CC BY
12
УДК 538.913
ВЛИЯНИЕ МЕЖУЗЕЛЬНЫХ АТОМОВ НА КВАЗИ-БРИЗЕРНЫЕ МОДЫ В КРИСТАЛЛЕ СТЕХИОМЕТРИИ А3В С МОРЗЕВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
Захаров п. в., 1ерёмин а. м., 2старостенков м. д.
1 Алтайская государственная академия образования им. В.М. Шукшина 659333, Алтайский край, г. Бийск, ул. Короленко, 53
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова 656038, Алтайский край, г. Барнаул, пр. Ленина, 46
АННОТАЦИЯ. В данной работе методом молекулярной динамики изучается влияние межузельного атома А1, помещённого в тетраэдрическую и октаэдрическую пустоту, на поведение квази-бризерной моды в кристалле стехиометрии А3В, на примере Р13А1. Получена зависимость частоты колебаний квази-бризерной моды от величины дисторсии решетки вдоль выбранного направления. Установлено время жизни квази-бризерных мод вдоль различных кристаллографических направлений при наличии дефектов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: молекулярная динамика, квази-бризерная мода, тетраэдрическая пустота, октаэдрическая пустота, дискретный бризер, нелинейная динамика.
ВВЕДЕНИЕ
Концепция локализации колебательной энергии, возникающей благодаря ангармонизму в нелинейных моделях решеток различных размерностей, за три десятка лет испытала интенсивное развитие [1, 2]. В настоящее время локализованные колебания атомов или отдельных групп атомов интенсивно изучаются многими исследователями в бездефектных кристаллах, однако, такой подход приводит к идеализации условий компьютерных экспериментов и отдаляет модель от реальных кристаллов.
Решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающие динамику кристаллических решеток различных размерностей и дающие локализованные в пространстве и строго периодические по времени колебания многих или отдельных атомов решетки, называют дискретными бризерами (ДБ), внутренними локализованными модами, нелинейными локализованными возбуждениями или нелинейными локализованными колебательными модами [3]. Возможность существования нелинейных локализованных колебательных мод или дискретных бризеров была доказана строго математически [2] и получено множество результатов численными методами [4]. ДБ были инициированы экспериментально в различных областях физики: в нелинейной оптике [5, 6], джозефсоновских сверхпроводящих контактах [7], в антиферромагнетиках [8]. Возможность существования ДБ в трехмерном кристалле со структурой №С1 исследовалась методом молекулярной динамики в работах [9 - 11]. Активно изучается возможность существования ДБ в кристаллах с составом А3В [12 - 17]. В цитируемых работах подчеркивается значимость таких процессов в кристаллах и допустимость их влияния на структуру и свойства кристалла. В настоящее время идет активная работа множества коллективов, направленная на установление физической природы ДБ, механизмов их возбуждения и на выявление роли дискретных бризеров и других видов колебаний решетки большой амплитуды на структуру и свойства кристаллов. Продолжается активная дискуссия по экспериментальной идентификации ДБ в щелочно-галоидном кристалле №1 методом неупругого рассеяния нейтронов [18 - 20].
В данной работе методом молекулярной динамики изучается взаимодействие нелинейной локализованной колебательной моды в кристалле Р13А1 с межузельным атомом А1, помещенным в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту. Строго говоря, в рассматриваемых моделях полученные колебательные моды нельзя назвать дискретными бризерами или даже квази-бризерами [21, 22]. Такие локализованные моды будем называть квази-бризерными модами (КБМ) решетки, так как они обладают рядом признаков ДБ,
таких, как попадание их частоты в запрещенную зону фононного спектра, они являются пространственно локализованными и квази-периодическими по времени, но при этом располагаются в решетке с нарушенной трансляционной симметрией из-за наличия точечных дефектов. В тоже время при отсутствии дефектов в кристалле нелинейные локализованные моды большой амплитуды будем называть квази-бризерами в соответствии с работами [21, 22] или просто дискретными бризерами.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Рассматриваемая модель представляла собой объемный кристалл состава А3В (рис. 1), атомы которого взаимодействовали посредством парного потенциала Морзе:
ира (Г) = Рра ехР (-араГ) ехР (-ара Г)- 2), (1)
где Б - энергетический параметр, соответствующий глубине потенциальной ямы, а - параметр, определяющий жесткость межатомных связей, г0 - некоторое усредненное равновесное расстояние по координационным сферам, в которых учитывается взаимодействие между атомами.
Для сплава Р1;3А1 его параметры взяты из [14]: БА1А1 = 0,318 эВ; ¡3АШ = 27,4979;
аА1А1 = 1,02658 А-1; Врррг = 0,710 эВ; ¡5рт = 102,89 ; аррр( = 1,582 А-1; Брш = 0,5048 эВ;
ЬРШ = 63,124 ; арм = 1,3501 А-1, вычислялись по стандартной методике [14] из условий:
1 2
2 =у{
2 1=1
:0, -к-
1=1
■-Ко.
(2)
Рис. 1. Трехмерная элементарная
ГЦК ячейка Р1зА1 с указанием направления отклонения атома А1 из положения равновесия
ди ^
^ 1.0
Здесь Е3 - энергия сублимации атомов кристалла при нуле Кельвин; К 0 - объемный модуль упругости; - давление изоэнтропического сжатия; .0 и . - удельные объемы в начальном и деформированном состоянии; п - число атомов в 1-й координационной сфере; массы атомов платины и алюминия: шр1 = 195,23, а.е.м., шл1 = 26,97, а.е.м.; постоянная кристаллической решетки: а0 = 3,99 А. Трехмерная расчетная ячейка Р1;3А1 содержала 720 атомов.
Как показано в работах [13, 14] возбуждение ДБ наблюдалось при отклонении атома А1 вдоль направления [100], или под углом не больше, чем 5 градусов к указанному направлению. При начальном отклонении атома на 0,7 А минимальная кинетическая энергия атома, несущего ДБ, имеет
значение около 0,8 эВ, частоты колебаний ДБ в этом случае могут лежать в широком диапазоне в зависимости от параметров потенциала и решетки, в данном случае возбуждались колебания с периодом 0,085 пс, что соответствовало частоте 11,76 ТГц.
Межузельный атом А1 внедрялся в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту. После внедрения проводилась релаксация расчетной ячейки в течение 100 пс с последующим ее охлаждением до 0 К.
Для изучения влияния указанных топологических дефектов на квази-бризерную моду в Р1;3А1, нами проводились эксперименты путем задания начальной скорости одному из атомов А1 вдоль направления [100] порядка 63,6 А/пс, что в случае бездефектного кристалла обеспечивало возбуждение дискретного бризера с частотой, входящей в запрещенную зону фононного спектра.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Дефект в виде межузельного атома А1, помещённого в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту, локально исказив структуру кристалла Р13А1, оказывает влияние на условия существования квази-бризерной моды. В качестве примера на рис. 2 показана зависимость времени существования КБМ от расстояния до внедрённого межузельного атома А1, помещённого в тетраэдрическую пустоту.
ПС 1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
О
г
л
SJ, /
л
[110] [1 1 2] [1 1 1]
10
15
20
25
30
35 S, А
Рис. 2. Зависимость времени существования квази-бризерной моды по кристаллографическим направлениям от расстояния до внедрённого межузельного атома А1 в тетраэдрическую пустоту (ось абсцисс - расстояние 8 в А от внедрённого межузельного атома А1 в тетраэдрическую пустоту до атома А1, где осуществлялось возбуждение КБМ; ось ординат - время существования 1 КБМ
в пикосекундах)
На рис. 3 показана зависимость времени существования КБМ от расстояния до внедрённого межузельного атома Al, помещенного в октаэдрическую пустоту. Как видно из рис. 2 и рис. 3 межузельный атом Al, помещенный в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту существенно влияет на время существования КБМ. Оно уменьшается при приближении к тетраэдрической и октаэдрической пустоте. Наиболее оптимального кристаллографического направления с точки зрения времени жизни КБМ здесь выделить нельзя.
t, ПС
2500 2250 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 О
✓ J* ■
Xv
У г
/ i
[1
-■—Ц - [1
01 2] 1]
Ю
15
20
25
30
35 S, А
Рис. 3. Зависимость времени существования квази-бризерной моды по кристаллографическим направлениям от расстояния до внедрённого межузельного атома А1 в октаэдрическую пустоту (ось абсцисс - расстояние 8 в А от внедрённого межузельного атома А1 в октаэдрическую пустоту до атома А1, где осуществлялось возбуждение КБМ; ось ординат - время существования 1 КБМ
в пикосекундах)
Начиная с Б = 15 А разброс по времени жизни КБМ по кристаллографическим направлениям составляет порядка 100 - 200 пс. Если сравнивать время жизни КБМ в случае тетраэдрической и октаэдрической пустот, например, для Б = 28 А, то для межузельного атома А1, помещённого в тетраэрическую пустоту - это порядка 1500 пс, для межузельного
атома А1, помещённого в октаэдрическую пустоту - 2000 пс, для Б = 15 А в случае тетраэдрической пустоты - это порядка 1100 пс, а для октаэдрической пустоты - 1550 пс. Это говорит о том, что межузельный атом А1, помещённый в тетраэдрическую пустоту, оказывает большее влияние на КБМ, чем межузельный атом А1, помещённый в октаэдрическую пустоту, он наиболее сокращает время существования квази-бризерной моды.
Очевидно, это связано с тем, что внедрённый межузельный атом А1 в тетраэдрическую пустоту более сильно искажает кристаллическую решётку Р1;3А1 вдоль выбранных направлений, чем тот же атом А1, внедрённый в октаэдрическую пустоту. В самом деле, например, для тетраэдрической пустоты межатомное смещение до внедрения и после внедрения межузельного атома А1 на расстоянии Б = 10 А от тетраэдрической пустоты будет порядка 0,018 А по кристаллографическому направлению [111], а для межузельного атома А1, помещённого в октаэдрическую пустоту, порядка 0,009 А по тому же кристаллографическому направлению (см. рис. 4 и рис. 5).
А г, А 0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0 5 10 15 20 25 30 35 в, А
Рис. 4. Зависимость атомных смещений по кристаллографическим направлениям при внедрении межузельного атома А1 в тетраэдрическую пустоту (Лг - смещение атомов А1 после внедрения тетраэдрической пустоты и релаксации расчетной ячейки в А, 8 - расстояние в А от тетраэдрической пустоты до атома А1, где осуществлялось возбуждение КБМ)
Лг, А О.Об
0.05 0.04
о.оз 0,02
0.01 □
О
Рис. 5. Зависимость атомных смещений по кристаллографическим направлениям при внедрении межузельного атома А1 в октаэдрическую пустоту (Лг - смещение атомов А1 после внедрения октаэдрической пустоты и релаксации расчетной ячейки в А, 8 - расстояние в А от октаэдрической пустоты до атома А1, где осуществлялось возбуждение КБМ)
Для описания искажений кристаллической структуры, содержащей тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту, возможно использование тензора дисторсии и визуализации атомных смещений атомов [22 - 24]. Для рассматриваемой геометрически нелинейной задачи одним из ключевых моментов является задание линейной связи между дисторсией и смещением узлов кристаллической решётки Р1;3А1. В свете этого, нами рассматривалось две кристаллические решётки {X} и (X7), которые получаются из деформации решётки {Р}
после внедрения тетраэдрической или октаэдрической пустоты. (Р) - это решетка кристалла Р1:3А1 до внедрения тетраэдрической или октаэдрической пустоты. (X) - это решетка кристалла Р1:3А1 с внедренной тетраэдрической или октаэдрической пустотой, а {X7} - это решетка данного кристалла с внедренной тетраэдрической или октаэдрической пустотой после его релаксации.
С математической точки зрения можно рассмотреть два отображения Б и Ь, где Xi = Р • Pi и X i1 = Ь ■ р, здесь i = 1,2,3, Xг, Х[ , Рг векторы трансляции кристаллических решёток {x}, {х 1}, {р } соответственно. Тогда изменение расстояния между решётками {x} и {х 1} будет метрикой между тензорами р{р, ь). Причём метрика р{р, ь) удовлетворяет условиям: р{р, р)=0, р{р, ь)>0 {рФь), рр, ь)=р{ь,р), рь)<р{¥,о)+р{в,ь).
Тензоры Б и Ь имеют второй ранг и представляются в матричной форме наборами {^п}
и
гдеi,п
= 1,2,3. Тогда р{Р,Ь)-
^ , п - Ь, п )2 по аналогии с расстоянием между
i , п = 1
точками в трёхмерном пространстве. На основе этих рассуждений, рассматривались координаты атомов кристаллической решётки до внедрения межузельного атома в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту и после. Вычислялось расстояние, на которое происходило смещение атомов, что и давало тензор дисторсии при данной деформации кристаллической решётки, связанное с внедрением межузельного атома в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту.
Например, наглядно это можно представить визуализатором атомных смещений после внедрения межузельного атома в тетраэдрическую пустоту и релаксации расчетной ячейки (см. рис. 6).
Рис. 6. Визуализация атомных смещений при внедрении тетраэдрической пустоты. Отображено четыре плоскости (111) трехмерного кристалла Р13А1. Атомные смещения увеличены в 20 раз
Полученные атомные смещения позволяют судить о различных искажениях кристаллической структуры для разных кристаллографических направлений, что дает объяснение изменению времени существования КБМ от места его внедрения в кристалле. Из рис. 6 видно, что при приближении к межузельному атому А1, помещённому в тетраэдрическую пустоту, атомные смещения резко возрастают. Это связано с тем, что внедрённый межузельный атом А1 в тетраэдрическую пустоту оказывает существенное влияние на узлы кристаллической решётки и на поведение КБМ.
Далее была получена зависимость частоты КБМ от атомных смещений для направления [111] для обоих случаев внедрения межузельного атома (рис. 7). Полученные зависимости позволяют объяснить уменьшение времени жизни локализованных мод вблизи дефектов. Очевидно, что частота КБМ приближается к верхней границе запрещенной зоны фононного спектра кристалла Р1:3А1, это приводит к увеличению рассеивания энергии в оптическую ветвь фононного спектра и более быстрому разрушению КБМ.
Рис. 7. Зависимость частоты КБМ от смещения атомов, вызванного внедрением межузельного атома (МА) в тетраэдрическую и октаэдрическую пустоту
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методом молекулярной динамики установлено, что межузельный атом Л], внедрённый в тетраэдрическую или октаэдрическую пустоту в сплаве Р1:3Л1 оказывает существенное влияние на квази-бризерные моды в случае близкого к ним расположения. Межузельный атом Л1, помещённый в тетраэдрическую пустоту, оказывает большее влияние на КБМ, чем межузельный атом Л1, помещённый в октаэдрическую пустоту, он наиболее сокращает время существования квази-бризерной моды. Это связано с тем, что внедрённый межузельный атом Л1 в тетраэдрическую пустоту более сильно искажает кристаллическую решётку Р1:3Л1, чем тот же атом Л1, внедрённый в октаэдрическую пустоту. Воздействие проявляется в разрушении высокоамплитудных локализованных колебаний с последующим рассеиванием энергии по кристаллу. Однако стоит отметить, что в процессе деградации колебаний большой амплитуды, рассеивание преимущественно происходит в подрешетку Л1, где энергия остается локализованной за счет наличия запрещенной зоны в фононном спектре кристалла Р1:3Л1 в течение продолжительного времени.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 16-42-220002 р_а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dolgov A. S. The localization of vibrations in a nonlinear crystal-structure // Soviet Physics-Solid State, 1986, vol. 28, pp. 907.
2. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals // Physical Review Letters, 1988, vol. 61, no. 8, pp. 970-973.
3. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers advancer in theory and application // Physics Reports, 2008, vol. 467, pp. 1-116.
4. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals // Physical Review Letters, 1988, vol. 61, no. 8, pp. 970-973.
5. Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd R. and Aitchison J. S. Discrete Spatial Solitons in Waveguide Arrays // Physical Review Letters, 1998, vol. 81, pp. 3383.
6. Kivshar Yu. S., Agrawal G. P. Optical solitons. Amsterdam: Academic Press, 2003, 540 p.
7. Miroshnichenko A. E., Flach S., Fistul M. V., Zolotaryuk Y., Page J. B. Breather in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spectroscopy // Physical Review E, 2001, vol. 64, no. 7, pp. 066601.
8. Schwarz U. T., English L. Q., Sievers A. J. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet // Physical Review Letters, 1999, vol. 83, no. 1, pp. 223.
9. Kiselev S. A., Sievers A. J. Generation of intrinsic vibrational gap modes in three-dimensional ionic crystals // Physical Review B, 1997, vol. 55, no. 9, pp. 5755.
10. Дмитриев С. В., Хадеева Л. З. Характеристики щелевых дискретных бризеров в кристаллах со структурой NaCl // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 6. C. 85-92.
11. Khadeeva L. Z., Dmitriev S. V. Discrete breathers in crystals with NaCl // Physical Review B, 2010, vol. 81, pp. 214306.
12. Захаров П. В., Старостенков М. Д., Медведев Н. Н., Маркидонов А. В., Ерёмин А. М. Роль комплексов вакансий в поле дислокаций несоответствия при массопереносе на межфазной границе биметаллов //
Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае». Барнаул: Изд-во Алтайского университета, 2013. Ч. I. С. 287-292.
13. Медведев Н. Н., Старостенков М. Д., Захаров П. В., Пожидаева О. В. Локализованные колебательные моды в двумерной модели упорядоченного сплава Pt3Al // Письма в журнал технической физики. 2011. Т. 37, вып. 3. С. 7-15.
14. Medvedev N. N., Starostenkov M. D., Potekaev A. I., Zakharov P. V., Markidonov A. V., Eremin A. M. Energy Localization in the Ordered Condensed Systems: A3B Alloys With L12 Superstructure // Russian Physics Journal, 2014, vol. 57, no. 3, pp. 387-395.
15. Захаров П. В., Старостенков М. Д., Ерёмин А. М., Маркидонов А. В. Поведение нелинейной локализованной моды вблизи комплексов вакансий в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2014. Т. 11, № 2. С. 260-264.
16. Захаров П. В., Старостенков М. Д., Медведев Н. Н., Ерёмин А. М., Маркидонов А. В. Антисимметричный дискретный бризер в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2014. Т. 11, № 3. С. 388-393.
17. Старостенков М. Д., Потекаев А. И., Дмитриев С. В., Захаров П. В., Ерёмин А. М., Кулагина В. В. Динамика дискретных бризеров в кристалле Pt3Al // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58, № 9. С. 136-140.
18. Manley M. E., Alatas A., Trouw F., Hults W. L., Leu B., Lynn J. W., Chen Y. Active Creation of Intrinsically Localized Vibrations in Uranium using X-ray and Neutron Scattering // Physical Review B, 2008, vol. 77, pp. 214305.
19. Manley M. E., Yethiraj M., Sinn H., Volz H. M., Alatas A., Lashley J. C., Hults W. L., Lander G. H., Smith J. L. Formation of a New Dynamical Mode in a-Uranium Observed by Inelastic X-Ray and Neutron Scattering // Physical Review Letters, 2006, vol. 96, no. 12, pp. 125501.
20. Kempa M., Ondrejkovic P., Bourges P., Marton P., Hlinka J. Lattice dynamics of NaI studied by inelastic neutron scattering: Absence of thermally induced discrete breathers // Physical Review B, 2014, vol. 89, no. 5, pp. 54308.
21. Chechin G. M., Dzhelauhova G. S., Mehonoshina E. A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers // Physical Review E, 2006, vol. 74, pp. 036608.
22. Захаров П. В., Ерёмин А. М., Старостенков М. Д., Маркидонов А. В., Обидина О. В. Исследование поведения квази-бризерной моды в кристалле Pt3Al при наличии точечных дефектов // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2015. Т. 12, № 3. С. 283-289.
23. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
24. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. М.: Наука, 1984. 492 с.
INTERSTITIAL ATOMS INFLUENCE ON THE QUASI BREATHER MODES IN THE A3B STOICHIOMETRY CRYSTAL WITH MORSE INTERACTION
1Zakharov P. V., Eremin A. M., 2Starostenkov M. D.
:Altai State Academy of Education, Biysk, Russia 2Altai State Technical University, Barnaul, Russia
SUMMARY. In this article by the method of molecular dynamics the influence of the interstitial Al atom placed into the tetrahedral and octahedral vacuums on the behavior of quasi-breather mode in the stoichiometry A3B crystal, Pt3Al as an example. It is obtained the dependence of the quasi-breather mode oscillation frequency on the value of the lattice distortion along the chosen direction. It is established the duration of quasi-breather mode lifetime along different crystallographic directions with the defects presence.
KEYWORDS: molecular dynamics, quasi-breather mode, tetrahedral vacuum, octahedral vacuum, discrete breather, nonlinear dynamics.
REFERENCES
1. Dolgov A. S. The localization of vibrations in a nonlinear crystal-structure. Soviet Physics-Solid State, 1986, vol. 28, pp. 907.
2. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals. Physical Review Letters, 1988, vol. 61, no. 8, pp. 970-973.
3. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers advancer in theory and application. Physics Reports, 2008, vol. 467, pp. 1-116.
4. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals. Physical Review Letters, 1988, vol. 61, no. 8, pp. 970-973.
5. Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd R. and Aitchison J. S. Discrete Spatial Solitons in Waveguide Arrays. Physical Review Letters, 1998, vol. 81, pp. 3383.
6. Kivshar Yu. S., Agrawal G. P. Optical solitons. Amsterdam: Academic Press, 2003, 540 p.
7. Miroshnichenko A. E., Flach S., Fistul M. V., Zolotaryuk Y., Page J. B. Breather in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spectroscopy. Physical Review E, 2001, vol. 64, no. 7, pp. 066601.
8. Schwarz U. T., English L. Q., Sievers A. J. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet. Physical Review Letters, 1999, vol. 83, no. 1, pp. 223.
9. Kiselev S. A., Sievers A. J. Generation of intrinsic vibrational gap modes in three-dimensional ionic crystals. Physical Review B, 1997, vol. 55, no. 9, pp. 5755.
10. Dmitriev S. V., Khadeeva L. Z. Kharakteristiki shchelevykh diskretnykh brizerov v kristallakh so strukturoy NaCl [Characteristics of gap discrete breathers in crystals with NaCl structure]. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineynaya dinamika, 2010, vol. 18, no. 6, pp. 85-92.
11. Khadeeva L. Z., Dmitriev S. V. Discrete breathers in crystals with NaCl. Physical Review B, 2010, vol. 81, pp. 214306.
12. Zakharov P. V., Starostenkov M. D., Medvedev N. N., Markidonov A. V., Eremin A. M. Rol' kompleksov vakansiy v pole dislokatsiy nesootvetstviya pri massoperenose na mezhfaznoy granitse bimetallov [The role of complexes of vacancies in the field of misfit dislocations at the interphase mass transfer on the border of bimetals]. Sbornik nauchnykh statey mezhdunarodnoy shkoly-seminara «Lomonosovskie chteniya na Altae». Barnaul: Altaysk. Univer. Publ., 2013, Ch. I, pp. 287-292.
13. Medvedev N. N., Starostenkov M. D., Zakharov P. V., Pozhidaeva O. V. Lokalizovannye kolebatel'nye mody v dvumernoy modeli uporyadochennogo splava Pt3Al [Localized vibrational mode in a two-dimensional model of the ordered Pt3Al alloy/. Pis'ma v zhurnal tekhnicheskoy fiziki, 2011, vol. 37, no. 3, pp. 7-15.
14. Medvedev N. N., Starostenkov M. D., Potekaev A. I., Zakharov P. V., Markidonov A. V., Eremin A. M. Energy Localization in the Ordered Condensed Systems: A3B Alloys With L12 Superstructure. Russian Physics Journal, 2014, vol. 57, no. 3, pp. 387-395.
15. Zakharov P. V., Starostenkov M. D., Eremin A. M., Markidonov A. V. Povedenie nelineynoy lokalizovannoy mody vblizi kompleksov vakansiy v kristalle Pt3Al [The behavior of nonlinear localized modes near the complexes of vacancies in the crystal Pt3Al]. Fundamental'nye problemy sovremennogo materialovedeniya, 2014, vol. 11, no. 2, pp. 260-264.
16. Zakharov P. V., Starostenkov M. D., Medvedev N. N., Eremin A. M., Markidonov A. V. Antisimmetrichnyy diskretnyy brizer v kristalle Pt3Al [Antisymmetric discrete breather in the crystal Pt3Al]. Fundamental'nye problemy sovremennogo materialovedeniya, 2014, vol. 11, no. 3, pp. 388-393.
17. Starostenkov M. D., Potekaev A. I., Dmitriev S. V., Zakharov P. V., Eremin A. M., Kulagina V. V. Dinamika diskretnykh brizerov v kristalle Pt3Al [Dynamics of discrete breathers in the crystal Pt3Al]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Fizika, 2015, vol. 58, no. 9, pp. 136-140.
18. Manley M. E., Alatas A., Trouw F., Hults W. L., Leu B., Lynn J. W., Chen Y. Active Creation of Intrinsically Localized Vibrations in Uranium using X-ray and Neutron Scattering. Physical Review B, 2008, vol. 77, pp. 214305.
19. Manley M. E., Yethiraj M., Sinn H., Volz H. M., Alatas A., Lashley J. C., Hults W. L., Lander G. H., Smith J. L. Formation of a New Dynamical Mode in a-Uranium Observed by Inelastic X-Ray and Neutron Scattering. Physical Review Letters, 2006, vol. 96, no. 12, pp. 125501.
20. Kempa M., Ondrejkovic P., Bourges P., Marton P., Hlinka J. Lattice dynamics of NaI studied by inelastic neutron scattering: Absence of thermally induced discrete breathers. Physical Review B, 2014, vol. 89, no. 5, pp. 54308.
21. Chechin G. M., Dzhelauhova G. S., Mehonoshina E. A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers. Physical Review E, 2006, vol. 74, pp. 036608.
22. Zakharov P. V., Eremin A. M., Starostenkov M. D., Markidonov A. V., Obidina O. V. Research of the Quasi-Breather Mode Behavior in Pt3Al Crystal With the Point Defects [Research of the Quasi-Breather Mode Behavior in Pt3Al Crystal With the Point Defects]. Fundamental'nye problemy sovremennogo materialovedeniya, 2015, vol. 12, no. 3, pp. 283-289.
23. Il'yushin A. A. Mekhanika sploshnoy sredy [Continuum mechanics]. Moscow: MGU Publ, 1990, 310 p.
24. Sedov L. I. Mekhanika sploshnoy sredy. Tom 1. [Continuum mechanics, volume 11]. Moscow: Nauka Publ., 1984, 492 p.
Захаров Павел Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики и информатики АГАО им. В.М. Шукшина, тел. (3854)33-74-38, e-mail: zakharovpvl@rambler.ru
Ерёмин Александр Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и методики обучения математике АГАО им. В.М. Шукшина, e-mail: eam 77@yandex. ru
Старостенков Михаил Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики АлтГТУ им. И.И. Ползунова, тел. (3852)29-08-52, e-mail: genphys@agtu.secna.ru
