CC BY
28
influence of wave velocity in filling spherical shell liquid on the oscillation frequency system
Mamedova Guldasta Akif kizi, Email: gular-gulshan@rambler.ru Seyfullayev Alizade Imamali oqli Email: a.seyfullayev@yahoo.com Aqasiev Samir Ramiz oqli Institute of Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Azerbaijan Email: bakisamir@mail.ru
Influence of wave velocity in filling spherical shell liquid on the oscillation frequency system
Abstract: The paper deals with asymmetric free vibrations of an elastic spherical shell filled with compressible liquid. Here the motion equations are constructed in radial displacements and by using special potential. The problem is reduced to the investigation of the homogeneous system of two equations with respect to radial displacement of the mentioned potential. The non-triviality condition of the solution reduces to a transcendental equation. In the mown papers, the solution of the mentioned transcendental equations is found by numerical methods.
The analytic solution connecting the frequency of the system shells — liquid and the frequency of liquidless shell in constructed by the inverse method. Investigation the influence of the velocity of wave propagation in the liquid the vibration frequencies systems the shell — fluid. This solution admits to investigate the phenomenon of analytic method and to construct frequency spectra.
Keywords: vibration, wave, frequency, density, shell.
Мамедова Гюльдаста Акиф кызы, Email: gular-gulshan@rambler.ru Сейфуллаев Ализаде Имамали оглы Email: a.seyfullayev@yahoo.com Агасиев Самир Рамиз оглы Институт Математики и Механики НАН Азербайджана Email: bakisamir@mail.ru
Влияние скорости волн в заполняющая сферическую оболочку жидкости на частоту колебаний системы
Аннотация: Рассматривается задача об осесимметрических свободных колебаниях упругой тонкостенной сферической оболочки заполненной сжимаемой жидкостью. При этом уравнения движения построены в радиальных перемещениях и с использованием специального потенциала. Задача сводится к исследованию однородной системы двух уравнений относительно радиального перемещения и упомянутого потенциала. Условие нетривиальности решения системы приводит к трансцендентному уравнению. В известных работах решение указанных трансцендентных уравнений находится численными методами. Обратными методом построено аналитическое решение связывающее частоту системы оболочки — жидкость с частотой оболочки без жидкости. Исследовано влияние скорости распространения волн в жидкости на частоту колебаний системы оболочки-жидкость. Это решения позволяет исследовать явление аналитического метода и строить спектры частот.
Ключевые слова: колебания, волна, частота, плотность, оболочка.
1. Введение
Одной из важнейших задач на стадии проектирования тонкостенных оболочечных конструкций, широко применяемых в авиационной, ракетно-космической технике и различных областях промышлен-
ности, является динамический расчет. Необходимым элементом исследования динамики оболочек является определение собственных частот и форм малых колебаний, причем наибольший интерес для приложений представляют частоты из нижнего спектра [1].
95
Section 10. Mechanics
Важное место среди динамических контактных задач теории оболочек занимают задачи о свободных колебаниях упругих тонких оболочек, контактирующих с упругой твердой средой и жидкостью.
В работах [2; 3] исследуются частоты и формы свободных колебаний сферической и цилиндрической оболочек, контактирующих с упругой и жидкой средой, в частности асимптотическими методами получены приближенные простые формулы для вычисления частоты и определения формы колебаний рассмотренных систем, а это ограничивает использование полученных результатов, исключая в ряде важных случаев возможность проведения качественного анализа исследуемых процессов.
Кроме того, в работе [4] рассмотрены свободные осесимметрические колебания тонкостенной бесконечной цилиндрической оболочки, содержащей сжимаемую жидкость. Поскольку нахождение собственных частот связано с решением трансцендентных уравнений, здесь частота колебаний оболочки, не содержащей жидкость, выражена через частоту колебаний системы в явном виде, что позволяет как аналитически, так и графически исследовать спектры частот системы.
В данной работе исследуется свободное колебание сферической оболочки с жидкостью.
2. Постановка задачи
В работе уравнения движения сферической оболочки разделены две части: систему, описывающую потенциальное движение, и уравнение, описывающее вихревое движение. Первая система в случае тонкостенной оболочки будет иметь вид
2(1 V) • 4W + -1 A0W + 4V 32 Д0Ф + 1 - 2v r2 r2 0 (1 - 2v)r2 0
+ l2W - ^ = 0
(1)
4(1 -v) 1
1
Gh 2(1 -v)
1 - 2v r2
-VW + -VAnW + ^ w2 А0Ф + Я2Ф = 0
r2 0 (1 - 2v)r
(P = РшеШ)
Здесь
я2=
Gh
где v -коэффициент Пуассона; r - радиус оболочки; h - толщина; p - давление жидкости на оболочку; о - частота; q - плотность материала оболочки; G - модуль сдвига; W - радиальное смещение.
д
д
А0 + ctgQ — +
1 д2
дв2 дв sin2 вдф1’
где ф, в - сферические координаты.
Поверхностные смещения u и В представлены в виде
дФ 1 dF u —--+ -
9 —
дв sine дф 1 дФ dF ’
sine дф дв
где Ф, F - функции, описывающие потенциальную и вихревую составляющую движения.
Давление жидкости определяется для случая потенциального движения сжимаемой жидкости следующим образом.
Ш
Р = -Р
dt ’
(2)
где р - плотность жидкости, r - расстояние от центра, П - потенциал скорости, удовлетворяющей уравнению
д 2П
а АП = -
dt
2
(3)
где А - оператор Лапласа, a - скорость распространения возмущений в жидкости.
Радиальная скорость оболочки и потенциал скорости жидкости на поверхности контакта связаны соотношением.
du дП , V
~6t ~~дт ’ ( )
где ur - радиальное перемещение оболочки, или учитывая, что при колебаниях
П = Плеш
имеем
u = Weimt
ш дП„ aW = ■
dr
(5)
Согласно (2), при колебаниях будет
Рш = Р(°пш (6)
А уравнение (3) обратится в уравнение Гельмгольца, решением которого, отвечающим рассматриваемой задаче о свободных колебаниях сферической оболочки, будет
ПШ=П Z 1 М-Yn (в,ф) (n = 1,2...), (7)
Vr n+2 ^ a ) =
где Z 11 — I = jn I — I; Yn (в,ф) - сферическая гар-
a>r
моника.
&r
Здесь jn | — I - сферическая функция Бесселя
первого рода
i
— }ЧП-■ j ,I —
a j \ 2 a>r 1 a
(8)
Неизвестные функции в (1) также выражаются при помощи сферических гармоник
W = WnYn (в,ФУ, Ф = Ф nln (в,ф) (9)
Из (7) и (8) следует
П =
1 \ — \-Y„m). (10)
a ) =
2
96
influence of wave velocity in filling spherical shell liquid on the oscillation frequency system
Из (5), (9) и (10) можно получить
Wn = ^ — n ra\ 2a
-r ,Iarl-1J ,(-
. (11)
J 1
z =
ar
Из (6), (10) и (11) можно определить давление p следующим образом
/ ar'
aj, 1 (ar|_ 1 J t lar
M =
Gh
2 ,
r q
или
pa J i
pa =
■WnYn (в,ф)
a j , tar j 1 j (or
(12)
учитывая, что функции в (9) удовлетворяют уравне ниям
A0W + n(n + 1)W = 0;
А0Ф + n(n + 1)Ф = 0;
и используя (12), (13) и (11) в (1), получим
а
M
1 -^ I-n(n + 1)
q
n(n + 1)а
а
— - n(n + V)ß M
=0, (15)
здесь
(13)
а = -
4v - 3
1 - 2v
2 (l-v)
А2 -
n(n +1)
W +
n(n + 1)(4v - 3) 2(1 -y)r2
Ф -
1 -v
Из (15) следует
а M2
ß =
2 (-v)
1 - 2v
( г ^ 1-^- -n(n +1) 1+ß pzß
К qa j L q J
а
M
-n2(n + 1)2 ß - 2n(n + 1)a = 0
, pa1J , \ — \w„M,(-,ф)
J-------"J la > - ' = 0
Gh ®j , ( ar^ \- 1 j l ar
(14)
Последнее имеет решение
а
M
W+ [т - 2n(n+1)(1 - v |ф = 0.
r2 ^ (1 -2v)r2 ) n
Уравнение (14)будет иметь нетривиал1>ное реше-
n(n + 1)(4v - 3)
1 -
PZ - J
n(n +1)
1+ß
1 -
pZ
-J
(16)
1)
ние при
,2
n(n +1)
1+ß
1 -
pZ - J
+ 4 (2a - n(n + 1)ß)(n +1)
G) , n p 2 r
----n(n + 1) -^—G) Z
M
qM
1 -v
a2 2n(n +1)(1 -v)
M 1 - 2v
= 0,
При отсутствии жидкости (16) примет вид
Щр2 = n(n +1)(1 + ß) ±
M 2 ~
yj{n(n +1)(1 + ß)}2 + 4 (2a - n(n + 1)ß)n(n +1)
(18)
где
2 2 &0 =&
Исключив из (16) и (17) М, получим n(n +1)(1 + ß)±(n(n +1)(1 + ß)}2 + 4(2а -n(n + 1)ß)n(n +1))
n(n +1) 1+ß f. -Z ± — \ \ n(n +1) 1+ß (1 -Z
V q y. 1 V q )_
(19)
-4 (2а - n(n + 1)ß)n(n +1)
Формула (19) выражает зависимость а0 от а . Уравнение (19) связывает свободную частоту си-
построены графики N (а) - а рис. 1., рис. 2., рис. 3. соответственно, где N(а) = а0. На графиках представ-
стемы со свободной частотой оболочки в отсутствии лены зависимости частот колебаний для различных
жидкости. Нахождение частот свободных колебаний мод системы от частоты пустой оболочки. Показаны
три фрагмента частотного спектра а-а0 для трёх значений скорость распространения возмущений
r = 100, a = 1400, £- = 0.1
q
системы в целом связано с решением трансцендентного уравнения (16).
При решении трансцендентного уравнения часто в жидкости.
авторы прибегают к приближенным методам, в частности к асимптотическим [5]. Однако, решение обратной задачи позволяет строить спектр частот графики, п ,-1Г.з
r r г т на интервале 0 - 5 -10 для N (а) и 0 - 25 для а почто упрощает исследование, в том числе определение , , ч
’ r г строены графики N (а) - а рис. 2. (N (а) = а0).
частоты.
При некоторых данных значениях параметров задачи на интервале 0 - 8 -103 для N (а) и 0 - 25 для а
r = 100, a = 1000, £- = 0.1
q
а
2
a
1
-,л 2
2
2
97
Section 10. Mechanics
Рис. 1. Зависимость частот колебаний оболочки, не содержащей жидкость N(o), от системы
о (r = 100, a = 1400, p = 0.1)
q
Рис. 2. Зависимость частот колебаний оболочки, не содержащей жидкость N(q), от системы
о (r = 100, a = 1000, p = 0.1)
q
на интервале 0 - 3-103 для N (ю) и 0 - 25 для ю построены графики N(a) - ю рис. 3. ( N (®) = Щ, ). r = 100, a = 500, Р = 0.1
q
98
influence of wave velocity in filling spherical shell liquid on the oscillation frequency system
Рис. 3. Зависимость частот колебаний оболочки, не содержащей жидкость N(w), от системы
о (r = 100, a = 500, Р = 0.1)
q
3. Выводы
Из графиков спектра видно, что частота системы нарастает асимптотически до некоторого постоянного значения, однако при больших скоростях волн в жидкости частота приближается к постоянному значению при больших величинах частоты оболочки при a = 500, ю = 1300; при a = 1000, ю = 3000; при a = 1400, а = 4000; .
Список литературы:
1. Михасев Г. И. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы./Г. И. Ми-хасев, П. Е. Товстик.-М:. ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 292 с.
2. Латифов Ф. С. Колебания оболочек с упругой и жидкой средой. Баку: Элм, 1999, 164 с.
3. Chen W. Q Cai J. B., Ye G. R., Ding H.J. (2000). On eigenfrequtncies of an anisotropic sphere. Trans. ASME. J. Appl.Mech. 67, № 2. C. 422-424.
4. Сейфуллаев А. И. Мамедова Г. А. Влияние плотности среды на свободные колебания цилиндра содержащего сжимаемую жидкость. Механика-машиностроение, 2011, № 1. C. 28-32.
5. Смирнов В. Н. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2, М., Наука, 1974, 672 с.
99
