CC BY
19
Изд-во, Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 159-164,
8. Маркушин А. Г. К разработке динамической теории сыпучего тела с твердым зерном // Аэродинамика, Ударно-волновые процессы : межвуз, сб. науч. тр. Саратов, Вып. 15(18). 2001. С. 96.
9. Биргер И. А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение. 1964. № 1. С. 193.
10.Квапил Р. Движение сыпучих материалов в бункерах. М, : Госгортехнздат, 1961. -80 с. 33.
УДК 539.3
В. Ю. Ольшанский, А. В. Серебряков, И. Ф. Паршина
ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Рассматривается датчик ииерциальиой информации. Это устройство предназначено для измерения одного из компонент угловой скорости вращения контролируемого объекта. Конструкция датчика включает в себя чувствительный элемент в форме упругого куба массой М с ребром /, а также микроэлектромеханические структуры в виде двух взаимно, перпендикулярных пьезокерамических пластин Щи П2. Обе пластины имеют равные толщины Н = Н2 = Н. У каждой пластины одно из оснований закреплено, а другое находится в контакте с чувствительным элементом. Контакт реализован так, что на пластины передаются только нормальные механические усилия. На пластину П подается переменный ток. Вследствие этого за счет обратного пьезоэффекта возбуждаются упругие волны, которые вызывают колебания чувствительного элемента. При наличии угловой скорости переносного вращения чувствительный элемент как присоединенная масса воздействует па пластину П2. За счет прямого пьезоэффекта в этой пластине генерируется электрический ток. Учитывается, что выбор материала для изготовления чувствительного элемента определяет его податливость, которая в свою очередь влияет на распространение в чувствительном элементе упругих волн и тем самым — на положение его центра масс. Требуется рассчитать амплитудно-частотные характеристики датчика.
Рассматривается связанная динамическая задача электроупругости для системы упругих тел. Микроэлектромеханические структуры (МЭМС) — пластины, у которых по толщине распространяются упругие
волны. Эти волны связаны с электрическим полем за счет явления пье-зоэффекта. Рассматривается режим установившихся колебаний, потому что период колебаний пластин мал и за один период угловая скорость О изменяется незначительно. Учитывается наличие вязкого трения. Выбрав систему координат с осями, нормальными к основаниям пластин, представим упругие перемещения функциями щ (хк ,Ь) и электрические потенциалы — функциями фк(хк,Ь\ гДе к = 1, 2.
В безразмерной форме уравнения механических колебаний можно представить в виде
д2щ дщ д2щ 1 т
+ = 1Щ,к = 1,2 (1)
Для электрических потенциалов используются уравнения вынужденной электростатики [1] в виде
д2фк к2з д2щ
дхк 1 — Щ3 дх2к '
к = 1, 2. (2)
В формулы (2) входит коэффициент к23 — продольный статический коэффициент электромеханической связи. Считается, что обе пластины запкреплены на корпусе датчика.
Граничные условия на контакте МЭМС с чувствительным элементом (ЧЭ) выглядят следующим образом:
дщ(Н1,г) + дф^Н^Ь) = { д 2ис 1(Ь) + 2^дпо 2(Ь)\ дх1 дх1 \ дЬ2 дЬ ) '
дщ^Ь) дф2(^2,Ь) ( д2ис2(Ь) 0 дис 1(Ь)\ , .
+ дх2 = т\ — (3)
куда входят безразмерные комплексы т = Мв33с2/АН, и = О3Н/с.
Движения центра масс С ЧЭ получаются в результате осреднения по объему ЧЭ перемещений элементов сплошной среды. Используется приближенная оценка механических колебаний в ЧЭ. При этом полагается, что колебания можно разложить на независимые составляющие у1(х1, Ь) и У2(х2,Ь) вдоль осей координат. Тогда
Н +1 нк+1 2
диск (Ь) _ 1 [ дУк (хк ,Ь) А д иск (Ь) _ 1 [ д2Ук (хк ,Ь) _
дЬ = и дЬ ^ дЬ2 = и дЬ2 йхк,к =12.
Для перемещений (х\, Ь), У2(х2,Ь) приходим к волновым уравнениям вида
д 2Ук 0 дук 2 д 2ук + ° ~дЬ = а
+ = ,к = 1, 2, (5)
к
2 а2
МЭМС и в ЧЭ. К уравнениям (5) добавляются условия неразрывного контакта между пьезопластиками и ЧЭ, а также условия на свободных поверхностях ЧЭ.
Краевая задача решалась для случая, когда внешнее напряжение изменяется по закону и(Ь) = и0тпДЬ. Перемещения удается выразить в виде
ик (хк, Ь) = 2Яв ((Ак1сЬ Ххк + Ак2в ЪАхк )ехр(гвЬ)) ,к = 1, 2,
Ук (хк, Ь) = 2Яв ((Бк^Ъ^Хк + Вк2й ЬдХк )ехр(1вЬ)) ,к = 1, 2. (6)
В формулы (6) входят волновые числа А, д. Эти величины зависят от упругих и вязких свойств пьезокерамики и материала ЧЭ. Константы А11,... , В22 определяются из граничных условий. Силу тока удается представить [2] в виде
т (Ь) = (л С \ дщ(Н2,Ь) баз дф2(Н2,Ь)\ (7)
1 (Ь)= \АН) ■ дДйзз ' дХ2 (зз ' дХ2 ). (7)
Здесь (зз — пьезоэлектрическая постояппая, бзз — диэлектрическая проницаемость при постоянных деформациях.
Были проведены численные эксперименты и получены амплитудно-частотные характеристики датчика при различных отношениях скоростей упругих волн в МЭМС и ЧЭ. При этом упругие характеристики МЭМС взяты для пьезокерамики марки ЦТС-19. Упругие свойства ЧЭ варьировались в диапазоне значений, которые характерны для соединений на основе кремния. Установлено, что по мере увеличения жесткости ЧЭ расчетные результаты приближаются к полученным ранее [3] для модели с недеформируемым ЧЭ. Так, при су = 1,6 ■ с наблюдается несколько пиков амплитуд тока. Это объясняется тем, что МЭМС и ЧЭ работают как одно тело, в нем распространяются упругие волны. В случае, когда материал ЧЭ более жесткий по сравнению с пьезокерамикой (су = 6 ■ с), выделяется одно пиковое значение, достигаемое при значении вынуждающей частоты в, близком к первой собственной частоте колебаний пластины.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гринченко В. Т., Улитпко А. Ф., Шульга Н. А. Электроупругость. Киев : Наук, думка, 1989. 280 е.
2, Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Абитова И. Ф. О влиянии граничных условий на динамику чувствительного элемента пьезогироскопа // Изв. Сарат, унта, Нов, сер, 2011, Сер, Физика, Т. 11, вып. 2, С, 51-54,
3, Панкратов В. Л/.. Ольшанский В. Ю., Нагар Ю. Н., Серебряков А. В. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение, 2010, № 8, С, 3-8,
УДК 517.51
И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В настоящей статье исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :
итах — и — итах < ОО, и ±|и|,
ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
(А т.о.
2— = А о , = и-+—¡т г3, (Н ог2
dp c p
= ^, r =-, c = const,
dt r2 1 + e cos p
из заданного начального состояния
t = to = 0, tp(0) = tpo, Л(0) = Л(0) = Л0 О (cos t0 + i3 sin t
\ 2 2
в конечное состояние
t = t\ =?, tp(ti) = tp\, vect Л(t\) о Л* o (cos P + i3 sin
22
При этом необходимо минимизировать функционал
= 0.
fti rt i
J\ = (a\ + a2u2) dt или J2 = (a + a2\u\) dt, a\,a2 = const > 0. Jo Jo
При a\ = 1, a2 = 0 имеем задачу быстродействия.
