CC BY
56
УДК 519.6
Л. И, Бабок
«ВИЗУАЛЬНЫЕ» ВЫЧИСЛЕНИЯ: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Введение
Повышению эффективности решения различных классов сложных вычислительных задач уделялось и уделяется большое внимание, В настоящее время общепринятой является «численная» технология решения вычислительных задач. При этом задачи решаются с помощью набора формальных (обычно стандартных) численных процедур -- например, нахождение корней уравнений, численное решение линейных и нелинейных систем уравнений, дифференциальных уравнений, определение экстремумов функций и др. После завершения вычислений результаты представляются пользователю в удобном виде - в форме таблиц, [рафиков и т.д.
К сожалению, указанный подход обладает существенным недостатком - слабым привлечением человека к решению задач. Вычисления проводятся по заранее разработанным «жестким» алгоритмам, и пользователь имеет весьма ограниченные возможности вмешаться в них (обычно путем изменения исходных данных на входе или в некоторых контрольных, точках вычислительной процедуры с помощью диалога).
Отмеченный недостаток особенно существенен при решении сложных и плохо формализуемых задач, часто встречающихся на практике. Примерами являются задачи поиска множества решений систем неравенств и систем уравнений, множества экстремумов функций нескольких неременных; задачи многокритериальной оптимизации и многокритериального выбора и др. Известно, что применение к подобным задачам «жестких» вычислительных схем без участия человека малоэффективно [1, р. 8-10; 2].
На кафедре «Компьютерные системы в управлении и проектировании» Томского университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) разрабатывается новая «визуальная» технология решения сложных вычислительных задач, характеризующихся наличием нескольких
или целого множества решений, нескольких противоречивых (возможно, неформализуемых) критериев. Технология основана на построении
проекций многомерных областей и позволяет в процессе решения объединить ресурсы ЭВМ и интеллектуальные способности человека. Предполагается, что в результате эффективность вычислений при поиске и анализе решений сложных задач может быть существенно повышена.
В статье представлены основные концепции и алгоритмы, положенные в основу технологии «визуальных» вычислений. Рассматривается применение ее для двух классов задач: поиск множества решений систем нелинейных неравенств и решение многокритериальных проблем. Приводится пример решения задачи многокритериального выбора с помощью программной системы визуальных вычислений IMAGE.
1, Технология визуальных вычислений
Технология визуальных вычислений значительно отличается от традиционной «численной» технологии. В рассматриваемом подходе особое значение имеет визуализация процесса вычислений, так как сам метод решения вычислительных задач предполагает оперирование с графическими объектами и образами (м и ожествам и, об л астя м и, гео м етр и ч ее к и м и телами, годографами и т.д.). Здесь средства графического интерфейса служат не только для отображения и оценки результатов вычислений на промежуточных и окончательном этапах, но выступают главным образом как инструмент вычислений.
Под визуальными вычислениями понимается процесс, при котором пользователь с помощью графических средств непосредственно управляет ходом вычислений, активно вмешиваясь в них (например, изменяя некоторые параметры и т.д.), и одновременно наблюдает за результатами своих действий. При выполнении некоторой вычислительной процедуры управляющие операции и промежуточные (окончательные)
результаты вычислений одновременно отображаются (визуализируются) на экране монитора. Определенным образом может визуализироваться также желаемая цель вычислений.
Реально в программе реализуется цепочка: управляющие действия пользователя- и их отображение - вычисление результатов .процедуры - отображение результатов. Для эффективного осуществления визуальных вычислений требуется адекватный выбор средств графического отображения управляющих операций, с одной стороны, и результатов вычислений -
Графический
образ
входной
информации
Графический
образ
выходной
информации
Рис. 1
с другой стороны, а также быстрая связь между этими двумя компонентами (т.е, использование б ы строде йствующих в ы ч и сл и тел ь н ы х ал гор ит-мов). В этом случае у пользователя создается ощущение, что он непосредственно работает с двумя взаимно связанными графическими образами (образами входной и выходной информации). Пользователь как бы отвлекается от реального содержания задачи и стремится достичь цели только средствами визуализации (подобно компьютерной игре).
В результате возникает своеобразная визуальная модель вычислительной задачи (либо некоторой ее части), наглядно отражающая зависимость графических образов «входа» и «выхода» (рис. 1). Эта модель позволяет получить более полное представление о взаимосвязи между управляемыми переменными и различными критериями, о множествах значений, принимаемых переменными и критериями, и т.д. Возможно быстрое изучение последствий выбора группы управляемых переменных на выходные критерии. Таким образом, в отличие от традиционного численного способа исследования модели, визуальный подход дает более полную картину, отражающую на количественном и качественном, числовом и визуальном уровнях свойства задачи, разрешает более информативно ответить на вопросы «что будет, если?..».
Кроме того, построение визуальной модели задачи дает возможность привлечь интеллектуальные (в том числе интуитивные) способности человека по восприятию визуальной информации и принятию решений, это приводит к значительному повышению эффективности вычислений при поиске и анализе решений.
В [3] аналогичный подход был предложен применительно к решению задач проектирования технических систем и устройств, он получил название «визуального» проектирования. Следует отметать, что графическое представление и связь входной и выходной информации используются в различных компьютерных программах (например, в компьютерных играх, тренажерах и т.п.), однако активное применение такого подхода в программах для решения вычислительных и проектных задач нам неизвестно.
Рассматриваемая в настоящей статье реализация технологии визуальных вычислений основана на интерактивной процедуре решения систем неравенств [4, с. 203 -213]. Последняя, в свою очередь, базируется на построении и визуализации проекций многомерной допустимой области решений. В рамках предложенной технологии могут быть разработаны методы «визуального» решения конкретных типов вычислительных задач [3-8]. Методы отличаются способом сведения исходной задачи к решению систем неравенств, набором средств и приемов визуальных вычислений и порядком их применения.
Выбор (поиск) решений задачи представляет собой итерационный процесс [3, с. 218-228; 4. с. 203-213]. На очередном шаге графически отображается входная информация (допустимая область изменения и значения некоторой группы искомых или исследуемых переменных задачи) и выходная информация(прогнозируемые значения функций-критериев, допустимая область изменения следующей группы переменных). Указанная информация представляется в различной форме - в виде двумерных и трехмерных проекций и сечений многомерных областей, точек на плоскости, линий уровня и поверхностей функций-критериев и т.д. В задачах одно- и многокритериальной оптимизации и многокритериального выбора пользователь с помощью линий уровня критериев может определить оптимальные или компромиссные значения переменных. При поиске экстремумов функций и решении систем уравнений картины линий уровня целевой функции позволяют выявить возможные области существования
решений, после чего выполняется более точный поиск или выбор решений.
2. Поиск множества решений систем нелинейных неравенств
2.1. Метод проекций
В настоящее время в достаточной мере развиты теория и алгоритмы решения систем линейных неравенств [9]. Что касается нелинейных задач, то существующие аналитические методы с использованием процедур компьютерной алгебры [Ю] позволяют решать лишь системы полиномиальных неравенств невысокой размерности (обычно с числом переменных до четырехпяти). Между тем, разработка общих методов решения систем неравенств (СН) представляется весьма важной, так как позволяет рассматривать сложные проблемы, в которых требуется найти некоторое множество решений либо выбрать решение из допустимого множества.
Следует отметить, что к решению СН могут быть сведены многие математические проблемы (например, поиск множеств решений систем нелинейных уравнений, множеств экстремумов функций, задачи математического программирования и др.), а также технико-экономические задачи (в частности, задачи 'теории управления, параметрического синтеза технических объектов и др.).
С геометрической точки зрения решение СН может рассматриваться как нахождение проекции допустимой области в многомерном пространстве переменных на подпространства меньшей размерности. Последняя проблема представляет и самостоятельный интерес.
Предлагаемая интерактивная процедура, визуального поиска множества решений СН основана на методе проекций [4, с. 203-213]. Пусть требуется найти допустимое решение Ху СН Щ)>0, (1)
где X е II11 - вектор независимых переменных; Е(Х) е К"1 - вектор-функция, которая может быть задана как в аналитическом виде, так и в форме алгоритма вычисления Е по X. СН (1) определяет допустимую область решений Вх = {X; Е(Х) > 0} в К11.
Метод проекций предполагает представление вектораХ = (х/, ..., хг) в виде композиции составляющих векторов
у: Л" = и X г
Для простоты реализации метода будем полагать, что каждый из векторов Х„ за исключением, возможно, Хх, принадлежит пространству R\ т.е. состоит из двух компонент. Можно, например, пронумеровать компоненты вектора X таким образом, что X, (х2, /, ДлЛ т.е. X/ -~(хг, Хч), Х'2 ~ (x¡, х4) и т.д. При п четном s = п!2, при п нечетном s = [м/2] + 1, где [и/2] -целая часть числа; если п нечетно, вектор Хч содержит единственную компоненту: Хч = х„.
Решение СН представляет собой итерационный процесс. На первом шаге находится проекция 1)х, области 1)х на плоскость хп, х , определяемую компонентами вектора X, ~ (х xti). Область DX] обладает тем свойством, что при Хх е I),., найдется хотя бы один набор векторов Х2, Х^, Xs, для которых выполняются ограничения (1), т.е. X = (х,,..., XJ е /3,,. Указанный факт для случая трехмерного пространства ( X е R3, Х = XxU. Х2 , А", = (хр„ хч), Х,= хп )
иллюстрируется рис. 2. Таким образом, проекция пХ] содержит все допустимые значения вектора X,.
Выберем значения компонент х„,X . принадлежащие проекции Dx i : А'10 = (х х и) с DX].
Эта задача решается путем непосредственного отображения (визуализации) проекции £)х, на плоскости х р, xq и выбора в ее пределах точки
Х10 = (х 0, х((0) . Подставив значение ..¥,== Xí0 в исходную СН (1), получим новую СН /-j (Л'рч) > 0 . Здесь Хп, е R" 2 представляет собой вектор X с исключенной компонентой X) (т.е. X = XxUX{n; для рассмотренного случая
Хщ = Х2 = хп); вектор - функция ^(Л^) определяется теми же аналитическими выражениями или алгоритмом, что и F(X), но при фиксированном значении X, = Х]0. Новая система определяет- соответствующую многомерную область = {Х[Г] : (A"(l¡) > 0}, являющуюся сечени-
ем Dy гиперплоскостью X, = Х10.
В результате первого шага выбраны значения компонент вектора Xi , задача поиска X е I)х сведена к поиску е- при этом размер-
ность задачи, первоначально равная общему числу вещественных переменных и, понижена до п-2.
К > О'
л = о -І? <0"
хс,и-
%рк
77^Г777777Ті
Рис, 2, Проекция допустимой области Ох
На следующем шаге найдем область £>г,, которая является проекцией области О на плоскость хг, х{, определяемую компонентами вектора А', = (I, х), выберем значение Х,0 е£)Х1 и т.д. После .у шагов определим значения всех компонент вектора Х„ = (Х10,.... X,.,,) е Г)х.
Достоинством приведенного способа решения является получение «образов» многомерной допустимой области Вх в виде непрерывных множеств (проекций). При этом на первом шаге находится полное множество ДХ1 допустимых значений вектора X/, на втором шаге - полное множество Д, допустимых значений Х2 для
выбранного значения а; = А"ш и т.д. Таким образом, рассмотренный способ позволяет получить любую точку X е Вх и, как следствие, найти
(теоретически) полное множество допустимых решений СН (1) либо любое его подмножество.
Весьма существенно также, что исследователь может непосредственно управлять значениями компонент вектораХ в процессе выбора допустимого решения. В результате, возможно получить решение (либо несколько решений) в заданной подобласти множества Вх, это важно в практических задачах. Заметим, кроме того, что выбор на каждом шаге точки X, в пределах. проекции [)Л на достаточном удалении от ее границ позволяет найти робастное решение СН (т.е. решение, удаленное от границ области Вх),
2.2. Численный алгоритм построения проекций многомерных областей
Наиболее важной составляющей метода проекций является алгоритм нахождения проекции многомерной области на подпространство. Численный алгоритм нахождения проекции многомерной области на плоскость К2 был предложен нами в [4, с. 203-213]. Алгоритм использует описание многомерных областей е помощью Я-функций [1 1].
^-функция может рассматриваться как скалярная свертка СН (I) и обладает следующими свойствами: К{Х)> 0 при X є І)х; К{X) ~ 0
при X е дО;., где д£>,, - граница Г)х; Я(Х) < 0 при X й 1)х . Применение і?-функций позволяет
перейти от задания сложной многомерной области системой неравенств вида (1) к заданию с помощью единственного неравенства:
Ох = {X : Я(А) > 0} .
Максимум й-функции достигается в пределах области Вх на максимальном удалении
от ее границ [8]. Для симметричных многомерных областей точка максимума /¿-функции совпадает (или почти совпадает) с геометрическим центром области [8]. В связи с тем, что для несимметричных областей центр однозначно не определен, далее под «центром» многомерной области будем понимать одну или множество точек, в которых /¿-функция максимальна. Если область В х представляет собой область
решений некоторой задачи, то точка максимума /^-функции отвечает наиболее робастному решению.
Пусть необходимо определить проекцию £> Т1 области В у на плоскость двух переменных хр, хч, т.е. Х]=(хр,ха). Рассмотрим, каким образом можно определить принадлежность произвольной точки Х10 = (х ,,, х 0)
на плоскости х , х проекции ВХІ. Решим для
этой точки задачу максимизации /{-функции в пространстве остальных координат вектора X:
Х>п) =
гпах
(2)
где Л'т~ вектор X с исключенными координа-
тами х и х ;
Х = (х„,х , Хт). Пусть
Хщ = ащ шах /?(х 0, х 0, Х[()) - оптимальное
Лш
значение вектора Х,у,, найденное в результате
решения (2). Обозначим полученное максимальное значение /¿-функции в точке Х!0 = (х 0, х 0)
как В(ха0, х ) = тахК(х„0, х 0, Х(11). Очевидец]
но, при В(х1Л, хч0)>0 точка X* = (хр(), хЛ Х‘;)) принадлежит области Г)х (в соответствии со свойствами ^-функции) и, следовательно, точка ХН) = (х 0, х 0) принадлежит проекции ВХ].
Если координаты х , хс) изменяются непрерывно, максимальная величина /¿-функции может рассматриваться как функция этих координат. Полученную таким образом функцию В(х , х ) = тах К{хп, х„, Л^) будем называть Л'ш
характеристической функцией проекции, или 1?-фупкцией.
Границу проекции 1)хх можно найти следующим образом. Зададим прямоугольную сетку на плоскости х,х с шагом Ах по оси х и
Лл\? по оси х (рис. 1): х к = х + кАх„,
к - ().,¥. : х , -- х' +1Ах , 1 = 0, . Начальные
• ч! ч ч
и конечные значения координат узлов сетки хр, хг , х~, х* определяют «окно» на плоскости,
в котором строится проекция ВХ1, Решая
в каждом узле сетки х к, х, задачу оптимизации
вида (2), вычислим значения В(хр/1,ха!)
и, таким образом, найдем точки поверхности 5-функции. Граница проекции находится как линия пересечения поверхности 5-функции с плоскостью В = 0.
Графическое изображение проекции Ох
на трехмерное пространство К3 для X) = (х , х , хг) может быть получено как совокупность двумерных проекций на плоскость х , ха, найденных для ряда фиксированных значений третьей координаты хг.
Рассмотренный алгоритм был реализован и проверен на большом числе тестовых примеров [8]. Были найдены проекции на К2 областей
в К", представляющих собой объединение и пересечение л-мерных геометрических тел (гипершаров, гиперэллипсоидов, гиперпараллелепипедов и др.) при различном числе измерений п > 3 . Возможное™ алгоритма можно проиллюстрировать на примере задачи, состоящей в определении проекции на К1 пересечения трех
100-мерных шаров. Решение было успешно получено, для этого потребовалось около 10 минут машинного времени на персональном компьютере с процессором РепГшт-133 при размерности прямоугольной сетки 30x30 [4, с. 203-213].
Исследования показали, что описанная «визуальная.» процедура позволяет находить решения нелинейных СН с числом переменных до 30-40. Примеры решения на основе рассмотренного подхода СН и сводящихся к ним задач проектирования технических устройств приведены в [8; 12, р. 332-337].
3, Решение многокритериальных задач
3.1, Постановка задачи
Сформулируем задачу многокритериального
выбора (оптимизации) в следующем виде. Пусть X е Я" — вектор независимых переменных (параметров); У(.X) - вектор критериев; С(Х) --вектор-функция, отражающая связи между компонентами вектора X, Пусть задана система критериальных, функциональных и параметрических ограничений:
У' < ¥(Х) < Г ; СТ < С(Х) < (Г; X ~ < X < X" Л 3)
где У~,¥'г ,СГ,Сг ‘ ,Х~,Х* - векторы, определяющие нижние и верхние допустимые пределы изменения Г, С и X. СН (3) может быть представлена в форме (Г), Тогда СН (3) задает допустимую область решений Ох - {X : Е(Х) > 0}
в К".
Требуется найти одно или несколько решений, удовлетворяющих ограничениям (3) и соответствующих желаемому (наилучшему) компромиссу между критериями. Указанные условия можно записать в виде X е.Ох, (Х,¥ (Х))е ОргеГ, (4)
где Т)ргеГ. множество значений параметров
и критериев, предпочтительных с точки зрения лица, принимающего решение (ЛПР). Множество Орп/ отражает любые предпочтения ЛПР,
как те, которые могут быть выражены количественно, так и неформализуемые. Особенностью задачи (4) является то, что множество 1)пге/ не
может быть задано формально до начала ее решения. Представление ЛПР об этом множестве во многом является субъективным
и изменяется в процессе решения (исследования) задачи.
Один из подходов к решению задачи (4) состоит в формировании и оптимизации скалярной
целевой функции Ф(Х), учитывающей критерии У: Ф(Х) ~ min , X е Г)х [2], Недостатком
этого подхода является сложность построения целевой функции, позволяющей получить необходимую степень компромисса между различными противоречивыми критериями. Единственная «оптимальная» точка области 13х , полученная в результате оптимизации Ф(Х), и даже некоторое множество «наилучших.» точек необязательно будут удачными решениями исходной многокритериальной задачи.
Лучшие результаты обеспечивают человеко-машинные процедуры решения многокритериальных задач с постепенным выявлением предпочтений ЛПР [2]. Однако при этом затруднена возможность целенаправленного получения (генерации) точек в области D f . Существующие
методы не дают ясной картины взаимосвязи параметров и критериев. Поэтому приходится выполнять множество итераций, выявляя указанные неявные связи, пока не будет получено удовлетворительное решение.'Указанные подходы не позволяют также учитывать неформали-зуемые критерии на стадии генерации решения.
Рассматриваемая ниже процедура решения многокритериальных задач на основе технологии визуальных вычислений позволяет частично преодолеть указанные недостатки.
3.2. Интерактивная процедура «визуального» решения многокритериальных задач
Как уже отмечалось, метод проекций позволяет в принципе получить любое допустимое решение СН (3). Рассмотренная интерактивная процедура визуального выбора решений СН может быть применена также к многокритериальным задачам. Однако для эффективного решения таких задач на каждом шаге итерационного процесса при выборе точки Xi в пределах проекции Dxl необходимо знать значения критериев уj в этой точке.
Предположим, что на первом шаге выбирается значение вектора А', = (л-р, % ) e Dxx. Очевидно,
что так как при этом значения векторов Х7, X, ..., Xv еще неизвестны (не выбраны), точный анализ критериев _у; на плоскости х , х невозможен. Предлагается строить на плоскости х , ха линии уровня прогнозируемых значений
критериев. Эти значения вычисляются в точках максимума Л-фуикции х(хр,хч) -(vV'fi] iv\l) •
Рассмотрим, какой смысл имеют указанные значения критериев. Пусть в некоторой точке Х10 = (а 0, xq0) е Ол-| 8 результате решения задачи (2) найдено значение вектора
(хро’хчо)= ajg тахДх^, х?0, Л,,,). В соот-Лп
ветствии со свойствами /¡¡-функции, найденная точка Xf* j(х о, х ()) будет «цеигральной» точкой многомерной области Dv;iр образованной сечением исходной области Dx плоскостями х = х 0 и хц = х в, т.е. будет максимально удалена от границ 1)А'ПГ Соответственно, точка
А [хро > Л,о) = ^хр0, хч0, .A j,j {хр§, Л/Q)) являе1 ся «наиболее робастным» решением для выбранных координат х = х п, х = х 0.
Сказанное иллюстрируется рис. 2, на котором область Dm ....сечение области Dx плоскостя-
ми х = х k и х,{ = хц, ~ представляет собой отрезок прямой, располагающийся в пределах Dx . Точка X* (х t, х расположена на этом отрезке и максимально удалена от его концов.
Значения Хщ{хрк,хч!) ранее были найдены в
каждом узле сетки х к, х при построении проекции Г)Х1. Бели теперь определить (*„> -V ) = (хр„ > )) и в каждом
узле вычислить величины критериев V , (Х ' (ду . Хг )) , ТО по ним на плоскости хр, Хч
можно построить линии уровня прогнозируемых («наиболее робастных») значений критериев у = const. Так как в практических задачах обычно требуется получить робастные решения, прогнозируемые величины уj будут достаточно информативной для ЛПР оценкой.
Помимо линий уровня критериев V , = const,
на. плоскости xp, х можно построить также линии уровня «наиболее робастных» значений остальных координат Хщ вектора А' (или час™ из
них), при которых достигаются величины у, . Эти линии уровня строятся непосредственно по значениям A' i](x/)i.,xql), вычисленным в узлах сетки.
Отображение на плоскости х ,х одновременно проекции 1)хл, линий уровня для нескольких критериев Г И переменных уУщ позволяет получить наглядную картину, отражающую взаимосвязь значений различных критериев и переменных, а также допустимый диапазон изменения х и х . Пользуясь этой информацией,
ЛПР выбирает точку Х10 - (х 0, х 0) на плоскости х,х в пределах проекции ВХ], т.е. определяет значения координат хр = х д и х - х(,0 .
Аналогичным образом линии уровня прогнозируемых значений критериев могут быть построены на каждом шаге итерационного процесса на плоскости очередной пары координат вектора X. Важно указать, что на любом, шаге эти значения критериев являются гарантированно достижимыми и могут быть улучшены на следующих шагах.
Следует также отметить, что на каждом таге возможен учет условия робастности решения по текущей паре координат. Например, на первом шаге допустимый диапазон изменения координат хп,х определяется границами проекции
Д., . Необходимая степень робастности по этим координатам задается путем выбора расстояния точки Х10 = (х 0, х 0) до границ проекции. При оценке критериев по линиям уровня прогнозируемых значений на плоскости х , х робастность по остальным координатам устанавливается максимальной.
Итак, итерационная процедура интерактивного визуального поиска решений в задачах многокритериальной оптимизации и многокритериального выбора на каждом шаге включает следующие этапы:
- построение проекции допустимой области решений на плоскость очередной пары координат вектора Х\
.- отображение на плоскости проекции линий
уровня ряда критериев у ;
- анализ .зависимости критериев от переменных проекции;
- визуальный выбор в пределах проекции значений пары координат, обеспечивающих компромиссные или наилучшие значения критериев, а также необходимую степень робастности по этим координатам.
Далее при полученных значениях текущих координат подобным образом осуществляется выбор следующей пары координат вектора X, и т.д. Предложенная процедура обобщает наглядный подход с использованием линий уровня критериев, широко применяемый при решении простых задач с двумя переменными, на. случай сложных многомерных задач.
Рассмотрен н ы е процедур ы в изу ги и.н о го
поиска решений систем нелинейных неравенств и многокритериальных задач реализованы в системе визуальных вычислений IMAGE |5, с. 146--148J. Пример решения с помощью IMAGE многокритериальной задачи проектирования (параметрического синтеза) элемента транзисторно-транзисторной логики приведен в [6, с. 149- 151].
Заключение
В статье предлагается новая «визуальная» технология решения вычислительных задач, ал ьтернати вная об щепр и н ягой «ч и слеп н о й »
технологии. Рассмотрено применение ее для поиска множества решений СН и решения многокритериальных проблем.
Итерационная процедура визуального
поиска решений СН основана на построении проекций многомерной допустимой области решений на плоскости пар компонент вектора переменных. Достоинством процедуры является то, что она позволяет получить любое число различных допустимых решений СН. При этом пользователю предоставляется возможность в и з у ал ь н о ко нт р ол ироват ь до п устим у ю область изменения переменных и управлять значениями всех переменных в процессе выбора решения. В результате возможно получить решения в заданной подобласти допустимого множества, в том числе робастные.
Процедура интерактивного визуального поиска решений в задачах многокритериальной оптимизации и многокритериального выбора использует' построение проекций на плоскости пар переменных, а также линий уровня прогнозируемых (наиболее робастных) значений критериев. Достоинство подхода заключается в том, что множество возможных решений и информация о последствиях того или иного выбора представляются в форме, удобной для анализа. Это позволяет пользователю при формировании решений учитывать комплекс критериев, в том числе неформал изуемых
(опыт, интуицию и т.д.). Графическое представление данных дает возможность привлечь интеяле ктуаль ные способ ности человека по оценке визуальной информации, что способствует более полному исследованию свойств задачи и нахождению наилучших решений.
При решении задач однокритериальной оптимизации предлагаемая процедура позволяет найти области локальных экстремумов. В задачах многокритериального выбора и оптимизации процедура дает возможность учитывать одновременно несколько критериев и выявлять области значении переменных, соответствующих наилучшему (желаемому) компромиссу. При этом не требуется формирования свертки критериев..
Предлагаемый интерактивный визуальный подход может рассматриваться как быстрый
и удобный способ получения приближенных решений либо множества предпочтительных решений в задачах многокритериального выбора и оптимизации. При необходимости эта решения могут быть использованы в качестве хороших начальных приближений и уточнены с помощью известных численных методов одно- и многокритериальной оптимизации.
Автор выражает благодарность А.Ю. Полякову, который принял участие в разработке и исследовании численных алгоритмов, реализации системы 1МАОЕ, а также в решении приведенного примера.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00953).
Литература
1, Но Yu-Chi, The No Free Lunch Theorem and the Human-Machine Interface II IEEE Control Systems Magazine, 1999. № 3. June,
2, Батищев Д.И., Шапошников Д.Е. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений, Н, Новгород, 1994,
3, Бабак Л.И,, Поляков А.Ю. Design Problem Solver - программа для решения задач проектирования технических устройств и систем. Основные концепции //Докл. междунар. симп. СИБКОНВЕРС'97. Томск, 1997,
4, Бабак Л.И. Синтез технических устройств и систем с использованием проекций области работоспособности // Там же,
5, Бабак Л.И., Поляков А.Ю. Система визуальных вычислений image для решения математических и технико-экономических задач II Докл. междунар. симп. СИБКОНВЕРС’99. Томск, 1999.
6, Поляков AJO,, Бабак Л,И, Анализ и оптимизация характеристик технических объектов с использованием системы визуальных вычислений Image II Там же.
7, Бабак Л.П., Поляков А.Ю, Метод «визуального» решения задач оптимизации и многокритериального выбора с использованием отображений на пространство критериев II Там же,
8, Поляков А.Ю, Визуальная технология решения задач проектирования технических устройств и систем: Дис. канд, техн. наук. Томск, 2000,
9, Черников С.Н. Линейные неравенства. М„ 1968.
10, Дэвенпорт Дж,, Сирэ И., Турнье Э, Компьютерная алгебра. М.:, 1991,
11, Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики, Киев, 1967.
12, Babak L.I. Interactive “visual" procedure for solving systems of inequalities and application to feedback stabilization problem II Proc, IASTED Int. Conf, "Automation, Control and Information Technology (ACIT2002)". Novosibirsk, Russia, 2002,
13, Антушев Г,С, Методы параметрического синтеза сложных технических систем. М., 1989,
