CC BY
43
УДК 512.624.2
Сибирский журнал науки и технологий. 2017. Т. 18, № 3. С. 505-509
ВОЗМОЖНЫЕ ВАРИАНТЫ ПОВЫШЕНИЯ КРИПТОСТОЙКОСТИ АЛГОРИТМОВ ШИФРОВАНИЯ
НА ОСНОВЕ КОНСТРУКЦИИ НИБЕРГ
М. А. Дмитриев
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: makcmad@mail.ru
В настоящее время одним из наиболее применяемых средств обеспечения защиты информации от несанкционированного доступа являются блочные симметричные криптографические алгоритмы, как, например, рассматриваемый в данной статье алгоритм Rijndael. Стремительный рост вычислительной мощности ЭВМ и существенное развитие линейного криптоанализа делают актуальной задачу дальнейшего наращивания криптостойкости существующих алгоритмов, а также разработки новых. Важным компонентом, определяющим устойчивость блочного симметричного криптографического алгоритма к наиболее распространенным видам криптоанализа, является качество блока замен - S-блока подстановки. Цель работы - провести вычисления и получить все возможные блоки замен на основе неприводимых полиномов над полем GF(28), а также их композиций. Для этого был разработан ряд программ, с помощью которых были получены блоки замен, обладающие различными криптографическими характеристиками. Был произведен расчет количественных оценок данных характеристик путем представления таблиц замен в виде наборов булевых функций. Особое внимание было уделено таким характеристикам, как нелинейность булевых функций, максимум модуля коэффициентов корреляции и количество нулей корреляционной матрицы блоков замен, как наиболее значимым характеристикам. Полученные блоки замен могут стать основой для дальнейшего изучения возможных вариантов повышения криптостойкости алгоритма Rijndael.
Ключевые слова: алгоритм Rijndael, S-блок, неприводимый полином над полем Галуа.
Siberian Journal of Science and Technology. 2017, Vol. 18, No. 3, P. 505-509
POSSIBLE OPTIONS TO IMPROVE CRYPTOGRAPHIC RELIABILITY OF ALGORITHMS BASED
ON NYBERG CONSTRUCTION
M. A. Dmitriev
Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: makcmad@mail.ru
Nowadays one of the most used tools to protect data from unauthorized access is block symmetric-key cryptographic algorithms. The rapid growth of computer processing power and significant development of linear cryptanalysis actualize the task to continue increasing reliability of the existing algorithms, as well as developing new ones. An important component in determining the stability of a block symmetric-key cryptographic algorithm to the most common types of cryptanalysis is the quality of S-box substitution. This work was aimed at calculating and achieving all possible S-box substitutions, based on irreducible polynomials over the Galois field and their compositions. For this purpose a set of programs to obtain S-box substitutions which have different cryptographic characteristics with its help was developed. Calculation of the quantitative values of these characteristics was performed by presenting S-box substitutions in the form of sets of Boolean functions. Particular attention was paid to such characteristics as nonlinearity of Boolean functions, the maximum modulus of the correlation coefficients and the numbers of zeros of the correlation matrix of S-box substitutions, as those are the most important characteristics. These blocks substitutions can be the basis for further study ofpossible options to improve Rijndael algorithm's cryptographic reliability.
Keywords: Rijndael algorithm, S-box, irreducible polynomial over the Galois field
Введение. Применительно к формированию таблиц замен можно выделить три основных подхода в разработке алгоритмов шифрования [1].
Одним из решений является выбор таблиц замен в процессе разработки стандарта и открытое опубли-
кование полученных таблиц, одинаковых для всех пользователей данного алгоритма. Такой подход был реализован в алгоритме DES, а в 2015 году применен в алгоритме «Кузнечик», ставшем стандартом Российской Федерации с 2016 года [2].
Применяются также алгоритмы, в которых таблицы замен не определены однозначно, а выбираются каждым пользователем самостоятельно. Такой подход реализован, например, в алгоритме ГОСТ 28147-89 [3; 4], долгое время являвшемся стандартом СССР и позднее многих стран СНГ. Отметим, что при надлежащем уровне квалификации пользователь имеет возможность выбрать качественные блоки замен, притом известные только этому пользователю, что можно трактовать как дополнительное повышение стойкости шифрования.
Блочный шифр Яц^аеЬ Наиболее характерным примером третьего подхода может служить также считающийся стойким алгоритм ЯуМае1 [5], в котором блок замен полностью определяется заданием неприводимого полинома над полем Галуа [6]. В Щ|Мае1 использована конструкция Ниберг, представляющая собой отображение в виде мультипликативно обратных элементов поля Галуа ОЕ ^2к1:
у = х^тоаас^),р], у,XеОЕ(2к), (1)
скомбинированная вместе с аффинным преобразованием
Ь = А ■ у + а, а, Ь е ОЕ (2к),
(2)
где / (¿) = 28 + 24 + 22 + 2 +1 - неприводимый над полем ОЕ (28) полином; А - невырожденная матрица аффинного преобразования; а - вектор сдвига; р = 2 -характеристика расширенного поля Галуа; 0_1 = 0 - по определению; а, Ь, X, у - элементы расширенного
поля Галуа ОЕ ^2к |; рассматриваются как десятичные числа либо двоичные векторы, либо полиномы степени к -1.
Количественные характеристики блоков замен. Показателями качества блока замен [7-9] наиболее часто предлагаются следующие:
- максимум из модулей элементов матрицы коэффициентов корреляции входных и выходных битов;
- количество нулей в матрице коэффициентов корреляции;
- нелинейность как расстояние до множества аффинных функций [10-13];
- алгебраическая степень нелинейности [14];
- период возврата подстановочной конструкции в исходное состояние.
На данный момент подробно исследованы нелинейные преобразования конструкции Ниберг на основе всех изоморфных и автоморфных
представлений полей ОЕ ^2к | для к < 8: выписаны
все неприводимые полиномы над полями, вычислены криптографические показатели качества определяемых этими полиномами ^-блоков. Таким образом, полином из (1) является не единственно возможным для построения шифра. Возможность же выбора неприводимого полинома (одного из множества в определенном смысле эквивалентных) имеет практическое значение. Поэтому появилась возможность соединить плюсы подходов ГОСТа и КуМае1.
В работе [5] приведена таблица криптографических характеристик ^-блоков на базе полного класса неприводимых полиномов степени 8. Данные этой таблицы свидетельствуют о разнообразии выбора полиномов для использования в блочных шифрах в соответствии с решением использования того или иного критерия.
В связи с этим представляется актуальным рассмотрение конструкции, аналогичной ЛБ8 [15], однако либо с использованием композиции неприводимых полиномов, либо с использованием в разных раундах различных полиномов или их композиций, что можно считать одним из возможных вариантов повышения стойкости алгоритма, аналогичного ЛБ8.
В данной статье проведены вычисления и получены все возможные таблицы замен на основе композиции неприводимых полиномов над ОЕ(28). Композицией неприводимых полиномов считается последовательное выполнение двух операций 8иЬВу1еБ в каждом раунде. Определены пары полиномов, обеспечивающих таблицы замен с близкими к оптимальным свойствами корреляционной матрицы.
Табл. 1 представляет собой данные по криптографическим характеристикам ^-блоков, полученных в результате выполнения операции 8иЬВу1еБ для всех возможных неприводимых полиномов над ОЕ(28), где сам полином записан в виде десятичных эквивалентов.
Аналогичные данные были получены для композиций неприводимых полиномов (в графе «Композиция» полиномы записаны в порядке выполнения операции 8иЬВу1еБ). Ввиду большого объема полученных данных в данной статье хотелось бы заострить внимание на тех композициях, корреляционная матрица которых обладает наиболее примечательными криптографическими характеристиками. Полученные данные приведены в табл. 2-4.
Криптографические характеристики ^-блоков неприводимых полиномов
Таблица 1
№ п/п Полином Максимум модуля Количество нулей Степень нелинейности
1 283 0,125 4 112 112 112 112 112 112 112 112
2 285 0,125 5 112 112 112 112 112 112 112 112
3 299 0,125 10 112 112 112 112 112 112 112 112
4 301 0,125 2 112 112 112 112 112 112 112 112
5 313 0,125 7 112 112 112 112 112 112 112 112
Окончание табл. 1
№ п/п Полином Максимум модуля Количество нулей Степень нелинейности
6 319 0,109375 6 112 112 112 112 112 112 112 112
7 333 0,125 7 112 112 112 112 112 112 112 112
8 351 0,125 2 112 112 112 112 112 112 112 112
9 355 0,109375 2 112 112 112 112 112 112 112 112
10 357 0,09375 6 112 112 112 112 112 112 112 112
11 361 0,125 4 112 112 112 112 112 112 112 112
12 369 0,125 5 112 112 112 112 112 112 112 112
13 375 0,109375 2 112 112 112 112 112 112 112 112
14 379 0,125 3 112 112 112 112 112 112 112 112
15 391 0,125 5 112 112 112 112 112 112 112 112
16 395 0,125 5 112 112 112 112 112 112 112 112
17 397 0,109375 5 112 112 112 112 112 112 112 112
18 415 0,109375 3 112 112 112 112 112 112 112 112
19 419 0,109375 11 112 112 112 112 112 112 112 112
20 425 0,109375 3 112 112 112 112 112 112 112 112
21 433 0,109375 2 112 112 112 112 112 112 112 112
22 463 0,125 3 112 112 112 112 112 112 112 112
23 445 0,125 0 112 112 112 112 112 112 112 112
24 451 0,109375 3 112 112 112 112 112 112 112 112
25 471 0,125 3 112 112 112 112 112 112 112 112
26 477 0,125 4 112 112 112 112 112 112 112 112
27 487 0,125 3 112 112 112 112 112 112 112 112
28 499 0,125 7 112 112 112 112 112 112 112 112
29 501 0,109375 4 112 112 112 112 112 112 112 112
30 505 0,125 8 112 112 112 112 112 112 112 112
Таблица 2
Композиции с максимальным и минимальным значением максимума модуля корреляционной матрицы
№ п/п Композиция Максимум модуля Количество нулей Степень нелинейности
1 301-477 0,109375 6 102 102 106 106 102 98 102 108
2 319-477 0,296875 6 102 94 106 100 104 102 104 96
3 357-433 0,109375 7 106 104 104 104 104 108 104 100
4 361-351 0,109375 4 104 106 102 102 106 106 106 102
5 369-361 0,109375 7 106 102 102 108 106 102 106 102
6 369-375 0,109375 10 104 104 108 104 104 102 104 104
7 369-395 0,109375 4 108 106 102 102 106 102 106 106
8 391-283 0,109375 3 104 104 102 104 104 104 104 104
9 391-433 0,109375 7 104 100 104 104 106 106 106 104
10 425-313 0,109375 8 104 104 104 102 106 100 106 104
11 463-357 0,109375 4 104 104 102 102 102 98 102 102
12 445-333 0,109375 13 104 104 106 106 106 102 106 100
13 451-369 0,109375 10 102 98 104 104 106 106 106 106
14 471-375 0,109375 10 100 98 104 102 106 104 106 106
15 501-425 0,109375 6 102 102 104 104 106 108 106 104
Таблица 3
Композиции с максимальным и минимальным значением нелинейности
№ п/п Композиция Максимум модуля Количество нулей Степень нелинейности
1 283-351 0,203125 9 104 102 102 104 110 102 110 106
2 299-285 0,171875 8 110 104 102 102 104 102 104 102
3 299-445 0,140625 5 104 104 104 106 110 108 110 106
4 301-285 0,15625 9 100 98 104 106 110 106 110 104
5 301-375 0,125 7 106 106 106 106 106 110 106 102
6 319-499 0,140625 4 110 108 106 102 108 106 108 100
7 351-299 0,171875 5 106 106 110 104 106 106 106 108
8 351-357 0,140625 4 102 102 104 106 110 104 110 102
9 355-471 0,171875 5 106 104 104 110 106 104 106 106
10 361-299 0,15625 4 106 102 104 88 102 100 102 104
11 361-477 0,125 7 110 106 104 104 106 106 106 102
12 379-415 0,1875 5 108 102 110 100 104 104 104 108
13 419-471 0,1875 7 106 106 104 110 102 96 102 104
14 425-299 0,140625 6 104 108 96 104 106 110 106 106
15 433-357 0,203125 6 110 102 106 104 104 106 104 104
16 451-319 0,140625 7 102 106 104 96 104 98 104 110
17 451-451 0,203125 8 100 102 104 100 108 106 108 110
18 451-505 0,15625 4 102 106 110 104 100 98 100 98
19 487-299 0,15625 5 104 106 104 102 106 100 106 110
20 505-283 0,125 2 106 104 102 106 104 104 104 88
21 505-285 0,171875 6 102 106 108 110 108 104 108 108
22 505-301 0,171875 6 110 104 98 106 96 104 96 106
23 505-499 0,15625 2 106 108 104 102 106 104 106 110
Таблица 4
Композиции с максимальным и минимальным количеством нулевых значений корреляционной матрицы
№ п/п Композиция Максимум модуля Количество нулей Степень нелинейности
1 283-445 0,171875 15 106 104 98 106 108 104 108 108
2 379-391 0,234375 15 98 104 98 102 96 104 96 108
3 487-361 0,203125 0 108 102 102 100 104 108 104 102
Таким образом, мы видим, что для обеспечения равномерной минимизации матрицы коэффициентов корреляции (согласно табл. 1) целесообразнее всего использовать полином для обращения элементов с минимальным количеством нулей, например, полином 445. Применение данного полинома позволит затруднить линейную аппроксимацию шифра аффинными булевыми функциями, увеличивая его сопротивляемость атакам дифференциального криптоанализа. Эти полиномы обладают лучшими (минимальными) значениями корреляции векторов выхода и входа ^-блока подстановки по сравнению с полиномом, применяемым в алгоритме ЯуМае1, в то же время при использовании композиции полиномов (согласно табл. 4) наиболее подходящей в этом случае окажется композиция полиномов 487-361 либо композиции полиномов 285-471, 299-369, 313-395, 319-379, 351477, 357-397, 361-313, 361-487, 391-379, 477-463 с количеством нулей корреляционной матрицы, равным одному.
Для обеспечения отсутствия корреляции векторов выхода и входа наиболее предпочтительным будет полином 419 либо композиции 283-445, 379-391 с наибольшим количеством нулей, а также 46 различ-
ных композиций, количество нулей корреляционной матрицы которых варьируется от 11 до 14. Они обладают наибольшим количеством нулей в матрицах коэффициентов корреляции входа и выхода, что затруднит корреляционный криптоанализ, однако упростит аппроксимацию шифра аффинными булевыми функциями за счет большего количества единичных значений элементов в полной матрице коэффициентов корреляции со всеми аффинными функциями.
Заключение. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что большинство композиций неприводимых полиномов над ОГ(28) обладают более интересными криптографическими характеристиками в зависимости от потребностей использующего шифр как в части максимума модуля корреляционной матрицы, так и в количестве нулей корреляционной матрицы, но в то же время расстояние композиций до множества аффинных функций уменьшилось и варьируется от 88 до 110.
Множество композиций неприводимых полиномов может использоваться как более обширный источник ^-блоков для шифра КуМае1. К примеру, множество композиций неприводимых полиномов, максимум модуля корреляционных матриц которых превышает
0,125 (максимальное значение максимума модуля корреляционной матрицы неприводимого полинома), насчитывает 795 штук из 900 возможных.
Дальнейшее изучение возможных вариантов повышения стойкости алгоритма Rijndael будет основываться на полученных характеристиках блоков замен, а также включать в себя оценку криптостойкости алгоритма в случае применения полученных результатов, а именно, использование различных полиномов или их композиций в различных раундах.
Библиографические ссылки
1. Mister S., Adams C. Practical S-box design // Proceedings, Workshop in selected areas of cryptography. SAC'96. 1996. 78-81 c.
2. Бабенко Л. К. Современные алгоритмы блочного шифрования и методы их анализа. М. : Гелиос АРВ, 2006. 376 с.
3. Мазурков М. И. Алгебраические свойства криптографических таблиц замен шифра Rijndael и шифра ГОСТ 28147-89 // Труды СИЭТ. 2012. C. 149-151.
4. Медведева Т. Е. Оценка криптостойкости таблиц замен алгоритма ГОСТ 28147-89 // Решетневские чтения : материалы Междунар. науч.-практ. конф. Красноярск, 2012. С. 666.
5. Мазурков М. И., Соколов А. В. Криптографические свойства нелинейного преобразования шифра Rijndael на базе полных классов неприводимых полиномов // Пращ Одеського полггехшчного ушверситету. 2012. № 2. 183-189 с.
6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М. : Мир, 1988. 667 с.
7. Жданов О. Н. Методика выбора ключевой информации для алгоритма блочного шифрования. М. : Инфра-М. 2013. 19-34 с.
8. Nyberg K. Differentially uniform mappings for cryptography. I Advances in cryptology // Proc. of EUROCRYPT'93. 1994. Vol. 765. P. 55-65.
9. Жданов О. Н., Золотарев В. В. Методы и средства криптографической защиты информации / СибГАУ. Красноярск, 2008. 253 c.
10. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптоло-гии. М. : МЦНМО, 2004. 470 с.
11. Вашкевич А. В., Жданов О. Н. Нахождение нелинейности булевой функции с помощью преобразования Уолша // Решетневские чтения : материалы Междунар. науч.-практ. конф. Красноярск, 2012. 655700 c.
12. Никитин Д. А., Дьяконов К. В. О распределении значений нелинейности булевых функций // Актуальные проблемы безопасности информационных технологий : материалы IV Междунар. науч.-практ. конф. / СибГАУ. Красноярск, 2010. 15-22 c.
13. Жуков А. Е. Нелинейность булевых функций : пособие по курсу «Криптографические методы защиты информации». М. : МГТУ им. Баумана, 2002. 45-112 c.
14. Fuller J., Millan. W. Linear Redundancy in S-Boxes // Fast Software Encryption : 10th International Workshop. 2003. Vol. 2887. P. 74-86.
15. Daemen J., Rijmen V. The Design of Rijndael. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. 31-51 c.
References
1. Mister S., Adams C. Practical S-box design. Proceedings, Workshop in selected areas of cryptography. SAC'96. 1996, P. 78-81.
2. Babenko L. K. Sovremennye algoritmy blochnogo shifrovaniya i metody ikh analiza [Current block encryption algorithms and methods of their analysis]. Moscow, Gelios ARV Publ., 2006, 376 p.
3. Mazurkov M. I. [Algebraic properties of cryptographic substitution tables of Rijndael and GOST 28147-89 cipher]. Trudy SIET. 2012, P. 149-151 (In Russ.).
4. Medvedeva T. E. [Evaluation of the reliability of GOST 28147-89 algorithm's substitution tables]. Reshetnev-skie chteniya [Reshetnev readings]. 2012, P. 666 (In Russ.).
5. Mazurkov M. I., Sokolov A. V. [Cryptographic properties of nonlinear transform of Rijndael cipher based on complete classes of irreducible polynomials], Pratsi Odes'kogo politekhnichnogo universitetu. 2012, No. 2, P. 183-189 (In Russ.).
6. Lidl R., Niderrayter G. Konechnye poly a [Finite fields]. Moscow, Mir Publ., 1988, 667 p.
7. Zhdanov O. N. Metodika vybora klyuchevoy infor-matsii dlya algoritma blochnogo shifrovaniya [Key information selection for the block cipher algorithm]. Moscow, INFRA-M Publ., 2013, P. 19-34.
8. Nyberg, K. Differentially uniform mappings for cryptography. Advances in cryptology. Proc. of EUROCRYPT'93. Lecture Notes in Compuer SpringerVerlag. Berlin, Heidelberg, New York, 1994, Vol. 765, P. 55-65.
9. Zhdanov O. N., Zolotarev V. V. Metody i sredstva kriptograficheskoy zashchity informatsii [Methods and means of cryptographic protection of information]. Krasnoyarsk, SibSAU Publ., 2008, 253 p.
10. Logachev O. A., Sal'nikov A. A., Yashchenko V. V. Bulevy funktsii v teorii kodirovaniya i kriptologii [Boolean functions in coding theory and cryptology]. Moscow, MTsNMO Publ., 2004, 470 p.
11. Vashkevich A. V., Zhdanov O. N. [Finding nonlinearity of a Boolean function by Walsh converting]. Reshetnevskie chteniya [Reshetnev readings]. Krasnoyarsk, 2012, P. 655-700 (In Russ.).
12. Nikitin D. A., D'yakonov K. V. [On the distribution of the values of the nonlinearity of Boolean functions]. Actual Problems of Information Technology Security: Materials of IVInternational scientific-practical conference [Actual problems of information technology security: materials of the IV International Scientific and Practical Conference]. Krasnoyarsk, SibSAU Publ., 2010, P. 15-22 (In Russ.).
13. Zhukov A. E. Nelineynost' bulevykh funktsiy [Nonlinearity of Boolean functions]. Moscow, MGTU im. Baumana Publ., 2002, P 45-112.
14. Fuller J. Millan. W. Linear Redundancy in S-Boxes. Fast Software Encryption, 10th International Workshop. Sweden, Lund, 2003. Vol. 2887. P. 74-86.
15. Daemen J., Rijmen V. The Design of Rijndael. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Springer. 2002, P. 31-51.
© Дмитриев М. А., 2017
