CC BY
7
Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраТни
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 539.3 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
ВПЛИВ ТИПУ НАВАНТАЖЕННЯ НА КОЕФЩ1СНТ 1НТЕНСИВНОСТ1 НАПРУЖЕНЬ ДЛЯ Т1ЛА З ЕЛ1ПТИЧНОЮ ТР1ЩИНОЮ
Отримано нову теоретичну залежшсть для обчислення коефiцieнта штенсив-ност1 напружень KI в тш з елiптичною трiщиною при складному навантаженш. Встановлено величини зусиль, за яких в околi контура тр1щини наступав локальне руйнування.
Prof. M.M. Stadnyk-NUFWTof Ukraine, L'viv
The influence of type of loading on the coefficient of intensity of stress for body with elliptic crack
The new theoretical formula of calculation for KI in the body with elliptic crack under complicated loading has been proposed. The value of force for start of local fracture in the place around of contour of crack has been obtained.
Розглянемо тривим1рне пружне т1ло, у якому м1ститься елштична тр1-щина. Систему декартових координат Oxyz виберемо так, щоби 11 початок
X 2 2
знаходився у центр1 ел1пса X2+^г = 1. На безмежност1 до т1ла прикладен1 р1в-
a2 b2
ном1рно-розпод1лен1 зусилля q1, q2, p, кожне з яких паралельне в1дпов1дно до осей Ox, Oy, Oz. Користуючись силовим критер1ем KIc, треба встановити граничне значення зусиль q^, q2*, p*.
Для розв'язку сформульовано! задач! розглянемо спочатку б1льш за-
гальну задачу теор11 пружност1. Вважатимемо, що у тш зам1сть тр1щини роз-
2 2 2
_ X2 y2 Z2
м1щено ел1псо1дальну порожнину, обмежену поверхнею —+^+"2 = 1,
a2 b2 c
c << a, b . Така задача зводиться [1] до розв'язання системи 1нтегро-диференц1-альних р1внянь:
+ £ +[*. if ^ = -- zy ]* dy = C ( » (2 + f q~ P^ffZ.
232
Збiрник науково-технiчних праць
вщносно стрибкiв змiщень [йг ] та дотичних напружень [ст2Х , \_Ozy ]* берегiв
2 2
Х V
г = ±0 елштично! £ трiщини —< 1, на яких дiють навантаження, знесеш
а Ь
2 2 Х у
з поверхонь г = ±к — ±сл 1 —2 - ? елшсощально! порожнини. Тут О - мо-
а
Ь2
дуль зсуву матерiалу, — 1 - л; й2 — 1 + л; й3 — 1 -2л, л - коефщент Пуассо-
на; Я — ^(х-£)2 + (у-п)2
. Э2 Э2 А ——- + —2
Эх2 дУ2
о
й г — йг йг
агу — сгу -с0У - збурене поле змщень i напружень, викликане наявшстю у ть лi порожнини; й°, <т°х, ¿0 - поле змiщень i напружень в однорщному тiлi.
Розв'язавши систему рiвнянь (1), матимемо
В2 Х
2 2 х у
V
2 2 1 - х2 - у2
а2 Ь2
СгУ 1
А у
I - X2 - у2
(2)
а
Ь2
де:
А
Ь
ЛОБ (к)
Р
2й1Л +
¡ё3Е (к) 2й2
¿3
4а 2й2
■( а2 (3 + л)( + 42 )Е (к)
+
+¿2 (42 - 41 )(а2^2 (к) -Ь2^ (к)))
; л
Ь
В) — -С •
41 (2 + л) + 42 - РЛ .
а2й2
А — -с •
42 (2 + л) + 41 - рл ;
Ь2Л ;
„ (к) — ; * (к) —1 ( Е (к)-* К (к)
п/2__п/2
Е (к)— | л/1 - к2 ъш2вс1в; К (к)— {
о о л/1 -
¿в
к2 —
а
Ь2
а
к2 8т2в
Розв'язок (2) забезпечуе вiдсутнiсть стрибкiв напружень на поверхш елшсощадьно! порожнини, тобто
[Сх ] — [Сгх] + [С] — 0 ; _Су ], — [¿у ], + ] — 0 .
Перейшовши до локально! системи прямокутних координат 01Шг
х — а ооър-/8тв + п ооъв, у — Ь ътр-/оо8в + п 8тв, г — г (3)
2 2 х у
де: р - кут, що визначае параметричнi координати точок елiпса — — 1,
а
Ь 2
в - кут мiж додатними напрямами осей Ох i нормал до контура 01п, на ос-новi [2], (2), (3) одержуемо асимптотичш подання
й ]' —.ММ + О (п);
V гх ~ и2х О ,Х ,
Haцiонaльний лкотехшчний унiверситет yKpa'1'ни
г _ -, , ¡—г D1cos1ç + D3sin2ç ч
[azn ]* = ah4ab ■ 1 ^ ъ v + О (n), (4)
f (ç) v-1n
änn = À ■ (a1D1 cos1 ç + h1D3 sin1 ç) ; (x, y) e S, 1h
f (ç) = s¡a1 sin1 ç + h2 cos1 ç . Використовуючи залежност (4) i результат [1], матимемо сшввщно-
шення
1 pÀ azz = W)+p
í \ 1 + l
v 1d1 J
1
/
1d1
(3+i)d1^ -
(5)
-(( -q1 )d1E(k 1;(2kdf1 (k' -(f 1 (ç)-a 1d3))
для визначення концентраци напружень на кoнтypi (n = О) елтсощально!" по-рожнини.
Вважатимемо тепер, що замють елiпсoïдальнoï порожнини у тш роз-мiщена елiптична тpiщина. Введемо позначення
О) = c1 + c2 , (б)
де 2c1 - початкове (до навантаження тша) розкриття поверхонь елiптичнoï тpiщини при x = О, y = О, яке для '"деальноГ трщини piвне нулю, тобто c1 = О, однак в експериментальних дослщженнях, взагалi кажучи, c1 ф О, ос-кiльки c1 залежить вщ технологи утворення тpiщини у дослщному зразку; 1c2 - величина нормальних пеpемiщень беpегiв тpiщини при x = О, y = О, яка обчислюеться (чи вимipюеться) за умови, що на тшо ддать лише зусилля p, напруження q1 = q2 = О .
Якщо деформування тша з "щеальною" трщиною вiдбyваеться в межах пружно!' деформаци при дiï зусиль p, то зпдно з поданням (2), вона при-ймае форму елiпсoïдальнoï порожнини
x1 y1 z1 pd1h , .
ï++d=1- c1 = ШЩ ■ (7)
Для знаходження кoефiцiента iнтенсивнoстi напружень (К1Н) K^ ско-ристаемося залежшстю [1]
K« = lim (8)
Р^-РО 1
де p - pадiyс кривини у веpшинi порожнини; рО = c1 f (ç) / (ah) ; azz - концен-тpацiя напружень (5) на raffrypi елiпсoïдальнoï порожнини з швосями a, h, cq .
Якщо c1 = О, то зпдно з (7)
p p 2d2hf (ç)
РО = -¿(ЩИ) • (9)
134
Збiрник нaуково-технiчних iipain»
Постановка спiввiдношення (5) (при с — с0) у залежшсть (8) дае по-
дання
К(1)
рУпЬ/(р) - с0у/7Т/(р) Е (к )4а 44аЪ
(3 + лЛ
V
41 + 42 2^2
42 - 41
V
(а2^3 -¿1 /2(())))+ ^(к)-^(к)
2Е (к )
л л
/У
(10)
яке показуе, що зусилля 41 i 42, як дiють паралельно до площини трiщини, впливають на величину К^, що хоч i опосередковано, вщзначено в роботах [3, 4]. Частковий випадок подання (10) при 41 — 42 — 0 одержано в робот [5]. Якщо у спiввiдношеннi (10) покласти, що а ^да, 41 — ¡(42 + р), то отримаемо
вщоме [6] значення К(1 для пластини з трiщиною довжини 2Ь, яка наванта-жена зусиллями р i 42, тобто
К(1) —4ЛЬ
р-
С042 2Ь
(11)
Треба сказати, що при одержант формули (10) для вважаеться, що зусилля р дiють на тшо з елiптичною трiщиною (твос а, Ь,0), а зусилля 4ь 42 - на тiло з елшсощальною порожниною (пiвосi а, Ь, с0), яка утворилася в результат ди навантаження р.
Аналiз формул (10) показуе, що
к?» приймае екстремальнi значення у точках (0,± Ь,0) або (±а,0,0), залежно вщ величин 41, 42, а/Ь.
Якщо граничний стан наступае в точках (0, ± Ь,0), тобто при р — ±п/2, то на основi (10) та критерш Iрвiна [7], матимемо подання
р-
(1)- с0*Е(к)
8Ь
(3 + Л
41* + 42* 42* - 41*
¿2
1 - 3л-
)'
Е (к) ,
4)е (к); 4Ль ' (12)
(1) — I
р* — р* р—п/2 ,
з якого встановлюемо критичнi навантаження р*1), 41*, 42*. Тут с0* — с1* + с2*;
с1* — с •
1 + ■
р*
2Ой2
с2* обчислюеться згiдно з виразом (7) при р — р.
(1). к (1)
К ' -
К1с
критичне значення К1Н за тривiсного навантаження. Оскшьки вираз (12) зв'я-
(1)
зуе три залежш величини р*', 41*, 42*, то двом iз них, зокрема, 41*, 42* на-даеться довшьного допустимого значення, а третя р*1) визначаеться iз (12).
У випадку одновюного розтягу тiла зусиллями р — р1, 41 — 42 — 0, iз (12) маемо
р(1) — К1сЕ (к ) р(1)
у1Пь '
р*
1р—п/2 '
(13)
Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраТни
де К1с - критичне значення К1Н за одновюного розтягу.
Природно виникае питання чи величини кЦ i К1с рiвнi мiж собою. Для пластини з лшшною трiщиною довжини 2Ь при двовiсному розтязi ек-спериментальш дослiдження [3, 4] показали, що кЦ ф К1с. Однак, за вщсут-
ностi в лiтературi формули (11), автори робiт [3, 4] для обчислення К1 ко-
ристувались формулою К1 — р4пЬ, яка не враховуе впливу зусиль 42, що, звичайно, вплинуло на отриманий ними результат.
Якщо граничний стан настае в точках (±а,0,0), тобто при р — 0; п, то
(2)
для визначення ру, 41*, 42* матимемо
(2) Ср*Е(к)Г, + + qi* qi*-q1* ( d 2№(кЛ1 — K(1)E(k) ^
p* 8^ (3d~ d1 E7kT~ — KlcE(k}jn
d2 d1
E (k ) ^'(14)
(1) - I
p* — p* (p-o .
Тут c2* - визначаеться Í3 виразу (7) при p — p*2).
1з рiвностей (12), (14) визначаемо критичне зусилля p* — min {p*1), p*2)} при заданих значеннях q1*, q2*.
Лгтература
1. Стадник М.М. Об одном методе приближенного решения трехмерной упругой задачи для тела с тонким включением// Физ.-хим. механика материалов. - 1988, № 1. - С. 53-65.
2. Стадник М.М. Концентращя напружень б1ля пружного елшсо'щального включення у безмежному тш// Ф1з.-х1м. мехашка матер1ал1в. - 2002, № 6. - С. 25-30.
3. Лебедев А.А., Музыка Н.Р. Несущая способность пластины с трещиной при двухосном растяжении// Пробл. прочности. - 2001, № 2. - С. 20-27.
4. 1ваницький Я.Л., Штаюра С.Т., Koctíb Р.Б. Ощнка трщиностшкосп матер1ашв при двовюному навантажент// Мехатка руйнування матер1ал1в i мщнють конструкцш -Льв1в: Фiз.-мех. ш-т iм. Г.В. Карпенка НАН Украши, 2004. - С. 697-702.
5. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1968. - 246 с.
6. Стадник М.М. Силовий критерш гранично^вноважного стану пластини з трщи-ною пщ двовюним навантаженням// Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. - 2007, № 6. - С. 14-16.
7. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. -J. Appl. Mech., 1957, 24, № 3. - P. 361-364.
УДК 630. *36(100) Проф. Б.В. БЫик, канд. техн. наук;
ст. викл. М.М. Борис, канд. техн. наук; доц. А.Г. Кусий, канд. техн. наук - НЛТУ Украши, м. Львiв
КРУТИЛЬН1 КОЛИВАННЯ В ТРАНСМ1С1ЯХ ПОВНОПРИВ1ДНИХ МАШИН З РЕАКТИВНИМИ КОНТУРАМИ
Наведено динам1чну схему трансмюп повнопривщного автомобшя з реактив-ними контурами та визначено частоти й власних крутильних коливань. Отримаш ма-
236
Збiрник науково-техшчних праць
