я-1 до 2=1 ГГ-пучок совершит В2/4 оборотов в обратную сторону.
Проекция на ось 2 линейной плотности орбитального углового момента лазерного пучка (1) с модами (7) на единицу мощности описывается по-прежнему выражением (4). Поэтому, используя условие вращения (10) и выражение для орбитального углового момента (4), можно сформировать лазерный пучок, у которого, например, будет вращаться поперечное распределение интенсивности и будет нулевой орбитальный момент. На рис. 3 показаны распределения интенсивности двухмодового ГГ-пучка с коэффициентами
С(0,2)=1 и С(3,-2)=1. Такой пучок вращается влево (В2=-0,75) и не обладает орбитальным момен-
том (Jz=0). Параметры расчета: ^=633 нм, y0=0, Y3 = 13,597, размер картин дифракции на рис. 3 -4x4 мм.
Заметим, что в [14] исследован частный случай ГГ-мод при Y=—, которые формируются с помощью спиральной фазовой пластинки с пропусканием ехр(шф). Эти моды обладают одинаковыми фазовыми скоростями, и поэтому их линейная комбинация (1) не может вращаться при распространении. Это также следует из условия вращения (10) при n = n' = const (B2=0).
а б в
Рис. З. Распределения интенсивности в сечении двухмодового ГГ-пучка, рассчитанные на разных расстояниях z от начальной плоскости:
1,5 м (а), 2 м (б) и 2,5 м (в)
В заключении приведем некоторые экспериментальные данные. При проведении экспериментов использовался бинарный жидко-кристаллический микродисплей CRL Opto SXGA НІ с разрешением 12S0x1024. На рис. 4 показана бинарная фаза, предназначенная для формирования двухмодового пучка Бесселя формирования светового поля, представляющего собой суперпозицию двух мод Бесселя c номерами C(a1, 3)=C(a2, -3)=1 (а1=1,4х104, а2=7х103). Размер сформированной фазы составил 7x7 мм.
/
г д е
Рис . 5. Картина дифракции вращающегося двухмодового пучка Бесселя на разных расстояниях от микродисплея (а, б, в - эксперимент, г, д, е - теория): г=720 мм (а, г); 2=735 мм (б,д); г=765 мм (в, е)
Распределения интенсивности в сечении одного из двух сформированных пучков, измеренные на разных расстояниях от микродисплея с помощью CCD-камеры, показаны на рис. 5.
Благодарность
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке российско-американской программы
«Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-SA-06), а также гранта РФФИ 05-08-50298 и 07-07-97600, и при поддержке «Фонда содействия отечественной науке».
Литература
1. A. Y. Bekshaev, M. S. Soskin, and M. V. Vasnetsov, "Centrifugal transformation of the transverse structure of freely propagating paraxial light beams," Opt. Lett., v. 31, no.6, pp. 694-696 (2006).
2. S. Lopez-Aguayo, A.S. Desyatnikov, Y.S. Kivshar, S. Skupin, W. Krolikowski, O.Bang, “Stable rotating dipole solitons in nonlocal optical media”, Opt. Lett., v. 31, no.
8, pp. 1100-1102 (2006).
3. F. K. Fatemi, M. Bashkansky, "Generation of hollow beams by using a binary spatial light modulator," Opt. Lett. , v. 31, no. 7, pp. 864-866 (2006).
4. R. Chakraborty and A. Ghosh, "Generation of an elliptic Bessel beam," Opt. Lett., v. 31, no.1, pp. 38-40 (2006)
5. M. R. Dennis, "Rows of optical vortices from elliptically perturbing a high-order beam," Opt. Lett., v. 31, no. 9, pp. 1325-1327 (2006).
6. E. Abramochkin, V. Volostnikov “Spiral-type beams”, Opt. Commun., v.102, no. 3-4, pp. 336-350 (1993).
7. Y.Y. Schechner, R. Piestun, J. Shamir, "Wave propagation with rotating intensity distributions", Phys. Rev. E, v. 54, no.1, R50-R53 (1996).
8. V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, S.N. Khonina “Rotation of multimode Gauss-Laguerre light beams in free space” Techn. Phys. Lett., v. 23, no. 9, pp. 657-658 (1997).
9. L. Allen, M.W. Beijersbergen, R.J.C. Spreeuw, J.P. Wo-erdman “Orbital angular momentum of light and the transformations of Laguerre-Gaussian laser modes”, Phys. Rev. A, v. 45, no. 11, pp. 8185-8189 (1992).
10. H. He, M.E.J. Friese, W.R. Hechenberg, H.Rubinztein-Dunlop “Direct observation of transfer of angular momentum to absorptive particles from a laser beam with a phase singularity”, Phys. Rev. Lett., v.75, no. 5, pp. 826829 (1995).
11. S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, P. Paakkonen , J. Turunen "Measuring the light field orbital angular momentum using DOE", Optical Memory and Neural Networks, v.10, no.4, pp.241-255 (2001).
12. V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, V.A. Soifer "An algorithm for the generation of laser beams with londitudinal periodicity: rotating images", J. Mod. Opt., v.44, no.7, p.1409-141 (1997).
13. W. Miller, Jr. Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley Pub. Com., MA, 1977
14. V.V. Kotlyar, A.A. Almazov, S. N. Khonina, V.A. Soifer, H. Elfstrom and J. Turunen, “Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate”, J. Opt. Soc. Am. A, v. 22, no. 5, p.849-861 (2005).
3S
