Влияние фононов на плотность электронных состояний в нанокластере алюминия Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 3. С. 25-30.

УДК 538.9

Н.В. Тиховская, К.Н. Югай

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ВЛИЯНИЕ ФОНОНОВ НА ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В НАНОКЛАСТЕРЕ АЛЮМИНИЯ

Density of states of the 2D square NxN aluminum nanosystem are calculated on the base of the Hubbard model at atom numbers of N=3^30 taking into account phonons. It is shown that dispersion relations for acoustic oscillations of atoms located on edges and vertexes are differed from bulk ones. It is shown also that phonons depend on the local density of states, but this dependence is not large.

1. Введение

Одной из фундаментальных проблем нанофизики является зависимость свойств наносистем от числа составляющих их атомов и молекул. Причем эти свойства зачастую изменяются скачкообразно при возрастании числа частиц на единицу (см., например, [1]). Именно эта чувствительность нанокластеров от числа частиц и определяет огромное разнообразие их необычных свойств, отличающихся от свойств отдельных атомов и молекул, а также от свойств объемного материала.

В данной работе вычисляется плотность состояний простейшего нанокластера (двумерной квадратной решетки атомов алюминия) на основе модели Хаббарда [2], описывающей систему с сильными электронными корреляциями и, в частности, переход металл-диэлектрик [3]. Двумерная система, составленная из атомов металла, вне зависимости от степени упорядочения системы, при плотностях электронов ниже некоторого критического значения и низкой температуре находится в диэлектрическом состоянии [3]. Это означает, что энергия перескока электрона между узлами решетки равна нулю (моттовский диэлектрик). При повышении температуры энергия перескока возрастает. В нашей расчетной схеме энергия перескока варьировалась от нуля до некоторого значения, существенно меньшего энергии атома в узле, что характерно для модели Хаббарда. Предполагается, что изменение энергии перескока обусловлено изменением температуры системы.

2. Постановка задачи и модель исследования

Плотность состояний физической системы характеризует ее физические и химические свойства, такие как электропроводность, реакционная способность и многие другие [1; 4-9]. Известно, что физические и химические свойства наночастиц существенным образом отличаются от свойств материалов, размеры которых порядка нескольких микрон и более.

© Н.В. Тиховская, К.Н. Югай, 2008

В связи с этим плотность состояний наночастицы должна отличаться от плотности состояний микро- и макрообъектов.

Для выяснения этих особенностей вычислим плотность состояний простейшего нанокластера. Рассмотрим двумерный нанокластер атомов алюминия, образующих квадратную решетку размером ИхИ. Кроме того, вначале для простоты пренебрежем тепловыми колебаниями атомов. Тогда гамильтониан такой системы в рамках приближения модели сильной связи имеет вид [10]:

н = ^Е!с1 С +1Е Е (С1С! + С1с1)’

!=1 1>! 1=1

где п=ЛР - полное число атомов в кластере, Ег - энергия э-состояния атома в 1-том узле квадратной решетки, й/ = / = í - кинетическая энергия перескока между соседними узлами решетки 1 и / (мы используем приближение ближайших соседей).

Локальная плотность состояний на атом для узла 1 определяется следующей формулой:

g (s Г ) = -

GR (s)-GA (s)

2ni

(2)

где GR(A>(e) - запаздывающие (опережающие) функции Грина, для вычисления которых использовался MCF-метод (Matrix Continued Fraction method) [10].

Для удобства выделим отдельно вершинные (Vertex), реберные (Edge) и объемные (Bulk) атомы. При этом энергия связи электрона с атомом каждой группы будет различной, что обусловлено изменением числа ближайших соседей атомов, расположенных на вершине, ребре или в объеме кластера: два, три и четыре соседа соответственно.

Очевидно, что влияние каждого соседа на энергию связи электрона одинаково для всех атомов. Тогда различие в значениях энергии будет вызвано только лишь изменением количества ближайших соседей [11].

Рассмотрим два случая:

1) t = 0.0 эВ, что соответствует случаю моттовского диэлектрика, когда электроны полностью локализованы на узлах решётки;

2) t / 0.0 эВ, что соответствует металлическому состоянию. В расчетах используется значение t = 0.9 эВ [10; 12; 13].

3. Результаты и обсуждение

3.1. Плотность состояний алюминиевого нанокластера

Согласно расчетам для квадратных кластеров алюминия размером NxN атомов (Ы = 3^30) локальная плотность состояний д(е) зависит от общего числа атомов и положения атома в кластере. Так, на рисунке 1 приведена поверхность плотности состояний для N = 10 и N = 30 при одной и той же энергии, но разной энергии перескока: й = 0.0 эВ (рис.1 (а, с)) и й = 0.9 эВ (рис. 1 (Ь, d)).

Видно, что при й = 0.0 эВ можно четко выделить указанные выше группы атомов - вершинные, реберные и объемные. Это связано с тем, что на плотность состояний в каждом узле в этом случае существенное влияние оказывают только ближайшие соседи, а так как их число зависит от того, к какой группе атомов относится выбранный узел, то и значения плотности состояний в кластере становятся четко выделенными (см. рис. 1 (а, с)).

Когда энергия перескока отлична от нуля (й = 0.9 эВ), на плотность состояний в узле начинают влиять также и атомы следующих слоев, поэтому поверхность плотности состояний становится более сложной (см. рис. 1 (а, d)). Отметим, что во всех случаях (рис. 1 (а^)) плотность состояний зависит от того, в какой части кластера находится выбранный атом и сколько атомов содержит кластер. Например, при й = 0.0 эВ для N = 10 для атома вершины наблюдается минимум (см. рис. 1 (а)), а для N =30 для этого же атома - максимум (см. рис. 1 (с)). Такая же ситуация и при й = 0.9 эВ, только уже для центрального объемного атома: если N =10, то плотность состояний имеет минимум (см. рис. 1 (Ь)), а если N =30 -максимум (см. рис. 1 ^)). Однако при

й = 0.9 эВ зависимость плотности состояний на краю кластера для N = 10 и для N =30 имеет одинаковый вид (см. рис.

1 (Ь, ф).

Кроме того, анализ полученных данных показал, что при малых N пики плотности состояний для разных атомов максимально разнесены друг от друга, причем пик для атома на ребре находится ровно посередине между пиками для атомов вершины и объема, а с увеличением

числа частиц пики сближаются. В связи с этим можно выделить три области [11]:

1. Область четко разделенных максимумов (И < 7) (см. рис. 2 (а, Ь)).

2. Область близких максимумов (И и 8*12).

3. Область слившихся максимумов: максимумы наблюдаются при одном и том же значении энергии є (И >12) (см. рис. 2 (с, а)).

Отметим также, что при Ї = 0.0 эВ всегда наблюдается только один пик плотности состояний для каждого N (см. рис. 2 (а, с)), а при Ї = 0.9 эВ с увеличением числа частиц в кластере зависимость д(є) становится более сглаженной (см. рис.

2 (Ь, а)).

Рис. 2. Зависимость д(є) при N =4 (а, Ь) и N =27 (с, сі); і = 0.0 эВ (а, с); і = 0.9 эВ (Ь, сі)

а)

0224

0222

50.22

021«

0211

0214

0212

Ь>

иг

Рис. 1.

(с, сі), і =

лл

\ХМЛ

Зависимость д(є) при N =10 (а, Ь) и N =30 0.0 эВ (а, с), і = 0.9 эВ (Ь, сі), є = 4.185 эВ для кластеров алюминия

На рисунке 3 представлена зависимость максимальных значений плотности состояний от числа частиц в кластере: для каждого значения N бралось максимальное значение д(е), соответствующее данному типу атома, - вершинный, реберный, объемный. Видно, что для й = 0.0 эВ эта зависимость немонотонна и имеет вид нерегулярно чередующихся максимумов и минимумов (см. рис. 3 (а)), а для й = 0.9 эВ максимальные значения д(е) уменьшаются с увеличением числа частиц в кластере (см. рис. 3 (Ь)). Кроме того, заметим, что зависимость дтах(Щ для й = 0.9 эВ проявляет сильную зависимость от N при малых значениях числа частиц и выходит на насыщение при некотором N = ~ 25 (см. рис. 3 (Ь)). При й = 0.0 эВ

также можно выделить некоторые закономерности.

Рис. 3. Зависимость максимального значения плотности состояний с увеличением N для алюминиевого

кластера; f = 0.0 эВ (а) и f = 0.9 эВ (ь)

Так, из рисунка 3 (а) видно, что зависимости дтаХ.Щ для атомов алюминия различаются при малых N и становятся практически идентичными для всех типов атомов: на вершине, в центре ребра и в центре кластера, начиная с N = 12.

3.2. Влияние фононов на плотность состояний алюминиевого нанокластера

Известно, что в твердых телах, имеющих макроскопические размеры, фононы и электрон-фононные взаимодействия играют важную роль. Ими определяется, например, подвижность носителей заряда в полярных полупроводниках, с их помощью стало возможным объяснение явления сверхпроводимости металлов и т. д. Однако физические свойства нанораз-мерных объектов, как известно, значительно отличаются от свойств объемных материалов. В этой связи возникает вопрос о влиянии фононов и фононных взаимодействий на физические свойства наноструктур [14, 15].

Рассмотрим влияние акустических фононов на плотность состояний в нашем случае. С учетом электрон-фононного взаимодействия гамильтониан (1) примет вид:

и = '^е,с+ о +1Е Е (с+cl + с+ c¡)+ирк, (3) !=1 1>! !=1

где Ирн учитывает фононы и электрон-фононное взаимодействие:

Hph = H 0, ph + H,nt = ZZ° [КА J + |] + (4)

+ gph/СZck+q.ick.i (bq.i — b-q.i) ,

где Нюч - энергия фонона с волновым вектором д, д2рн - константа электрон-фононного взаимодействия, Ъ+, Ъ - операторы рождения и уничтожения фононов соответственно.

Поскольку исследуемая плотность состояний (2) определяется функциями Грина Ск(А>(е), то для вычисления (4) в матричной форме необходимо знать закон дисперсии ®(к) [16]. Ввиду ограниченности размеров исследуемой системы пренебречь граничными эффектами нельзя: на каждый атом действуют упругие силы со стороны соседей, которые не уравновешивают друг друга в случае крайних атомов. В силу этого обстоятельства закон дисперсии для крайних атомов

будет выглядеть иначе, чем для остальных.

Действительно, рассмотрим полубес-конечную цепочку атомов. Тогда уравнения движения атомов имеют вид:

Гш#! = -кеШи2, \тип = -кеШип_1 - кеШи„+1, п > 1,

где ке1аэг - жесткость упругой связи атомов, т - масса атомов. Будем искать решение в виде:

л й>?-пка ип = •

Тогда закон дисперсии имеет вид:

(

2 _ 2

О vertex. edge О0

ї A

1 ±—2-A

л

n = 1;

1 ]

m

bulk

= 2о0 (l - cos(ka)), n > 1.

где Ai - амплитуда колебаний крайнего атома, An= A2 - амплитуда колебаний остальных атомов (n>1).

Из условий (О2 > 0 и A1 < A2 следует, что частота колебаний крайнего атома может принимать всего два значения:

О vertex. edge.l = 0 и О vertex. edge.2 = V2®0 , а длЯ

атомов внутри кластера закон дисперсии имеет вид: °1иШ = 2о02 (1 - cos (ka)).

Рис. 4. Зависимость д(£): а) без учета фононов,

N = 5, t = 0.0 эВ; Ь) с учетом фононов, N = 5, t = 0.0 эВ; с) с учетом фононов, N = 27, t = 0.0 эВ; с1) с учетом фононов, N = 27, t = 0.9 эВ

Проведенные расчеты плотности состояний для этого случая показывают, что влияние фононов невелико. Зависимость плотности состояний от энергии е остается такой же, однако наблюдается изменение величины соответствующих пиков

2

l=1 k.q

плотности состояний и сдвиг зависимости в целом на некоторую величину Де ~ 0.11 эВ, значение которой соответствует энергии собственных колебаний фононов (см. рис. 4). Этот факт свидетельствует о незначительном влиянии элек-трон-фононного взаимодействия Hint на плотность состояний кластера.

Из сравнения рисунков 4(a) и 4(b) видно, что произошло смещение зависимости g(s) как целого вправо по энергии на величину Де ~ 0.11 эВ. При этом также видно, что пик для атома в центре кластера стал выше, а для атомов в центре ребра и на вершине - уменьшился. Из ри-суиков 2 (с, Ь) и 4(с, d) видно, что харак-

тер зависимости плотности состояний от энергии не изменился: при увеличении числа частиц в кластере пики сближаются, а увеличение энергии перескока также приводит к появлению множества пиков для каждого типа атомов.

Зависимость максимальных значений плотности состояний от числа частиц при учете фононов для й = 0.0 эВ так же, как и в случае, не учитывающем влияние колебаний атомов, имеет вид чередующихся нерегулярных пиков (см. рис. 5(а)). Отметим,

что в этом случае максимумам зависимости, представленной на рисунке 3(а), соответствуют минимумы зависимости, представленной на рисунке 5(а), и наоборот.

Рис. 5. Зависимость максимального значения плотности состояний с увеличением N для модели, учитывающей фононы; t = 0.0 эВ (а) и t = 0.9 эВ (Ь)

При Ї = 0.9 эВ, как видно из рисунка 5(Ь), так же, как и в случае, не учитывающем влияние фононов (см. рис. 3(Ь)), наблюдается сильная зависимость плотности состояний от числа частиц при малых значениях N. При увеличении числа частиц в кластере эта зависимость монотонна и выходит на насыщение при

Изоі~20.

4. Заключение

Таким образом, в рамках модели Хаббарда с гамильтонианом (1) для квадратного нанокластера алюминия размером ИхИ показано, что локальная плотность состояний такой системы зависит от общего числа частиц в кластере, причем имеет значение, где именно в кластере находится рассматриваемый атом. Кроме того, в работе рассмотрено влияние фононов и электрон-фононного взаимодействия на плотность состояний исследуемого нанокластера и показано, что это

влияние невелико: учет колебаний атомов кластера изменяет величину пиков плотности состояний для каждого типа атомов, а также приводит к смещению зависимости g(s) на величину, соответствующую собственной энергии фононов, что говорит о незначительном влиянии элек-трон-фононного взаимодействия на локальную плотность состояний.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Пул Ч., Оуэнс Ф. Нанотехнологии. М., 2005. 336 с.

[2] Мотт Н.Ф. Переходы металл-изолятор. М., 1979. 342 с.

[3] Abrahams E., Kravchenko S. V, Sarachik M.P. Metallic behavior and related phenomena in two dimensions // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 251-266.

[4] Narvaez G.A., Kirczenow G. Electronic excitations

and tunneling spectra of metallic nanograins // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 245415-245423.

[5] Wu J., Ma L., Yang Y. Single-band Hubbard model

for the transport properties in bistable or-

ganic/metal nanoparticle/organic devices // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 115321-115330.

[6] Rao S., Sutin J, Clegg R., Gratton E., Nayfeh M.H.,

Habbal S., Tsolakidis A., Martin R.M. Excited states of tetrahedral single-core Si29 nanoparticles // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 205319-205326.

[7] Kucheyev S.O., Baumann T.F., Sterne P.A, Wang Y.M.,

van Buuren T., Hamza A.V., Terminello L.J., Willey T.M. Surface electronic states in threedimensional SnO2 nanostructures // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 035404-035409.

[8] Liu H., Mun B.S., Thornton G, Isaacs S.R., Shon Y.-S.,

Ogletree D.F., Salmeron M. Electronic structure of ensembles of gold nanoparticles: Size and proximity effects // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 155430-155435.

[9] Gascon J.A., Pastawski H.M. Surface effects on the statistics of the local density of states in metallic nanoparticles: manifestation on the NMR spectra // cond-mat/0512160v1. 2005.

[10] Pastawski H.M., Weisz J.F., Albornoz S. Matrix con-tinued-fraction calculation of localization length // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 28. P. 6896-6903.

[11] Тиховская Н.В., Югай К.Н. Плотность состояний двумерных нанокластеров алюминия в модели Хаббарда // ФТТ. 2008. Т. 50. С. 726733.

[12] Fritschij F.C., Brom H.B., de Jongh L.J. et al. Mesoscopic Fluctuations in Small Metal Particles Studied by Nuclear Magnetic Resonance// Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 2167-2170.

[13] Yang S.H., Mehl M.J., PapaconstanVertexoulos D.A. Application of a tight-binding total-energy method for Al, Ga, and In // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 57. № 4. P. 2013-2016.

[14] Meyer R., Lewis L.J., Prakash S., Entel P. Vibrational properties of nanoscale materials: From nanoparticles to nanocrystalline materials //Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 104303-104312.

[15] Patton K.R., Geller M.R. Phonons in a nanoparticle mechanically coupled to a substrate // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 67. P. 155418-155428.

[16] Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962. 444 с.