CC BY
73
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 531.383
В.В. Алешкин
ВЛИЯНИЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНЕРЦИАЛЬНОГО ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО БЛОКА НА ТОЧНОСТЬ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Рассмотрено влияние инструментальных погрешностей инерциальных измерительных блоков гироскопических измерителей угловой скорости и акселерометров на точность определения параметров движения по упрощенным алгоритмам решения уравнений обратной задачи теории гироскопических измерений. Показано, что и при наличии инструментальных погрешностей методические погрешности датчиков существенно снижаются.
Инерциальный блок; методические погрешности; алгоритмическая компенсация; инструментальные погрешности; результаты моделирования
V.V. Aleshkin INSTRUMENTAL ERRORS IN THE INERTIAL MEASUREMENT UNIT AS THE ALGORITHM ACCURACY FACTOR OF THE MODELING ERRORS COMPENSATION
The article considers the influence of instrumental errors in inertial measurement units with gyroscopic rate sensors and accelerometers on the accuracy of motion parameters estimation using simplified algorithms of the reverse gyroscopic measurements problems. It is shown that in the case of instrumental errors, systematic errors in the sensors decrease significantly.
Gyroscopes block; the methodic errors; the algorithmic compensation; the instruments errors; the simulation results
Как показано в [1, 2], использование полных алгоритмов асимптотического оценивания параметров движения по информации инерциального измерительного блока позволяет теоретически полностью компенсировать, а с учетом инструментальных погрешностей значительно снизить погрешности, обусловленные движениями основания и чувствительных элементов датчиков. В настоящей работе получены аналитические и численные оценки погрешностей определения компонентов векторов абсолютной угловой скорости и кажущегося ускорения по упрощенным, алгебраическим алгоритмам компенсации с учетом инструментальных погрешностей.
Полные алгоритмы вычисления проекций абсолютной угловой скорости и кажущегося линейного ускорения объекта и оценки их точности получены в предположении, что блок чувствительных элементов не имеет инструментальных погрешностей. Он построен на гироскопических измерителях угловых скоростей (ГИУС) и акселерометров (А), ориентация осей которых Olzj, OiUji(j,i =
1, 2, 3) относительно объектовых осей OUj полностью совпадает с расчетной [1, 3], измерение углов относительных движений el,a.i(i = 1,2,3), вычисление их производных (З1, а1, в1, а1 осуществляется без погрешностей, так же как и измерение токов датчиков моментов. Конструктивные параметры блока ГИУС (кинетические моменты Hl (i = 1,2,3), моменты инерции Al, В1) и А (маятниковость mill (i = 1,2,3), моменты инерции Ii (i,j = 1,2,3), расстояния Li от центров подвесов до полюса O трехгранника Oui (i = 1,2,3)) известны точно. Оценки точности алгоритмов, приведенные в [1, 3], справедливы и в том случае, если инструментальные погрешности датчиков, погрешности их установки на объекте и погрешности съема сигналов определены при калибровке. Тогда их можно учесть
при задании коэффициентов алгоритмов и, хотя динамические свойства решений будут несколько иные, на точности компенсации методических погрешностей это практически не отразится.
На практике определение параметров ГИУС и подвижных частей А, установка датчиков в блоке и измерение выходных сигналов осуществляются с некоторыми погрешностями, которые мы обозначим так: ДН\ ДЛ‘,Д!‘ - отклонения соответствующих значений; Д^ = [Дп!;](г,у = 1, 2, 3) матрицы погрешностей ориентации каждого датчика в блоке; Др£, Др\ Др1, Да/, Даг, Даг (г = 1,2,3) -погрешности съема сигналов по углам относительных движений чувствительных элементов (ЧЭ) и их производным; Дг1, Д# - погрешности измерения токов в обмотках датчиков моментов электрических пружин ГИУС и А.
Поскольку сам алгоритм (его коэффициенты), заложенный в бортовой вычислитель, в процессе работы изменяться не будет, очевидно, что все инструментальные погрешности ИИБ по отношению к нему будут проявляться через погрешности выходных сигналов Др1, Да^, Дг‘,ДГ(. Величина этих погрешностей определяется, с одной стороны, отклонениями параметров датчиков и их ориентации (ДН1,... , ДМ), с другой - погрешностями съема сигналов по углам относительных движений и токам датчиков моментов.
Обозначим первую составляющую погрешностей Др‘1,Да&, Дг11, Д#&, вторую - Др‘\Да», Дг1», Д#».
ДР‘ = Др‘% + Др1»; Даг = Да1 + Да»; Дг = Дг‘% + Дг1»; Дг = Дг& + Дг/*.
Поэтому представляется целесообразным:
1) привести погрешности параметров и ориентации датчиков к погрешностям их выходных сигналов;
2) оценить влияние погрешностей выходных сигналов датчиков (информации, поступающей в вычислитель) на точность вычисления величин +},,/ (у = 1, 2, 3).
Пункт 1) можно выполнить, используя уравнения ошибок прямых задач ГИУС и А, связывающие отклонения выходных сигналов датчиков Др\ Да/, Дг1, Дг с отклонениями их параметров и ориентации. Для выполнения пункта 2) необходимо рассмотреть уравнения ошибок обратных задач, позволяющие оценить влияние погрешностей входной информации на точность определения величин ++■,, (у = 1, 2, 3). Рассмотрим уравнения ошибок прямой и обратной задач для блока ГИУС.
Подставляя действительные значения параметров ГИУС и их ориентации, равные Н1 + ДН1, Л‘ + ДЛ‘, В1 + ДВ‘, -.у- + Д-.;- (г,_/, / = 1, 2,3), в уравнения движения ЧЭ и вычитая из полученных уравнений исходные, получим уравнения прямой задачи относительно отклонений, которые после некоторых преобразований примут вид
длг(р‘ + Др1) + Дп‘(р‘ + Др1) + Лгдр‘ + п‘Др‘ + д2 = —дн 26=1(-57 +
+Д-5;)^1 — Н‘ Х]=1 Д-27^1 — ДЛ Хб = 1(-17- + Д-1;) ^1 — Л1 2б = 1 Д-5
—ДВ [; ■_1(-2; ( Д-2;)“/] ■_1(-6; ( Д4у)“г — В _ Д-2;^) (; _ Д-З7^) + (1)
+ [;6=1 (д-‘() “'] (;/,1 Д-«“‘)} (г = 1-2-3)-
В (1) Дрг, Дг‘, Д-.; = Д-.У(ДР£), Д2£ = Д2г(Дгг) (г = 1,2,3) - отклонения выходных сигналов ГИУС (углов р1 и токов датчиков моментов г1), вызванные отклонениями конструктивных параметров и ориентации ГИУС.
Для того, чтобы получить уравнения ошибок обратной задачи, нужно подставить в ее уравнения действительные значения выходных сигналов ГИУС 2 + Д2‘; Р‘ + Др1, а также вычисленные значения ++ + Д+ и их производные, а затем вычесть исходные из полученных уравнений.
Лг[2;з_1 Д-1Х+ + Д+А) + Х7з_1-17Д1+]+нг[27з_1 Д-2;(++ + Д+) + +23_1-27д++]+вг{(хЗ_1-27+;)[(хЗ_1-3 7-д++) + хЗ_1Д-з ■(+■ + Д+-)] + +[1З_1-2уД+ +
16 _1Д-27(++- + Д++)][2З_1(-З ■ — Д-З ■)(++■ + Д++)]} =
(2)
= —Лгдр‘ — п‘др‘ — д2 (г = 1,2,3).
Уравнения ошибок (1), (2) в принципе дают возможность определить погрешности Др‘,Дг‘ информации ГИУС, а затем и погрешности Д++ вычисления угловой скорости объекта при заданных значениях отклонений параметров ГИУС и их ориентации. Однако получить какую-либо аналитическую оценку влияния каждой из перечисленных погрешностей на величины Д+(у = 1,2,3) из этих
143
уравнений трудно в силу их нелинейности и громоздкости. Поэтому примем следующую методику исследований. Рассмотрим раздельно влияние двух групп погрешностей: а) погрешностей параметров ГИУС; б) погрешностей ориентации ГИУС на отклонения выходных сигналов ГИУС и влияние
последних на точность вычисления абсолютной угловой скорости. В статическом режиме получим
аналитические выражения зависимостей
д+ = д+(дя,дл,у),Д+ = д+(д<-,у),...
В дальнейшем уточним полученные результаты с помощью моделирования работы вычислителя по полному алгоритму, на вход которого поступают сигналы с блока ГИУС, имеющие указанные погрешности.
В качестве исходных уравнений прямой и обратной задачи возьмем уравнения первого приближения систем (1, 2).
Вводя обозначения Л1 =Л,Я‘ = Яи переходя к матричной записи уравнений ошибок, получим для случаев а) и б):
ДQ = —ДЯф2 + ДD5)w; (3)
ДQ = —ЯДD2W, (4)
где ДQ,м - матрицы 3^1 элементов Дф1, Дф2, Дф3 , ш1( м>2, м> 3 соответственно; D2 - матрица 3^3, определяющая текущее положение осей чувствительности ГИУС.
Определим вид матриц ДD2,ДD2. Отклонения параметров Н, А ГИУС, влияние которых мы рассматривали в случае а), вызывают изменения Др* углов относительных движений главных осей ГИУС. Матрица D2 составлена из вторых строк матриц DI, имеющих в данном случае вид
D* + ДD* = (К* + ДК*) * N4* = 1, 2, 3).
Матрица ДК* при малых в* и Др* в силу (2.3) запишется в виде
0 0 0
ДК* = 0 0 др* (5)
0 —Др* 0
Следовательно, D*, = ДК* * №(г = 1, 2, 3).
В случае б) считаем, что при установке ГИУС в блоке не удалось добиться полного совпадения или параллельности осей 0*и;* с расчетными осями. В результате действительные значения элементов п.;(/,у = 1, 2, 3) матрицы N равны п.;- + Дп.;-. Поскольку это приводит и к изменению уг-
лов относительных движений р*, получаем
D* ( ДD* = (К* ( ДК*) * (N* ( ДN*). (6)
Вид матрицы ДМ определим следующим образом.
В силу (2.4) имеем
п
11
+ Дп&& = cos(02 + Д02) cos(0 3 + Д03 ), откуда Дп&& » —Д0* бш(02 + 0 3) 1
Определяя аналогичным образом остальные восемь элементов матрицы Д№, получим
—Д0*5т(02 + 03 ) Д0* соб(02 + 03 ) — Д0* СОБ 02
ДМ* = —Д0* СОб(01 + 03 ) (1 — БШ 01) — — СОБ 01БШ 02 СОБ 03 —Д0* Бт(01 + 03 ) (1 — бш 01) — — бш 01 соб 02 бш 03 Д0* соб(01 + 02)
—Д0* б1п(01 + 03 ) (бш 02 — 1) — — СОБ 01 СОБ 02 СОБ 0 3 —Д0* СОБ (01 + 0 3 )(1 — 5*п02) — + СОБ 01 СОБ 02 БШ 0 3 —Д0* б1п(01 + 02)
(7)
Матрицы (5), (7) позволяют определить ДБ2 и ДБ2.
Уравнения ошибок обратной задачи после окончания переходных процессов в решениях Д+ имеют для случаев а) и б) одинаковый вид:
ЯДD2(V + ДУ) + ЯD2ДV = —Дф — пдр — ЛДр,
откуда
1 Л
ДУ = ф2 + ДD2)_1ДD2V + - ф2 + ДD2)_1Д2 + - ф2 + ДD2)_1 •
Я
ДP+Z(D2+ДD2)-1ДP.
Я
(8)
Подставив выражения для Дф из формул (3), (4), получим аналитические зависимости погрешностей решений обратной задачи от отклонений параметров и ориентации ГИУС.
1 Это означает, что погрешности углов ориентации одного ГИУС равны между собой, но не равны погрешностям ориентации других ГИУС.
ДН А
ДУ = (D2 + ДD5)-1ДD5V - — Ем + н^2 + ДD5)-1Дp +
+ Z(D2+ДD5)-1Дв (9)
ДУ = (D2 + ДD2)-1ДD2V - (D2 + ДD2)-1ДD2w + А (D2 + ДD2)-1 •
•Дв + Z(D2 + ДD2)-1Дв. (10)
Учитывая погрешности Др1'' (г = 1, 2, 3) измерения углов относительных движений главных осей ГИУ С, получим
ДУ = -ф2 + ДD2)-1ДD2V, где ДD2'(Др£ ) составлена из вторых строк матриц
ДD^" = ДК * №(г = 1,2,3), а ДК имеет вид (5). Считая, что Др1 = Др (г = 1, 2, 3), получим
ДD2, = р'^ 3.
Поскольку
ф2 + ДD2')-1 * D-1, то ДУ = ^-1Др'^ 3 V. (11)
Так как V * м, из (7), (5), (9), (10), (11) следует, что:
1) относительные погрешности определения угловой скорости как по показаниям ГИУС Д2/2, так и по решениям уравнений обратной задачи Д+/+, пропорциональны относительным погрешностям задания кинетических моментов ДН/Н и абсолютным погрешностям Др измерения углов относительных движений;
2) относительные погрешности Д2/2, а также Д+/+, сравнимы с абсолютными погрешностями задания углов ориентации ГИУС;
3) погрешность вычисления угловой скорости Д+ в Н/А и Н/п раз меньше погрешности измерения производных углов относительных движений Др и Др соответственно.
Аналогичным образом получим формулы для оценки влияния инструментальных погрешностей блока А на точность решения прямой и обратной задач.
Как в предыдущем случае, все инструментальные погрешности поделим на две группы: а) погрешности параметров; б) погрешности ориентации А в ИИБ. Считая, что параметры трех А одинаковы, и пренебрегая относительными движениями ЧЭ, получим в первом приближении:
ДF = -ДМ * М 3^0 - е) + ДЛ'(м); (12)
ДF = -M*ДM 3^0 ^) + ДЛ''(м), (13)
где ДF - матрица 3^1 отклонений величин обобщенных сил ^; ДМ - погрешность задания маятнико-вости; е0, д - матрицы 3x1 компонентов е01, е02,
е03 ,д1,д2,д3 векторов линейного ускорения объекта и ускорения силы тяжести; ДЛ'(м), ДЛ''(м) - составляющие отклонений ДF, вызванные отклонениями параметров и ориентации А, зависящие от углового движения объекта; М 3 = ||т 3 ; || (г,у = 1, 2, 3) - матрица 3x3, составленная из третьих строк матриц ориентации М‘(г,у = 1, 2,3); ДМ 3 - матрица погрешностей ориентации, имеющая вид
тЧ К Д 1 ^т(х1 +х3;> 0шх2 - 1) - -cosx1cosx2cosx| -Дх1 ^(х1 + х3)(1^тх2)+~ + cos х1 cos х2 sin х3 -Дх1 16 + 11 ( С
ДМ3 * -Дх2 ^т(х2 +Х2) (sinx2 - 1) -- cosx2 cosx2 cosx3 2 Д - ^(х2 + х2) (1 - sin х2) + + cos х2 cos х2 sin х3 2 Д - sin(X2 + Х2)
-Дх3 sin(Xl +Х3) Ыпх3 - 1) - - cosx3 cosx3 cosx6 -Дх3 ^(х3 +х!) (1 - sinxl) + + cos х3 cos х3 sin х3 -Дх3 sin(X3 + х3)
Погрешности вычисления ускорений объекта, вызванные погрешностями входной информации определятся в первом приближении равенствами
ДХ = -М-1[М + ДЛ(м)]; (15)
ДХ = Е -1Да''М2Х, (16)
где Е 3 = 3;|(г,У = 1, 2,3) - матрица (3x3), составленная из третьих строк матриц Е‘ = К1 *
М‘; М2 = Ц^-271(г,7 = 1,2,3) - матрица (3x3), составленная из вторых строк матриц М‘(г = 1,2,3). Подставляя в (15) формулы (12), (13) получим
ДХ = рДММ 3^0 -е) -р [ДЛ'(м) - ДЛ(м)]; (17)
ДХ = ДМ3^ - е) - р [ДЛ''(м) - ДЛ(м)]. (18)
145
Поскольку X* W0 - е, из (17), (18) следует, что относительные погрешности определения линейного ускорения объекта по алгоритмам решения обратной задачи пропорциональны относительным погрешностям задания маятниковости, абсолютным погрешностям углов ориентации А в блоке и абсолютным погрешностям измерения углов относительных движений ЧЭ А.
Формулы (8-10), (17), (18) позволяют осуществить предварительную оценку влияния инструментальных погрешностей ИИБ (ГИУС и А) и погрешностей съема их сигналов на точность вычисления угловой скорости и линейного ускорения объекта по алгоритмам решения обратной задач. Для получения численных оценок проводилось моделирование работы на борту объекта ИИБ ГИУ С и А, имеющих инструментальные погрешности, и работы вычислительного устройства, определяющего компоненты векторов абсолютной угловой скорости и кажущегося ускорения объекта по сигналам этих датчиков. При этом полагалось, что параметры датчиков заданы с погрешностью 1%, погрешности ориентации датчиков заданы углами Д0- = Дх- = 5', что соответствует выставке осей датчиков относительно осей объекта с точностью 7', погрешности съема выходных сигналов составляет 1% от действительных значений снимаемых величин.
Значения относительных погрешностей определения а- И- по полному алгоритму 5ю-, бИ- и по решениям уравнений движения ГИУС и А (то есть по 0^г, Fi) До-, ДИ- приведены в табл. 1, 2.
Таблица 1 Таблица 2
Погрешности оценок Погрешности оценок
Параметры +& +2 +3
5u)y[%] 1,893 1,235 1,217
Awy[%] 11,69 9,42 9,8
Параметры e, ез
5e;[%] 1,481 1,63 1,24
AW,[%] 3.28 3,41 2,98
Сравнивая значения ба- с Да- и бИ- с ДИ- (/ = 1, 2, 3), делаем вывод, что погрешности блока датчиков и погрешности измерения их выходных сигналов вызывают примерно равное увеличение погрешностей вычисления а- И- как по алгоритмам решения уравнений обратных задач ГИУС и А, так и непосредственно по решениям @, Fг уравнений их движения. Так, в последнем случае по окончании переходных процессов в решениях обратной задачи погрешности вычисления компонентов вектора абсолютной угловой скорости не превышают 1,893%. В то же время погрешность определения угловой скорости непосредственно по токам датчиков моментов ГИУС увеличилась на 1,9%. Следовательно, и при наличии инструментальных погрешностей блока ГИУ С и А использование алгоритмов компенсации позволяет существенно снизить методические и динамические погрешности ИИБ. В отношении самих инструментальных погрешностей использование этих алгоритмов никаких преимуществ не дает.
ЛИТЕРАТУРА
1. Плотников П.К. О точности определения ускорения объекта по полным и упрощенным алгоритмам решения обратной задачи теории акселерометров / П.К. Плотников, В.В. Алешкин // Известия вузов СССР. Приборостроение. 1976. № 10. С. 73-79.
2. Плотников П.К. К вопросу построения алгоритмов оценивания параметров движения по сигналам датчиков первичной информации / П.К. Плотников // Механика твердого тела. 1990. № 1.
С. 12-22.
3. Алешкин В.В. Определение конфигурации блока датчиков при асимптотическом оценивании параметров движения / В.В. Алешкин, П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 2. С. 60-65.
Алешкин Валерий Викторович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Приборостроение»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 12.03.13, принята к опубликованию 20.05.13
Valeriy V. Aleshkin -
Ph. D., Associate Professor
Department of Instrument Engineering
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
