CC BY
96
•206
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
(К пятидесятилетию со дня рождения)
Исполнилось пятьдесят лет Виталию Павловичу Танане, профессору Челябинского университета, доктору физико-математических наук, видному специалисту по теории некорректных задач
Виталий Павлович Талана родился 11 июня 1945 года. В 1968 году окончил математико-механический факультет Уральского университета и поступил в аспирантуру Его учителем был один из ведущих советских математиков Валентин Константинович Иванов, Общение с учителем оказало большое влияние как на становление личности, так и на формирование научных интересов Виталия Павловича.
Ранние работы Виталия Павловича (1970-1978 годы) посвящены исследованию некорректных задач с точки зрения возможности их регуляризации. В эти годы им была доказана серия теорем о строении множеств равномерной регуляризации для широкого класса неустойчивых задач [1; 17]. В эти же годы Виталий Павлович вел работу по исследованию конкретных методов регуляризации как с точки зрения сходимости, так,и с точки зрения алгоритмических и вычислительных особенностей, а также по исследованию математических моделей, возникающих в радиофизике, теоретической физике, геофизике и других областях знания, где применение теории некорректных задач обусловлено потребностями практики (см. [22; 24; 29; 32; 35; 42; 46; 49; 51; 64]).
В 1971 году В.П.Танана защитил кандидатскую диссертацию. Результаты его ранних работ вошли в ставшую классической монографию [58]
Следующий этап научного творчества Виталия Павловича связан с исследованием некорректных задач не только с точки зрения самой возможности и способов регуляризации, но и с точки зрения точности получаемых приближенных решений.
В работе [34] Виталием Павловичем был предложен способ оценки снизу погрешности оптимального метода через модуль непрерывности заданного оператора. Широкий класс методов регуляризации исследован с точки зрения точности, установлена оптимальность по порядку многих известных методов. Кроме того, получена теорема о квазиоптимальном выборе параметра регуляризации, предложены оптимальные по порядку методы, удобные при решении конкретных классов некорректных задач (см. [7, 19; 21; 26; 31; 34: 38; 40; 41; 45; 52; 62; 67; 69; 70; 72; 76; 78; 89-93]).
В 1981 году В. П. Танана защитил докторскую диссертацию.
В том же году опубликована монография [55], в которой систематически излагаются методы решения неустойчивых задач, формулируемых в виде операторных уравнений первого рода
Аи = /, (1)
где А — оператор, действующий из банахова пространства V в банахово про-
К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ 2<Ж
странство Р. В работе дается классификация некорректных задач по исходной информации и устанавливается оптимальность по порядку широкого класса методов приближенного решения. Рассматриваются вопросы о квазиоптимальном выборе параметра регуляризации и об использовании дополнительной информации о точном решении — предложены способы выбора параметра регуляризации, наиболее полно учитывающие всю априорную информацию о решении. Излагается общий подход к конечномерной аппроксимации регуляризован-ных решений, найдены условия, обеспечивающие сходимость конечномерных методов. Полученные результаты применяются к решению задачи определения "тонкой структуры" фононного спектра по термодинамическим функциям кристалла. Предлагается решение этой задачи методом регуляризации А. II. Тихонова с параметром регуляризации, выбранным по принципу минимальных невязок [48]. Рассматривается, кроме того, вопрос о сходимости метода регуляризации применительно к решению нелинейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором. Предложен оптимальный по порядку метод решения нелинейных операторных уравнений первого рода.
В 1985-1990 годах продолжалось исследование операторных уравнений первого рода при существенно более слабых (по сравнению с [55]) условиях на оператор задачи.
В это время значительное место в творчестве Виталия Павловича занимает педагогическая деятельность. Обладая даром увлекать людей научными идеями, щедро делясь профессиональным и жизненным опытом, Виталий Павлович воспитал достойных учеников Многих одаренных студентов Виталий Павлович заинтересовал научной работой, занимаясь с каждым из своих учеников индивидуально, начиная с младших курсов.
К сожалению, не все ученики Виталия Павловича в силу непростых обстоятельств сегодняшней жизни смогли посвятить себя научной работе после окончания университета или аспирантуры. Но все, кому посчастливилось учиться у Виталия Павловича мастерству свободного общения о математическими понятиями и сложному умению шаг за шагом приближаться к истине, стали по-настоящему творческими людьми, способными мыслить нестандартно
Среди учеников Виталия Павловича особо отметим кандидатов физико-математических наук В. X Резника (Челябинский государственный технический университет), С. й. Янченко (Уральский лесотехнический институт), С. А. Рогожина (Уральский университет). Это незаурядные специалисты и талантливые преподаватели.
В совместных работах Виталия Павловича с учениками — С. А. Рогожи-ным, С. И. Янченко, Т. Н. Рудаковой — рядом с личностью учителя ярко проявляется личность каждого из молодых исследователей.
Несколько слов хочется сказать и о методических работах Виталия Павловича, предназначенных студентам математических специальностей (см. [78; 86; 87]). Эти работы отличает редкое умение излагать математические понятия и факты не только логически строго, но и очень емко, кратко, доступно
Вернемся к научным работам Виталия Павловича
В 1987 году была опубликована монография [59], посвященная вопросам построения методов, в определенном смысле наилучшим образом позволяющих
208
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
находить приближенное решение уравнения (1), а также вопросам получения неулучшаемых по порядку оценок точности этих методов. На основе регуляри-зующих алгоритмов, предложенных А. Б. Бакушинским, строятся оптимальные по порядку методы решения уравнения (1) в гильбертовом пространстве. Получена точная по порядку оценка погрешности оптимального метода приближенного решения задачи (1) в банаховом пространстве.Исследуется влияние априорной информации на скорость сходимости к нулю модуля непрерывности. Рассматриваются вопросы выбора метода приближенного вычисления нормального решения задачи (1) с неинъективным оператором А, минимально реагирующего на возмущение исходных данных. Получена оценка точности оптимального метода. Предложены оптил альные по порядку методы приближенного решения задачи (1) с неинъективным оператором А.
В работах В. П. Тананы 1990-1994 годов, наряду с развитием идей предыдущих работ, рассматривается и другой подход к изучению некорректных задач. Для уравнения (1), а также для задачи вычисления значений неограниченного оператора
и = А/ (2)
и задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения
«'(0 =- м(°) = 9 (3)
предложены конструкции локально-выпуклых пространств, переход к которым обеспечивает корректность и позволяет найти решение.
В краткой заметке трудно достаточно полно охарактеризовать все многогранное творчество Виталия Павловича Тананы, замечательного математика и педагога, личности разносторонней и яркой. Коллеги, друзья и ученики юбиляра надеются, что впереди Виталия Павловича ждут глубокие научные результаты и самые одаренные и благодарные ученики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Танана В.П. Некорректно поставленные задачи и геометрия банаховых пространств // ДАН СССР. 1970. Т. 193, № 1.
[2] ТАНАНА В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов линейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1974. Т. 125, № 5.
[3] Танана В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1975. Т. 220, М 5.
[4] Танана В.П. Об одном проекционном итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // ДАН СССР. 1975. Т. 224, № 5.
К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СО ДЦЯ РОЖДЕНИЯ
209
[5] Тлнана В.П. Об одном оптимальном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // ДАН СССР. 1976 Т. 226, № 6.
[6] Танана В.П., Васин В.В Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, № 1.
[7] Танана В.П. Оптимальные по порядку методы решения нелинейных некорректно поставленных задач // Журн вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, № 1.
[8] Танана В.П. Проекционные методы и конечноразностная аппроксимация линейных некорректно поставленных )адач // Сиб мат журн. 1975. Т 16, № 6.
[9] Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода и геометрические свойства банаховых пространств // Изв. вузов Математика. 1971. № 7.
[10] Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода в локально выпуклых пространствах // Изв. вузов. Математика. 2975. № 9.
[11] Танана В.П Об устойчивости метода невязки при решении некорректных задач // Изв. вузов Математика 1974 № 9
[12] Танана В 11 Проекционно-итеративные методы решения операторныз уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика 1975. № 5
[13] Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика. 1975. № 5.
[14] Танана В.П. О решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода б пространстве С\0,1] // Мат. зап УрГУ 1970. Т 7, № 4
[15] Танана В.П. Вариационные методы решения операторных уравнений первого рода // Мат. зап. УрГУ. 1972 Т 8, № 2
[16] ТАНАНА В.П. Вычисление значений неограниченного возмущенного оператора // Мат. зап. УрГУ. 1974. Т. 8, № 4.
[17] ТАНАНА В.П О строении классов равномерной регуляризации в гильбертовом пространстве // Мат. зап УрГУ. 1975. Т. 9, № 9
[18] Танана В.П. Об устойчивости проекционных методов при решении операторных уравнений первого рода с нелинейным оператором // Мат. зап. УрГУ. 1975. Т 9, № 2.
210
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
Танана В.П. Об оптимальности нелинейных методов при решении линейных неустойчивых задач // Методы решения условно-корректных задач / ИК АН УССР. Киев, 1975
Танана В.П. О методе квазирешений и решении задачи оптимального управления нагревом и построении оптимальных алгоритмов для некорректных задач с возмущенным оператором // Оптимизация вычислительных методов / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1975.
Танана В.II. Об оптимальных алгоритмах решения нелинейных неустойчивых задач // Сиб. мат. журн 1976. Т 17, № 5.
Танана В.Г1 , Коршунов В.А. Определение фононной плотности состояний по термодинамической функции кристалла // ФТТ. 1976, Т. 42, № 3.
Танана В II. Элементы теории приближения в локально-выпуклых топологических пространствах // Изв. вузов. Математика. 1976. № 6.
Танана В.П., Иванов В.К., Коршунов В А. О возможности определения энергетического спектра Бозе-системы по термодинамическим функциям И ЛАН СССР. 1976. Т. 228, № 1.
Танана В.П., Тимонов A.A. О проекционных методах решения нелинейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1976. Т. 229, № 3.
Танана В II., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 7.
Танана В.П., Резник В.Х. Итерационный плоскостно-градиенткый метод // Мат. зап. УрГУ. 1976. Т. 9, № 4.
Танана В.П., Данилин А.Р. О сходимости проекционных методов решения линейных некорректных задач // Мат. зап. УрГУ. 1975, Т. 9, № 4.
Танана В.II., Коршунов В.А. Определение фононной плотности состояний по теплоемкости кристалла // ФТТ. 1976. Т. 18, № 3.
Танана В II. Об оптимальных алгоритмах для некорректных задач с приближенно заданным оператором // Всесоюз конф. по асимптотическим методам и сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1975.
[31] Танана В.П. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач // Тр. Всесоюз. шк. молодых ученых "Методы решения некорректных задач и их применение". М.: Изд-во МГУ, 1974.
[32] Танана В.И., Коршунов В.А. Определение фононной плотности состояний по термодинамическим функциям кристалла // ДАН СССР. 1976. Т. 231, № 4.
К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
211
[33] Танана В.П. О проекционно итеративном алгоритме решения некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журн. вычисл математики и мат физики. 1977. Т. 17, № 1.
[34] Танана В П. Об оптимальных методах решения некорректных задач с приближенно заданным оператором и оценка погрешности этих методов // Журнал вычисл. математики и маг. физики. 1977. Т. 17, № 2.
[35] Танана В.П , Тимонов A.A. Один аналитический метод определения концентрации радиоактивного элемента по измеренным значениям интенсивности соответственного излучения // Атомная энергия. 1977. Т. 41, №4.
[36] Танана В.П. О решении операторных уравнений первого рода с многозначными операторами, и их приложения // Изв вузов. Математика 1977 № 7
[37] Танана В.П О сходимости проекционного метода для операторных уравнений первого рода с нелинейным оператором // Изв вузов Математика. 1977 № 8.
[38] Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв. вузов. Математика. 1977 № 11
[39] Танана В.II О реализации метода квазирешений // Изв. вузов. Математика 1977. №12
[40] Танана В.П Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Мат сб. 1977. Т. 146, № 2
[41] Танана В II Об оптимальных по порядку методах решения операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Исследования по современному мат анализу Свердловск: Изд.-во УрГУ. 1977.
[42] Танана В.П , Тимонов А.А Решение некоторых обратных задач скважинкой геофизики // Тр Всесоюз шк "Неклассические методы в геофизике" Новосибирск, 1977.
[43] Танана В.П., Коршунов В А. Принцип минимальных невязок // ДАН СССР 1978. Т 239, № 4.
[44] Танана В.П Приближенное решение неявных операторных уравнений первого рода методом, регуляризации // Изв. вузов. Математика. 1978. №11
[45] Танана В.П. Об оптимальных методах решения операторных уравнений первого рода // Тр. Всесоюз школы "Теория операторов в функциональных пространствах". Минск Изд-во Белорус, ун-га, 1978.
212
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
Танана В П , Коршунов В А Определение энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям // Журн вычисл математики и маа физики 1978 Т 18, № б
Танана В П О неявных операторных уравнениях первого рода и их приближении // ДАН СССР 1979 Т 244, № 5
Iahaha В П , Коршунов В А , Штаркман А А Принцип минимальных невязок в решении некорректных задач // Исследования по функциональному анализу Свердловск Изд -во УрГУ, 1978
Танана В П Оптимальные методы решения некорректных задач и приближения к решению задачи каротажа скважин // Исследования по функциональному анализу Свердловск Изд-во УрГУ, 1978
Танана В II , Коршунов BAO выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач // Сиб мат журн 1980 Т 21, № 4
Танана В П , Коршунов В А Определение фопонной плотности состоянии по термодинамическим функциям // ФП 1979 Т 48, № 5
Танана В II О регуляризации операторных уравнений первого рода с приближенно заданным оператором и выборе параметра регуляризации // Иссследования по математическому анализу Свердловск Изд-во УрГУ, 1979
Танана В II О выборе параметра регуляритации при решении некорректных задач // Тр Всесоюз конф по некорректно пос iавленным задачам Фрунзе Илим, 1979
Танана В П Об обобщенном принципе невязки // Всесоюз конф по асимптотическим методам в теории возмущенных уравнений Алма-Ата Наука, 1979
Танана В П Методы решения операторных уравнений M Наука, 1981
Танана В П , Данилин А Р Необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций линеиных некорректных задач б гильбертовом пространстве // ДАН СССР 1982 T 264 №5
Танана В II , Штаркман А А Конечномерная аппроксимация регуля-ризованных решении // Деп в ВИНИТИ, 1981 № 2284-81
Иванов В К , Васин В В , Танана В П Теория линейных некорректных задач и ее приложения M Наука, 1978
Танана В П , Pekaht M А , Янченко С И Оптимизация методов решения операторных уравнений Свердловск Изд-во УрГУ, 1987
Танана В П Оптимальная по порядку регуляризация линейных операторных уравнений при условии неединственности решения // ДАН СССР 1983 Т 269, № 1
К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
213
Танана В.П., Янченко С.И. О модуле бетта-нелрерывности оператора, обратного к невзаимнооднозначному // Деп. в ВИНИТИ, 1983. № 4959-83.
Танана В II., Бояршинов В.В. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристалла // Деп. в ВИНИТИ, 1983. № 2780-83.
Танана В 11., Данилин А.Р Необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Журн вычисл. математики и мат физики. 1984, Т 24, № 5
Танана В.П Конечномерная аппроксимация метода регуляризации при решении обратных задач // ДАН СССР. 1984. Т. 227, № 3.
Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации при решении вырожденных операторных уравнений // Изв вузов Математика. 1985 №9.
Танана В.П., Гольдина М.Г. Конечномерная аппроксимация метода невязки в Е-пространствах // Исследования по функциональному анализу и его приложениям Свердловск, 1985.
Танана В.П О выборе оптимального по порядку параметра регуля- ри-зации при решении вырожденных систем линейных уравнений // Деп. в ВИНИТИ 1984 № 3913-84.
Танана В П Об оптимизации методов решения линейных вырожденных операторных уравнений // Деп в ВИНИТИ 1985 № 5948-85
Танана В II О регуляризации обратной одномерной задачи фильтрации в неоднородном пласте // ДАН СССР. 1985 Т. 281, № 5.
Танана В П Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения // ДАН СССР 1985. Т 283, № 5.
[71] 'Ганана В.П. Равномерная регуляризация и оптимизация методов решения операторных уравнений // Тез. докл. XI Всесоюз. шк. по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986.
[72] Танана В.П , Рогожин С.А. Один метод решения вырожденных опе->• раторных уравнений первого рода // Тез. докл. XI Всесоюз. шк. по теории
операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986
[73] Танана В П., штаркман А А Конечномерные аппроксимации метода регуляризации в Е-пространствах // Тез. докл. XI Всесоюз. шк. по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986.
[74] Танана В.II.. Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений // Тез. докл. XI Всесоюз. шк. по теории операторов в функциональных пространствах Челябинск, 1986.
214
ВИТАЛИЙ ПАВЛОВИЧ ТАНАНА
[75] ТАНАНА В.П. Оптимальная регуляризация в условиях неединственности решения // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984.
[76] ТАНАНА В.П. Исследование операторных уравнений: Методические указания по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во УрГУ. 1975.
[77] Танана В.П., Рогожин С.А. Учет коммутируемости оператора и его возмущения при решении вырожденных операторных уравнений // Деп. в ВИНИТИ. 1986. № 8595-1386.
[78] Танана В.П., Pekaht М.А. Об альфа-устойчивости множества при-блшиженных решений линейного операторного уравнения первого рода, построенных на основе метода регуляризации // Деп, в ВИНИТИ. 1985. № 96-85.
[79] Танана В.П., Рогожин С.А. Об одном методе решения линейных операторных уравнений первого рода //Деп. в ВИНИТИ. 1986. М 640-В86.
[80] Танана В.П.. Янченко С.И. Об оптимизации методов регуляризации вырожденных операторных уравнений // ДАН СССР. 1988. Т. 288, № 1.
[81] Танана В.П., Рудакова Т.Н. Об оптимальности методов решения а некорректных задач при дополнительных ограничениях на погрешность
оператора // Деп. в ВИНИТИ. 1991. № 6-В91.
[82] Танана В.П., Рудакова Т.Н. Исследование на оптимальность метода регуляризации с неинъективным оператором j/ Деп. в ВИНИТИ. 1991. № 877-В91.
[83] Танана В.П. Об условии минимальности локально-выпуклых пространств при решении некорректных задач // Докл. РАН. 1993. Т. 333,
" № 2.
[84] Танана В.П., Рогожин С.А. Несобственные интегралы, зависящие от параметра Методические указания. Свердловск: Изд-во УрГУ. 1989.
[85] Танана В.П. Элементы теории функций действительного переменного и ее приложения. Челябинск, 1993.
[86] Танана В.П., Рудакова Т.Н. Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач в гильбертовых пространствах при дополнительных ограничениях на погрешность оператора // Тез. докл. Всесоюз. конф. "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач". Бишкек, 1991.
[87] Tanana V.P., Rudakova T.N. The estimation of the error of the regularization method for ill-posed problems with nomnjechve operator // Некорректные задачи в естественных науках Тр. междунар. конф. М., 1992.
К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
215
[88] тлнана В.П., Табаринцева Е.В. Об одном обобщении метода квазиобращения // Исследования по функциональному анализу и топологии. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1991.
[89] Танана В.П., Табаринцева Е.В. Об одном новом подходе к регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. РАН. 1994. т. 335, № 5.
[90] Tanana V.P., Tabarintseva E.V. About the opiimahty of ike quasi-mverlton type method in the solution of matematical physics inverse problems II Journal of inverse and ill-posed problems. 1993. 3.
[91] Танана В.П. О критерии сходимости метода невязки // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 1.
[92] Иванов В.К., Танана В.П. О корректности условно-корректных задач в локально-выпуклых пространствах // Докл. РАН, 1992. т, 325, № 6,
¡93] Танана В.П. О решении некорректно поставленных задач в локально-выпуклых пространствах // Докл.РАН. 1992. т. 326, № 2.
[94] Танана В.11 О критерии сходимости конечномерных аппроксимаций при решении линейных некорректных задач //XI межреспубл. сов. по интервальной математике. Новосибирск, 1995.
