CC BY
49
Таблица 1
Средние Кп в контрольной и ^ экспериментальной группах
№ контрольного среза Кк Кэ
ПР1 0,458 0,611
ПР2 0,597 0,680
ПР3 0,653 0,806
Таблица 2 Значения статистических критериев для контрольной и экспериментальной групп
Статистический критерий Группы испытуемых
Контрольная Экспериментальная
L Тэмп. = 119,5 Т = 123 -^эмп
^крит (Р = 0,05) - 116 Lmm (Р = 0,01) - 119
U иэмп = 18 икрит (0,05) = 21 икрит (0.01) = 14
Анализ полученных результатов позволяет сформулировать следующие основные выводы.
1. В течение учебного года наблюдается закономерное повышение уровня сформированности специальных учебных умений как в экспериментальных, так и контрольных группах, о чем свидетельствует соотношение Ьэмп > Ькрит.
2. Значение Кп в экспериментальной группе в 1,2 раза больше, чем аналогичный показатель для контрольной группы, что подтверждается соотношением значений иэмп <и,фит для ПР3.
3. Целенаправленное и систематическое использование разработанных ЗМ в обучении химии оказывает положительное влияние на уровень и качество формирования основных предметных умений, установленных стандартом основного общего образования по химии.
Литература
1. Методика преподавания химии: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по хим. и биол. спец. - М.: Просвещение, 1984
2. Кузнецова Н.Е., Пилипко Н.И. Виды моделей и их функции при формировании структурных представлений учащихся в курсе химии средней школы. / В сб.: «Совершенствование содержания и методов обучения химии в школе»: ЛГПИ, 1979.
3. ГамезоМ.В., ДомашенкоИ.А. Атлас по психологии: инф-метод. материалы. - М.: Просвещение, 1986.
4. Шелонцев В.А., Герасимова И.В., Зуева Л.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся при использовании знаковых моделей в обучении химии / Естественнонаучное образование в реализации идей гуманистической педагогики: Межвузовский сборник научных трудов. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.
5. Ждан Н.А. Реализация содержательно-деятельностных связей в обучении химии как средство повышения системности и осознанности знаний учащихся: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Омск, 1998.
6. http://som.fsio/ru
7. Программы для общеобразовательных учреждений: химия. 8-11 кл. / Сост. Н.И. Габрусева, С.В. Суматохин. - М.: Дрофа, 2001.
8. Шелонцев В А. Знаковые модели и задачи: окислительно-восстановительные реакции: Учебное издание. - Омск: ООИПКРО, 2002.
9. СидоренкоЕ.В. Методы математической обработки в психологии. - СПб.: ООО «Речь», 2006.
ВЕРОЯТНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ
Г.И. Баврин, МПГУ
§1. Случайные события
1. Основные определения
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытаниями. Примерами испытаний являются: бросание монеты, извлечение шара из урны, бросание игральной кости. Результат, исход испытания называются событием. Событиями являются: выпадение герба или цифры, взятие белого или черного шара, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются заглавные буквы латинского алфавита А, В, С и т.д.
Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 1. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А - появление четырех очков. Событие В - появление четного числа очков. События А и В совместимые.
Определение 2. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 2. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие В - выпадение цифры. Эти события несовместимы, т.к. появление одного из них исключает появление другого.
Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.
Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А!, А2, А3, А4, А5, А6 - соответственно выпадение одного очка, двух, трех, четырех, пяти, шести. Эти события являются несовместимыми.
Определение 3. Два события А и А называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Пример 4. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А - выпадение герба и событие А - выпадение цифры -противоположны.
Определение 4. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 5. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А - вынут белый шар - достоверное событие; событие В - вынут черный шар - невозможное событие.
Определение 5. Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример 6. Событие А6 - выпадение шести очков при бросании игральной кости - случайное. Оно может и не наступить в данном испытании.
Определение 6. Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
Пример 7. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадает в мишень первый стрелок, событие В - попадает в мишень второй стрелок. Суммой событий А и В будет событие С = А + В - попадает в мишень по крайней мере один стрелок.
Аналогично суммой конечного числа событий Аь А2, ..., Ак называется событие А = А! + А2 +...+ Ак, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А; (1 = 1, 2, ..., к).
Из определения 6 непосредственно следует, что А + В = В+А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А, как в алгебре).
Определение 7. Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, ..., Ак называется событие А = А1А2... Ак, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
В примере 7 произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.
Из определения 7 непосредственно следует, что АВ = ВА.
Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А2).
Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов - результатов испытания, т.е. событий.
Определение 8. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.
Пример 8. Полными группами событий являются: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости; попадание в цель и промах при одном выстреле.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий и1, и2 ..., ип, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий (1 = 1, 2, ..., п) равновозможно, т.е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.
Определение 9. События и^и, ..., ип, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.
Пример 9. Пусть - событие, состоящее в том, что при одном бросании кости выпадет грань с цифрой 1. Тогда события и1, и2, ..., и6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события и1, и2, ..., и6 являются и равновозможными, т.е. элементарными.
Определение 10. Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Пример 10. Пусть при бросании игральной кости события и2, и4 и и6 - появление соответственно двух, четырех и шести очков и А - событие, состоящее в появлении четного очка; события и2, и4 и и6 благоприятствуют событию А.
Определение 11 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.
т
Р(А) = — п
Пример 11. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А - выпадение герба и событие В - выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Событию А благоприятствует лишь одно событие - само А. Поэтому Р(А) = 0,5.
Пример 12. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет четное число очков (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2,4 и 6). Поэтому 3
Р(А) = 6 = 0,5.
Из классического определения вероятности следует:
1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0<Р(А)<1;
4) элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.
2. Свойства случайных событий
Одним из основополагающих предложений теории вероятностей является теорема сложения вероятностей несовместимых случайных событий.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1)
Доказательство. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно п; событию А благоприятствуют к элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий иь и2, ..., ип не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать к + I элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем:
к I к +1
Р(А) = — ; Р(В) = —; Р(А + В) = -,
п п п
откуда и следует формула (1).
Совершенно так же теорема 1 формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий. Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и А равна единице:
_ Р(А) + Р( А ) = 1. (2)
Так как события А и А несовместимы, то по доказанной теореме 1 имеем:
Р(А) + Р( А ) =_Р(А + А ). _ _
Событие А + А есть достоверное событие (ибо одно из событий А или А произойдет). Поэтому Р(А + А ) = 1, что и приводит к искомому соотношению (2).
Пример 1. При стрельбе в мишень вероятность выбить десять очков равна 0,2, а вероятность выбить девять очков равна 0,5. Чему равна вероятность выбить не менее девяти очков?
Пусть случайное событие А означает «выбить десять очков», В - «выбить девять очков» и А + В - «выбить не менее девяти оч-
ков». Так как случайные события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,5 = 0,7.
Определение 1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. Несколько событий А1, А2, ..., Ап называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Пример 2. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Если событие А - вынут белый шар, то Р(А) = 0,5. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар - также имеет вероятность Р(А) = 0,5, т.е. события А и В независимые.
Предположим, что вынутый в первом испытании шар не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т.е. в первом
1
испытании вынут бельш ^ то вероя^ость собы^ В уменьшается (Р(В) = 3 ); если в первом испытании был вынут черный шар
2
то вероятность события В увеличивается (Р(В) = — ). Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не
3
произошло событие А; в таких случаях события А и В зависимые.
Определение 2. Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.
1
Так, в примере 2 РА(В) = — .
3
Заметим, что если события А и В независимы, то РА(В) = Р(В).
Теорема 2. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р(АВ) = Р(А)Ра(В). (3)
Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий к благоприятствуют событию А и пусть из этих к событий I благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда
I к I
Р(АВ) = -= - •- = Р(А)РА(В), п п к
что и доказывает искомое равенство (3).
Пример 3. В урне 2 белых и 2 черных шаров. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение. Обозначим: С - появление двух белых шаров. Случайное событие С представляет собой произведение двух событий: С = АВ, где А - появление белого шара при первом вынимании, В - появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей зависимых случайных событий получим:
1 1 1
Р(С) = Р(АВ) = Р(А)РА(В) = - • - = - .
2 3 6
Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (4)
Действительно, если А и В - независимые события, то формула (3) превращается в формулу (4).
В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т.е. имеет место равенство:
Р(А1А2.Ап) = Р(А0Р(А2>. ..-Р(Ап). (5)
Теорема 4. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий к благоприятствуют событию А, I - событию В и т - одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + I- т элементарных событий.
Тогда
к +1 - т к I т
Р(А + В) = -= — +---= Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
п п п п
Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ - невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,9 и Р(В) = 0,7. Найти вероятность попадания при залпе из обоих орудий хотя бы одним из орудий.
Очевидно, события А и В совместимы и независимы. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - - Р(АВ) = 0,9 + 0,7 - 0,9-0,7 = 0,97.
§2. Вероятность в физике
1. Последовательное соединение приборов
Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий два последовательно соединенных прибора: А и В (рис. 1а).
а) б)
Рис. 1
Предположим, что приборы работают независимо один от другого, и каждый из них может либо пропустить ток (прибор исправен), либо не пропустить (прибор неисправен). Обозначим Р(А) и Р(В) вероятности исправности приборов А и В соответственно. Для того чтобы по участку цепи прошел ток, нужно, чтобы и прибор А, и прибор В были исправны, т. е. нужно совмещение исправности приборов. Так как приборы работают независимо, то по формуле умножения вероятностей вероятность прохождения тока выразится произведением
Р = Р(А)Р(В). (1)
Совершенно аналогично для трех последовательно соединенных и независимо работающих приборов А, В, С (рис. 1б) вероят-
ность прохождения тока по участку цепи выразится произведением
Р = Р(А)Р(В)Р(С),
а для п приборов Аь А2, ..., Ап - произведением
Р = Р(А)Р(А:)...Р(А„).
В частности, если приборы однотипны, точнее говоря, если вероятности их исправности равны Р(А}) = Р(А2) =... = Р(Ап) = р, то вероятность прохождения тока Р = рп.
Можно поставить в некотором смысле обратную задачу. Предположим, что вероятность исправности первого прибора Р(А) известна. После испытаний установили вероятность прохождения тока по всему участку Р. Тогда из формулы (1) можно найти вероятность исправности второго прибора Р(В). Например, если Р(А) = 0 ,9; Р = 0,72, то в силу (1) Р(В) = Р/Р(А) = 0,72/0,9 = 0,8.
2. Параллельное соединение приборов
Рассмотрим участок цепи, содержащий два прибора А и В, соединенных параллельно (рис.2). Предположим, что приборы работают независимо и Р(А)- вероятность прохождения сигнала по прибору А, а Р(В)— по прибору В. Например, сигнал проходит по прибору, если прибор исправен, и не проходит - в противном случае. Очевидно, сигнал пройдет, если будет исправен хотя бы один прибор. Таким образом, вероятность прохождения сигнала по участку цепи - это вероятность Р(А+В), где сумма А + В означает исправную работу хотя бы одного из приборов. Так как приборы работают независимо, то эту вероятность можно вычислить по формуле
Р(А + В)=Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). (2)
Рис. 2
Например, если Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,9, то
Р(А + В) == 0,8 + 0,9 - 0,8 • 0,9 = 0,98. (3)
Можно поставить и обратную задачу. Предположим, что один из приборов - эталонный и вероятность его безотказной работы (т. е. вероятность прохождения по нему сигнала) известна. После испытаний установили вероятность прохождения сигнала по всему участку. Тогда из формулы (2) можно найти вероятность безотказной работы второго прибора. Например, если Р(А)=0,8, Р(А+В) = 0,95, то, подставив это в (2), будем иметь
0,95 = 0,8 + Р(В) - 0,8 Р(В).
Отсюда
Р(В) = — = 0,75 0,2
Из формулы (3) видно, что параллельное соединение увеличило вероятность прохождения сигнала. Второй прибор подстраховывает, дублирует первый. Можно ожидать, что параллельное соединение трех и более приборов еще более увеличит эту вероятность.
3. Последовательное и параллельное соединение приборов
В предыдущих пунктах мы рассмотрели порознь последовательные и параллельные соединения приборов и установили, как вычисляется вероятность прохождения сигнала по участку схемы в том и другом случае. На практике приходится иметь дело с различными сочетаниями соединений обоих типов. Рассмотрим два характерных примера.
Предположим, что сигнал проходит по участку схемы, состоящему из двух параллельных блоков А и В, первый из которых состоит из одного прибора А, а второй содержит два последовательно соединенных прибора В1 и В2 (рис. 3а). Пусть возможность отказа одного из приборов не зависит от работы остальных. Сигнал проходит, если хотя бы один из блоков исправен, а каждый из блоков выходит из строя, если хотя бы один из его приборов отказал.
Обозначим Р(А), Р(В]) и Р(В2)- вероятности безотказной работы соответствующих приборов; Р(В) - вероятность исправности блока В (вероятность исправности блока А, очевидно, равна Р(А)); Р(А +В)-вероятность прохождения сигнала по цепи. Тогда, используя формулы сложения и умножения, можем написать
Р(А + В ) = Р(А) + Р(В) — Р(А )■ Р(В) = Р(А)+Р(В) Р(В2) — Р(А)-Р(Б1) Р(В2) (4)
а)
Рис. 3
б)
Например, если Р(А) = 0,9; Р(В]) = 0,93; Р(В2) = 0,92, то Р(А + В) = 0,9 + 0,93 ■ 0,92- -0,9 ■ 0,93 ■ 0,92 = 0,986.
Теперь предположим, что участок схемы состоит из двух последовательно соединенных блоков А и В, один из которых состоит из одного прибора А, а другой содержит два параллельно соединенных прибора В1 и В2 (рис. 3б). Пусть по-прежнему приборы работают независимо. Блок В выходит из строя, если отказали оба его прибора. Сигнал проходит, если оба блока А и В исправны. Обозначив Р(АВ) - вероятность прохождения сигнала по цепи и сохранив остальные обозначения для вероятностей, можем написать Р(АВ) = Р(А)Р(В) = Р(А) [Р(В]) + Р(В2) — Р(В]) Р(В2)]. В частности, для данных предыдущего примера
Р(АВ) = 0,9(0,93 + 0,92 - 0,93 ■ 0,92) = 0,895.
Литература
1. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятности. - М.: Наука, 1970.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятности и её приложения. Т. 1. - М.: Мир, 1984.
ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В.С. Корнилов, кандидат физико-математических наук, доцент Московского городского педагогического университета
