Вложения в классе параметрических отображений ограниченного искажения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 2

Физико-математические пауки

2009

УДК 519.174

ВЛОЖЕНИЯ В КЛАССЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ИСКАЖЕНИЯ

A.A. Евдокимов

Аннотация

Рассматривается широкий класс отображений, определяющих вложения дискретных метрических пространств и графов. Доказывается теорема о локально изометрическом вложении цепных кодов в булевы гиперкубы.

Ключевые слова: вложение, дискретное метрическое пространство, граф, цепной код. булев гиперкуб.

1. Основные определения

Пусть X - конечное множество и рх : X х X ^ Z + - функция расстояния, которая удовлетворяет обычным аксиомам расстояния.

• {X, рх} называем дискретным метрическим пространством (ОМЭ). Пусть р > Ои д > 0 — некоторые числа го области значен ия метрики рх •

Элементы х\ и х2 множества X называем:

- соседними, если рх(х1,х2) = 1;

- р-близкими, если рх (х1 ,х2) < р;

- д-отделимыми, если рх(х1,х2) > д.

Пусть / : X ^ У - однозначное отображение X в У и {У, ру} - некоторое

• Отображение / сохраняет

- р-близость, если для любых р-близких элементов х1 и х2 из X справедливо неравенство

ру (/(х1),/(х2)) < Р

- я-отделимость, если для любых я-отделимых элементов х^ и х^ из X выполняется неравенство

ру(/(х1),/(х2)) > Я.

• Отображение / : X ^ У называется к-изометрическим, к > 0, если / сохраняет все расстояния, не превосходящие к, то есть

рх (х1,х2) = ру (/(х1),/ (х2))

х1 , х2 рх ( х1 , х2 ) < к

Поскольку к > 0, то к-изометрическое отображение переводит соседние в X У

У

являются только образы соседних в X элементов.

• Обратимое отображение / : X ^ У называется (р, д) -вложением пространства {X, рх} в {У, ру}, если / сохраняет р-близость и д-отделимость.

Варьируя значения параметров p и q, мы получаем параметрическое семейство отображении. При p = 1, q = 1 это класс обратимых отображений, сохраняющих свойство элементов быть соседними. При p > 1 и q = 2 отображение связные части не разрывает, а раздельные не обращает в связные (в смысле целочисленных расстояний) и является дискретным аналогом непрерывного отображения. К этой аналогии мы вернемся ниже.

При p = q = D(X), где D(X) - диаметр множества X и D(X) < D(Y), вложение f : X ^ Y является полностью изометрическим, сохраняя все расстояния.

2. Свойство продолжения метрики

Исследования вложений DMS, сохраняющих отношения близости и отделимости элементов, приводят к изучению таких свойств пространств, которые позволяют выделять «достаточно регулярные» пространства и графы и при этом не слишком сужать рассматриваемые классы.

Ниже приводятся два таких свойства пространств: свойство продолжения метрики (СПМ) и свойство разнообразия шаров и метрической правильности. Пусть Si(x) - шар ради уса г с центром в x G X.

• Для DMS {X,px} выполняется свойство продолжения метрики, если для любых элементов x, y G X

Si(x) % Si(y) или Si(y) % Si(x),

где г = px (x, y) и г < d для конечных пространств диаметра d = d(X).

Так как метрика целочисленна, то СПМ означает, что или существует z G S1 (x), для которого

p(z,y) = p(x,y) + 1

или (симметрично!) существует z' G S1(y), для которого

P(z',x) = p(x,y) + 1-

Если СПМ выполняется лишь для x и y таких, что px(x,y) <k,io будем говорить, что для {X, px} выполняется свойство k-продолжения метрики (k-СПМ). В [1] доказана

Теорема 1. Пусть f : X ^ Y сохраняет 1-близость и q-отдыимость, q > 2.

f q' q' < q

Xq

Пусть G и H - простые связные конечные графы с обычным расстоянием

pg(u, v) = min |C(и, v)|,

где минимум берется по всевозможным простым цепям C(u,v) между вершинами и и v, a |C| - длина цепи C. Для графов, как и для DMS, определяется (p, f : V(G) ^ V(H), которое мы будем для краткости записывать в

виде f : G ^ H.

Заметим, что (p, q) ^^^^жение f : G ^ H щи p = q будет p-изометрическим в обе стороны вложением графов, если под f-1 иметь в виду отображение f-1 : Im f ^ G ^^^^^^п значеннй Im f % V(H) отображения f на множество V(G) и метрику, индуцированную на Im f вложением.

k

фов.

Предложение. Для произвольного связного графа G следующие утверждения эквивалентны:

(i) G удовлетворяет к-СПМ;

(ii) любые две вершины x, y G V(G) такие, что pG(x, y) < к, принадлежат

к

(iii) G к

чайшие цепи, максимальные по вложению, то есть не содержащиеся ни в какой кратчайшей цепи большей длины).

Рассмотрим теперь определения отображением f : G ^ H сохранения близости и отделимости в несколько более общей форме на «языке е и S».

• Отображение f : G ^ H назовем (е, S)-непрерывные, если для любых u, v G G V(G) го неравенства pg(xi, x2) < S следует неравенство рн(f(xi),f(x2)) < е, где е и S - натуральные числа го области определения метрик pG и рн.

Если Sk (v) - шар с центром в точке v G V (G) и радиус ом к, то свойство ограниченности искажения «близких» расстояний «в терминах окрестностей» запишем следующим образом:

f(Si(v)) с (Se(f(v))

для любой вершины v G V (G).

Для свойства сохранения отображением отделимости с порогами е и S имеем

Imf П Se(f (v)) С f (Se(v)).

Тогда при е = S = к для свойства локальной изометричпости вложения f : G ^ H к

f (Sfc(v)) = Sk(f (v)) П Imf

для любой вершины v G V (G).

Так определяемое отображение, сохраняющее близость и отделимость, можно считать дискретным аналогом непрерывного «в обе стороны» отображения или гомеоморфного вложения {X, pX} в {Y, pY}.

3. Свойство разнообразия шаров

Другое свойство, возникающее в связи с исследованием вложений DMS и графов, было названо свойством разнообразия шаров. Оно впервые введено в работе [2], в которой был предложен подход к изучению метрической структуры на основе рассмотрения разнообразия и пересекаемости шаров, содержащихся в графе, когда их радиусы последовательно возрастают от нуля до диаметра графа.

Пусть т(G) = (го, т1;..., Td), где т» - число различных шаров радиуса i в графе G диаметра d = d(G). Тогда т0 = |V(G)|, т» > Ti+1, Td = 1.

Будем т(G) называть вектором разнообразия шаров или просто т-вектором.

• Граф G удовлетворяет свойству ¿-разнообразия шаров, если т» = |V(G)| для любого i < t.

•G t-разнообразия для t = d(G).

Таким образом, для метрически правильного графа т(G) = (|V|V..., |V1). Приведем примеры указанных выше графов:

1) граф Petersen'a, d =2, т(G) = (10,10,1);

2) n-мерный булев куб, d = n, т(G) = (2n, 2n,..., 2n, 1);

3) все графы Платоновых тел. Например, для додекаэдра d =5, т(G) = = (20, 20, 20, 20, 20,1).

Задача состоит в описании множеств векторов разнообразия шаров в графах и их классах и выделении свойств т-векторов, инвариантных относительно изоморфизма графов. Это является и одним из подходов к классификации графов и DMS на основе свойств структур пересечения шаров в них, когда радиусы шаров последовательно возрастают от единицы до диаметра.

Заметим, что в [2] доказано, что почти все n-вершннные графы удовлетворяют СПМ и являются метрически правильными.

В [3] получено описание векторов разнообразия шаров для класса деревьев, и с его помощью охарактеризованы деревья, обладающие свойством t-разнообразия шаров. Исследования векторов разнообразия шаров были продолжены в работах [4, 5].

4. Цепные коды

Пусть X = {0,1,... ,l — 1}, px = |г — j|, а пространством {Y, pY} является множество всех двоичных слов длины n с метрикой Хемминга, то есть Y = {0,1}n, pY(x,y) = |{г, xi = yi }| - расстояние между словами x и у, равное числу позиций, в которых эти слова различаются. Тогда (p, 1)-вложение f : X ^ Y определяет p-woMempunecrne кодирование натуральных чисел отрезка [0, l — 1], и выполняется равенство

py (f (г),f (j)) = ^ — j|

для всех чисел 'i,j G [0,l — 1], для которых |г — j| < p. При l = 2n имеем |X| = = |Y|, и (p, 1)-вложение f : [0, 2n — 1] ^ {0,1}n определяет код Грея, которому по свойству q = 1 соответствует гамильтонова цепь в графе булева гиперкуба.

Конечная последовательность ao, a 1,..., а; двоичных слов длины n ai = = (а1,..., an), ai G {0,1}, образует цепной код с расстоянием d, если:

1) p(aj, aj+1) = ^и г = 0, 1,...,1 — 1;

2) из |г — j| > d следует, что p(ai,aj) > d ^да всех 0 < ri,j < I, где p(a, ¡3) =

n

= Y1 a — - Хемминга между словами a = (a1 ,...,an)n 3 =

i=1

= (31,..., Рп), и I > d, чтобы не рассматривать вырожденные случаи. Будем такой код называть (n, d) -цепью длины I.

Историю исследования цепных кодов и их приложения можно найти в [6 9]. n (n, d)

этого куба, который в силу свойства 2) не подходит сам к себе ближе, чем на d

Известно, что существует 3-изометрическое вложение (n, 2)-цепи дли ны I х 2n, которое сохраняет 2-различимость, то есть имеет параметры (3, 2)-вложения. Это (n, 2)

Как и в [6, 7], мы следуем «словарной» интерпретации задач вложения це-

n

алфавите (буквам сопоставлены орты гиперкуба). Дадим определения и введем обозначения.

Пусть X - слово в алфавите (x) = (x1,..., xn), l(X) - длина слова X. Если (x') С (x), то X(x') """"" проекция слова X та адфавит (x'), ^о есть получа-

ется в результате вычеркивания из X тех букв, которые не входят в (x').

XX

несущественной в противном случае.

Y(X) = (y1, ... ,Yn), где Yi = 1, если xi существенна в X, и Yi = если xi несущественна.

© - операция поразрядного сложения векторов по mod 2.

¿(X) = ||y(X)|| = S"=1(7j) - число существенных букв в X. i последовательных букв слова X образуют подслово длины i, i = 1, 2,...,

1(X).

• X теть d-слово, если для любого его подслова X' такого, что 1(X') > d, справедливо ¿(X') > d.

Повторение г раз слова X обозначаем Xr, r > 2.

В этих определениях и обозначениях переходной последовательности (n, d) -цепи соответствует такое слово в n-буквенном алфавите, в котором:

— любые его d + 1 последовательных букв все различны (d +1 -изометричность вложения цепи):

d

dd

расстоянию Хемминга между концами отрезка цепи).

Поэтому, (n, d)-4enn соответствует (d + 1, d}-влoжeниe f : {0,1,..., l — 1} ^ Y,

dn

dn

переходную последовательность (n, d) -цепи и, следовательно, (d + 1, d}-вложение f : {0,1,...,1 — 1}^ Y.

Ниже приводится конструкция d-слова для любого d = 2t + 1, t > 1. В [6] был рассмотрен только случай t = 1.

Пусть X = Xjjxi2 ...xj¡ - произвольное 1-слово в алфавите (ж) = (x1,... , xs) и пусть определено соответствие

xfc ^ Yfc, k =1,...,s, (1)

где Yfc - d-слова в алфавите (y) = (y1,...,ym} такие, что для любых p из них j,..., Yjp выполнено неравенство

|| 0 Wj. )ll> d — Р (2)

s=1

при всех p =2, 3,..., d — 1.

Пусть {Zfc} - множество слов-копий для {Yk} (k = 1,..., s) в новом алфавите (z) = (z1,..., zm), то есть каждое получается из Yk заменой всех букв y¿ ^ z¿, i = 1,..., m.

Пусть (а) = (ab...,at), (b) = (bb...,bt), (c) = (СЬ ..., cd-2) - алфавиты, не пересекающиеся с алфавитами (ж), (y), (z), и A = а1,..., at, B = b1,..., b^ C = = c1,..., cd-2 - слова в этих алфавитах, каждое из которых образовано просто выписыванием подряд всех букв этих алфавитов. Образуем алфавит

(w) = (ж) и (y) и (z) и (а) и (b) и (с)

и слово

W = Yij Axij BZij C...Yij Axij BZj C..Y Аж^ B., C

в этом алфавите. По построению мощность алфавита (w) равна s + 2m + 3 и

W(x) = X, W<y> = Yij ...Yii, W(z> = Zij ...Zii, W<a>u<b>u<c> = (ABC)1.

Заметим, что если - некоторая буква слова X, то в W слева и справа от стоят те слова Yk и Zifc, которые отвечают xifc по соответствию (1).

Wd

Доказательство. Убедимся, что для любого подслова Ш' слова Ш такого, что 1(Ш') > й, выполнено неравенство

6(Ш') > й, (3)

где 5(Х) - число букв, входящих в слово X нечетное число раз. Пусть

5(Ш[Х))= р. (4)

Если р > й, то (3) верно, поскольку 3(Ш') > д(Ш'Х)).

Если р = 0, то, так как есть 1-слово, то Ш' те содержит букв из (х), и, следовательно, Ш' есть подслово слова BZ^kОУгк+1 А для некоторого к, а поскольку и Угк+1 есть ¿-слова, то (3) справедливо.

Рассмотрим теперь основной случай 0 <р < й — 1. Пусть Ш'Х) = х^к,..., х^к+г, и х^1,..., х^р - буквы, существенные в Ш'Х). Все возможные расположения подслова Ш' в слове Ш изобразим схематически

1 2 3 4 5 5' 4' 3' 2' 1'

•••хгк-1 BZ ¿к-1 СУгк Ахгк ■■■х^к+г BZ ¿к+г СУгк+ г+1 А Х^к+г+1 ■■■,

где сечения слова Ш, определяющие возможный выбор левого конца Ш', есть 1, 2, 3, 4, 5, а правого - 1', 2', 3', 4', 5'.

1

Сечения, попадающие на стык слов, например ... В | Z¿k-1 ..., будем относить к сечениям с нечетными номерами.

Левый и правый концы сечения обозначим Ь и К соответственно. Покажем, что при любом варианте выбора концов подслова Ш' справедливо неравенство (3).

Из конструкции слова Ш непосредственно следует, что случай Ь = К = г/' при любых € {1,2, 3,4, 5} и £ = п симметричен случаю Ь = п, К = £', и поэтому в их доказательстве достаточно произвести замену:

А 4 В, Угк 4 у Zik+R, Zik-l 4 Угк +Г+1 ■

Учитывая это замечание, рассмотрим оставшиеся случаи.

а) Ь € {1, 2, 3}, К € {3', 4', 5'}.

~ р —

В каждом из этих 9 случаев Ш'у) = У^к ... У^к+г, и потому 7(Ш'у)) = 0 7(Уа),

8=1

а по свойству (2) 6(Ш'у)) > й — р, что вместе с (4) влечет (3).

б) Ь =1, К = 1'. Теперь

Ш(г))= 7^гк-1 ) ©0 ),

8 = 1 р

7(Ш('у) ) = 7№к+г+1) ©0 7(У".).

8 = 1

При р < й — 2 по свойству (2)

ти) +т{у)) = У7(ш('2) )н + у7(^у))у > 2(й—р — 1),

что вместе с (4) дает

6(Ш') > 2й — р — 2 > й.

Если р = й — 1,то р - четно, следовательно, 1(Ш'Х)) = г +1 - четно, и поскольку Ш'с) = Сг+2, то ) = й — 2, что вместе с (4) влечет (3).

в) L = 2, R = 2' или L = 4, R = 4'.

Если p - четно, то, как и в случае б), S(W'c)) = d — 2, что влечет (3). Если p - нечетно, то W'a)U(,b) = (AB)r+^ r + 1 - нечетно, откуда

S(W('a)) + S(W('b) )= d — 1,

что влечет (3).

г) L = 5 R = 5'.

Здесь

k+r k+r

7(W('y))= ф 7(Yj".)= №) ©07(Yis),

s=k+1 s=k

и, следовательно,

S(W'y)) = ||7(Yifc) © 07(Yjs)||.

s=1

Аналогично для алфавита (z)

S(W'z)) = |7(Zifc+r) © 0№)||

s=1

p< d— 2

S(W'y)) + S(W'z)) > 2(d — p — 2),

что вместе с (4) дает (3).

Наконец, при p = d — 1 имеем W'c) = Cn, S(W'c)) = d — 2, что опять влечет (3).

д) L =1, R =2 ' или L = 4, R = 5 '.

Если p - четно, то, как и в случае в), S(W'c)) = d — 2, и (3) выполнено. Если p - нечетно, то W'a) = S(W'a)) = t, и то алфавиту (z) будем иметь

для L =1, R = 2 ' так же, как в случае б), а для L = 4, R = 5 ' так же, как в случае г):

S(W'z)) > d — p — 1.

Окончательно имеем

S(W') > S(W'x)) + S(W'z)) + S(W'a)) > p + d — p — 1+1 > d. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 08-01-00671, 09-01-00070) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН (проект «Новые методы дискретного анализа и комбинаторной оптимизации»).

Summary

A.A. Evdokimov. Embeddings from t.lie Class of Parametric Mappings of Bounded Distortion.

The paper considers a wide class of the mappings defining the embedding of discrete metric spaces and graphs. The theorem on local isometric embedding of circuit codes into Boolean liypercubes is proved.

Key words: embedding, discrete metric space, graph, circuit code. Boolean liypercube.

Литература

1. Евдокимов А.А. Метрические свойства вложепий и коды, сохраняющие расстояния // Труды Ип-та матом. СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1988. Т. 10. С. 116 132.

2. Евдокимов А.А. Локально изометрические вложения графов и свойство продолжения метрики // Сиб. жури, исслед. операций. 1994. Т. 1. Л' 1. С. 5-12.

3. Федоряева Т.И. Разнообразие шаров в метрических пространствах деревьев // Дискр. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2005. Т. 12. Л' 3. С. 74 84.

4. Fedoryaeva T.I. Diversity Vectors of Balls in Graphs and Estimates of the Components of the Vectors // J. Appl. Indust.r. Math. 2008. V. 2. P. 341 357.

5. Рынков К.Л. Об условиях существования графа с заданным диаметром, числом вершинной связности и вектором разнообразия шаров // Дискр. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2007. Т. 14, Л» 4. С. 43 56.

6. Евдокимов А.А. Цеппые коды с произвольным расстоянием // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228, № 6. С. 1273 1276.

7. Евдокимов А.А. Вложения графов в n-мерный булев куб и интервальное кодирование табло // Вести. Томск, гос. ун-та. Приложение. 2006. Л' 17. С. 15 19.

8. Шее V. A method for Constructing Circuit Codes // J. Assoc. Сотр. Macli. 1967. V. 14, No 3. P. 520 528.

9. Preparata F.P., Nieveryelt J. Difference-preserving codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1974. V. IT-20, No 5. P. 643 649.

Поступила в редакцию 02.03.09

Евдокимов Александр Андреевич кандидат физико-математических паук, профессор, заведующий лабораторией Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск.

Е-шаП: evdukem.ath.nse.ru