CC BY
70
УДК 539.3
Влияние разброса упругих свойств матрицы на эффективный модуль упругости наполненной полимерной композиции
С.А. Бочкарева, А.И. Реутов1, О.С. Жданова2
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
1 Томский университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, 634050, Россия 2 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
При оценке надежности конструкций из полимерных материалов важно учитывать, что механические свойства таких композиций в известных пределах имеют вероятностные (статистические) характеристики. В работе оценивается влияние среднего квадратического отклонения модуля упругости полимерной матрицы на значения эффективного модуля упругости дисперсно-наполненной полимерной композиции при разных степенях наполнения. При больших степенях наполнения полимерной композиции включениями разных размеров использован метод двухэтапного решения задачи для определения эффективного модуля упругости. Проведено сопоставление полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными.
Ключевые слова: полимерные композиционные материалы, эффективный модуль упругости, статистические характеристики модуля упругости, степень наполнения, эпоксидная композиция, напряженно-деформированное состояние
Effect of the spread in matrix elastic properties on the effective elastic modulus of filled polymer compositions
S.A. Bochkareva, A.I. Reutov1 and O.S. Zhdanova2
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 1 Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, Tomsk, 634050, Russia
2 Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia
In estimating the reliability of polymer constructions, it is important to take into account that the mechanical properties of these compositions, within limits, have probabilistic (statistical) characteristics. In the work, we estimated the effect of standard deviation of the elastic modulus of a polymer matrix by the effective elastic modulus of a partide-reinforced polymer composition for different degrees of filling. For a polymer composition highly filled with particles of varying size, the effective modulus was determined by a two-step solution method. The obtained results were compared with available experimental data.
Keywords: polymer composite materials, effective elastic modulus, statistical characteristics of the elastic modulus, degree of filling, epoxy compound, stress-strain state
1. Введение
Известно, что полимерные материалы и композиции, полученные на их основе, характеризуются значительным разбросом деформационно-прочностных свойств. Что касается полимерных композиционных материалов, диапазон изменения их свойств зависит как от разброса свойств матрицы, так и от степени наполнения, размеров включений и т.д.
На основе статистической модели надежности установлено [1], что наибольшее влияние на вероятность
безотказной работы изделий оказывает эффективный модуль упругости материала и его среднее квадратическое отклонение.
Представляется важным оценить зависимость среднего значения эффективного модуля упругости наполненной полимерной композиции и его среднего квадратического отклонения от статистических характеристик свойств матрицы и степени наполнения.
При определении эффективных характеристик полимерных композиционных материалов учитывается рас-
© Бочкарева C.A., Реутов А.И., Жданова O.C., 2009
пределение элементов структуры материала, их свойства и характер взаимодействия [2]. Наполнение, например, в полимерных эпоксидных компаундах может достигать 300 массовых частей наполнителя на 100 массовых частей смолы и более. При такой высокой степени наполнения композиции и больших отличиях в размерах включений стандартные процедуры численного анализа напряженно-деформированного состояния, в частности метод конечных элементов, на регулярных сетках становятся неприменимыми. Большая степень наполнения композиции достигается за счет того, что пустоты, возникающие между включениями большего размера, заполняются более мелкой фракцией наполнителя. Так, рассматривая включения двух типоразмеров, отличающихся друг от друга линейными размерами на порядок, мы сталкиваемся либо с невозможностью технической реализации задачи численного анализа напряженно-деформированного состояния на такой подробной сетке, каждая ячейка которой должна быть по размерам сопоставимой с мелкими частицами, либо с необходимостью пренебречь наличием этих частиц вообще. Расчет напряженно-деформированного состояния в этом случае проводится в два этапа [3, 4].
2. Анализ упругих свойств высоконаполненной полимерной композиции
Анализ дисперсно-наполненного композита проводится на двух последовательных масштабных уровнях. Первый уровень связан с детальным анализом матрицы, модифицированной мелкими включениями. Детальное распределение перемещений, деформаций и напряжений, с одной стороны, характеризует степень напряженности материала композиции в каждой ее точке, с другой — позволяет определить эффективные характеристики матрицы, модифицированной включениями.
На втором уровне рассматривается представительный объем материала как однородная матрица, наполненная крупными включениями. Полимерная матрица на этом уровне считается однородной, но ее свойства — это эффективные свойства материала, наполненного мелкими включениями. Задача, таким образом, решается в два этапа, и размеры представительного объема на каждом этапе разные [3, 4].
При анализе полимерной матрицы с мелкими включениями средний линейный размер частиц компактной формы составлял 6-8 мкм, а размеры представительного объема — 24x24 мкм. Средний размер частиц крупной фракции составлял 50 мкм, размеры расчетной области, принимаемой в качестве представительного объема, — 200x200 мкм.
Сопоставление средних по представительному объему напряжений и деформаций при разных уровнях внешней нагрузки позволяет построить кривую «напряжение - деформация» сначала для модифицированной
матрицы (полимерная основа с мелкими включениями). Модифицированная матрица далее рассматривается как однородная среда (фаза) с полученными эффективными характеристиками. Кривая «напряжение - деформация», определяющая эффективные характеристики этой композиции, используется для анализа материала на следующем уровне.
В итоге на первом этапе анализа получаются эффективные свойства матрицы, модифицированной мелкими включениями, на втором — эффективные характеристики материала в целом (рис. 1).
Исходными данными для расчета являются модули упругости и коэффициенты Пуассона полимерной матрицы и наполнителя.
Описанная выше процедура имеет достаточно общий характер, однако для конкретных исследований был выбран эпоксидный компаунд, наполненный минеральным наполнителем — пылевидным кварцевым песком. Для этой композиции авторами ранее был проведен цикл экспериментальных исследований, что позволяет использовать эти результаты как для разработки математической модели, так и для проверки ее адекватности.
Среднее значение модуля упругости полимерной матрицы в расчете принималось равным Е = 4 ГПа, его среднее квадратическое отклонение ст Е = 0.72 ГПа, среднее значение коэффициента Пуассона ц = 0.34, среднее квадратическое отклонение = 0.05. Для наполнителя пылевидного кварцевого песка коэффициент Пуассона ц = 0.25, модуль упругости при растяжении Е = 72 ГПа, насыпная плотность — 2650 кг/м3.
Так как включения достаточно жесткие, то вся деформация практически происходит за счет деформирования матрицы, и влияние параметров матрицы на напряженно-деформированное состояние композита становится особенно важным.
Рис. 1. Схема расчетной области при наложении на нее конечно-элементной сетки. Выделена область, подвергаемая анализу на первом этапе
Таблица 1
Среднее значение и среднее квадратическое отклонение эффективного модуля упругости эпоксидного компаунда
Рис. 2. Поверхности и изолинии интенсивности напряжений для расчетной области с дисперсными включениями размером 50 мкм
3. Численная реализация задачи
Задача решается в плоской постановке. На границе матрицы и включений принимаются условия идеальной адгезии. Предполагается, что наличием межфазного слоя в первом приближении можно пренебречь.
Внешняя нагрузка задается в виде растягивающих напряжений, нормальных к противоположным кромкам прямоугольного контура, либо в виде перемещений этих кромок вдоль нормалей к ним.
Е, ГПа аЕ, ГПа
Эксперимент 8.70 1.64
Численное решение 9.28 1.51
Численная реализация задачи определения параметров напряженно-деформированного состояния материала проведена методом конечных элементов. Внешняя нагрузка задается в виде перемещений. Определяется напряженно-деформированное состояние расчетной области при внешнем силовом воздействии. В расчетной области возникают поля смещений, напряжений и деформаций.
Поверхности и изолинии интенсивности напряжений для расчетной области с дисперсными включениями размером 50 мкм с учетом свойств матрицы, модифицированной мелкими включениями, приведены на рис. 2.
Среднее значение модуля упругости материала (по всему представительному объему сразу) в процессе расчета задавалось с помощью датчика случайных чисел [5, 6]. Расчет проводился для 30 вариантов этих значений. Полученные данные обрабатывались методами математической статистики. В результате получено среднее значение модуля упругости материала матрицы Е = = 5.26 ГПа) и его среднее квадратическое отклонение ст Е = 0.919 ГПа для матрицы, модифицированной мелкими включениями. С учетом этого получены свойства матрицы, наполненной мелкой и крупной фракциями: средний модуль упругости материала матрицы Е = = 9.28 ГПа и его среднее квадратическое отклонение ст Е = 1.51 ГПа.
4. Оценка результатов
В табл. 1 приведены экспериментальные [7] и численные результаты расчета эффективного модуля упругости эпоксидного компаунда, наполненного минеральным наполнителем — пылевидным кварцевым песком,
Рис. 3. Зависимость среднего значения эффективного модуля упругости эпоксидной композиции (а) и его среднего квадратического отклонения (б) от степени наполнения
объемная степень наполнения которого достигала 47 %. Численные расчеты отличаются от экспериментальных данных на 7 %.
Проводилось решение ряда задач при разных степенях наполнения с целью оценки влияния степени наполнения на эффективный модуль упругости композиции и его среднее квадратическое отклонение. Для композиций разной степени наполнения (4.7, 16, 18.75, 23.4, 30, 36, 46 %), но с одинаковым радиусом включений была получена зависимость эффективного модуля упругости и его среднего квадратического отклонения от степени наполнения композиции (рис. 3). На рис. 3 видно, что с увеличением степени наполнения более чем на 20 % зависимости становятся нелинейными и угол наклона кривой увеличивается, т.е. влияние степени наполнения на эффективный модуль при больших степенях наполнения значительнее.
5. Выводы
Получены количественные зависимости среднего значения и среднего квадратического отклонения эффективного модуля упругости от степени наполнения для эпоксидной композиции, подтвержденные экспериментальными данными при степени наполнения композиции 47 %.
Рост степени наполнения приводит одновременно как к росту эффективного модуля упругости, так и его среднего квадратического отклонения. Первый из этих эффектов является известным и объяснимым. Второй эффект можно объяснить тем, что уменьшение доли матрицы в композиции делает «более весомым» ее вклад и отклонения свойств матрицы от ее номинальных значений сильнее сказываются на значениях эффективных характеристик.
Учет изменения статистических характеристик эффективного модуля упругости важен при оценке проч-
ности и надежности изделий из полимерных композиционных материалов. Одним из способов повышения эксплуатационных свойств изделий является увеличение модуля упругости материала. Так как для полимерных композиционных материалов это приводит одновременно и к росту среднего квадратического отклонения модуля упругости, то этот факт необходимо учитывать при оценке надежности изделий из полимерных композиционных материалов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №№ 06-01-96923-р_офи, 06-08-01305-а, 08-01-00205-а) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт П-486 от 04.08.09 г.).
Литература
1. РеутовА.И. Обеспечение надежности нагруженных строительных
изделий из полимерных материалов на этапах проектирования, производства и эксплуатации // Строительные материалы. -2004. - № 4. - С.46-49.
2. ЛюкшинБ.А., Панин С.В., Бочкарева С.А., ЛюкшинП.А., Матолы-
гина Н.Ю., Осипов Ю.В. Компьютерное конструирование наполненных полимерных композиций / Под ред. Б.А. Люкшина. -Томск: ТУСУР, 2007. - 216 с.
3. Анисимов И.И., Бочкарева С.А., Десятых В.И., Люкшин Б.А., Люк-
шин П.А., Матолыгина Н.Ю., Смолянинова Н.В. Эффективные деформационно-прочностные характеристики полимерной композиции с дисперсными включениями разных размеров // Физ. мезо-мех. - 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 11-15.
4. ЛюкшинБ.А., ЛюкшинП.А., МатолыгинаН.Ю. Двухэтапный про-
цесс компьютерного конструирования наполненной полимерной композиции // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 71-77.
5. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. - М.: Мир, 1988. -208 с.
6. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. - М.: Мир, 1980. - 156 с.
7. Реутов А.И. Прогнозирование надежности строительных изделий
из полимерных материалов. - М.: ООО РИФ «Стройматериалы», 2007. - 184 с.
Поступила в редакцию 09.09.2008 г., после переработки 20.10.2009 г.
Сведения об авторах
Бочкарева Светлана Алексеевна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, [email protected] Реутов Анатолий Ильич, к.т.н., доц. ТУСУР, [email protected] Жданова Оксана Сергеевна, асп. ТГУ, [email protected]
