Вероятностный аспект моделирования поля микроускорений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.783:523.3

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АСПЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛЯ МИКРОУСКОРЕНИЙ

© 2010 А. В. Седельников

канд. физ.-мат. наук,

директор института энергетики и транспорта Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С. П. Королева e-mail: axe_backdraft@inbox.ru

Институт энергетики и транспорта Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С. П. Королева

В работе проведен вероятностный анализ моделирования микроускорений внутренней среды космической лаборатории. Предложен в качестве вероятностного аналога строго марковский случайный процесс. Разработана спекулятивная оценка тривиальным сценарием, рассмотрены правильные и критические сценарии. Введены понятия радиуса поглощения, сингулярности, а также энергетического вектора, анализ которого позволяет понять, по какому сценарию будет реализован случайный процесс. Доказан ряд положений, необходимых для проведения численного механического анализа характеристик процесса при моделировании поля микроускорений.

Ключевые слова: микроускорения, строго марковский случайный процесс, энергетический вектор, поглощающее состояние

Введение. Решение некоторых актуальных задач механики можно эффективно проводить, используя высокую степень математической формализации рассматриваемых процессов. Примером такой задачи является оценка микроускорений на борту космической лаборатории [Седельников 2006; 2007].

Предпосылки формализации. Рассмотрим задачу в постановке [Седельников, Серпухова 2009], где поле микроускорений создается благодаря колебаниям больших упругих элементов лаборатории после включения двигателей системы ориентации (УРД). Строгий механический анализ движения больших упругих элементов даже в существенно упрощенной постановке под влиянием лишь одного возмущающего фактора является затруднительным, поскольку срабатывание конкретного УРД случайно.

С другой стороны, если при первом срабатывании можно предположить, что начальные параметры движения упругих элементов нулевые (хотя на практике это не так), то при анализе последующих срабатываний их тривиальность вовсе недопустима, поскольку колебания не затухают полностью между включениями двигателей [Авраменко, Седельников 1996]. Эти величины также являются случайными.

Таким образом, точное решение задачи оценки микроускорений в постановке [Седельников, Серпухова 2009] на основе механических законов практически невозможно. Зато можно говорить о микроускорениях, как о некотором случайном процессе X (/), параметром которого, как и принято в механике, является время. Тогда динамика изменения поля микроускорений между двумя последовательными срабатываниями двигателей будет описываться реализацией этого процесса -случайной величиной х (/).

Тривиальный сценарий. Покажем наипростейший вариант развития событий в данной задаче, который заключается в вырождении обозначенного выше случайного

процесса. Можно утверждать, что X(/) вырождается в случайную величину х(/), то есть все его реализации тождественно равны, в случае когда, помимо гипотез постановки [Седельников, Серпухова 2009]:

1) имеется единственный УРД;

2) время между двумя последовательными срабатываниями одинаково;

3) импульс двигателя при срабатывании постоянен;

4) колебания упругих элементов полностью затухают между двумя последовательными включениями УРД;

5) значения параметров движения упругих элементов на момент включения УРД всегда тривиальны;

6) все физические свойства реальных объектов (упругих элементов, узлов крепления и т.д.) инвариантны относительно временного параметра.

Пусть At - интервал времени между двумя последовательными срабатываниями УРД, тогда новая и -я система отсчета, в которой производится оценка микроускорений, будет отличаться от соответствующей (п - 1)-й только значением временного параметра: tn = 1п_г + .

Нулевые параметры движения упругих элементов соответствуют нулевым значениям микроускорений, так как колебания упругих элементов являются в постановке единственным возмущением. При отсутствии возмущения, то есть фактически силы, логично предположить, что при тривиальных начальных условиях любая точка должна находиться в покое. Нулевые значения микроускорений в начальный момент времени, то есть для всех t = п • Ы:, где п - целое неотрицательное число, гипотезы 1-6, а также инвариантность физических законов в любых инерциальных системах отсчета приведут к тому, что значения микроускорений будут повторяться через промежуток времени Д?, то есть будет иметь место тождество: м>(/) = + Д^).

Полученного условия достаточно, чтобы утверждать, что конечные во времени реализации х1 (/), имеющие одинаковую «временную длину», будут совпадать друг с

другом. В этом случае независимой является только одна реализация.

Анализ тривиального сценария может дать определенную спекулятивную оценку динамики микроускорений. С другой стороны, это реальная реализация X(/) для тривиальных начальных условий, которые часто принимают справедливыми до первого срабатывания УРД или в рамках формализации между нулевым и первым срабатыванием. Может возникнуть ситуация, когда начальные условия будут являться тривиальными и между двумя произвольными срабатываниями УРД.

Однако сводить задачу оценки микроускорений к анализу тривиального сценария является довольно грубым приближением даже в упрощенной постановке. Выводы, сделанные на основе анализа тривиального сценария, отнюдь не гарантируют выполнения условий микрогравитационного штиля [Авраменко, Седельников 1996].

Вероятностный аспект рассматриваемой проблемы указывает и на следующую деталь при решении поставленной задачи оценки. Во-первых, корректно говорить лишь о выполнении условий микрогравитационного штиля с некоторой вероятностью, а не утверждать их точное выполнение. Во-вторых, в свете анализа тривиального сценария, проведенного в данном разделе, логично настаивать на рассмотрении двух задач: оценка условной вероятности выполнения микрогравитационного штиля при реализации тривиального сценария между нулевым и первым срабатываниями УРД и оценка условной вероятности без реализации тривиального сценария. С точки зрения вероятностного подхода - это две разные задачи, хотя в свете физического аспекта данные различия неощутимы.

Формализация в рамках физической модели. Величина микроускорений, вообще говоря, строго подчиняется физическим законам, однако в рассматриваемой задаче многие параметры являются случайными, например:

1) величина и направление импульса УРД;

2) продолжительность работы двигателя;

3) интервал между включениями двигателя;

4) начальные параметры движения больших упругих элементов;

5) влияние других возмущающих факторов, кроме работы УРД.

Поэтому без корректного применения аппарата вероятностного анализа, с которым и связана математическая формализация, говорить об адекватности полученных результатов невозможно. С другой стороны, вероятностный анализ вскрывает ряд важных моментов, которые не столь заметны в границах физического аспекта рассматриваемой проблемы. Это и позволяет выделить вероятностный аспект как важнейший элемент анализа, без которого трудно представить себе грамотное и эффективное решение поставленной задачи.

Разобьем весь полет на участки между срабатыванием УРД. С практической точки зрения имеет смысл рассматривать только конечные интервалы, поскольку разориентация происходит за конечное время с вероятностью 1. Тогда во временных границах такого конечного участка (в общем случае интервалы между срабатываниями различны) микроускорение представляет собой случайную величину. Причём рассматриваются значения только от выключения двигателя до следующего включения. Сам двигатель работает пусть и малый, но конечный промежуток времени, в который условия микрогравитационного штиля нарушаются с вероятностью 1. Здесь следует отметить, что событие, заключающееся в том, что в некоторый промежуток времени произойдет включение УРД, правильно рассматривать как пуассоновский поток событий [Розанов 1971]. При этом вероятность того, что после некоторого фиксированного момента времени t следующего включения нужно будет ждать ещё время г : Р-{г>/}=е~Л*.

Плотность вероятностей при непрерывном реальном времени 0 £ t< 00 , где ^ = 0 соответствует моменту вывода космического аппарата (КА) на орбиту, будет иметь показательное распределение:

Рг^) =

Ае Xl, ïôè t s О,

(1)

О, где / <0.

Реализациями х(/) будем считать динамику изменения микроускорений от выключения двигателя до следующего включения. Причем эти реализации независимы друг от друга. Важнейшей чертой для вероятностного аспекта является то, что поведение системы в прошлом не оказывает влияние на будущее поведение: динамика изменения микроускорений до момента, предшествующего п -му включению двигателя, не оказывает влияние на будущую динамику после п -го включения. Действительно, если условия микрогравитационного штиля выполнялись в интервалах между включениями до п -го включения, которое произошло в момент времени t■í, то это не означает, что в последующих реализациях х^к), где tk > ^, эти условия будут также выполняться.

Это обстоятельство позволяет в рамках построенной физической модели [ Седельников 2006; 2007; Седельников , Серпухова 2009] формализовать

микроускорения как строго марковский случайный процесс. Оказывается, что такое

представление с вероятностной точки зрения лишь немного сложнее детской игры «тише едешь - дальше будешь» [Розанов 1971]. Представим себе, что игрок задумал выиграть (событие А), причем выигрышем считается такая ситуация, когда он, последовательно бросая игральную кость, добрался до конечного пункта, ни разу не попав на поле, предусматривающее движение назад. Каждое бросание кости определяет марковский переход из состояния / в состояние 7 .

Идеализируем решаемую задачу следующим образом. Пусть эксперименты, проводимые между включениями двигателя, реализуются таким образом, чтобы можно было пренебречь событием, заключающимся во включении двигателя во время эксперимента. Физически это сделать нетрудно: необходимо спрогнозировать среднее время критической разориентации и построить план экспериментов так, чтобы они начинались с гарантированным временным запасом после выключения УРД и заканчивались с таким же запасом до следующего включения. Тогда «проигрышем» можно считать нарушение условий микрогравитационного штиля между включениями УРД (что и соответствует физической постановке задачи [Седельников, Серпухова 2009]). В этом случае событие А («выигрыш» игрока) будет заключаться в том, что во время проведения некоторой серии экспериментов ни в одной реализации х^к), где

tk - время включения двигателя перед последним экспериментом серии, не будут

нарушены условия микрогравитационного штиля. Это полностью адекватно тому, что игрок, двигая фишкой после каждого броска игральной кости, ни разу не попадает на поле, предусматривающее по правилам игры движение назад. Самому броску игральной кости в этом случае соответствует включение УРД. Правда, случайная величина, представляющая собой сумму очков кости, является дискретной. Случайная величина (или исход), определяющая поле микроускорений после выключения двигателя, может быть сведена к конечному набору параметров (отклонение упругих элементов КА от недеформированного положения, угловая скорость КА и др.) и по сути является векторной, а образующие ее параметры - непрерывны. Конкретный исход (набор параметров) «включает» «механизм случайности», выбирая одну из возможных траекторий случайного процесса (динамики микроускорений) х(/). Тогда «хорошей» реализацией (шагом к выигрышу) будет такая траектория, которая не содержит значения микроускорений, превышающие критические, что аналогично полю, не содержащему указания вернуться назад.

Физический смысл поглощающего состояния. В выражении (1) — = Тяд -

А

среднее значение интервала времени между двумя последовательными срабатываниями УРД. Теоретически можно представить себе поглощающие состояния, плотность выхода из которых равна нулю. Физически это означает реализацию такого набора значений физических параметров, при котором одновременно происходит полное затухание колебаний упругих элементов КА и обнуление параметров вращения КА вокруг центра масс (событие В). Пусть событие А заключается в попадании случайного процесса в поглощающее состояние, тогда по формуле полной вероятности

Р(Л). Удл^-пя»).

Полное затухание колебаний упругих элементов (событие Сх) и обнуление параметров вращения КА (событие С2 ) являются независимыми друг от друга, поэтому

Р{Вк) = Рк{Йх)-Рк{С2).

Тогда

Р{А) - 2В^ РЛС.УРЛС,). (2)

Разумеется, что

P(A\Bk) = 0.

Формулу (2) можно упростить, если положить рЦвк)~\. (3)

Следовательно,

П^-У-Р^СО-РДС,). (4)

Строго говоря, Pk(N¡), Рк(С2) представляют собой вероятности попадания непрерывных величин в точку (тривиальные значения параметров) и равны нулю, однако на практике имеется в виду не точное достижение параметрами тривиальных значений, а попадание их в малую, но конечную окрестность этих тривиальных значений. Рассматривая окрестности, нужно понимать, что упрощение (3) в этом случае несправедливо, поскольку при приближении значения одного из параметров к границам своей допустимой окрестности вероятность захвата случайного процесса в поглощающее состояниеР(А\Вк) будет уменьшаться. Однако, оставив (3) в силе, можно оценить завышенное значение вероятности Р(А).

Если говорить о реальных ситуациях, то, например, для космической станции «Skylab» в предположении, что Рк(.и Рк(С2) одинаковы во всех реализациях х(tk) ,

оценка этих вероятностей дает Pk(Ni') ® 10"5, а РкФ2) « Ю”10 . При п = 1000 получаем по формуле (4) максимальную вероятность захвата в поглощающее состояние:

Ртах(Л) = 103-10-5-10-10 = Ю-12. (5)

Подводя итог сказанному, можно утверждать, что поглощающее состояние означает, что после некоторого момента времени tsä (времени, когда происходит

событие А) двигатели больше включаться не будут, что гарантирует с вероятностью 1 выполнение требуемых условий микрогравитационного штиля при tgd. Однако в

реальных условиях вероятность этого пренебрежимо мала.

Правильные и критические сценарии. Пусть jc(/) - динамика изменения модуля микроускорений между включениями двигателя - реализация строго марковского случайного процесса X(/). Эта реализация «выбирается» «механизмом случайности», исходя из значений некоторой векторной случайной величины, характеризующей параметры движения упругой части КА на момент включения УРД.

Разобьем бесконечное множество всех реализаций jc(/) на два подмножества: Е0 (в нем содержатся реализации, микроускорения внутри которых не превышают критические для любого момента времени) и Ех (в нем содержатся реализации, микроускорения внутри которых превышает критическое значение хотя бы для одного момента времени). Общее число реализаций обоих подмножеств бесконечно. Во время некоторого определенного полета реализуется конечная цепочка траекторий X(?):

*2 О)-** Oh где к < оо .

Правильным будет считаться такой сценарий, для которого все реализации (t), *2 0) - **(0££0.

Если хотя бы одна реализация цепочки хt (t), х2 (t).. . х* (У) принадлежит подмножеству Ех, то такой сценарий считается критическим.

Осуществление в каком-либо полете критического сценария означает, что по крайней мере один из проводимых на КА экспериментов закончился неудачей.

Утверждение 1. Для того чтобы сценарий был правильным, необходимо и достаточно, чтобы первая реализация Xj (t) ЕЕ0 и Е0 являлось множеством, содержащим все возвратные состояния X(t).

Доказательство

Необходимость: для правильного сценария необходимо, чтобы все траектории цепочки хj (У), х2 (У) ... xk (t) £ Е0, поэтому условие Xj (У) €= Е0 также является необходимым.

Достаточность: предположим, что была реализована цепочка траекторий xt(У), х2 (У) ... xt (У) . Причем Xj (У) Е Е0 и, следовательно, является возвратным, поскольку Е0 - множество, содержащее все возвратные состояния X(t). Тогда состояние x2(t) достигается из *(0, то есть оно является достижимым из возвратного состояния, поэтому также является возвратным. Но возвратное состояние входит в подмножество Е0. Аналогично можно показать, что все состояния цепочки хп (У), достижимые из состояний хп_j(t), где п £ к, являются возвратными и принадлежат Е0. Это, в свою очередь, означает, что все траектории хt (t), х2 (t) ... хк (t) Е. Е0, что является

достаточным для осуществления правильного сценария.

Утверждение доказано.

Энергетический вектор. Радиус энергетического поглощения и сингулярности

Утверждение 2. Для попадания в поглощающее состояние необходимо и достаточно, чтобы одновременно произошло полное затухание колебаний больших упругих элементов и обнулились параметры вращательного движения КА вокруг центра масс.

Доказательство

Необходимость: поглощающее состояние возникает, когда не требуется включения УРД, а следовательно, не происходит разориентации КА. Для этого необходимо, чтобы параметры вращательного движения КА были нулевыми. В постановке [Седельников, Серпухова 2009] влияние на параметры вращательного движения оказывают пренебрежимо малые внешние возмущения либо внутренние. Гипотеза 2 постановки учитывает только влияние колебаний больших упругих элементов. Поэтому полное затухание этих колебаний также является необходимым для захвата в поглощающее состояние.

Достаточность: поскольку в постановке единственным возмущением движения КА вокруг центра масс является работа УРД, то вполне достаточно зафиксировать значение угла между продольной осью КА и некоторым ориентиром, то есть qp0 = const. В этом случае двигатели УРД не будут включаться, что равносильно

захвату в поглощающее состояние. Для выполнения условия постоянства угла достаточно, чтобы со = е = 0, а также отсутствовали перемещения одних частей конструкции относительно других, то есть колебания больших упругих элементов.

Утверждение доказано.

Следует отметить, что упрощения физической модели (см.: [Седельников, Серпухова 2009]) имеют вполне определенный вероятностный смысл: поскольку

вероятность строгого равенства как значений параметров вращательного движения КА, так и колебательного движения больших упругих элементов тривиальным равна нулю, то речь идет, как отмечалось выше, о некоторой области значений этих параметров, при попадании в которую происходит поглощение. Выберем три параметра: Ох -

кинетическая энергия вращения КА вокруг центра масс; 02 - кинетическая энергия относительного движения больших упругих элементов относительно корпуса КА; I -потенциальная энергия деформации больших упругих элементов. Формально составим из них вектор 0 = ((О,\Ог\I ), который будет в дальнейшем называться энергетическим вектором. Он по сути является математической формализацией механизма случайного выбора реализаций х{Г) при переходе марковского процесса из одного состояния в другое, характеризуя проникновение предшествующей реализации хм(У) в последующую х1 (У).

Тогда на трехмерном фазовом портрете обозначенная область будет выглядеть некоторой пространственной, симметричной относительно координатных осей поверхностью с геометрическим центром в начале координат. Размеры и форма этой области являются предметом отдельного исследования. Здесь лишь следует отметить, что модуль вектора потока избыточных энергий имеет два очень важных значения.

Первое значение - это максимальное значение, при котором происходит захват случайного процесса в поглощающее состояние. Считая указанную выше поверхность приблизительно сферической, можно ввести понятие «радиуса энергетического поглощения». Это значение связано с критическим уровнем энергии, необходимым для перехода случайного процесса из одного состояния в другое. Вероятность поглощения, по-видимому, соответствует оценке (5).

Второе значение - это минимальное значение, при котором плотность выхода из любого состояния равна бесконечности. Это означает, что временная длина конкретной реализации, так же как и время перехода от одной реализации к другой, равна нулю. По сути - это состояние полной неопределенности. Поэтому уместно определение этого значения как «радиуса сингулярности». Вероятность превышения модуля энергетического вектора значения радиуса сингулярности, по-видимому, бесконечно мала, поскольку такое состояние не имеет конкретной физической реализации.

Более подробную трактовку физического смысла данных состояний автор даст в последующих публикациях, поскольку это выходит за рамки обозначенного обзора.

Теорема 1. Для случая нулевой угловой скорости в конце участка активной ориентации КА максимальна вероятность того, что время до следующего включения УРД будет больше, чем для других значений угловой скорости при стационарных возмущениях.

Доказательство. Обозначим событие, заключающееся в том, что время достижения границы области допустимой разориентации при оз. = 0 было больше, чем при а>.* О через С.

Рассмотрим два случая. В первом случае возмущающие факторы на КА не действуют. Тогда, согласно Утверждению 2, нулевой угловой скорости при отсутствии возмущений достаточно для захвата случайного процесса в поглощающее состояние. Это, в свою очередь, означает, что t¡ г+1 = °°. Второй случай касается стационарного поля возмущений. При достижении нулевой угловой скорости разориентация КА проходит по закону (р = ей /2, где еа - угловое ускорение, вызванное действием возмущений. Как видно из этого закона, время разориентации, то есть достижения значения ф.а, будет одинаковым, если ea=const (условие стационарности поля). При

этом возможен подход либо к правой границе области допустимой разориентации: Ф = Фед, если eá > 0, либо к левой: ф = - ф.д, если eá < 0.

Если угловая скорость в конце участка активной ориентации отлична от нуля, то закон разориентации выглядит следующим образом: ф = а>ё t + eát2, где соё - угловая скорость в конце активного участка. При совпадении знаков а)ё и єй (событие А) достижение значения ф = фё0 или ф = - фёд, очевидно, происходит быстрее, чем в случае соё = 0. Справедливо считать, что Р(А) = 0,5 при равномерном распределении знаков (оё и єй. Таким образом, половина событий благоприятствует С.

Рассмотрим событие В = А, которое заключается в том, что знаки а)ё и eá различны. Очевидно, что Р(В) = Р(А) = 0,5. Однако в этом случае все не так однозначно, как для озё = 0, поскольку при определенных значениях а)ё и eá возможен подход и к левой и к правой границе допустимой разориентации, независимо от знака eá. Поэтому следует рассмотреть две ситуации: подход к правой границе области допустимой разориентации: (р = фёд, при eá > 0, либо к левой: ф = -фёд, при eá< 0 (событие В¡) и подход к левой границе области допустимой разориентации: ф = фёд, при eá > 0, либо к правой: ф = -ф.д , при eá<0 (событие В2).

В случае реализации события В¡ достижение значения ф = фё0 или ф = - фёд происходит медленнее, чем для а)ё = 0, так как внешние возмущения сначала гасят угловую скорость, а затем приводят ф к границе области допустимой разориентации.

Поэтому все события В¡ благоприятствуют С .

В случае реализации события В2 достижение значения ф = фё0 или ф = - фёд

происходит как медленнее, так и быстрее, если а)ё существенно больше, чем eá. Например, при eá = 10"4 dáá/ñ2 при а>. = 0 время достижения фёд = 0,09даа составляет 30 с. Для тех же условий и 0)ё = 10_3 óaálñ оно составляет примерно 25,5 с.

Таким образом, из множества событий В2 часть благоприятствует С, а часть - С .

Следовательно, можно утверждать, что вероятность события С.

Р(С) = Р{С\А) + Р(С\В2) =Р(А) + Р(С\В2) = 0,5 + Р(С\В2) > Р{В,) + Р(С\В2).

Теорема доказана.

Доказанная теорема является ключевой при оценке интервала времени между включениями двигателя.

Заключение. Таким образом, в работе рассмотрен вероятностный аспект моделирования поля микроускорений и создана база для построения вероятностной модели с использованием строго марковского случайного процесса.

Библиографический список

Авраменко А. А., Седельников А. В. Моделирование поля остаточной микрогравитации на борту орбитального космического аппарата // Изв. вузов. Авиационная техника. 1996. № 4. С. 22-25.

РозановЮ. А. Случайные процессы. М.: Наука. 1971.

Седельников А. В. Фрактальная оценка микроускорений для слабого демпфирования собственных колебаний упругих элементов космического аппарата. I // Изв. вузов. Авиационная техника. 2006. № 3. С. 73-75.

Седельников А. В. Фрактальная оценка микроускорений при слабом демпфировании собственных колебаний упругих элементов космического аппарата. II // Изв. вузов. Авиационная техника. 2007. № 3. С. 62-64.

Седельников А. В., Серпухова А. А. Фрактальная модель микроускорений: физический аспект // Известия СНЦ РАН. 2009. Т. 11. № 5. С. 185-191.