Влияние силы Кориолиса на распространение вынужденных длинных морских волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 521.13

А. Б. Афонасьева, А. А. Зайцев

ВЛИЯНИЕ СИЛЫ КОРИОЛИСА НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ДЛИННЫХ МОРСКИХ ВОЛН

Изучено влияние силы Кориолиса на особенности формирования и распространения вынужденных морских волн. Рассмотрена генерация длинных волн сосредоточенным монохроматическим источником. Исследованы два случая — низкочастотных и высокочастотных волн.

The influence of the Coriolis force on the peculiarities of the formation and propagation of forced sea waves is studied. The generation of long waves by a focused monochromatic source is observed. Two cases — the low frequency and high frequency waves are investigated.

Ключевые слова: сила Кориолиса, геострофическое течение, длинные волны, фундаментальное решение, преобразование Фурье.

Key words: Coriolis force, geostrophic flow, long wave, the fundamental solution, the Fourier transform.

Вращение Земли существенно влияет на мезо- и крупномасштабные явления в морях и океанах. В частности, оно ведет к образованию инерционных волн, геострофических течений и одного из наиболее интересных видов краевых волн — волн Кельвина в прибрежной зоне. Цель данной работы — изучить вопрос о влиянии силы Кориолиса на распространение вынужденных длинных волн. Делается акцент на проблему формирования геострофического течения.

Система уравнений длинных морских волн с учетом силы Кориолиса имеет следующий вид

здесь x, y — горизонтальные координаты, t — время, u, v — горизонтальные компоненты скорости частиц жидкости, ц — уровень свободной поверхности, f — параметр Кориолиса, g — ускорение свободного падения, h — глубина моря (или океана).

Рассмотрим свободные синусоидальные волны в безграничном море. Используя для них комплексное представление, будем иметь

7] = i)0 exp W , и = и0 exp id , v = v0 exp W , в - cot-kx-ly . (2)

После подстановки выражений (2) в уравнения (1) и сокращения на общий множитель получаем матричное уравнение

то из уравнения (3) следует, что для частоты свободных длинных волн, которые находятся под влиянием силы Кориолиса, имеет место равенство

Введение

Свободные волны и геострофическое течение

[1]:

Щ -fv+gr/x =0, vt+fu + gr]y= 0, t)t+hix+vy= 0; (1)

АН = 0,

где

Ґ -gik і о) -f Л

T

А= -gil f ico , Н = t]0,u0,v0 .

im -ikh —ilh

Условием существования волновых решений является соотношение

detA = -iw со1-/1-с2 k1 +l2 =0,

(3)

скорость длинных волн в отсутствие силы Кориолиса. Поскольку ДЛЯ ВОЛН СОФ 0,

Вторым типом движений в океане являются стационарные течения. Поскольку в этом случае

V, =0/ и, =0, V, =0, то система уравнений (1) упрощается и принимает вид

-fo, + gt]x=Q, fu + gr|y=Q, ux+vy=0. (4)

Из первых двух уравнений системы (4) находим

и = -уПуг У = уГ/х. (5)

Третье уравнение автоматически удовлетворяется этими выражениями.

Формулы (5) описывают геострофическое течение [2]. Оно является вихревым; для завихренности а имеет место выражение

сг = ^-иу=уА]7 ■ (6)

В том случае, когда уровень зависит только от расстояния г до некоторой фиксированной точки (центра течения), радиальная скорость геострофического течения равна 0, а для тангенциальной справедливо равенство

я

V = —71 Г .

/

Из него следует, что центральная область циклона представляет собой углубление, а центр антициклона является возвышением.

Особенности распространения вынужденных длинных волн в безграничном море

Рассмотрим генерацию длинных волн сосредоточенным монохроматическим источником, считая, что начало системы координат совмещено с положением источника. Тогда первые два уравнения системы (1) останутся прежними, а третье принимает вид

Чг +к4х +уу (7)

Здесь <2 — объемный расход источника, функция Хэвисайда Н 4, указывает, что источник начал действовать в момент времени t = 0. Предполагается, что до этого момента движения отсутствовали.

Замечание. Мы снова пользуемся комплексным представлением решения. Согласно этому представлению Q может быть комплексной величиной, включающей начальную фазу переменного дебита источника. Принято выделять жесткий ^ — действительная величина) и мягкий ^ — мнимая величина) режимы включения. Физический смысл имеют действительная и мнимая части решения.

Из первых двух уравнений системы (1) находим

И« + /2и = -Я (/х, + /Пу У V# + /2“ = -Я ^ - />7* (8)

Действуя далее оператором д] + /2 на обе части уравнения (7) и пользуясь равенствами (8), получаем следующее уравнение для уровня:

%+/277-с2Схс+77УУУQF£§4c,y~'_J (9)

где

+—Н t /2 -со1 ехр /о/ -/2 1а>

Обозначим Е$,у,1^ — фундаментальное решение уравнения (9). Тогда решение этого уравнения выразится сверткой по t фундаментального решения с функцией [3]. Для

определения фундаментального решения, которое подчиняется уравнению

Ett + f2E - сЧ« + Ew > Sis, y,ij

используем двойное преобразование Фурье по пространственным переменным. Тогда для изображения получим уравнение

Ё + со2Ё = 8 t , со2 = f2+c2 к2+12 ,

где k, l — параметры преобразования. Его решение имеет вид

- Н t sin cot Е =-------------.

Выполняя обратное преобразование Фурье и переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем с помощью таблиц интегральных преобразований [4] (эти таблицы также будут использованы при получении формул (11), (13),(14)):

Н t rsin cot

Е =----— ------------exp —і kx + ly dkdl =

4тг j со

H t +}2} sin at

-------— \p----------exp -iprcos<9 d6dp =

J J ҐП

4 л 0J 0J со

H t +} sin cot H ct-r cos fjc2t2-r2/c

= -Г~ I P--------Jo Pr dP =--------------1 , , ,-------•

2я" 0 W 27TC-SC t —r

Таким образом, для фундаментального решения имеет место формула

Яф-r j;os( fylc2t2 -г2 /с

Ei(,y,t~y Ei,t~y------------------ ---------, г = т[х2 • •■2

,------ , ■ 4х +у

2жл/с2/2 -г2 Решение уравнения (9) имеет вид свертки

г] = ()Е / *Е г,/ . (10)

Анализ показывает, что его можно разложить на две составляющих. Из них первой будет переходной режим, затухающий обратно пропорционально времени и особого интереса не гфедставляющий, а второй — установившийся режим; он получается из формулы (10) предельным переходом при / > +оо . В свою очередь, установившийся режим складывается из двух движений. Первым из них будет геострофическое течение, а вторым — расгфостраняющиеся двумерные волны с периодом Т = 2лIсо. Для геострофического течения будем иметь

^ =-/!£7£^=_/!е_7 С05(/л/су -г2

*fE4,tJ}t = -^-Q-~Jcosf/VcV -г2 /c]dt = ico о 2mcoc rjc V )

f2Q +fC08 ft I с fQ (fr

2 f / dt=----^ТКо\

27ТІС0С J ^/2+r2 271І0)С у с

то есть

Подставляя этот результат в формулу (6) и учитывая, что при г ф О функция К0 $г/с удовлетворяет равенству

получаем для завихренности в геострофическом течении следующее значение:

*в к„(*

8 2тсос4 0 V. с

Отметим, что в случае жесткого включения источника (см. замечание) после овеществления выражения (11) получаем т} = 0. Таким образом, при жестком включении геострофическое

течение не появляется. С другой стороны, это течение будет иметь максимальную интенсивность при мягком включении.

Для распространяющихся волн аналогичный анализ дает следующий результат:

f2-co2 Q +»ехр -icot0 cos /Щ^/с

Vw=——--exp icot J---------------, . . .--------dt0,

Ілісос

r/c ^lc2t20 -Г2

или после замены переменной интегрирования

-icoyf

i2-co2g d <"expl

r/w =—------^ехр<ю/ J -

2m coc о

T2 +r21с I cos^r/c

t

■ dr.

T2+r2

(12)

Здесь следует рассмотреть два случая.

Случай низкочастотных волн, сок / .В этом случае формула (12) приводится к следующей:

/2-®2 Q г Ъ =—Г-—~ехР 1(0t ко

І7ТІСОС

У/2-<

(13)

Соответствующие движения являются колебательными по времени; при этом возникает циркуляционное течение вокруг источника. Формула (13) имеет сходство с формулой (11), если не принимать во внимание экспоненциальный множитель. Поэтому данное движение естественно назвать квазигеострофическим. В отличие от геострофического течения это движение возникает даже при жестком включении источника.

Случай низкочастотных волн, со> /. В этом случае вычисление интеграла в формуле (13) приводит к следующему результату:

rjw=-

г2-с/<

4 coc

-exp

icotlj{2)

Это выражение описывает цилиндрические волны, бегущие от источника в бесконечность. Их длина равна Ь = 2ж/^со2 -/2 , а скорость распространения

сос

• > с ,

то есть больше скорости длинных волн с = . Отметим, что в том случае, когда частота

источника близка к инерционной частоте, скорость цилиндрических волн значительно возрастает.

Заключение

с

r

c

Сг, =

о

Рассмотрена проблема о влиянии силы Кориолиса на особенности формирования и распространения вынужденных морских волн. Показано, что после затухания переходного движения формируется установившийся режим, получающийся сложением двух составляющих — геострофического течения и колебательных движений. В случае низкочастотных колебаний вторая составляющая представляет собой квазигеострофическое движение, а в случае высокочастотных колебаний она является распространяющейся цилиндрической волной. Геострофическое течение не появляется в случае жесткого включения источника и имеет максимальную интенсивность в случае мягкого включения.

Список литературы

1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977.

2. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М., 1984.

3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1973.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М., 1969. Т. 1, 2.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., РГУ им. И. Канта.

А. Б. Афонасьева — асп., РГУ им. И. Канта, kosharik87@gmail.com

Authors

A. A. Zaitsev — Dr., IKSUR.

A. Afonaseva — PhD student, IKSUR.