CC BY
213
Том ХЫУ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2013
№ 4
УДК 533.6.013.12:533.9.924
ВЛИЯНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ МИКРОСТРУКТУРЫ ОБТЕКАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
М. А. БРУТЯН, В. П. БУДАЕВ, А. В. ВОЛКОВ, А. М. ЖИТЛУХИН, А. В. КАРПОВ, Н. С. КЛИМОВ, И. С. МЕНЬШОВ, В. Л. ПОДКОВЫРОВ, А. Ю. УРУСОВ, А. А. УСПЕНСКИЙ, М. В. УСТИНОВ
Приведены результаты первых экспериментальных исследований характеристик турбулентного пограничного слоя, возникающего при обтекании плоской поверхности с хаотической микроструктурой, имеющей особую иерархию гранулярности — фрактальность. Исследования проведены в малотурбулентной аэродинамической трубе малых скоростей Т-36И ЦАГИ. Образцы для исследования — плоские пластины размером 160 х 160 мм2 с фрактальной
КАРПОВ Алексей Владиславович
ведущий инженер НИЦ «Курчатовский институт» РАН
БРУТЯН Мурад Абрамович
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
БУДАЕВ Вячеслав Петрович
доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник НИЦ «Курчатовский институт» РАН
ВОЛКОВ Андрей Викторович
доктор физико-математических наук, начальник отделения ЦАГИ
ЖИТЛУХИН Анатолий Михайлович
кандидат физико-математических наук, начальник отдела ГНЦ ТРИНИТИ
КЛИМОВ Николай Сергеевич
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ГНЦ ТРИНИТИ
МЕНЬШОВ Игорь Станиславович
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПМ им. М. В. Келдыша РАН
ПОДКОВЫРОВ Вячеслав Леонидович
начальник группы ГНЦ ТРИНИТИ
УРУСОВ Андрей Юрьевич
инженер ЦАГИ
Александр Александрович
ведущий инженер ЦАГИ
УСПЕНСКИИ
Максим Владимирович
доктор физико-математических наук, заместитель начальника отделения ЦАГИ
УСТИНОВ
поверхностью — были получены после специальной обработки гладких металлических пластин высокотемпературной плазмой в установке термоядерного синтеза КСПУ-Т.
В весовом и термоанемометрическом экспериментах зарегистрировано влияние фрактальной микроструктуры поверхности на спектры пульсаций и структуру турбулентного пограничного слоя. Отмечается подавление низкочастотной части спектра и изменение коэффициента аэродинамического сопротивления, что указывает на возможность целенаправленного управления турбулентностью.
Ключевые слова: фрактальная шероховатость, турбулентный пограничный слой, уменьшение сопротивления.
Задача о турбулентном течении над шероховатой поверхностью является одной из наиболее актуальных и практически значимых задач аэрогидродинамики. Шероховатость материальной поверхности может быть различной: статистически однородной, которая рассматривалась многими авторами, начиная с начала XX века, и стохастически структурированной, которая была обнаружена недавно при плазменной обработке поверхности различных материалов [1]. Обтекание различных структурированных поверхностей потоком вязкой несжимаемой жидкости теоретически и экспериментально изучалось в работах [2 — 6]. Топология шероховатых поверхностей после плазменной обработки обладает, как правило, свойствами масштабной инвариантности в широком диапазоне размеров от сотен нанометров до нескольких миллиметров и характеризуется специальными свойствами автомодельности — фрактальностью. При обтекании турбулентным потоком такого рода шероховатых поверхностей с фрактальной структурой вполне естественно ожидать определенного качественного изменения свойств течения [7].
Известно, что большинство типов шероховатости приводят к соотношению между коэффициентом трения и числом Рейнольдса, с^ = с^ (Яе), которое соответствует модели, основанной
на рассмотрении однозернистой, статистически равномерно распределенной шероховатости [8, 9]. Однако из ряда исследований (обзор работ можно найти, например, в [7]) турбулентности в потоках, ограниченных шероховатой стенкой, следует, что для отдельных видов шероховатости существует явная зависимость характеристик турбулентного пограничного слоя (ТПС) от типа неоднородности стенки.
Заметим, что в общем случае стохастическая топография поверхности бывает двух разных типов:
простейшая, с гауссовой функцией распределения (ФР) высот, которая имеет экспоненциально затухающий «хвост»;
статистически неоднородная, с негауссовой функцией распределения высот. Как правило, эта ФР имеет степенной «хвост», т. е. затухает существенно медленнее гауссовой.
Второй тип структуры стохастической поверхности, в отличие от первого, характеризуется такими свойствами, как обобщенная масштабная инвариантность, дальние корреляции и степенные спектры. В работе [7] обсуждается вопрос о доминирующей роли этих свойств, которые
ВВЕДЕНИЕ
могут определять перенос поперечного импульса в ТПС в силу особой автомодельной симметрии структуры поверхности.
Насколько известно авторам, экспериментальные исследования влияния фрактальной микроструктуры с негауссовой статистикой на ТПС нигде ранее не проводились.
В работе приведены первые результаты таких экспериментов в аэродинамической трубе Т-36И ЦАГИ. В качестве испытываемых моделей использовались пластины, обработанные плазмой. В установках термоядерного синтеза с высокотемпературной плазмой в магнитном поле (токамаках и других установках) интенсивная эрозия материальной поверхности, контактирующей с плазмой, приводит к значительному изменению формы и структуры поверхности. Эродированные частицы поступают в плазму и затем вновь осаждаются на поверхность. В результате образуется поверхность с фрактальной структурой. Наблюдаются поверхности с нерегулярной формой, например, такие как глобулярная, типа «цветная капуста», овоидальная, стратифицированная и колоннообразная (см. обзоры [10, 11]). Данная проблема относится к вопросам роста материалов со сложной структурой, которые не являются ни кристаллами, ни аморфными телами в классическом понимании. На процесс формирования такой неоднородной поверхности оказывают влияние не только энергосодержание плазмы, но и факторы, определяющие интенсивность тепловой нагрузки плазмы на материальную поверхность.
Плазма в термоядерных установках обладает сложными нелинейными свойствами с самоорганизацией и структурированностью плазменной турбулентности. Аномальный транспорт плазмы на стенку поперек магнитного поля является, в основном, результатом спорадических, крупномасштабных событий, сопровождающихся дальними корреляциями, самоорганизацией и когерентными структурами. Траектории осаждаемых из турбулентной плазмы частиц в электрических полях являются не классическим броуновским движением, а стохастическим движением типа Леви. Такая аномальная диффузия приводит к фрактальному росту поверхности со специфической структурой. Подобный рост известен в физике конденсированного состояния вещества, где форма поверхности осаждения зависит от флуктуаций в осаждаемом потоке. Даже относительно малые флуктуации способны привести к нестабильности роста, что формирует неоднородную поверхность с трехмерными нерегулярными структурами особой иерархии.
1. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТИ ИССЛЕДОВАННЫХ ОБРАЗЦОВ
1.1. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТИ, ФОРМИРУЮЩАЯСЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА МОДЕЛЬ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМОЙ
Использованные в экспериментах модели были поставлены из Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» и Государственного научного центра ТРИНИТИ. Модели представляли собой плоские пластины размером 160 х 160 мм , толщиной 5 мм из нержавеющей стали марки 12Х18Н10Т.
Пластины подвергались обработке мощными плазменными пучками в установке КСПУ-Т (ТРИНИТИ). Установка КСПУ-Т представляет собой одноступенчатый коаксиальный сильноточный плазменный ускоритель с собственным магнитным полем [12]. В зависимости от энергосодержания плазменного пучка можно формировать необходимый диапазон максимальных высот шероховатости на поверхности обрабатываемой пластины.
Всего было изготовлено 3 модели:
модель № 1 получена после обработки выстрелом плазменного пучка с параметром энергонагрузки на поверхность материала до 1.5 МДж/м ;
модель № 2 обрабатывалась с обеих сторон выстрелом плазменного пучка с параметром энергонагрузки на материал около 1 МДж/м ;
модель № 3 получена комбинированным воздействием. При комбинированном воздействии плазменного пучка и мощного видимого и ультрафиолетового излучения зона формирования шероховатой поверхности покрывает почти всю площадь пластины. Было произведено 4 выстрела с энергосодержанием в излучении до 1 МДж/м . Зоны воздействия излучения и плазмы на модельную пластину были разнесены для формирования однородного по всей поверхности воздействия.
Для случая облучения только плазмой зона формирования шероховатой поверхности представляет собой «кольцо» с внутренним диаметром примерно ~6 см и внешним диаметром до ~15 см.
Рис. 1. Профиль поверхности модели № 1, полученный профилометром (х0 — координата начала области шероховатости)
Рис. 2. Фотография поверхности модели № 1, полученная сканирующим электронным микроскопом (база измерений — 1 микрометр)
Измерения профилей высот неоднородностей выполнены лазерным профилометром с базой измерения до 12 мм и разрешением по высоте от 1 мкм до 1 мм. Выбрана традиционная система координат: ось х — продольное расстояние от начала рабочей части трубы; ось у — расстояние поперек пограничного слоя, отсчитываемое от поверхности модели. На рис. 1, для примера, показан профиль шероховатой поверхности в зоне максимальной шероховатости. Видно, что воздействие плазмы привело к образованию стохастического рельефа.
Исследования поверхности моделей с помощью сканирующего электронного микроскопа показали значительную шероховатость обработанной плазмой поверхности на субмикронном уровне в диапазоне масштабов высот от ~ 100 нм до ~200 мкм. Этот рельеф также не является регулярным, отмечается стохастический характер распределения высот поверхности (рис. 2).
Средняя шероховатость, определяемая как усредненное значение высот рельефа над уровнем подложки, составляет от ~90 мкм до ~120 мкм. Отметим, что эти значения лежат в диапазоне высот известных устройств разрушения вихрей (см., например, [7]).
На рис. 3, для примера, представлен фурье-спектр рельефов высот для модели № 1. Оказалось, что спектры можно аппроксимировать алгебраической функцией в зависимости от пространственного масштаба/ (измеренного в единицах [1/мм]): £(/) ~ /. В области масштабов ~5 • 10 2 мм 1 до ~3 мм 1 спектр аппроксимируется степенной функцией с показателем у = -1.94. Исследования профилей шероховатой поверхности двух других моделей также показали степенной вид фурье-спектра с близкими значениями показателя степенной зависимости.
Характеристикой стохастического характера рельефа является функция распределения высот (ФР), построенная как гистограмма ряда (к - (И^)/<Зи , определенного из ряда высот к
1 "
по данным профилометрии, (кЛ = — V к — среднее
арифметическое всего ряда к, где И — высота вдоль координаты у; о и — среднеквадратичное отклонение от среднего значения. Функция распределения высот рельефа для всех рассмотренных образцов имеет «тяжелые» хвосты и не описывается гауссов-ским (нормальным) законом, что указывает на нетривиальные стохастические свойства топографического рельефа (рис. 4). Напомним, что близость распределения к гауссиану означает тривиальное стохастическое распределение. Для количественного описания стохастической структуры рельефа исполь-
„ , , , зовалась концепция автомодельности и фракталов, Рис. 3. Фурье-спектр высот рельефа в относительных единицах для модели № 1 (аппроксимация которая применяется при юучении ам°рфных тел [13]. спектра степенной функцией с показателем -1.94) Это позволяет сфокусировать внимание на макро-
Рис. 4. Функция распределения в относительных единицах для модели № 1:
а — высот поверхности; б — приращений высот поверхности (для сравнения приведены кривые: .......— гауссово распределение;--распределение Коши — Лоренца)
скопических аспектах шероховатой структуры и нерегулярной кластеризации неоднородностей. В предположении независимости свойств самоподобия от масштаба наблюдения для описания свойств самоподобия рельефа высот Н(у) используется показатель Херста Н — индекс нерегулярности рельефа, который связан с фрактальной размерностью поверхности В = 3 - Н. Показатель Херста Н является параметром, определяющим автомодельность рельефа: для любого X > 0 профиль X НИ(ку) имеет такую же функцию распределения высот, что и профиль к(у). Значение Н = 0.5 соответствует тривиальной стохастичности — броуновскому рельефу, а величина 0.5 < Н < 1 соответствует рельефам с дальними корреляциями и структурированностью (см. [1, 7]). Для определения Н использовалась стандартная библиотечная программа в пакете МАТЛАБ. Показатель Херста, характеризующий неоднородность поверхности рассмотренных образцов, составил величину от 0.7 до 0.9. Это значение больше 0.5, что однозначно свидетельствует о нетривиальной масштабной инвариантности — фрактальности и типично для стохастических систем с дальними корреляциями и иерархической структурой [13, 14].
1.2. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТИ СТАНДАРТНОГО АБРАЗИВНОГО МАТЕРИАЛА
Для сравнительных исследований в качестве моделей в экспериментах использовались так-
2
же плоские поверхности размером 160 х 160 мм , изготовленные из абразивного промышленного материала — наждачной бумаги (шлифовальных листов) производства фирмы КЫК08Р0Я. Эти материалы имеют стохастическую топографию поверхности со случайным законом распределения высот шероховатости с гауссовым законом распределения.
В экспериментах использовались образцы из двух типов водостойкой шлифовальной бумаги — марки Р120 и Р280, которые изготовлены из карбида кремния и имеют зерно размером
Рис. 5. Профиль абразивной поверхности Р120 (х0 — координата начала области шероховатости)
Рис. 6. Фурье-спектр в относительных единицах для профиля абразивной поверхности Р120
0.14
-4-3-2-10123456
(h - <h>)/uH
Рис. 7. Функция распределения высот рельефа в относительных единицах для абразивной поверхности Р120
Для сравнения приведены кривые:----гауссово распределение;
--распределение Коши — Лоренца
120 и 280 мкм соответственно, что соответствует стандарту ISO 634 классификации абразивных материалов. Измеренный профилометром профиль модели, изготовленной из наждачной бумаги
с артикулом Р120, имеет вариацию высот до 120 мкм (рис. 5). Фурье-спектр этого профиля не за-
—5 —2 —1
висит от масштаба на базе от 10 до 10 мм (рис. 6). Функция распределения высот близка к гауссовой форме, что свидетельствует о тривиальной стохастичности рельефа и отсутствии фрактальной иерархии гранулярности (рис. 7). Аналогичная ситуация имеет место для профиля из Р280, который имеет вариацию высот до 250 мкм. Фурье-спектр этого профиля не зависит от масштаба на базе от 10 2 до 2 мм 1, а функция распределения высот также близка к гауссовой форме. Таким образом, модели, изготовленные из шлифовальных абразивных листов, при той же средней высоте имеют значительное отличие по структуре шероховатости от моделей, обработанных плазмой в установке КСПУ-Т.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
2.1 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА, МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ И ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Испытания проводились в малотурбулентной аэродинамической трубе ЦАГИ Т-36И прямоточного типа. Рабочая часть длиной 2600 мм имеет прямоугольное поперечное сечение размером 500 х 350 мм2. Степень турбулентности невозмущенного потока при скорости 8 — 55 м/с не превышает 0.06%. Искусственная турбулизация пограничного слоя достигалась установкой перед рабочей частью стационарного турбулизатора. Модели в виде вкладышей устанавливались заподлицо с нижней полированной стенкой трубы. Зазор между кромками модели и стенкой трубы менее 0.1 мм, что практически исключает его влияние на свойства ТПС. Расстояние от начала рабочей части трубы до передней кромки модели 1520 мм.
Проводилось два вида эксперимента:
определение коэффициента сопротивления cx с помощью весового элемента в диапазоне скорости от 8 до 55 м/с;
измерение скорости потока и ее пульсационной составляющей в пограничном слое с помощью термоанемометра DISA 55M01 при скоростях потока 10, 20 и 30 м/с.
Силовое воздействие потока на модель измерялось тензометрическими датчиками, включенными в мостовую схему аппаратуры 8АНЧ-23. Полученные данные обрабатывались при помощи специальной программы.
Средние значения продольной составляющей скорости потока U и ее среднеквадратичные пульсации и' измерялись термоанемометром с горизонтальной вольфрамовой нитью длиной ~1 мм и диаметром 5 мкм с коэффициентом перегрева 1.8. Датчик термоанемометра при измерении профилей скорости и ее пульсаций устанавливался на двухстепенном координатном устройстве,
Таблица 1
Толщина турбулентного пограничного слоя 5 в зависимости от средней скорости потока и и продольного расстояния от начала рабочей части трубы
Продольное расстояние х, мм 5 (мм) при и = 10 м/с 5 (мм) при и = 20 м/с 5 (мм) при и = 30 м/с
1515 25.75 24.25 23.34
1685 27.75 25.5 25
2280 38.24 33.34 32.6
обеспечивавшим перемещение с шагом 0.1 мм в вертикальном и 1 мм в продольном направлениях. Данные измерения скорости записывались в виде временных выборок в память персонального компьютера с помощью платы АЦП (частота оцифровки до 5 кГц), а затем производилась их цифровая обработка. Точность измерения средней скорости составляла 1 — 1.5% от скорости набегающего потока £/0. Компьютерная программа обработки данных позволяет провести аппроксимацию профилей скорости в пограничном слое и рассчитать их интегральные па-
0о* о** 1
, толщину вытеснения о , толщину потери импульса о , и формпараметр Н =5 */5 ** пограничного слоя (табл. 1).
Пульсации измеренной термоанемометром локальной скорости потока регистрировались также с помощью отдельной системы сбора с использованием высокоскоростного аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Использовалась многофункциональная высокоскоростная плата АЦП/ЦАП Ь-СаМ Ь-783М, число каналов — 16, разрядность — АЦП-12 бит, максимальная частота преобразования — 3 МГц, регулируемый диапазон входного сигнала до ±5 В. Частота АЦП при регистрации пульсаций скорости — 10 кГц.
Временная выборка при регистрации пульсаций скорости равнялась 20 с, т. е. 200 000 последовательных измерений скорости со скважностью 100 мкс. Числовой ряд из 200 000 значений обрабатывался программами в пакете МАТЛАБ для получения: фурье-спектров, функций распределения амплитуд флуктуаций скорости (ФР), структурных функций (моментов ФР) и их скейлингов, т. е. законов масштабной инвариантности, характеризующих автомодельные свойства процесса [7].
Для качественного анализа турбулентного процесса необходимо знать функцию распределения амплитуд флуктуаций в турбулентном потоке. Описание экспериментально измеряемых функций распределения аналитическими функциями представляет собой очень сложную задачу. Поэтому на практике для описания ФР используют ее моменты, называемые также структурными функциями. Метод структурных функций (см. [7, 14]) позволяет детально описать неоднородность распределения на различных масштабах процесса. Для турбулентного поля и(0 структурная функция порядка q определяется как статистическое среднее по ансамблю разностей
5ти = п(1 + т) - п(1), (т) = ^|5хнР ^, где т — временной параметр сдвига.
Для изотропной развитой турбулентности А. Н. Колмогоров рассмотрел турбулентный каскад и предположил, что в инерционном интервале Ьо << / << Ь (Ьо — диссипативный, а Ь — глобальный масштаб) при больших числах Рейнольдса все статистически усредненные моменты «¡(/) поля скоростей на масштабе / зависят только от средней скорости диссипации в/ и данного масштаба / (свойство локальности). Эта теория А. Н. Колмогорова была предложена в 1941 г. и названа К41 [15]. В инерционном диапазоне теория К41 предполагает статистическое квазиравновесие флуктуаций и гауссовскую статистику пульсаций скоростей. Динамика инерционного диапазона не зависит от способа возбуждения турбулентности и определяется инвариантом потока энергии через этот интервал: средний поток энергии сохраняется.
Скейлиги (т. е. законы масштабной инвариантности) для «¡(/) и для энергии диссипации в/ при этом [15]:
^(/) ~(|5/иР) ~(в?>~№
со взаимозависящими показателями й,(Ф = я/3 + п(я/3). Из соображений размерности Колмогоров вывел ^(я) = #/3, что привело к спектру энергии, Ек ~ к-5/3. В гидродинамической турбулентности было обнаружено незначительное отклонение от этой зависимости Ек ~ к-5/3+ц (ц — так называемый коэффициент перемежаемости). Эта коррекция закона имеет принципиальное значение, поскольку связана со специальными симметриями и описывает структуру неоднородности турбулентности. Такое свойство приводит к значительному отклонению скейлинга структурных функций высокого порядка от линейного колмогоровского скейлинга ^(я) = я/3. В перемежаемой турбулентности структурные функции высоких порядков имеют скейлинг ^(я) с нелинейной зависимостью от порядка я. Это отражает факт отклонения ФР, обычно со сложной степенной зависимостью, от гауссиана: чем выше порядок я, тем меньший масштаб неоднородности описывает структурная функция порядка я.
В работе [16] была предложена лог-пуассоновская модель турбулентности с перемежаемостью и получена формула для скейлинга структурных функций порядка я, выраженная через момент третьего порядка:
С(я) = (1 -А) 3 + ДР "Ря/3 ]. (2.1)
Для изотропной трехмерной турбулентности А = в = 2/3 в модели Ше — Левека [17]:
?<«> = 9 + 2
1 -|3
2 ля 3
Лог-пуассоновские модели возникли в середине 1990-х годов и являются обобщением фрактальных моделей турбулентности, развитых ранее (см. [14]). Эти модели появились после феноменологического наблюдения расширенного самоподобия в гидродинамической турбулентности. В лог-пуассоновских моделях рассматривается стохастический мультипликативный каскад, в котором могут одновременно формироваться диссипативные структуры с различной размерностью, включая фрактальную. Такой процесс описывается в теории вероятностей в рамках подхода Хинчина — Леви. Данный подход полезно использовать для интерпретации экспериментальных результатов, когда наблюдаются незначительные отклонения экспериментальных скейлингов от формулы (2.1) с фиксированными А и р, что может быть связано со сложной геометрией диссипативных структур, либо с одновременным присутствием в процессе структур разной мерности. В этом случае процесс можно характеризовать подгоночными значениями А и р.
2.2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПУЛЬСАЦИЙ СКОРОСТИ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Исследования показали, что пульсации скорости для разных скоростей потока имеют различный вид в зависимости от высоты над поверхностью. Пульсации скорости имеют характерную структуру с наличием непериодических всплесков амплитуды. Турбулентные флуктуации содержат всплески амплитуд характерной формы с резким нарастанием и затяжным уменьшением амплитуды (рис. 8) на масштабе времен порядка 3 — 5 мс. Такое свойство турбулентности называется перемежаемостью и наблюдается во многих экспериментах с ТИС.
Рис. 8. Пульсации скорости в относительных единицах после модели № 1 при х = 1685 мм, V = 2 мм, и = 20 м/с
Ж6
0.8
0 6
04
0 3
о
-0.1
....... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... -----
.......
ул-Д;..
-0 08 -0.08 -004 -0.02
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
г, с
Рис. 9. Автокорреляционная функция (пульсации скорости при у = 2 мм, х = 1515 мм, и = 30 м/с, модель № 1)
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (типичный вид представлен на рис. 9) спадают не по экспоненциальному, а по степенному закону типа А(т) ~ тУ за времена т < 1 мс. При этом показатель степенного закона не является постоянным во всем диапазоне времен. На больших временах (до 0.05 с) наблюдаются осцилляции, что указывает на существование корреляций дальнего порядка. Вид АКФ изменяется с высотой над поверхностью, однако однозначно классифицировать свойства турбулентности только по форме АКФ не удается.
Для подробного описания структуры сигнала и свойства его автомодельности использовалось вейвлет-преобразование сигнала. Вейвлет-преобразование сигнала х(Х) по базисной анализирующей функции у(Х) (применялись функции Морле) определяется как
1 ^
у (а, х') =-= _[ х(Х)¥*(■ у/а
Х-Х'
¥х,
где знак «*» означает комплексное сопряжение, Х' — временной параметра сдвига и а (а > 0) — масштабный коэффициент. Для вычисления вейвлет-преобразования экспериментального временного ряда хI использовалась свертка У (а, х') = ¥-1|¥ (х) ¥ (¥)|, где ¥(х) — фурье-преобразование временного ряда хг-,
¥ (¥) = ехр
2пюа -
(2п)2 1
—ю2 а2
— фурье-
2 2
преобразование функции Морле вейвлета, а ¥-1 — обратное фурье-преобразование.
Рис. 10. Результат вейвлет-преобразования сигнала пульсаций скорости при у = 2.5 мм, х = 1515 мм, и = 20 м/с
Рис. 11. Спектр пульсаций скорости в относительных единицах при х = 1515 мм (до модели № 1) и при х = 1685 мм (после модели № 1) на высоте у = 0.2 мм, U = 20 м/с;--------закон Колмогорова К41
Вейвлет-преобразование иллюстрирует наличие когерентных структур в исследуемом сигнале, их иерархию. Типичный результат вейвлет-преобразования для турбулентных сигналов представлен на рис. 10. Наблюдаемая иерархия структур свидетельствует о каскадном процессе и самоподобии. Имеет место ветвление, что свидетельствует о фрактальных свойствах процесса.
Характерный спектр пульсаций скорости в набегающем потоке имеет сложную зависимость от частоты в диапазоне от 0.1 Гц до 10 кГц, с насыщением ниже 100 Гц и спаданием в области высоких частот. В диапазоне частот от ~100 Гц до 1 кГц частотный спектр можно аппроксимировать степенной зависимостью от частоты ~ с показателем у = 1.97. В других частотных диапазонах зависимость описывается иными показателями у, отличными от закона Колмогорова К41 (рис. 11). В зоне ТПС после модели наблюдается значительное изменение спектра. Например, на высоте 0.2 мм в области низких частот интенсивность спектра уменьшается в 1.5 — 2 раза, в то же время в области высоких частот амплитуда спектра увеличивается (рис. 11), т. е. наблюдается «перекачка» спектра в область высоких частот, что может свидетельствовать о разрушении низкочастотных когерентных структур моделью с фрактальной шероховатостью. Наибольшие изменения в низкочастотной области спектра наблюдаются в области модели на высоте у = 30 мм. При х = 2280 мм, т. е. на масштабах порядка 4 длин возмущающей поверхности, спектр ТПС заметно изменяется.
Рис. 12. Спектр пульсаций скорости в относительных единицах при х = 1515 мм, у = 0.2 мм, и = 10 м/с (** — модель № 3 с фрактальной структурой; нижняя линия — абразивная поверхность с гауссовой структурой)
Рассмотрим возможные причины изменения спектра пульсаций скорости в ТПС в низкочастотной области. Приведем сравнение этого спектра со спектром рельефа модели № 1, которая вносит возмущения в набегающий поток. Как было установлено в разделе 1, спектр фрактальной поверхности модели имеет степенную зависимость от масштабов с функциональной зависимостью от частоты (выраженной в обратных миллиметрах) ~ /с показателем у от ~2 до ~5
(см. рис. 3) в области масштабов от ~0.1 до ~10 мм 1. Учитывая, что скорость набегающего потока и = 10 м/с, проведем переформатирование оси абсцисс такого спектра, умножив величины на значение скорости, получив размерность [1/с]. График этого спектра с новой осью абсцисс приведен на рис. 12 совместно с графиком спектра пульсаций скорости в зависимости от частоты. В области частот ~103 — 104 Гц наблюдается сходство функциональной степенной зависимости ~ с близкими показателями у для спектров пульсаций скорости и спектра шероховатости поверхности. Такое же подобие спектров турбулентности ТПС и спектра профиля поверхности наблюдается и при скорости и = 5 м/с. На рис. 12, для сравнения, приведен также спектр абразивной поверхности. В этом случае функциональная зависимость спектра шероховатости значительно отклоняется от спектра пульсаций скорости в ТПС. Полученный из сравнения спектров результат позволяет сделать предположение о существовании механизма частотно-пространственного избирательного воздействия стохастического рельефа модели на свойства ТПС.
Для типичного вида функции распределения наблюдается асимметрия и превышение над гауссовской кривой при больших амплитудах, так называемые «тяжелые хвосты». Вклад в эту асимметрию дают большие всплески амплитуды, которые встречаются в сигналах с большей вероятностью, чем предсказывается законом классического броуновского процесса, известного как «белый шум». Наличие больших пиков с амплитудой больше, чем три величины стандартного отклонения, называемых в литературе берстами, свидетельствует о значительной перемежаемости. Плавность функции распределения означает, что турбулентный процесс не является простой суммой двух независимых процессов — «белого шума» и «когерентной моды». В этом случае ФР имела бы соответствующий вид с максимумом при больших аргументах. В экспериментах же всегда наблюдается равномерно спадающая ФР. «Хвосты» ФР описываются не экспоненциальной функцией, а алгебраической, т. е. имеют степенной вид Р(х)~х Ь, причем показатель степени Ь не является постоянной величиной. Как известно, такие степенные законы отражают свойство памяти в случайном процессе [14]. В теории вероятностей предлагаются различные классы случайных процессов, включающих свойство памяти. Функция распределения в таких моделях не описывается элементарными функциями. Для большинства моделей известны лишь способы аппроксимации ФР полиномами, либо вид уравнения, решениями которого она является. В рамках традиционного подхода к проблеме турбулентности мы можем использовать формализм моментов функции распределения, привлекая современные достижения статистической физики, апробированные для описания гидродинамической турбулентности (см. [14]). С одной стороны, это дает возможность сравнивать новые результаты с полученными ранее, а с другой — позволяет продвинуться в понимании физики процесса без потери детальности и связи с современными достижениями статистической физики и математики.
0.5,
0)0 5
2 5
а)
• (7=20 м/с, ж=1515мм
♦ £/=20 м с. л-1685 мм -£-ЕУ=20м/с, х=2280мм
й *1
1 *
* ♦
ю
15
20
25
30
35
40
45
у. ММ
40
30
10
-10г б)
* и=20 м/с, х=1 з]5 мм й
♦ (.' 211м с. л'=1()85 мм
Л 6-20 м/с, л- -2280 мм
й
• . « *
ЯММДОМЮйй й г фМШМММ* * * • 5 ♦ л * * * • 1 ♦ • • й о
у. мм
Рис. 13. Коэффициенты асимметрии (а) и эксцесса (б) функции распределения пульсаций скорости (и = 20 м/с)
В ТПС наблюдается зависимость ФР от высоты, что говорит о сложной структуре турбулентности. Для описания отклонения ФР от гауссовского закона в первом приближении используются коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса. Коэффициент асимметрии — величина, характеризующая асимметрию ФР, задается формулой: А = M3/o3, где M3 = ^ х3 P( x) — это
x
третий центральный момент функции распределения P(x), о — стандартное отклонение. Коэффициент эксцесса — мера остроты пика ФР, задается формулой: F = M4/o4 - 3, где M4 = ^ x4P(x) — четвертый центральный момент ФР. Зависимость от высоты y асимметрии и
x
эксцесса показана на рис. 13, а, б. Наблюдается значительное изменение статистических характеристик при x = 2280 мм на расстоянии ~ 4 длин модели вниз по потоку, в сравнении с профилями ФР в потоке до модели.
Как уже упоминалось в разделе 1.1, одним из индексов масштабной инвариантности, используемым в литературе для характеристики фрактальных свойств турбулентности, является показатель Херста H, который интерпретируется как индекс закона диффузии частицы в турбулентной среде: среднеквадратичное смещение зависит от времени, как ((ôx2)) ~ tH . Для броуновского движения (классической диффузии) H = 1/2, т. е. закон смещения частиц {ôx2) ~ t. Анализ полученных экспериментальных сигналов пульсаций скорости показал, что индекс Херста в основной зоне ТПС имеет значение 0.6 — 0.8. При приближении к стенке наблюдается тенденция к его увеличению.
Результат обработки экспериментальных данных показал, что пристеночная турбулентность обладает свойством мультифрактальности. Напомним, что свойством мультифрактальности обладают неоднородные фрактальные объекты, для описания которых, в отличие от регулярных фракталов, недостаточно введения всего лишь одной величины — его фрактальной размерности, а необходим целый спектр таких размерностей. Причина заключается в том, что такой объект обладает как геометрическими характеристиками, определяемыми величиной его фрактальной размерности, так и статистическими свойствами, описываемыми функцией распределения с особыми характеристиками [14]. Концепция мультифрактального анализа широко применяется в физике неупорядоченных сред, например, в теории фазовых переходов, гидродинамической турбулентности и турбулентности плазмы. Свойство мультифрактальности означает, что функция распределения приращений амплитуд флуктуаций (пульсаций) скорости ôxu = u(t + т) - u(t) изменяется от квази-гауссовой на больших масштабах лага т (т. е. временного параметра сдвига) к негауссовой форме с «тяжелыми хвостами» на малых лагах т. Это свойство наблюдалось на всех высотах в потоке, как до модели, так и после нее для лагов т ~ 0.1 — 2000 мс. Напомним, что для монофрактального процесса, например броуновского, функция распределения приращений не зависит от лага и всегда гауссовская. Мультифрактальность выражается в особых корреляционных свойствах: процесс характеризуется не одним единственным масштабом времени или пространства, на котором корреляции экспоненциально спадают (как в простейшем процессе броуновского типа), а целым диапазоном масштабов, на котором корреляции имеют степенную зависимость от масштаба. Другими словами это означает, что существуют дальние корреляции.
Из поведения ФР разностей сигнала можно определить характерный временной масштаб — граничный масштаб мультифрактальности. Он определяется лагом (временным масштабом), на котором ФР разностей сигнала теряет свойство гауссовости. Такое время, от 10-2 до 10 1 с, наблюдалось на всех высотах в потоке как до модели, так и после нее.
Описание экспериментально измеряемых функций распределения аналитическими функциями представляет собой очень сложную задачу. Поэтому для описания функции распределения использовались ее моменты, называемые также структурными функциями. Структурные функции Sq (т) = ^|ôTu(t )| , ôTu (t) = u (t + т) - u (t ) оценивались из временных сигналов скорости u(t), измеренной термоанемометром. Для пристеночной турбулентности степенная зависимость типа Sq (т) ~ т^(q) наблюдается лишь на ограниченном интервале временных масштабов около 0.5 — 1 миллисекунд.
Рис. 14. Свойство обобщенного самоподобия для структурных функций:
а — зависимость структурных функций разных порядков д от структурной функции третьего порядка (пульсации скорости при у = 20 мм, х = 1515 мм, и = 10 м/с; модель № 1); б — скейлинг структурной
функции пульсации скорости при у = 30 мм, и = 30м/с; ........... — отклонение от скейлинга К41
(хх — до модели х = 1515 мм, <|<| — после модели х = 2280 мм)
Для сравнения приведены скейлинга:
--лог-пуассоновская модель Ше — Левека;----модель BM (Будаев [14])
Следуя гипотезе об иерархичности моментов в моделях турбулентности с перемежаемостью, проведено исследование функциональной взаимозависимости структурных функций разных порядков вида £д ~ £^(д)//^(р). На рис. 14 свойство обобщенного самоподобия наблюдается на графике, построенном в логарифмическом масштабе. Для всех полученных экспериментальных данных как в потоке до моделей, так и после моделей зависимость вида £д ~ £3(д^(3) наблюдается почти на трех порядках изменения временных масштабов вплоть до 0.1 — 0.5 с. Обобщенное самоподобие свидетельствует о наличии статистической симметрии, обеспечивающей инвариантность процесса в широком диапазоне масштабов вплоть до диссипативного масштаба, т. е. многомасштабную инвариантность. Скейлинг й,д в нашем случае оказывается нелинейной функцией от д (рис. 14, б), что свидетельствует о нелинейном характере наблюдаемого турбулентного процесса. Происходит изменение спектра ^д (рис. 14, б): перед моделью № 1 он
близок к спектру изотропной трехмерной турбулентности, а после нее спектр описывается моделью, рассматривающей филаментарные диссипативные структуры (см. [14]). Это свидетельствует о значительной перестройке структуры ТИС.
В ТИС после моделей характеристики скейлинга й,д значительно отклоняются от величин
в = А = 2/3, принятых в модели Ше — Левека [17] изотропной трехмерной турбулентности с перемежаемостью. Нелинейные спектры ^д описываются лог-пуассоновским спектром (2.1) с подгоночными параметрами в и А. При всех скоростях набегающего потока наблюдается систематическое уменьшение параметра перемежаемости в вблизи поверхности у < 5 мм в зоне после модели № 1 при х = 2280 мм. Для спектров ТИС после моделей параметр А лежит в пределах от 0.2 до 0.4. Это может интерпретироваться как свидетельство доминирующего вклада квазиодномерных диссипативных структур в турбулентность с перемежаемостью (см. [14]). Иоскольку параметр А характеризует скейлинг диссипативных структур, то его изменение можно интерпретировать как результат изменения топологии диссипативных структур под влиянием фрактальной поверхности.
2.3. ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАСТИНЫ
Для измерения коэффициента сопротивления сх модель помещалась на весы. Схема позволяет с большой точностью измерять изменение силы при разных скоростях набегающего потока. Для модели № 3 были проведены две серии измерений: первая — при изменении от малых скоростей набегающего потока к большим, вторая — в противоположном изменении. Это позволило
Рис. 16. Коэффициент сопротивления в зависимости от числа Яе для гладкой модели (УУ):
„ -0.19077
.......— подгонка законом ~ ке ;
та -1/5
---теоретическая зависимость ~ ке
Рис. 15. Коэффициент сопротивления сх в зависимости —
от числа ке:
ОО — гладкая модель (стеклянная поверхность); ++ — необрабо- подтвердить корректность измерений. Для
танная плазмой поверхность; АА — модель № 3 с фрактальной —
шероховатостью; УУ — абразивная поверхность РЭ 280 сравнения были проведены ЖЗ^^ЬШ
дополнительные серии измерений:
с гладкой моделью, изготовленной из
стекла;
с моделью, изготовленной из необработанной плазмой пластины; с шероховатой моделью, изготовленной из абразивного промышленного материала. В широком диапазоне чисел Рейнольдса наблюдалось превышение коэффициента сопротивления сх для абразивной поверхности над коэффициентом сх для «фрактальной» модели с той же средней величиной шероховатости (рис. 15). Измеренный коэффициент сопротивления
сравнивался с известной теоретической зависимостью для коэффициента трения гладкой пла-
5 7
стины в турбулентном потоке в диапазоне 5 • 10 < Яе/ < 10 [9]:
ег = 0.074 (Яе/)
-1/5
На рис. 16 приведен результат обработки экспериментально измеренного коэффициента сопротивления зеркальной поверхности с помощью степенного закона. Подгоночный показатель степени 0.19 оказался близок к теоретическому значению 1/5.
Показатели скейлинга V коэффициента сопротивления сх ~ Яе У для разных моделей приведены в табл. 2.
Таблица 2
Тип поверхности модели Показатель скейлинга V Диапазон чисел Яе
Гладкая 0.191 (0.75 — 2.2) • 106
«Фрактальная» № 1 0.26 (0.7 — 2.3) • 106
«Фрактальная» № 2 0.21 (0.7 — 2.3) • 106
«Фрактальная» № 3 0.204 (0.6 — 2.0) • 106
Необработанная плазмой 0.17 (0.9 — 2.5) • 106
Абразивная 0.103 (0.9 — 2.5) • 106
Из табл. 2 видно, что модели, обработанные плазмой (в особенности модели № 2 и № 3), имеют показатели скейлинга, близкие к теоретическому значению для абсолютно гладкой поверхности. Для абразивной поверхности, имеющей среднюю шероховатость ~ 100 мкм и гауссову статистику распределения высот рельефа, показатель V = 0.1, который значительно отклоняется от значения 1/5 для гладкой поверхности. Этот экспериментальный факт следует принимать во
внимание при анализе влияния фрактальной поверхности и поверхности с гауссовым распределением высот на характеристики турбулентного течения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Впервые проведены экспериментальные исследования влияния геометрии поверхностей с хаотической микроструктурой, имеющих особую фрактальную иерархию гранулярности, на характеристики турбулентного пограничного слоя. Установлено, что отличительной особенностью «фрактальных» поверхностей является негауссова статистика распределения высот шероховатости, причем наблюдается хорошее согласование форм спектра профиля фрактальной поверхности и турбулентного пограничного слоя. Данный результат позволяет сделать обоснованное предположение о существовании механизма частотно-пространственного избирательного воздействия стохастического рельефа модели на свойства турбулентного пограничного слоя.
В экспериментах отчетливо зарегистрировано влияние состояния поверхности использованных моделей на спектры и структуру турбулентного пограничного слоя. В области низких частот амплитуда спектра падает в 1.5 — 2 раза, в то же время в области высоких частот амплитуда спектра увеличивается, что свидетельствует о разрушении низкочастотных (крупных) когерентных структур поверхностью с фрактальной микроструктурой.
Ироведены сравнения с результатами испытаний модели, изготовленной из абразивного промышленного материала с гауссовой функцией распределения высот, а также с практически гладкой моделью, изготовленной из стекла. Измерения показали заметное отличие влияния на турбулентный пограничный слой данных моделей и моделей с фрактальной структурой шероховатости. В широком диапазоне чисел Рейнольдса наблюдалось уменьшение коэффициента сопротивления сх для модели с фрактальной поверхностью по сравнению с соответствующим значением сх для абразивной поверхности такой же средней шероховатости. Измерения коэффициента сопротивления сх в зависимости от числа Яе показали степенную зависимость сх ~ Яе У с разными показателями степени (скейлингом) V для моделей фрактальной структуры и абразивных поверхностей. «Фрактальные» модели имеют показатель V « 0.2, близкий к теоретическому значению для абсолютно гладкой поверхности V = 1/5. Для абразивной поверхности, имеющей такую же среднюю шероховатость, показатель скейлинга оказывается существенно меньшим, а именно, V « 0.1.
Авторы выражают благодарность А. М. Гайфуллину за полезные замечания.
Работа выполнена в рамках Ирограммы совместных фундаментальных исследований по авиационно-космическим технологиям ФГУП «ЦАГИ» и институтов РАН.
ЛИТЕРАТУРА
1. Будаев В. П., Химченко Л. Н. Фрактальная нано- и микроструктура осажденных пленок в термоядерных установках // Вопросы атомной науки и техники. Сер. «Термоядерный синтез». 2008, вып. 3, с. 34 — 61.
2. Брутян М. А., Крапивский И. Л. Течение вязкой жидкости над перфорированной границей при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 5, с. 173 — 175.
3. Брутян М. А., Крапивский И. Л., Славнов Н. Н. Эффективное условие проскальзывания в задаче о течении вязкой жидкости над структурированной поверхностью // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 1, с. 72 — 76.
4. Енютин Г. В., Лашков Ю. А., Самойлова Н. В., Шумилкина Е. А. Влияние продольного оребрения на сопротивление турбулентного трения // Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. XIX, № 4, с. 37 — 44.
5. Енютин Г. В., Лашков Ю. А., Самойлова Н. В., Шумилкина Е. А. Экспериментальное исследование турбулентного трения на поверхности с прерывистым продольным оребрением // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 3, с. 43 — 50.
6. Енютин Г. В., Лашков Ю. А., Самойлова Н. В., Шумилкина Е. А. Влияние внешней турбулентности и градиента давления на эффективность снижения турбулентного трения на мелкоребристой поверхности // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 4, с. 33 — 38.
7. Будаев В. П. О влиянии фрактальной наноструктуры граничной поверхности на турбулентный пограничный слой: перспективы управления турбулентным течением и аэродинамическим сопротивлением / Препринт НИЦ «Курчатовский институт» ИАЭ-6675/7. — М.: 2011, 60 с.
8. Nikuradse J. Laws of flow in rough pipes // VDI Forschungsheft 361, 1933; also NACA TM 1292, 1950.
9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969, 742 с.
10. Крауз B. И., Мартыненко Ю. В., Свешников Н. Ю. и др. Наноструктуры в установках управляемого термоядерного синтеза // УФН. Т. 180, № 10, с. 1055 — 1080.
11. Будаев В. П., Химченко Л. Н. О фрактальной структуре осажденных пленок в токамаке // ЖЭТФ. 2007. T. 131, № 4, с. 711 — 728.
12. Климов Н. С., Подковыров В. Л., Житлухин А. М., Сафронов В. М., Коваленко Д. В., Москачева А. А. Разбрызгивание вольфрама при воздействии интенсивного потока плазмы // Вопросы атомной науки и техники. Сер. «Термоядерный синтез». 2009, вып. 2, с. 52 — 61.
13. Barabasi A. L., Stanley H. E. Fractal concepts in surface growth. — Cambridge: University Press. 1995, p. 388.
14. Будаев В. П., Савин С. П., Зеленый Л. М. Наблюдения перемежаемости и обобщенного самоподобия в турбулентных пограничных слоях лабораторной и магнито-сферной плазмы: на пути к определению количественных характеристик переноса // УФН. 2011. Т. 181, № 9, с. 905 — 952.
15. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. T. 30, с. 299 — 304.
16. D u b r u l l e B. Intermittency in fully developed turbulence: Log-Poisson statistics and generalized scale covariance // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73, p. 959 — 962.
17. She Z. , Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72, p. 336 — 339.
Рукопись поступила 3/VII2012 г.
