CC BY
16
ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ
УДК 532.59+532.53+532.55
ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН В ОКЕАНЕ НА ЛИТОСФЕРУ ЗЕМЛИ
С. А. Арсеньев, Н. К. Шелковников
(.кафедра физики моря и вод суши) E-mail: shelkovnikov@phys.rnsu.ru
Повышенная сейсмическая активность в области периодов от 25 до 60 суток, наблюдаемая на Памире, объясняется воздействием на литосферу топографических планетарных волн на Сибирском шельфе.
Микросейсмические колебания литосферы, открытые в 1875 г. астрономом Бертелли, были предметом интенсивных исследований в XX в. [1-3]. Было установлено, что они возбуждаются океанскими волнами на континентальных или островных шельфах, причем в полной мере были исследованы лишь микросейсмы, порождаемые ветровыми гравитационными волнами на поверхности океана в диапазоне периодов от 1 до 20 с. Замеченная еще Б. Б. Голицыным [1] основная особенность микросейсм — возрастание амплитуд и энергий с увеличением периодов — оставалась без должного внимания, так как микросейсмы больших периодов можно изучать только с помощью достаточно больших временных рядов наблюдений. К началу XXI в. такие ряды были накоплены. Например, Гармский сейсмический полигон Института физики Земли РАН, находящийся на Памире, ведет наблюдения с 1955 г. На рис. 1 представлены результаты периодограммного анализа соответствующих сейсмических временных рядов, полученные Е. В. Дещеревской и А. Я. Сидориным [4]. Для временного ряда землетрясений всех классов, наблюдавшихся на полигоне (рис. 1,а), ясно различается пик, соответствующий периоду 31-32 сут. Кроме него, имеются также меньшие по амплитуде пики, соответствующие периодам 41 сут и 50-55 сут. Для сейсмических колебаний класса К ^ 6 с источником на глубинах, меньших 10 км (рис. 1,6), пик на периодах 31-32 сут остается, но с ним становится сравнимым по величине пик на периоде 41 сут. Амплитуда пика «41 сутки>> увеличивается с ростом энергии землетрясений (рис. ],в,г). На всех периодограммах имеются пики с периодами 31-32 и 41 сут.
Докажем, что сейсмическую активность на периодах от 25 до 60 сут можно объяснить воздействием на литосферу Земли океанских планетарных волн, возбуждаемых в океане, например, неоднородно-стями вращения Земли [5]. Действительно, вода
А/Атах, отн. ед.
U4 а :
; —^JWi У .
~ ------------'NAVVJ Iii
j ^^^^^ Üu/wty 3 -
= --^-^VJWV Фи V ö :
1 день 1 месяц 1 год
Рис. 1. Периодограммы временных рядов количества землетрясений и скорости ветра на Гарм-ском полигоне, полученные в работе [4]: а — все землетрясения полигона; б — землетрясения энергетического класса К ^6, произошедшие на глубинах О, меньших 10 км; в — землетрясения с К ^ 6, О ^ 10 км; г — землетрясения с К ^ 7, О ^ 10 км; д — скорость ветра (м/с) по данным метеостанции Гарм за период 1966-1985 гг.
в 1000 раз тяжелее воздуха и воздействие океана на литосферу является намного более эффективным, чем действие атмосферы. К тому же периоды
ш£и(ю), см2/с2
14 г
23.4
10"
10"
10 Частота, цикл/ч
Рис. 2. Спектр горизонтальной скорости течений на глубине 500 м для станции О в западной Атлантике, полученный в работе [6]
планетарных волн в океане находятся в интервале от 10 до 100 сут с энергетическим максимумом как раз в области 25-60 сут. На рис. 2 показан спектр скоростей океанских течений, построенный Томсоном [6]. Широкий энергетический максимум слева связан с планетарными волнами. Более узкие спектральные пики справа вызваны инерционными колебаниями и приливами. Аналогичные спектры были построены В. Гоулдом [7] для восточной части Атлантики. Достаточно представительный обзор экспериментальных данных по планетарных волнам сделан в работе [8]. Для нас важно, что вершина левого спектрального пика на рис. 1 находится вблизи периода 30 сут. Этот же период можно получить и теоретически с помощью формулы
Т = 4пкН_ = 8т^Н_ /и/ т/А
которая справедлива для баротропных планетарных волн. Мы выведем ее в данной работе ниже. В формуле (1) Н — средняя глубина шельфа и ш — его средний уклон, / — первый параметр Корио-лиса, к = 2ж/Х — волновое число и Л — длина волны. Для Н = 100 м, / = 10^4 с-1, Л = 10 км и ш = 1.4-10^3 [9] получаем из (1) Т и 30 сут. Для бароклинных планетарных волн типичный период т = 2/(/ЗЯо), где Яо = АШ/} — радиус деформации Россби [10], N — частота плавучести, Н — глубина и /3 — производная от параметра Кориолиса / по меридиану (по широте), учитывающая сферичность Земли. При Н = 500 м (континентальный склон), ¿V = 5-10^3 с-1 получаем Яо = 25 км. Поэтому при /3 = 2-10^8 (км с)-1 имеем т и 40 сут. Таким образом, возникшие у побережья Сибири в водах
шельфа Арктики планетарные волны с периодами около 30 и 40 сут, воздействуя на азиатский континент с севера, могут порождать в нем сейсмические колебания с такими же периодами. Эти колебания распространяются затем в глубь континента, инициируя землетрясения (например, по типу триггера) в перенапряженных областях литосферы, в частности в Гармском районе Памира. В пользу подобного механизма говорит тот факт, что микросейсмы, порождаемые штормовыми ветровыми волнами на побережье Норвежского моря, измеряются сейсмическими станциями не только в Норвегии, Финляндии, Пулково и Обнинске, но и в Ялте [2], т.е. легко распространяются в глубь континента на расстояния порядка трех тысяч километров. Остается показать, что давление на дно, порождаемое планетарными волнами, не меньше, чем давление на дно, порождаемое штормовыми волнами в океане [3].
Направим ось у на север, ось х — на восток, а ось г — вертикально вниз. Начало координат 2 = 0 расположим на невозмущенной поверхности океана у берегов Сибири, буквой <; обозначим динамическое возмущение этой поверхности [9]. Обозначим также буквой ширину Сибирского шельфа, которая свободна ото льда. Глубина шельфа возрастает при удалении от берега в сторону океана. Простейшей аппроксимацией является линейный закон Н = /) + ту, где Ди 1 м - глубина вблизи уреза воды (у = 0) и т = дН/ду = 1.4 • 10^3 — средний уклон шельфа [9]. Считаем, что волновые движения носят характер захваченных шельфом длинных волн [10], так что при у = 0,Ь
н
5,=
и йг = 0,
(2)
где Бу — поперечная составляющая полного потока и и — поперечная (вдоль оси у) составляющая скорости течения. Рассмотрим уравнения теории мелкой воды [9, с. 76], описывающие длинные волны в океане (\^>Н):
дС = д5>£ д/ дх
дБ,
'у
ду '
(3)
(4)
н
Здесь Бх = § и (1г — вдольбереговая составляющая о
полного потока, и — вдольбереговая (вдоль оси х) составляющая скорости течения и £ — ускорение силы тяжести. Комбинируя уравнения (3) и (4), находим уравнение для возмущения уровня <;
о_
дА
С-У(^С)
-Я//(/У, О = 0, (5)
где со = (ё'Я)1/'2 — лагранжева скорость длинных волн, V — оператор набла и /(Я, С) = = (дН/дх)(д(/ду) — (дН/ду)(д(/дх) — дифференциальный оператор Якоби.
Решив уравнение (5) и определив уровень С, мы можем с помощью уравнения гидростатики др = др/дг, которое справедливо для длинных (Х^>Н) волн [9, 10], найти и давление в этих волнах
р=ра +Ёр{г-0- (6)
Кроме того, знание уровня С позволяет нам определить и полные потоки. Из уравнений (3), (4) находим
дА дА
■/2
д2с Ж
д1дх
дЧ
д1ду
ду
Ж
1 дх
(7)
Знание полных потоков позволяет определить и средние (по глубине) скорости течения 11 = 3Х/Н, и = Зу/Н. При отсутствии трения в уравнениях (3) средние и, и и текущие и, V скорости течений совпадают.
Уравнение (5) необходимо решать с граничными условиями при у = 0,Ь:
д2С
д1ду
(8)
которые следуют из (7) и (2). Решение (5) ищем в виде волны
£ = Не[а(#)] ехр[1(кх — + <р)], (9)
где Ие — действительная часть комплексного числа. Подставляя (9) в (5), получим уравнение для амплитуды волны
й2а йу2
т йа Н йу
а
оо
•/2
1г2
}тк ~~ооН
= 0. (10)
Его решение есть т
( ш \
а = ехр(^- —у) [с\ соь(8у) + с2зт(&/)], (11)
где с\ и с2 обозначение
г2 =
постоянные интегрирования и введено /2 (а , т2 \ , !тк
иг
к2
АН2) ооН
(12)
Величина т2/АН2 в (13) мала (т<С 1), и далее мы будем ею пренебрегать. Из граничных условий (8) и представления (9) следует при у = 0,Ь:
йа ?к йу 00
Уравнения (10), (13) представляют собой известную в математической физике задачу Штурма-Лиу-вилля на собственные значения для амплитуды
-а = 0.
(13)
а(у). Необходимо найти те собственные значения параметра 8, при которых эта задача имеет нетривиальные решения. Подстановка (11) в (13) дает систему двух уравнений относительно с\ и с2. Она имеет нетривиальное решение, если ее определитель и соответствующий детерминант равен нулю:
(оо2 - [2)(оо2 - к24) бш(8Ь) = 0.
(14)
Это уравнение для собственных значений. Оно имеет несколько решений, соответствующих различным классам длинных волн.
Решение со = / описывает инерционные колебания, представленные на рис. 2 (второй пик справа). Их период не превышает нескольких десятков часов, и для целей данной работы эти колебания интереса не представляют. Решением уравнения (14) являются и волны Кельвина с дисперсионным соотношением со = ±сок. В физике океана [8-10] волны Кельвина обычно связывают с приливными волнами на шельфе. Для месячной (с периодом 30 сут) составляющей прилива из дисперсионного соотношения следует: Хт = С(,Тт и 80 • 103 км, что превышает размеры Северного Ледовитого океана (около 4.5 тыс. км).
Третье решение уравнения для собственных значений (14) имеет вид Бт51 = 0. Оно реализуется при 8 = жп/Ь, п= 1,2,3,... Отсюда и из (12) следует
оо
[тк^ ооН
(15)
В случае больших частот оо > / второй член в (15) очень мал и мы получаем дисперсионное соотношение для волн Пуанкаре-Свердрупа
Ш2=/2
Со I к2
2 2 7ГП
п= 1,2,3,...
Их периоды не превышают десяти часов, поэтому для настоящей работы они интереса не представляют.
Для низкочастотных волн оо первый член в (15) мал по сравнению со вторым, и мы получаем дисперсионное соотношение для топографических планетарных волн
оо:
}тк
Н к2
Ж2Я2
п= 1,2,3,...
(16)
На рис. 3 представлен расчет дисперсионной кривой (16) для двух мод п = 1 и п = 30 при I = 100 км, т = 1.4 • 10^3, Н = 100 м, ! = Ю^4 цикл/с. Важной особенностью соотношения (16) является наличие максимальной частоты оот, которой соответствует длина волны Хт = 2ж!кт. При к = кт групповая скорость сё = йоо/йк обращается в нуль, т.е. на этой длине
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 кН
Рис. 3. Дисперсионное соотношение для двух мод топографических планетарных волн, рассчитанное по формуле (16)
волны и периодах из-за отсутствия переноса волновой энергии происходит ее накопление. Соответствующие частоты на дисперсионных кривых получили название частот Эйри [11]. Из (16) следует
7Г2п2 ■
Ro )
(17)
где Яо = со// — радиус деформации Россби. При к = кт максимальная частота топографических планетарных волн есть
тЬ /
2 Н
ч/
Ей соответствует период
■2 п2 ,
7ГП'
(L/Ro)2
Т =
1 W -
АжН mfL
I п2п2
(ro)
(18)
(19)
или, учитывая (17), Т,„ = 4ттНкт/т[, что совпадает при к = кт с формулой (1). Формулы (1) или (19) и определяют период топографических планетарных волн: он зависит от длины волны Хт. Для Сибирского шельфа эта длина имеет порядок 10-50 км и период волн составляет 25-60 сут. На крутых склонах глубоководного желоба южнее Курильских островов наблюдаются типичные длины волн порядка 100 км и периоды порядка 10 сут. Во Флоридском проливе топографические планетарные волны имеют периоды 10 сут, а на шельфе Орегон (США) — 17 сут. На шельфах Австралии их периоды колеблются от 24 сут до 5 мес [10].
Найдем далее с помощью (11) и (12) амплитуду планетарных волн
а = ехр
(~ту)Со
COS(Sy) — -j: ( — — ] sin(<5u) д \co 2H 1
пп
д = Т■
Отсюда следует ( ш \
с = ехр [-2fjy) Со [cos (Sy) - (Aw - /Is) sin(%)] x
и =
x cos(kx — cot + p), (20)
(^y) CO exP [-Щ] x
x [As04u7 — /4s) sin(5i/) — sin(5i/) — Aw cos(5i/)] x x cos(kx — cot + p), (21)
° = _ (jf) ^°eXP (^w) X
x [cos(5i/) — {Aw — /4s) sin(5i/)] $\n(kx — cot + p),
(22)
где S = nn/L, Aw = fk/(Sco), As = m/{2HS). Из (20) видно, что на границах изучаемой области y = 0,L возмущения уровня малы и береговые мареографы, измеряющие уровень океана (,\ нет смысла использовать для записи планетарных волн. Их надо изучать с помощью измерителей течений, установленных на шельфе. Другим методом является сейсмический метод измерения упругих волн в литосфере, порождаемых планетарными волнами. Найдем давление, оказываемое планетарными волнами, на океанское дно.
Для этого необходимо использовать соотношения (6), (20). Имеем при г = Н
рн =ра + gpH - gpCо ехр (-Ц) X
х [cos(5i/) — (Aw — /4s) sin(5i/)] cos(kx — cot + p),
(23)
т.е. амплитуда переменной части давления существенно зависит от числа Aw > /4s и при определенных частотах и длинах волн может значительно превышать давление gp(о- типичное для ветровых волн. К тому же низкочастотные сейсмоволны от планетарных волн затухают значительно медленнее, чем микросейсмы от ветровых волн, и распространяются значительно дальше них. Пусть, например, Т = 31 сут, Л = 10 км, Н = 100 м, L = 100 км, m = 1.4 • 10^3 и (о = 0.1 м (шторм). Тогда Aw = 864 и /4s = 0.22. Максимальное давление на дно рн = gp(oAw достигает 8 атм (8.5- 105 Па). Этого давления вполне достаточно для возбуждения сейсмических волн в литосфере, которые и инициируют землетрясения на Гармском полигоне в диапазоне периодов от 25 до 60 сут, типичном для планетарных волн в океане.
Литература
1. Голицын Б.Б. Избр. труды. Т. 2. М., 1960. С. 379.
2. Монахов Ф.Н. Низкочастотный шум Земли. М., 1977.
3. Арсеньев СЛ., Шелковников Н.К. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 2. С. 62 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 2. P. 63).
4. Дещеревская E.B., Сидорин А.Я. 11 Исследования в области геофизики: К 75-летию Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта. М., 2004. С. 372.
5. Арсеньев СЛ., Шелковников Н.К. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. № 6. С. 40 (Moscow University Phys. Bull. 1998. N 6. P. 45).
6. Thompson R. 11 Deep-Sea Res. 1971. 18, N 1. P. 1.
7. Gould W.J. // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1971. A270, N 1206. P. 437.
8. Каменкович B.M., Кошляков M.H., Монин A.C. Синоптические вихри в океане. Л., 1987.
9. Арсеньев С.А.,Шелковников Н.К. Динамика вод шельфов. М., 1989.
10. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане: В 2 т. М., 1981.
11. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1973.
Поступила в редакцию 25.04.2007
